¨Ubungen zur Einführung in die Algebra

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Wintersemester 2013/14
Prof. Dr. S. Schwede
PD Dr. S. Sagave
Übungen zur Einführung in die Algebra
Blatt 1∗, 17.10.2013
Aufgabe 1.1. Bestimme alle Untergruppen und Normalteiler der symmetrischen Gruppe S3 .
Aufgabe 1.2. Es seien E, I, J, K ∈ M (2 × 2; C) die folgenden Matrizen:
1 0
0 1
0 i
−i 0
E=
I=
J=
K=
0 1
−1 0
i 0
0 i
(i) Zeige, dass die Menge {E, −E, I, −I, J, −J, K, −K} zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe mit neutralem Element E ist, die sogenannte Quaternionengruppe.
(ii) Zeige, dass in dieser Gruppe II = JJ = KK = IJK = −E gilt.
(iii) Bestimme alle Untergruppen der Quaternionengruppe.
Aufgabe 1.3. Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G. Zeige:
(i) Ist H eine endliche Gruppe und ist H die einzige Untergruppe von G mit Ordnung ord H,
so ist H ein Normalteiler von G.
(ii) Ist H ein Normalteiler von G und sind ord H und (G : H) endlich und teilerfremd, so ist
H die einzige Untergruppe von G mit Ordnung ord H.
Aufgabe 1.4. Sei G eine Gruppe ungerader Ordnung mit neutralem Element e, und seien
a, b, c ∈ G. Zeige:
(i) Gilt a b a = b in G, so ist a = e.
(ii) Gilt a b c b a = c so ist a b = e.
Aufgabe 1.5. Sei G eine Gruppe und sei N ein Normalteiler von G mit N 6= G, so dass für
jede Untergruppe H von G mit N ⊆ H und H 6= G schon N = H gilt. Seien U und V zwei
nichttriviale Untergruppen von G, für die U ∩ N und V ∩ N jeweils die triviale Gruppe sind.
Zeige, dass die Gruppen U und V isomorph sind.
Beachten Sie bitte die allgemeinen Hinweise auf der folgenden Seite!
∗
Abgabe : Donnerstag 24.10.2013 in der Vorlesungspause.
Information zur Vorlesung und zum Übungsbetrieb
Übungsgruppen. Die Übungsgruppen beginnen in der zweiten Semesterwoche. Wir raten
Ihnen, die Übungen regelmäßig zu besuchen; dort werden die Übungsaufgaben besprochen und
Fragen zur Vorlesung und zu den Übungen beantwortet.
Übungsaufgaben. Jeweils donnerstags ab 12 Uhr liegt auf der Veranstaltungshomepage
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ein neues Blatt zum Herunterladen, das Sie innerhalb der darauffolgenden Woche bearbeiten
sollen. Voraussichtlich gibt es für jedes Aufgabenblatt 20 Punkte, die sich gleichmäßig auf die
Aufgaben verteilen. Donnerstags vor der Vorlesung werden Mappen im Hörsaal ausliegen, eine
für jede Übungsgruppe. Legen Sie bitte Ihre Lösungen der Aufgaben der Vorwoche in die Mappe
Ihrer Gruppe. Vergessen Sie nicht, Ihre Lösungen mit
• Ihrem Namen und Vornamen,
• der Nummer Ihrer Übungsgruppe und dem Namen des Übungsgruppenleiters
zu beschriften und geben Sie Ihre Lösungen pünktlich zum angegebenen Termin ab. Es dürfen
bis zu drei Teilnehmer aus derselben Übungsgruppe gemeinsam abgeben. Die Lösungen werden
dann von Ihrem Übungsgruppenleiter korrigiert und in der Übungsgruppe zurückgegeben.
Klausur. Klausurtermin für die Einführung in die Algebra ist der 06.02.2014. Die Nachklausur
findet am 18.03.2014 statt.
Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!
