Warteschlangen - Lehrstuhl für Mathematik II

Sommersemester 2009
Lehrstuhl für reine Mathematik II
Universität Würzburg
http://www2.mathematik.uni-wuerzburg.de
Würzburg, den 5.05.2009
Prof. Dr. F. Wirth
M. Schönlein
Warteschlangen
Übungsblatt 2
Abgabe: Montag, den 11.05.2009, Zi. 112
1. Ein stochastischer Prozess sei wie folgt definiert. Wir haben zwei Münzen: eine faire, deren Wurf jeweils
mit Wahrscheinlichkeit p = 1/2 Kopf oder Zahl ergibt, sowie eine unfaire, die auf beiden Seiten eine Kopf
hat. Diese Münze übergeben wir der Werferin, die ohne unsere Kenntnis eine der beiden Münzen auswählt
(gleichverteilt). Danach wirft sie die Münze, und teilt uns die Ergebnisse mit.
(a) Die zwei beobachteten Zustände sind Kopf und Zahl. Berechnen Sie die Übergangsmatrix von Zustand
zum Zeitpunkt n zum Zustand zum Zeitpunkt n + 1, d.h. die Matrix mit den Wahrscheinlichkeiten,
dass der Zustand zum Zeitpunkt n+1 Kopf (oder Zahl) ist, gegeben, dass der Zustand zum Zeitpunkt
n Kopf (oder Zahl) ist.
(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zum n + 2 Wurf Kopf fällt, gegeben dass im n-ten und
n + 1-ten Wurf Kopf gefallen ist.
(c) Handelt es sich bei diesem stochastischen Prozess um eine Markov-Kette ?
(6 Punkte)
2. Es sei P die Übergangsmatrix einer homogenen Markov-Kette {X(t) | t ∈ N0 } mit endlich vielen Zuständen
{1, . . . , n}. Die Matrix P heißt reduzibel, wenn es eine Permutationsmatrix Q gibt, so dass
P11 P12
,
QP QT =
0 P22
mit quadratischen Matrizen P11 , P22 und sonst irreduzibel. Die Markov-Kette heißt irreduzibel, wenn es
zu jedem Paar von Zuständen i, j ∈ {1, . . . , n} eine Zeit t > 0 gibt, so dass
P(X(t) = i|X(0) = j) > 0 .
(a) Zeigen Sie, dass die folgenden drei Aussagen äquivalent sind:
(i) die Markov-Kette ist irreduzibel
(ii) die Übergangsmatrix ist irreduzibel
(iii) der Graph der Markov-Kette ist stark zusammenhängend.
(4 Punkte)
(b) Sei P irreduzibel und spaltenstochastisch. Nach dem Satz von Perron-Frobenius hat eine irreduzible
P
spaltenstochastische Matrix P einen eindeutigen Wahrscheinlichkeitsvektor π (d.h. π ≥ 0, πi = 1)
mit
Pπ = π .
Ferner gilt π > 0 und der Eigenwert 1 ist einfach.
Wir bezeichnen mit W ∈ Rn×n die Matrix, deren Spalten alle gleich π sind. Zeigen Sie,
I + P + . . . + P m−1 (I − P + W ) = I − P m + mW.
Folgern Sie daraus, dass
m−1
1 X k
P = W.
m→∞ m
lim
k=0
(4 Punkte)
(c) Interpretieren Sie dass Ergebnis aus (b). Man sagt oft etwas leger, Ergodizität bedeute, zeitliches
Mittel und räumliches Mittel seien gleich. Wie soll man diesen Satz in diesem Zusammenhang richtig
verstehen ? Was wird hier wie gemittelt ?
(1 Punkt)