Formelsammlung PH

Florian Bergner, 24.07.2009
Formelsammlung PH
I. Mechanik
1. Kinematik
1.1 Bewegungen in einer Dimension
Geschwindigkeit:
Beschleunigung:
dx
= xɺ
dt
dv
d2x
a=
= vɺ = 2 = ɺɺ
x
dt
dt
v=
Gleichförmige Bewegung:
x(t) = x 0 + v 0 ⋅ t
x = ∫ v(t) dt
v = ∫ a(t) dt
falls
a = 0, v = v 0
Gleichförmig beschleunigte Bewegung:
v(t) = a 0 t + v 0
x(t) =
1 2
a 0 t + v0 t + x 0
2
falls a
= a0
Freier Fall:
1
z(t) = − g t 2 + z 0
2
v(t) = −g t
falls
v0 = 0
1.2 Überlagerung von Bewegungen in 2 und 3 Dimensionen
Bewegungen in die einzelnen Raumrichtungen erfolgen immer unabhängig von einander
 x(t) 


r(t) =  y(t) 
 z(t) 


ɺ 
 x(t)
ɺ
ɺ 
v(t) = r(t) =  y(t)

 z(t)

ɺ


x(t) 
 ɺɺ
ɺɺ
 ɺɺ 
a(t) = r(t) =  y(t) 
 ɺɺz(t) 