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Wintersemester 2013/14
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PD Dr. S. Sagave
Übungen zur Einführung in die Algebra
Blatt 2∗, 24.10.2013
Definition. Ist G eine Gruppe und sind X und Y zwei G-Mengen, so ist eine G-Abbildung
f : X → Y eine Abbildung von Mengen, für die f (gx) = gf (x) für alle g ∈ G und x ∈ X gilt.
Aufgabe 2.1. Sei G eine Gruppe, H eine Untergruppe und X eine H-Menge. Die Aktion
H × (G × X) → G × X,
(h, (g, x)) 7→ (gh−1 , hx)
macht G × X zu einer H-Menge, deren Menge von Bahnen wir mit X 0 bezeichnen.
Definiere eine G-Aktion auf X 0 sowie eine H-Abbildung Φ : X → X 0 , so dass f 7→ f ◦ Φ
eine Bijektion zwischen der Menge der G-Abbildungen von X 0 nach Y und der Menge HAbbildungen von X nach Y definiert.
Aufgabe 2.2. Sei G eine nicht-triviale endliche Gruppe und p der kleinste Primteiler der
Ordnung von G. Zeige: Ist die Anzahl der Konjugationsklassen in G echt größer als ordp G , so
hat das Zentrum von G mindestens 2 Elemente.
Definition. Ist G eine Gruppe und X eine G-Menge, so heißt ein x ∈ X Fixpunkt von G, falls
gx = x für alle g ∈ G gilt.
Aufgabe 2.3. Zeige: Jede Operation einer Gruppe mit 77 Elementen auf einer Menge mit 17
Elementen hat mindestens 3 Fixpunkte.
Aufgabe 2.4. Sei p eine Primzahl und sei G eine Gruppe der Ordnung pk für eine natürliche
Zahl k ≥ 1.
(i) Sei X eine endliche G-Menge. Zeige: Die Anzahl der Fixpunkte der Gruppenoperation
und die Anzahl der Elemente von X sind kongruent modulo p.
(ii) Sei N ein Normalteiler von G. Zeige: Der Durchschnitt von N und dem Zentrum von G
besteht nicht nur aus dem neutralem Element von G.
Aufgabe 2.5. Sei p ein Primzahl und G eine Gruppe der Ordnung p3 , die nicht abelsch ist.
Zeige, dass das Zentrum von G die Ordnung p hat.
∗
Abgabe : Donnerstag 31.10.2013 in der Vorlesungspause.
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Übungen zur Einführung in die Algebra
Blatt 3∗, 31.10.2013
Aufgabe 3.1. Bestimme das Zentrum der symmetrischen Gruppe Sn für n ≥ 1.
Aufgabe 3.2. Zeige: Jede Gruppe der Ordnung 5929 = 112 · 72 ist abelsch.
Aufgabe 3.3. Sei G eine endliche Gruppe.
(i) Zeige: Ist H ⊂ G eine nichttrivale Untergruppe von G und ord G kein Teiler von (G : H)! ,
so enthält H einen nichttrivalen Normalteiler von G.
(ii) Ist ord G = pk m für eine zu m teilerfremde Primzahl p mit p > m, so hat G einen
nichttrivialen Normalteiler.
Aufgabe 3.4. Sei G eine endliche Gruppe, sei H ⊂ G eine Untergruppe von G und sei p eine
Primzahl. Zeige:
(i) Ist S ⊂ H eine p-Sylow-Gruppe von H, so gibt es eine p-Sylow-Gruppe T ⊂ G von G mit
S = T ∩ H.
(ii) Enthält G eine normale p-Sylow-Gruppe, so enthält auch H eine normale p-Sylow-Gruppe.
(iii) Ist H ⊂ G ein Normalteiler und T ⊂ G eine p-Sylow-Gruppe von G, so ist T ∩ H eine
p-Sylow-Gruppe von H.
Aufgabe 3.5. Sei G eine Gruppe der Ordnung 132. Zeige, dass G für mindestens einen Primteiler p der Gruppenordnung eine normale p-Sylow-Gruppe enthält.
