Diskrete Strukturen II

Technische Universität München
Institut für Informatik
Prof. Dr. Angelika Steger
Martin Marciniszyn
Alexander Offtermatt-Souza
Jan Remy
Sommersemester 2003
Lösungsblatt
Diskrete Strukturen II
Aufgabe 1. Was trifft zu? (7 Punkte)
Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen zutreffen. Begründen Sie Ihre Antwort indem
Sie gegebenenfalls rechnen, die Vorlesung bzw. das Buch zitieren oder Gegenbeispiele angeben.
(a) Für X ∼ Exp (λ) und a > 0 gilt aX ∼ Exp λa .
(b) Für alle Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn gilt E [X1 · . . . · Xn ] = E [X1 ] · . . . · E [Xn ].
(c) Die Markov-Kette mit nebenstehendem Übergangsdiagramm
(1) ist aperiodisch.
1
(2) ist irreduzibel.
0
(3) hat eine eindeutige stationäre Verteilung.
0,5
0,5
1
(d) Wenn eine Markov-Kette ergodisch ist, hat sie eine eindeutige stationäre Verteilung.
(e) Wenn eine Markov-Kette eine eindeutige stationäre Verteilung hat, ist sie ergodisch.
Lösungsvorschlag
(a) Wahr. Satz 2.2.4 aus Diskrete Strukturen – Band 2 anwenden.
(b) Falsch. Gegenbeispiel: Sei X1 Bernoulli-verteilt mit p = 0, 5 und X2 = X1 . Dann gilt:
E [X1 ] = E [X2 ] =
E [X1 ] · E [X2 ] =
1
2
1
4
E [X1 · X2 ] = 1 · Pr [X1 = 1 ∧ X2 = 1] = Pr [ X2 = 1 | X1 = 1] · Pr [X1 = 1] =
(c) (1) Die Kette ist aperiodisch, weil beide Zustände eine Schleife besitzen.
(n)
(2) Sie ist nicht irreduzibel, weil p0,1 = 0 für alle n ≥ 1.
(3) Sie hat eine stationäre Verteilung. Diese lautet π = (1, 0).
(d) Wahr. Satz 4.19.
(e) Falsch. Gegenbespiel siehe (c).
1
2
Aufgabe 2. Zufallsgraph (6 Punkte)
Sei G ein ungerichteter
einfacher Graph auf der Knotenmenge V = {1, 2, . . . , n}, wobei für
jede der n2 möglichen Kanten unabhängig mit Wahrscheinlichkeit p entschieden wird, ob sie
in G existiert oder nicht. Die Anzahl der Kanten, die mit einem Knoten inzidieren,
heißt der
1 n
Grad des Knotens. Für i ∈ V bezeichne Di den Grad des Knotens i und D = n i=1 Di sei
der Durchschnittsgrad von G.
(a) Berechnen Sie E [Di ] für alle i ∈ V und E [D].
(b) Zeigen Sie
E[Di ]
(1) Pr Di ≤ 12 E [Di ] ≤ e− 8 für alle i ∈ V und
E[D]
(2) Pr min{Di : i ∈ V } ≤ 12 E [D] ≤ ne− 8 .
Lösungsvorschlag
(a) Di = Bin (n − 1, p) ⇒ E [Di ] = p(n − 1)
n
n
n
1 1 1
Di = ·
Di = ·
p(n − 1) = p(n − 1) = E [Di ] ∀i ∈ V.
E [D] = E
n
n
n
i=1
i=1
i=1
(b) (1) Anwendung der Ungleichung von Chernoff, Korollar 1.90
E[Di ] 1 2
E[Di ]
1
1
E [Di ] ≤ e− 2 ·( 2 ) = e− 8
Pr Di ≤ E [Di ] = Pr Di ≤ 1 −
2
2
(2) Anwendung der Booleschen Ungleichung, Korollar 1.7
1
Pr min{Di : i ∈ V } ≤ E [D] =
2
1
1
1
= Pr D1 ≤ E [D] ∨ D2 ≤ E [D] ∨ . . . ∨ Dn ≤ E [D]
2
2
2
n
E[D]
1
Pr Di ≤ E [D] ≤ ne− 8
≤
2
i=1
Aufgabe 3. Glühbirnen (6 Punkte)
Für n Glühbirnen ergab sich aus Dauertests eine durchschnittliche Lebensdauer von 98 Tagen.
Es wird angenommen, dass die Lebensdauern der Glühbirnen unabhängig, identisch geometrisch verteilt sind mit unbekannter Wahrscheinlichkeit p. Schätzen Sie p mit der Maximum
Likelihood Methode, indem Sie die Likelihood-Funktion aufstellen und damit den ML-Schätzwert für p durch ausführliche Rechnung bestimmen.
Lösungsvorschlag
Sei x = (x1 , x2 , . . . , xn ), wobei xi die Lebensdauer der i-ten Glühbirne bezeichne.
Likelihoodfunktion:
L(x, p) =
n
(1 − p)xi −1 · p → Max p
i=i
f (x, p) := log L(x, p) =
=
n
log((1 − p)xi −1 · p) =
i=1
n
((xi − 1) log(1 − p) + log p)
i=1
d
dp f (x, p)
= 0 notwendig für ein Maximum:
n 1
1
d
f (x, p) =
· (−1) +
(xi − 1)
dp
(1 − p)
p
i=1
n
n n − i=1 xi !
+
=0⇔
=
p
1−p
n
1
1
1
=
xi ⇒ p =
p
n
98
i=1
Mit der 2. Ableitung ist zu überprüfen, dass es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.
Aufgabe 4. Nachtwächter (8 Punkte)
Ein Nachtwächter bewegt sich in nebenstehendem Museum mit den drei
Räumen A, B und C. Bei jedem Raumwechsel wählt er einen Durchgang
unabhängig von früheren Entscheidungen gleichverteilt aus. Die Zufallsvariable Xn beschreibe den Raum, in dem sich der Wächter nach dem
n-ten Wechsel befindet.
(a) Bestimmen Sie Zustandsraum, Übergangsmatrix und Übergangsgraph der Markov-Kette {Xn }n≥0 .
(b) Begründen Sie detailliert, warum diese Markov-Kette ergodisch ist.
(c) Berechnen Sie die stationäre Verteilung.
Lösungsvorschlag
(a) Zustandsraum: Xn ∈ {A, B, C} := Z
Übergangsmatrix:

P =
0
1
3
1
3
1
2
0
2
3
1
2
2
3
0


B
A
C
1
3
A
Übergangsdiagramm:
1
3
1
2
1
2
B
2
3
2
3
C
(b) Xn ist irreduzibel, weil der Graph stark zusammenhängend ist, und aperiodisch, weil jeder
Knoten i ∈ Z auf zwei geschlossen Wegen mit teilerfremden Längen liegt.
A:
W1 = A − B − A, |W1 | = 2
W2 = A − B − C − A, |W2 | = 3
B und C analog. {Xn }n≥0 ist ergodisch.
(c) Bestimmung der stationären Verteilung durch Auflösen des LGS:


0 12 21
(πA , πB , πC ) ·  31 0 23  = (πA , πB , πC )
2
1
3
3 0
Lösung: (πA , πB , πC ) = ( 28 , 38 , 38 )
Aufgabe 5. Verkaufsabschlüsse (7 Punkte)
Ein Verkäufer war bei 900 Gesprächen 108 mal erfolgreich. Kann er aufgrund dieses Ergebnisses die Nullhypothese Höchstens 10% meiner Gespräche führen zu einem Erfolg“ auf dem
”
2, 5% Signifikanzniveau verwerfen? Begründen Sie Ihre Antwort mit Hilfe eines geeigneten
statistischen Tests. Sie können dabei annehmen, dass der Grenzwertsatz von DeMoivre eine
brauchbare Nährerung liefert.
Quantil der Standardnormalverteilung: z0,975 = 1, 9600
Lösungsvorschlag
Approximativer Binomialtest.
n = 900, h = 108, p0 = 0, 1
H0 : p ≤ p0 und H1 : p > p0
Z=
108 − 90
h − np0
=√
= 2 > z0,975
900
· 0, 1 · 0, 9
np0 (1 − p0 )
Die Hypothese kann auf einen Niveau von 2,5 % verworfen werden.
Aufgabe 6. Spam Verteilung (6 Punkte)
Die Anzahl E der Emails, die man an einem Tag erhält, sei
Poisson-verteilt mit Parameter λ. Eine Email ist mit Wahrscheinlichkeit p Spam und mit Wahrscheinlichkeit q = 1−p regulär. Zeigen Sie, dass die Anzahl S der Spam Emails Poissonverteilt ist mit Parameter pλ.
p
E
Lösungsvorschlag
Pr [S = i]
=
=
∞
Pr [ S = i | E = i + j] Pr [E = i + j]
j=0
∞ j=0
λ=λ(p+q)
=
i + j i j −λ λi+j
p q ·e
i
(i + j)!
∞
(pλ)i −pλ (qλ)j −qλ
·e
·e
·
i!
j!
j=0
1
=
⇒ S ∼ Po (pλ)
(pλ)i
i!
· e−pλ
S
q
R