Betrag eines Vektors:
v = v 2x + v 2y + v 2z
Winkel zwischen Vektoren:
v1 ⋅ v 2
cos(∡ (v1 , v 2 )) = v1 v 2
1
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1.3 Kreisbewegung
Länge eines Kreisbogens:
s = r ⋅ϕ
Winkelgeschwindigkeit:
ω=
Zentripetalbeschleunigung:
v2
a =
= ω r2
r
dϕ
dt
v =ωr
Allgemein krummlinige Bewegungen:
dv a=
= ar + az
dt
a r : ändert v
a z : ändert Richtung von v
2. Die Newtonschen Axiome und Kräfte in der Mechanik
2.1 Die Newtonschen Axiome
1. Axiom (Trägheitsprinzip):
∑F = 0
i
⇒ p = konst.
p = mt v
i
[ p] =
kg m
s
2. Axiom (Grundsatz der Dynamik, Aktionsprinzip):
d p=F
dt
[F ] =
kg m
=N
s2
d dv
F = p = mt
= mt a
dt
dt
d d
F = mt v + v mt
dt
dt
für
mt = konst.
für
mt ≠ konst.
3. Axiom (Reaktionsprinzip, actio = reactio):
F12 = − F21
2.2 Die Gravitationskraft
mm F12 = −G 1 2 2 ⋅ rˆ
r
m3
G = 6,67 ⋅10−11
kg s 2
r̂ : Einheitsvektor
2
G : Gravitationskonstante
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Spezialfall Gewichtskraft:
FG = ms g
g : Erdbeschleunigung
ms : schwere Masse
g = 9,81
ms
= konst. = 1
mt
2.3 Elastische Kräfte
[k ] =
Fx = k ( x − x0 ) = k ∆x
Hookesches Gesetz:
kg
s2
2.4 Dissipative Kräfte (Reibungskräfte)
Haftreibungskraft:
FH = µ H FN
Gleitreibungskraft:
FG = µG FN
2.5 Trägheitskräfte (Scheinkräfte)
F = − ma0
v2
FZ = m = mω 2 r
r
Trägheitskraft:
Zentrifugalkraft:
3. Arbeit, Leistung, Energie
3.1 Arbeit
dW = F dr
r2
⇒ W12 = ∫ F (r ) dr
r1
[W ] = Nm =
kg m 2
=J
s2
W > 0 : Körper wird Arbeit zugeführt
W < 0 : Körper verrichtet Arbeit
Konservative Kräfte:
Hubarbeit:
F
∫ (r )dr = 0
W (h) = mgh
1
2
k ( x − x0 )
2
1 2 p2
Beschleunigungsarbeit: W = mv =
2
2m
Spannarbeit:
W ( x) =
3
bzw.
rot F (r ) = 0
(
)
m
s2
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3.2 Leistung
P=
dW = F ⋅v
dt
[ P] =
J kg m 2
= 3 =W
s
s
1 PS = 735W
3.3 Energie
Potentielle Energie:
EPot (r2 ) − EPot (r1 ) = W12
Kinetische Energie:
1
Ekin = mv 2
2
3.4 Energieerhaltungssatz der Mechanik
E pot (r ) + Ekin (r ) = E = konst.
wenn keine dissipativen Kräfte wirken
4. Teilchensysteme und Impulserhaltung
4.1 Massenschwerpunkt und Bewegung des Schwerpunkts
Massenschwerpunkt:
ausgedehnte Körper:
Rs =
∑m r
i i
i
mg
mg = ∑ mi
i
mg Rs = ∫ r dm = ∫ ρ (r )r dV
V
Schwerpunktsbewegung:
mit
V
ρ (r ) =
dm
dV
ɺɺ
Fges = ∑ Fi = mg Rs
i
4.2 Impulserhaltung
Für ein abgeschlossenes System mit
ɺ
dp
Fext = ges = 0 gilt: pges = m Rs = ∑ mi vi = konst.
dt
i
4
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4.3 Elastische Stöße
∫
Kraftstoß:
te
ta
F (t )dt = ∆p
∑m v
Impulserhaltung (IES):