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Abgabe : Donnerstag 07.11.2013 in der Vorlesungspause.
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Übungen zur Einführung in die Algebra
Blatt 4∗, 07.11.2013
Aufgabe 4.1. Zeige, dass jede Gruppe der Ordnung 8 zu genau einer der folgenden fünf
Gruppen isomorph ist:
Z/8Z,
Z/4Z × Z/2Z,
(Z/2Z)3 ,
der Quaternionengruppe (aus Aufgabe 1.2) oder
der Diedergruppe D4
Aufgabe 4.2. (i) Es seien π = (x1 , . . . , xr ) und τ = (y1 , . . . , ys ) zwei fremde Zykeln in Sn .
Bestimme die Ordnung von π, τ und π ◦ τ .
(ii) Berechne
2013
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
4 1 10 11 8 9 7 2 3 6 5
Aufgabe 4.3. Sei ϕ : Sn → Sn ein Automorphismus der symmetrischen Gruppe Sn , der
Transpositionen auf Transpositionen abbildet. Zeige, dass ϕ ein innerer Automorphismus ist,
also durch Konjugation mit einem Element π ∈ Sn gegeben ist.
Aufgabe 4.4. Sei G eine Gruppe. Für ein n ∈ N sei Gn = {g ∈ G | g n ∈ [G, G]}. Zeige, dass
diese Teilmenge von G ein Normalteiler von G ist.
Aufgabe 4.5. Sei G eine endliche Gruppe mit der Eigenschaft, dass die Kommutatorgruppe
[G, G] von G die Ordnung 2 hat. Zeige, dass der Index (G : [G, G]) eine gerade Zahl ist. (Hinweis:
Beweise zunächst, dass unter dieser Voraussetzung für jedes g ∈ G das Element g 2 im Zentrum
von G liegt.)
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Abgabe : Donnerstag 14.11.2013 in der Vorlesungspause.
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Übungen zur Einführung in die Algebra
Blatt 5∗, 14.11.2013
Aufgabe 5.1. Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G.
(i) Zeige, dass für jedes Element x ∈ NH des Normalisators von H die Teilmenge
hxiH = {gh | g ∈ hxi, h ∈ H}
eine Untergruppe von G ist.
(ii) Sei H eine maximale auflösbare Untergruppe von G, also eine auflösbare Untergruppe von
G, so dass keine auflösbare Untergruppe H 0 ⊆ G existiert, die H als echte Untergruppe
enthält. Zeige, dass dann NH = H gilt.
Definition. Eine Gruppe G heißt einfach, falls G 6= {e} gilt und die Untergruppen G und {e}
die einzigen Normalteiler von G sind.
Aufgabe 5.2. Sei n ≥ 2 eine natürliche Zahl und sei H eine Untergruppe der symmetrischen
Gruppe Sn . Zeige:
(i) Enthält H eine ungerade Permutation, so hat H ∩ An den Index 2 in H.
(ii) Ist H eine einfache Gruppe und gilt ord H > 2, so ist H in An enthalten.
Aufgabe 5.3. Sei R ein kommutativer Ring mit mindestens zwei Elementen, der keine Nullteiler hat. Es gelte, dass jede echte Teilmenge von R, die das Nullelement enthält und mit der
induzierten Addition und Multiplikation einen Ring ohne Einselement bildet, endlich ist und
das Einselement von R enthält. Zeige, dass R unter diesen Voraussetzungen ein Körper ist.
Aufgabe 5.4. Sei R ein Ring mit mindestens zwei Elementen, in dem a2 = a für alle a ∈ R
gilt. Zeige:
(i) Der Ring R ist kommutativ.
(ii) Es gilt 2a = 0 für alle a ∈ R.
(iii) Hat R keine Nullteiler, so ist R isomorph zu Z/2Z.
