1 Maßtheorie - Universität des Saarlandes

Prof. Dr. H. Zähle
1
Vorlesung Stochastik, Inhalt
Universität des Saarlandes, WS 2010/11
Maßtheorie
1.1
Vorbemerkungen
1.2
σ-Algebren und ihre Erzeuger
1.3
Dynkin-Systeme
1.4
Inhalte, Prä-Maße, Maße
1.5
Fortsetzung eines Prä-Maßes zu einem Maß
1.6
Das Lebesgue-Maß
1
(a) Lebesgue’sches Prä-Maß
1
(b) Die Borel-σ-Algebra
1
(c) Das Lebesgue-Maß
1.7
Maßerzeugende Funktionen
1
(a) Für allgemeine Maße
1
(b) Für Wahrscheinlichkeitsmaße
1.8
Messbare Abbildungen und Bildmaße
1
2
2.1
Integrationstheorie
Numerische Funktionen
1
(a) Definitionen und Eigenschaften
1
(b) Approximation durch Elementarfunktionen
2.2
Das (Lebesgue-) Integral
1
(a) Stufe 1: Elementare Integranden
1
(b) Stufe 2: Nichtnegative Integranden
1
(c) Stufe 3: Allgemeine Integranden
2.3
Beispiele für Integratoren
1
(a) Integrale bzgl. Dirac-Maßen
1
(b) Integrale bzgl. Summen von Maßen
1
(c) Integrale bzgl. dem Lebesgue-Maß
1
(d) Integrale bzgl. Bildmaßen
2.4
Fast überall bestehende Eigenschaften
2.5
Lp -Räume
1
(a) Lp -Räume
1
(b) Lp -Räume
2.6
Konvergenzsätze
2.7
Maße mit Dichten
2.8
Maße auf Produkträumen
1
(a) Produkträume und Produkt-σ-Algebren
1
(b) Produktmaße auf Ω1 × Ω2 , Satz von Fubini
1
(c) Produktmaße auf Ω1 × · · · × Ωk
2
3
3.1
Wahrscheinlichkeitstheorie
Wahrscheinlichkeitsräume und Zufallselemente
1
(a) Wahrscheinlichkeitsräume
1
(b) Zufallselemente und deren Verteilungen
3.2
Beispiele für Verteilungen auf R
1
(a) Beispiele für diskrete Verteilungen
1
(b) Beispiele für stetige Verteilungen
3.3
Unabhängigkeit
1
(a) Unabhängigkeit von Ereignissen
1
(b) Unabhängigkeit von Ereignissystemen
1
(c) Unabhängigkeit von Zufallselementen
1
(d) Kolmogorov’sches 0-1-Gesetz
3.4
Erwartungswert, Varianz, etc., von Zufallsvariablen
1
(a) Erwartungswert
1
(b) Varianz, Kovarianz, Korrelation
1
(c) Ungleichungen
3.5
Bedingte Wahrscheinlichkeit
1
(a) Bedingte Wahrscheinlichkeit
1
(b) Bedingte Verteilung und bedingter Erwartungswert
3.6
Charakterisierung von Verteilungen auf R
1
(a) Verteilungsfunktion
1
(b) Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion
1
(c) Momenterzeugende Funktion (Laplace-Transformierte)
1
(d) Charakteristische Funktion (Fourier-Transformierte)
3.7
Summen unabhängiger Zufallsvariablen
1
(a) Faltung
1
(b) Summen unabhängiger Zufallsvariablen
3
3.8
Konvergenz von Folgen von Zufallsvariablen
1
(a) Konvergenzarten
1
(b) Beziehungen zwischen den Konvergenzarten
1
(c) Relative Kompaktheit und Straffheit von Familien von W-Maßen
1
(d) Schwache Konvergenz und charakteristische Funktionen
1
(e) Kriterien für fast sichere Konvergenz
3.9
Grenzwertsätze für Summen unabhängiger Zufallsvariablen
1
(a) Gesetze der großen Zahlen
1
(b) Zentraler Grenzwertsatz
3.10
Zufallsvektoren (Skizze)
1
(a) Verteilungsfunktion und Dichte
1
(b) Erwartungsvektor und Kowarianzmatrix
1
(c) Charakteristische Funktion
1
(d) Affin-lineare Transformation
1
(e) Multivariate Normalverteilung
1
(f) Multivariater zentraler Grenzwertsatz
3.11
Bedingen auf σ-Algebren
1
(a) Verallgemeinerte bedingte Wahrscheinlichkeit
1
(b) Verallgemeinerte bedingte Verteilung
1
(c) Bedingte Erwartung
1
(d) Faktorisierung der bedingten Erwartung
1
(e) Faktorisierung der bedingten Verteilung
1
(f) Bedingte Erwartung als beste L2 -Approximation
4