i i ,a
= ∑ mi vi ,e
i
i
1
∑2mv
Energieerhaltung (EES):
2
i i ,a
i
Zentraler Stoß:
ve1 =
1
+ E pot ,a = ∑ mi vi2,e + E pot ,e
i 2
(m1 − m2 )va1 + 2m2va2
ve2 =
m1 + m2
Zentraler Stoß auf ruhendes Teilchen:
ve2 =
(m2 − m2 )va2 + 2m1va1
m1 + m2
2m1
va
m1 + m2 1
Nichtzentraler Stoß:
Abhängig von Randbedingungen, aufstellen des EES und des IES mit Hilfe des seitlichen
Versatzes
5. Drehbewegungen
5.1 Drehmoment
M = r⊥ F
M = r×F
Rechte-Hand-Regel:
U:
Bahngeschwindigkeit:
r
[ M ] = Nm
V:
F
W:
M
v =ω×r
ω || M || Drehachse
Richtung von w bzw. M gibt Drehrichtung an (Faust-Regel, Finger zeigen in Drehrichtung)
M ges = ∑ M i
i
Gilt M ges = 0 im Schwerpunkt, so rotiert der Körper nicht
M = ∫ r × g dm = 0
Allgemeine Definition des Schwerpunkts:
V
5
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5.2 Rotationsenergie und Trägheitsmoment
Trägheitsmomente:
J = ∑ mi ri⊥2
Teilchensystem:
r⊥ : senkrechter Abstand zur Drehachse
i
J = ∫ r⊥2 dm = ∫ r⊥2 ρ dV
Starrer Körper:
V
Satz von Steiner:
V
J = mg R 2
Hohlzylinder:
ρ=
dm
dV
Vollzylinder:
J=
mg
2
R2
J A = J S + mg d 2
J A : Trägheitsmoment in Bezug auf beliebige Achse A
J S : Trägheitsmoment durch RS mit paralleler Achse zu A
d : Abstand beider Achsen
5.3 Drehimpuls und Drehimpulserhaltung
Drehimpuls:
L = r × p = mr × v = J ω
Winkelbeschleunigung:
Impulserhaltung:
M =α ⋅J
dL =M =0
dt
[ L ] = Js
α : Winkelbeschleunigung
⇒ L = konst.
Übersicht zwischen Translation und Rotation:
Translation
Rotation
Drehwinkel:
ϕ
Winkelgeschwindigkeit:
ω=
m
Trägheitsmoment:
J
Impuls:
p = mv
Drehimpuls:
L = Jω
Kraft:
F
Drehmoment:
Länge:
x
Geschwindigkeit:
v=
Masse:
dx
dt
Gesetz:
dp
F=
dt
kinetische Energie:
Ekin =
Gesetz:
mv 2
2
Rotationsenergie:
6
dϕ
dt
M = r×F
dL
M=
dt
Erot =
Jω 2
2
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II. Schwingung und Wellen
1. Schwingungen
1.1 Der Harmonische Oszillator
Bewegungsgleichung:
ɺɺ
x + ω2x = 0
ω2 =
FR : rücktreibende Kraft
rücktreibende Kraft
Einheitslänge ⋅ Einheitsmassse
ω2 =
Masse an Feder:
FB + FR = 0
x(t ) = A cos(ωt + ϕ )
Lösung der Differentialgleichung:
Kreisfrequenz:
oder
k
m
ω2 =
Mathematisches Pendel:
1
ω
2π
2π
Frequenz:
ν=
Energie:
E ges = E pot + Ekin
Eges ∝ A2
E pot = Eges cos 2 (ω t + ϕ )
Ekin = Eges sin 2 (ω t + ϕ )
Periode:
T=
g
l
ω
∝ : direkt proportional
1.2 Der gedämpfte harmonische Oszillator
Bewegungsgleichung:
ɺɺ
x + 2γ xɺ + ω02 x = 0
FB + Fr + FR = 0
Masse an Feder:
oder
Fr : reibende Kraft
b
2m
γ=
ω02 =
b : Reibungskonstante
k
m
Lösung der Differentialgleichung:
x(t ) = e−γ t Ce