Aufgabe 5.5. Sei R ein Integritätsring, sei a ein Ideal von R und sei b das von a im Polynomring
R[X] erzeugte Ideal. Zeige:
P
(i) b = {f ∈ R[X] | f = ni=0 ai X i mit n ≥ 0 und ai ∈ a für alle i}
(ii) Der Faktorring R[X]/b ist isomorph zum Polynomring (R/a)[X].
Ein Hinweis der Fachschaft Mathematik: Die Fachschaft Mathematik feiert am 28.11.
ihre Matheparty im Carpe Noctem. Der VVK findet am Mo. 25.11., Di. 26.11. und Mi. 27.11.
in der Mensa Poppelsdorf statt. Alle weiteren Infos auch auf unserer Internetseite.
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Abgabe : Donnerstag 21.11.2013 in der Vorlesungspause.
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PD Dr. S. Sagave
Übungen zur Einführung in die Algebra
Blatt 6∗, 21.11.2013
Aufgabe 6.1. Sei R ein kommutativer Ring, der die folgende Eigenschaft hat: Es existiert eine
natürliche Zahl n > 1, so dass für jedes Element a ∈ R die Gleichung an = a gilt. Zeige, dass
in R jedes Primideal maximal ist.
Aufgabe 6.2. Sei ϕ : R → S ein surjektiver Ringhomomorphismus von nicht notwendig kommutativen Ringen, so dass für jedes Element a ∈ ker ϕ eine natürliche Zahl n ≥ 1 mit der
Eigenschaft an = 0 existiert. Zeige:
(i) Die Menge 1 + ker ϕ = {1 + a|a ∈ ker ϕ} ist ein Normalteiler der Einheitengruppe R∗
von R.
(ii) Der Ringhomomorphismus ϕ induziert einen Isomorphismus von Gruppen
R∗ /(1 + ker ϕ) ∼
= S ∗.
Bemerkung. Für die folgenden beiden Aufgaben können Sie ohne Beweis den folgenden Satz
annehmen: Ist R ein kommutativer Ring, so ist jedes Ideal a ⊂ R mit a 6= R in einem maximalen
Ideal von R enthalten. (Diese Aussage kann man leicht aus dem am Ende der Linearen Algebra II
bewiesenen Zornschen Lemma herleiten.)
Aufgabe 6.3. Sei R ein kommutativer Ring. Zeige:
(i) Ist a ∈ R keine Einheit, so gibt es ein maximales Ideal m in R mit a ∈ m.
(ii) Ein Element a ∈ R liegt genau dann in jedem maximalen Ideal von R, wenn für jedes
b ∈ R das Element 1 − ab eine Einheit ist.
Aufgabe 6.4. Sei R ein Integritätsring mit unendlich vielen Elementen, in dem es nur endlich
viele Einheiten gibt. Zeige, dass R unendlich viele verschiedene maximale Ideale enthält.
Aufgabe 6.5. Bestimme einen größten gemeinsamen Teiler der Elemente 2 − i und 2 + i sowie
einen größten gemeinsamen Teiler der Elemente 5 + 3i und 18 + 8i im Ring Z[i].
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Abgabe : Donnerstag 28.11.2013 in der Vorlesungspause.
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Übungen zur Einführung in die Algebra
Blatt 7∗, 28.11.2013
Aufgabe 7.1. Sei n eine positive natürliche Zahl, nicht√vom Quadrat
√ einer Primzahl geteilt
wird. Bestimme alle invertierbaren Elemente im Ring Z[ −n] = Z + −nZ ⊂ C.
√
√
Aufgabe 7.2. Bestimme alle Teiler von 21 im Ring Z[ −5] = Z + −5Z ⊂ C.
Definition. Ein Element a eines Rings heißt nilpotent, falls an = 0 für ein n ∈ N gilt.
Aufgabe 7.3. Sei R ein kommutativer Ring. Zeige: Ein Polynom f = an X n + · · · + a0 ∈ R[X]
ist genau dann invertierbar, wenn a0 in R invertierbar ist und die Koeffizienten ai für 1 ≤ i ≤ n
nilpotent sind.
Definition. Sei R ein kommutativer Ring. Die Menge RN aller Abbildungen von N nach R
hat eine Ringstruktur, welche die Addition und Multiplikation des Polynomrings R[X] = R(N)
fortsetzt. Wir schreiben RJxK = RN , nennen RJxK den Ring der formalen Potenzreihen
in einer
P
i
a
Variable X über R und schreiben die Elemente von RJxK als unendliche Reihen ∞
i=0 i X .
Aufgabe 7.4. Zeige:
(i) Der Ring der formalen Potenzreihen RJxK ist genau dann ein Integritätsring, wenn R es
ist.
P
i
(ii) Eine formale Potenzreihe ∞
i=0 ai X ∈ RJxK ist genau dann invertierbar, wenn der Koeffizient a0 in R invertierbar ist.
(iii) Das Polynom f = X 2 + 3X + 2 ist irreduzibel als Element des Rings der formalen Potenzreihen ZJxK, nicht aber als Element des Polynomrings Z[X].
Aufgabe 7.5. Sei K ein Körper. Bestimme alle Ideale des Rings KJxK und entscheide, ob
KJxK ein Hauptidealring ist.
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Abgabe : Donnerstag 05.12.2013 in der Vorlesungspause.
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Blatt 8∗, 05.12.2013
Aufgabe 8.1. Sei R ein kommutativer Ring und sei S ⊆ R eine Teilmenge, die bezüglich der
Ringmultiplikation ein Untermonoid ist. (Es gilt also 1 ∈ S und s s0 ∈ S für Elemente s, s0 ∈ S.)
Auf der Menge R × S betrachten wir die durch
(r, s) ∼ (r0 , s0 ) ⇐⇒ es gibt ein t ∈ S mit r s0 t = r0 s t
definierte Relation.
(i) Zeige, dass die Relation ∼ eine Äquivalenzrelation ist.
(ii) Es bezeichne R[S −1 ] die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich ∼ und rs die Äquivalenzklasse eines Elements (r, s). Zeige, dass die durch
rs0 + r0 s
r r0
r r0
r r0
+ =
und
= 0
s s0
s s0
s s0
ss
definierten Verknüpfungen wohldefiniert sind und R[S −1 ] zu einem kommutativen Ring
mit Nullelement 01 und Einselement 11 machen.
(iii) Zeige, dass ϕ : R → R[S −1 ], r 7→ 1r einen Ringhomomorphismus mit der folgenden universellen Eigenschaft definiert: Für jeden Homomorphismus kommutativer Ringe ψ : R → R0
mit der Eigenschaft ψ(S) ⊆ (R0 )∗ existiert ein eindeutig bestimmter Ringhomomorphismus ψS : R[S −1 ] → R0 mit ψS ◦ ϕ = ψ. Ist ϕ immer injektiv?
Aufgabe 8.2. Es bezeichne P ⊂ N die Menge aller Primzahlen. Zu einer Teilmenge T ⊆ P
sei S(T ) die durch S(T ) = {n ∈ Z | n hat keine Teiler aus T } definierte Teilmenge von Z. Sei
ψ : Z → Q der kanonische Ringhomomorphismus. Zeige, dass S(T ) ⊂ Z ein Untermonoid ist und
dass die Abbildung T 7→ im(ψS(T ) : Z[S(T )−1 ] → Q) eine Bijektion zwischen der Potenzmenge
von P und der Menge von Unterringen von Q definiert.
Aufgabe 8.3. Sei R ein kommutativer Ring und sei S ⊆ R eine Teilmenge, die bezüglich der
Ringmultiplikation ein Untermonoid ist. Zeige: Ist R noethersch, so ist auch R[S −1 ] noethersch.