γ 2 −ω02 ⋅t
+ C *e
− γ 2 −ω02 ⋅t


C = a + bi
Unterscheidung von drei Fällen:
1. Fall (schwache Dämpfung):
x(t ) = Ae −γ t cos(ω t + ϕ )
γ < ω0
mit
1.0
ω = ω02 − γ 2
0.5
0.5
7
- 0.5
1.0
1.5
2.0
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γ > ω0
2. Fall (starke Dämpfung, Kriechfall):
0.15
x(0) = 0 und xɺ (0) = v0 :
spezielle Lösung für
0.10
x(t ) =
v0
α
e −γ t sinh(α t )
mit
α = γ 2 − ω02
0.05
1.0
γ = ω0
3. Fall (aperiodischer Grenzfall):
0.4
0.6
0.8
1.0
0.8
x(0) = C und xɺ (0) = 0 :
spezielle Lösung für
0.2
0.6
0.4
x(t ) = Ce (1 + γ t )
−γ t
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.3 Erzwungene Schwingungen
ɺɺ
x + 2γ xɺ + ω02 x = K cos(ωt )
Bewegungsgleichung:
oder
FB + Fr + FR = F (t )
F (t ) = F0 cos(ω t ) : treibende Kraft
Masse an Feder:
γ=
b
2m
ω02 =
k
m
K=
F0
m
Lösung der Differentialgleichung (eingeschwungener Zustand):
ω : Frequenz des Erregers
x(t ) = A cos(ωt + δ )
δ
: Phasenverschiebung zwischen Auslenkung und treibender Kraft
A(ω ) =
F0
m (ω − ω ) + (2γω )
2
0
2 2
2γω

 arctan(− ω 2 − ω 2 )

0
δ =
−π + arctan(− 2γω )