Aufgabe 8.4. Überprüfe, ob die folgenden Ideale in den Ringen Z[X1 , X2 ] oder Q[X1 , X2 ]
Primideale oder maximale Ideale sind:
(i) (X1 , X2 )
(ii) (X1 + X2 )
(iii) (X1 , X2 , 2)
(iv) (X1 + X22 , X12 + X2 )
Aufgabe 8.5. Zeige, dass die folgenden Polynome im Ring Q[X] irreduzibel sind:
(i) X 3 − 2
(ii) X 3 + 39X 2 − 4X + 8
(iii) X 6 + X 3 + 1
(iv) X 7 + 21X 5 + 35X 2 + 34X − 8
∗
Abgabe : Donnerstag 12.12.2013 in der Vorlesungspause.
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Übungen zur Einführung in die Algebra
Blatt 9∗, 12.12.2013
Aufgabe 9.1. Zeige, dass die unterliegende additive Gruppe des Körpers der rationalen Zahlen
Q torsionsfrei, aber nicht endlich erzeugt und auch nicht frei als Z-Modul ist.
Definition. Sei R ein Ring. Eine Folge von R-Modulhomomorphismen
M →N →P
heißt exakt, wenn im(M → N ) = ker(N → P ) gilt. Eine kurze exakte Folge ist eine Folge von
R-Modulhomomorphismen
0 → M → N → P → 0,
die an jeder Stelle exakt ist. Dies bedeutet also, dass M → N injektiv ist, im(M → N ) =
ker(N → P ) gilt und N → P surjektiv ist.
Aufgabe 9.2. Sei R ein kommutativer Ring und sei S ⊆ R eine Teilmenge, die bezüglich der
Ringmultiplikation ein Untermonoid ist.
(i) Sei M ein R-Modul. Betrachte die Äquivalenzrelation
(m, s) ∼ (m0 , s0 ) ⇐⇒ es gibt ein t ∈ S mit t s0 m = t s m0
auf M × S. Wie bei R[S −1 ] bezeichne ms die Äquivalenzklasse von (m, s). Zeige, dass die
Menge M [S −1 ] der Äquivalenzklassen ein R[S −1 ]-Modul mit Verknüpfungen
m m0
s0 m + sm0
r m
rm
+ 0 =
und
=
0
0
s
s
ss
s s
s s0
ist.
(ii) Bezüglich der Multiplikation
m
rm
=
r·
s
s
können wir M [S −1 ] als R-Modul auffassen. Zeige, dass der R-Modulhomomorphismus
m
ϕ : M → M [S −1 ], m 7→
1
die folgende universelle Eigenschaft hat:
Sei ϕ0 : M → N ein R-Modulhomomorphismus in einen R-Modul N mit der Eigenschaft,
dass für jedes s ∈ S die Abbildung n 7→ s n bijektiv N ist. Dann existiert ein eindeutig
bestimmter R-Modulhomomorphismus ψ : M [S −1 ] → N mit ψ ◦ ϕ = ϕ0 .
(iii) Zeige, dass eine exakte Folge von R-Moduln
M →N →P
eine exakte Folge von R[S −1 ]-Moduln
M [S −1 ] → N [S −1 ] → P [S −1 ]
induziert.
∗
Abgabe : Donnerstag 19.12.2013 in der Vorlesungspause.
Aufgabe 9.3. Sei A ein Hauptidealring und sei
0→M →N →P →0
eine kurze exakte Folge von A-Modulhomomorphismen. Zeige, dass die Längen der beteiligten
Moduln die Gleichung lA (N ) = lA (M ) + lA (P ) erfüllen.
Aufgabe 9.4. Sei R ein Integritätsring und sei S ⊆ R \ {0} eine Teilmenge, die bezüglich der
Ringmultiplikation ein Untermonoid ist. Zeige, dass für jeden R-Modul M der Rang von M
mit dem Rang des R[S −1 ]-Moduls M [S −1 ] übereinstimmt.
Aufgabe 9.5. Sei R ein Integritätsring.
(i) Sei I eine Menge und sei (Mi )i∈I
Leine Familie von R-Moduln. Zeige, dass der Torsionsuntermodul der direkten Summe i∈I Mi isomorph zur direkten Summe der Torsionsuntermoduln der Mi ist.
(ii) Zeige anhand eines Beispiels, dass der Torsionsuntermodul eines Produkts von R-Moduln
im allgemeinen nicht isomorph zum Produkt der Torsionsuntermoduln ist.
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Übungen zur Einführung in die Algebra
Blatt 10∗, 19.12.2013
Aufgabe 10.1. Sei A ein Hauptidealring, sei p ∈ A ein Primelement und sei M ein A-Modul mit
der Eigenschaft, dass es zu jedem m ∈ M eine natürliche Zahl n mit pn m = 0 gibt. Weiterhin
sei α1 | α2 | . . . | αk die bis auf Assoziertheit eindeutig bestimmte Folge von Elementarteilern
von M . Zeige:
(i) Die A-Modulstruktur von M induziert eine A/(p)-Modulstruktur auf
M (p) = {m ∈ M | p m = 0}.
(Da A/(p) ein Körper ist, können wir M (p) also als A/(p)-Vektorraum ansehen.)
(ii) Die Dimension des A/(p)-Vektorraums M (p) stimmt mit der Anzahl k der Elementarteiler
von M überein.
Aufgabe 10.2. Bestimme die Anzahl der Isomorphieklassen von abelsche Gruppen mit der
Ordnung 15625, in denen es genau 124 Elemente der Ordnung 5 gibt.
Aufgabe 10.3. Sei p eine Primzahl, sei n eine natürliche Zahl, sei K ein Körper mit pn
Elementen und sei σ : K → K, a 7→ ap der Frobenius-Homomorphismus.
(i) Zeige: Unter diesen Voraussetzungen ist σ ein Automorphismus.
(ii) Bestimme die Ordnung von σ als Element der Automorphismengruppe von K.
Aufgabe 10.4. Finde ein Polynom f ∈ Q[X] vom Grad 3, so dass Q[X]/(f ) ein Körper ist
und R[X]/(f ) kein Körper ist.
Aufgabe 10.5. Sei K ⊆ L eine Körpererweiterung und seien α, β ∈ L algebraisch über K mit
m = [K(α) : K] und n = [K(β) : K]. Es bezeichne K(α, β) den kleinsten Teilkörper von L, der
α und β enthält. Zeige:
(i) Es gilt [K(α, β) : K] ≤ m n
(ii) Falls m und n teilerfremd sind, gilt [K(α, β) : K] = m n.
∗
Abgabe : Donnerstag 09.01.2014 in der Vorlesungspause.
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Übungen zur Einführung in die Algebra
Blatt 11∗, 09.01.2014
Aufgabe 11.1. Bestimme das Minimalpolynom von
√
3 + i über Q.
Aufgabe 11.2. Sei x ∈ C eine Nullstelle des Polynoms f = X 3 − 6X 2 + 9X + 3 in Q[X]. Zeige,
1
dass 1, x, x2 eine Q-Basis von Q(x) bildet und schreibe die Elemente x5 , 3x4 − 2x3 + 1 und x+2
als Linearkombinationen bezüglich dieser Basis.
Aufgabe 11.3. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass K unendlich viele
Elemente hat.
Aufgabe 11.4. Es seien a, b ∈ Q rationale Zahlen für die f = X 2 +a und g = X 2 +b irreduzibel
über Q sind. Zeige: Die Zerfällungskörper von f und g sind genau dann isomorph, wenn ab ein
Quadrat in Q ist.
Aufgabe 11.5. Seien a, b ∈ Q rationale Zahlen für die f = X 3 + aX + b in Q[X] irreduzibel
ist. Gib mit Hilfe von a und b eine hinreichende und notwendige Bedingung dafür an, dass der
Zerfällungskörper von f über Q den Grad 3 hat.