ω02 − ω 2
tan(δ ) = −
2
für ω < ω0
für ω > ω0
d Hw L
AHwL
0.06
w
5
0.05
2γω
ω −ω2
2
0
ω0 = 0
γ / ω0 = 0,1
10
15
20
- 0.5
0.04
- 1.0
0.03
- 1.5
0.02
- 2.0
γ / ω0 = 1
- 2.5
γ / ω0 = 0,3
- 3.0
γ / ω0 = 0,1
ω0 = 0
γ / ω0 = 0,3
0.01
γ / ω0 = 1
w
0
5
10
15
20
8
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Grenzwertbetrachtungen:
1. Fall (Rückstellterm überwiegt):
ω << ω0
− mω 2 A cos(ω t + δ ) − bω A sin(ω t + δ ) + kA cos(ω t + δ ) = F0 cos(ω t )
Trägheitsterm
x(t ) =
Reibungsterm
F0
cos(ω t )
k
Erregende Kraft
⇒δ =0
2. Fall (Trägheitsterm überwiegt):
x(t ) = −
Rückstellterm
F0
cos(ω t )
mω 2
ω >> ω0
⇒ δ = −π
⇒ A→0
Masse ist quasifrei
ω = ω0
3. Fall (Reibungsterm dominiert, Resonanzfall):
x(t ) = −
F0
sin(ω0t + δ )
bω02
1
⇒δ = − π
2
⇒ A=
F0
bω
Komplexe Lösung der Differentialgleichung:
z (t ) = zˆ0 eiωt
mit
zˆ0 = z0 eiδ
A = zˆ0
Re ( z (t ) ) = A cos(ω t + δ )
tan(δ ) =
Im ( zˆ0 )
Re ( zˆ0 )
1.4 Überlagerung von Schwingungen
x(t ) = ∑ xn (t ) = ∑ an cos(ωn t + δ n )
Eindimensionale Überlagerungen:
n
n
Zwei Schwingungen gleicher Frequenz:
x(t ) = x1 (t ) + x2 (t ) = A cos(ω t ) + B sin(ω t ) = C cos(ω t + δ )
A = a cos(δ1 ) + b cos(δ 2 )
tan(δ ) = −
B = − a sin(δ1 ) − b sin(δ 2 )
B
A
9
C = A2 + B 2
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Zwei Schwingungen unterschiedlicher Frequenz (Schwebung):
 ω − ω2 
 ω + ω2 
x(t ) = 2a cos  1
t  ⋅ cos  1
t
 2

 2

a1 = a2 = a
ω1 − ω2 << ω1 + ω2
Sonderfall:
die Frequenzen
Tlangsam =
δ1 = δ 2 = 0 ;
ω1, ω2
4π
ω1 − ω2
unterscheiden sich also nur sehr gering voneinander, es gilt dann:
Tschnell =
4π
ω1 + ω2
1.5 Gekoppelte Oszillatoren
gleichphasige Schwingung (math. Pendel):
gegenphasige Schwingung (math. Pendel):
g
l
g 2l
+
Eigenfrequenz: ω =
l m
Eigenfrequenz:
ω=
2. Mechanische Wellen
2.1 Fortschreitende Wellen
Welle:
Ausbreitung eines Bewegungszustandes ohne Massentransport, es findet nur Transport von
Energie und Impuls statt
Longitudinale Welle:
Auslenkung in Ausbreitungsrichtung, mit Verdünnung, Verdichtung und Ruheposition
Transversale Welle:
Auslenkung längs (senkrecht) der Ausbreitungsrichtung
Wellengleichung:
∂2z
∂2z
= v⋅ 2
∂t 2
∂x
v : Ausbreitungsgeschwindigkeit
Lösung der Wellengleichung:
z ( x, t ) = f ( x − vt )
10
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Ausbreitungsgeschwindigkeiten:
Transversalwelle auf einer Saite:
vt =
F
µ
=
σ
ρ
µ=
mit
m
l
σ=
F : Spannkraft
µ : Massenbelegung
σ
ρ : Dichte
: Saitenspannung
F
A
ρ=
µ
A
Longitudinalwellen in Festkörper:
vl =
E
E : Elastizitätsmodul
ρ
Schallwelle in Gasen:
vs =
γp
ρ
γ
: Adiabatenkoeffizient (Thermodynamik)
2.2 Harmonische Wellen
Wellengleichung:
z ( x, t ) = A sin(ω t − k x + δ )
k=
mit
Phase
2π
λ
ω=
2π
= 2πν
T
k : Wellenzahl
v : Ausbreitungsgeschwindigkeit
λ : Wellenlänge
δ
: Phasenkonstante
Überlagerung bzw. Interferenz harmonischer Wellen
gleiche Frequenz, gleiche Richtung, um
entscheidender Unterschied:
Gangunterschied:
∆x=
Zeitunterschied:
∆t =
δ
verschoben
Phasendifferenz oder Gangunterschied
δ
k
=
λδ
2π
δ
ω
11
v = λν
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1. Fall (konstruktive Interferenz):
δ =0
∆x=0
δ =π
∆x=
yres = y1 + y2 = 2 A sin(k x − ω t )
2. Fall (destruktive Interferenz):
λ
2
yres = 0
Allgemein:
δ
δ 