∗
Abgabe : Donnerstag 16.01.2014 in der Vorlesungspause.
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Wintersemester 2013/14
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Übungen zur Einführung in die Algebra
Blatt 12∗, 16.01.2014
Aufgabe 12.1. Bestimme ein Polynom f ∈ Q[X] vom Grad 4 mit Nullstellen α1 , . . . , α4 ∈ C,
so dass die Körper Q(α1 , α2 ) und Q(α1 , α3 ) nicht isomorph sind.
Aufgabe 12.2. Es seien α1 , α2 , α3 ∈ C Nullstellen des Polynoms f = X 3 + X + 1 ∈ Q[X].
Zeige, dass Q( αα12 ) ein Zerfällungskörper von f ist und bestimme das Minimalpolynom von αα21
über Q und über Q(α1 ).
Aufgabe 12.3. Sei p eine Primzahl, sei q = pn für eine natürliche Zahl n und sei f ∈ Fp [X]
ein irreduzibles Polynom. Zeige, dass f genau dann das Polynom X q − X teilt, wenn gradf die
Zahl n teilt.
Aufgabe 12.4. Sei p eine Primzahl. Für natürliche Zahlen d und n sei
Irr(d, p) = {f ∈ Fp [X] | f ist irreduzibel, normiert und es gilt gradf = d}.
(i) Zeige:
n
Xp − X =
Y
Y
f
d|n f ∈Irr(d,p)
(ii) Bestimme die Anzahl der Elemente von Irr(1, p), Irr(2, p) und Irr(3, p).
Aufgabe 12.5. Sei K ⊂ L eine endliche normale Körpererweiterung, sei f ∈ K[X] ein Polynom und sei M ein Zerfällungskörper von f über L. Zeige, dass dann K ⊂ M eine normale
Körpererweiterung ist.
Beachten Sie bitte die Hinweise zur Klausur auf der folgenden Seite!
∗
Abgabe : Donnerstag 23.01.2014 in der Vorlesungspause.
Hinweise zur Klausur am 6. Februar 2014
• Über die Zulassung zur Klausur informiert das Bachelor-Master-Büro durch Aushang.
• Die Klausur findet am 6. Februar 2014 im Großen Hörsaal, Weglerstr. 10 und im
Lipschitz-Saal (Raum 1.016), Endenicher Allee 60 statt. Die Aufteilung auf die Hörsäle
wird auf der Veranstaltungshomepage bekannt gegeben. Die Klausur beginnt um 10:15
und dauert 90 Minuten. Bitte finden Sie sich 10 Minuten vor Beginn der Klausur vor
Ort ein, damit Sie den für Sie bestimmten Sitzplatz rechtzeitig finden.
• Mitzubringen sind Stifte (blau oder schwarz, kein Bleistift) und der Personalausweis
oder Reisepass. Jacken und Taschen dürfen nicht mit an den Sitzplatz genommen
werden. Sie können diese im Tafelbereich ablegen und dort nach Ende der Klausur
abholen.
• Hilfsmittel sind nicht zugelassen. Insbesondere sollten Sie also keine Lehrbücher,
Vorlesungsmitschriften, Notizen, Taschenrechner oder Mobiltelefone mitbringen. Das
Mitführen eines nicht zugelassenen Gegenstands gilt als Betrugsversuch, unabhängig
davon, ob dieser benutzt wurde oder nicht. Bitte bringen Sie kein eigenes Papier mit,
Sie bekommen von uns Papier gestellt.
• Die Klausureinsicht findet am 07.02. um 9:00 Uhr im Zeichensaal in der Weglerstr.
10 statt.
• Die Klausurergebnisse werden vom Bachelor-Master-Büro durch Aushang bekannt
gegeben.
• Diese Regeln gelten sinngemäß auch für die Nachklausur. Diese findet am 18.03.2014
im Großen Hörsaal (Weglerstr. 10) statt.