yres = y1 + y2 = 2 A cos   ⋅ sin  k x − ω t + 
2
2

2.3 Stehende Wellen
Wellengleichung:
zn ( x, t ) = An cos(ω t )sin(kn x)
Randbedingungen für stehende Wellen:
zn ( x = 0, t ) = 0
immer erfüllt
zn ( x = l , t ) = 0
⇒l =
λn
2
⋅n
Frequenz abhängig von
12
λ
und
v
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III. Wärmelehre
1. Temperatur
1.1 Thermische Ausdehnung
Längenausdehnung:
L − L0 = ∆L = α (T − T0 ) L0
für große
F = EA
∆T gilt:
∆L
L
L0 : Länge bei der Temperatur T0
α : Längenausdehnungskoeffizient
α (T )
E=
σ
E : Elastizitätsmodul
∆L
Volumenausdehnungskoeffizient:
V − V0 = ∆V = β ∆T V0
für große
∆T gilt:
β ≈ 3α
β : Volumenausdehnungskoeffizient
β (T )
0. Hauptsatz der Thermodynamik
-
Befinden sich zwei Körper mit einem dritten im thermischen Gleichgewicht, so befinden
sie sich auch untereinander im thermischen Gleichgewicht
-
2 Körper die im thermischen Gleichgewicht zueinander stehen besitzen die gleiche
Temperatur
Kelvin:
0°C ≙ 273,15 K
1.2 Zustandsgleichung idealer Gase
Ideales Gas:
-
Atome sind Massenpunkte (kein Trägheitsmoment)
-
keine Wechselwirkungen zwischen den Atomen (keine Kondensation)
-
nur elastische Stöße
13
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Zustandsgleichung idealer Gase:
pV = Nk BT
oder
k B = 1,38 ⋅10−23
pV = nRT
J
K
mit
n=
N A = 6,022 ⋅10 23
N
NA
Teilchen
mol
k B : Boltzmannkonstante
N : Anzahl der Gasatome
N A : Avogadro-Zahl
R : allgemeine Gaskonstante
Druck:
p=
F
A
1bar = 105 Pa
1.3 Kinetische Gastheorie
Kinetische Interpretation des Druckes:
2
p = 3 m
makros −
kopisch
v2
mittlere
Geschwindigkeit
N 2
N
= Ekin
V 3 mikros− V
kopisch
Kinetische Interpretation der Temperatur
Ekin =
3
kB T
2
vrms =
v2 =
3k BT
m
vrms : root-medium-square
Gesamte Translationsenergie aller N Atome:
Ekin =
3
3
N k B T = n RT
2
2
14
R = 8,31
J
K mol
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2. Wärme
2.1 Wärmekapazität und spezifische Wärmekapazität
Wärmemenge:
Q
Energie, die von einem Körper auf einen anderen aufgrund einer Temperaturdifferenz
∆T übertragen wird
Wärmekapazität:
CP
[CP ] =
Q = CP ∆T
J
K
Wärmemenge die erforderlich ist, um die vorliegende Substanzmenge um 1 Kelvin
bei konstanten Druck zu erwärmen
spezifische Wärmekapazität (bei konstantem Druck):
[ cP ] =
Q = cP m ∆T
cP [kJ / kg K ]
cP
J
K kg
Pb
Sn
Fe
Al
Eis (0°C)
Wasser
0,129
0,227
0,452
0,896
2,1
4,183
2.2 Innere Energie von Gasen und die molekulare Deutung der
Wärmekapazität
Innere Energie:
U
Gesamter Energieinhalt eines Volumens V solange die Energie vom inneren Zustand
abhängt, d.h. die gesamte innere Energie der Moleküle eines Gases
-
thermische Bewegungsenergie der Gasteilchen:
-
chemische Energie bei Molekülen
-
elektrische Energie
Ekin N
Innere Energie bei idealen Gasen (Volumen ist konstant):
U = N Ekin =
3
N kB T
2
U 2 − U1 = ∆U =
15
3
n R ∆T
2
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Q = CV ∆T
CV :
CV =
3
3
N kB = n R
2
2
Bewegungsenergie, die die Gasmoleküle bei einer Temperaturerhöhung pro Kelvin
aufnehmen
Innere Energie bei Gas aus Molekülen:
-
Energieaufnahme auch durch Rotationsenergie, Schwingungsenergie möglich
damit wird CV größer als bei idealen Gas
-
CV ist dann Temperaturabhängig
3. Erster Hauptsatz der Thermodynamik und
Zustandsänderungen
3.1 Thermodynamische Systeme
Thermodynamische Systeme
-
bestimmte Menge von Materie, die räumlich abgegrenzt ist
-
außerhalb des Systems ist die Umgebung von Interesse
-
Materie befindet sich im System in einem Zustand
-
Änderung des Zustands durch Wechselwirkungen mit der Umgebung
geschlossenes System
offenes System
-
Materieaustausch
-
Wärmezufuhr
-
Arbeitsaustausch
-
Wärmeabgabe
-
Wärmeaustausch
-
Arbeitsabgabe
abgeschlossenes System
-
kein Materie-, Arbeits-, oder Wärmeaustausch
3.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
∆U = W + Q
Änderung der inneren Energie ist gleich der mit der Umgebung ausgetauschten Wärme bzw.
Arbeit
16
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Erster Hauptsatz der Thermodynamik in differentieller Schreibweise
dU = dW + dQ
ist ∆U bekannt, so kann eine Aussage über den Zustand des Systems getroffen werden
ist nur Q oder W bekannt, so kann keine Aussage über den Zustand getroffen werden
-
Volumenarbeit
2
1W2 = − ∫ p dV
1
Isobarer Prozess (Druck ist konstant)
2
W2 = − p (V2 − V1 )
1
1
Q2 = ∫ CP dT
1
Isochorer Prozess (Volumen ist konstant)
W2 = 0
1
1
Q2 = CV (T2 − T1 ) = ∆U
Isothermer Prozess (Temperatur ist konstant)
dU =
3
k B n dT = 0
2
W2 = −1 Q2
1
W2 = n RT ln
1
Adiabatischer Prozess (kein Wärmefluss)
dQ = 0
T2  V1 
= 
T1  V2 
dU = dW
γ −1
γ=
Cp
C p = CV + nR
CV
p1V1γ = p2V2γ
17
V1
V2
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4. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
4.1 Der Carnotsche Kreisprozess
Eigenschaften
-
Wärmekraftmaschine
-
Heizen und Kühlen des Mediums erzeugt mechanische Arbeit
-
Wärmefluss zwischen Wärmereservoirs
T h und T t
Wirkungsgrad (maximal)
Netto geleistete Arbeit WAusgang − WEingang Q h − Q t
=
=
zugeführteWärme
Qh
Qh
η=
Achtung: An Wärmemaschine anzupassen!
Carnotscher Kreisprozess
Isotherme Expansion (1->2)
-
Isotherme Kompression (3->4)
Abgabe von Arbeit
Aufnahme von Wärme
-
Adiabatische Expansion (2->3)
-
Zufuhr von Arbeit
Abgabe von Wärme
Adiabatische Kompression (4->1)
Abgabe von Arbeit
kein Wärmeaustausch
-
Zufuhr von Arbeit
kein Wärmeaustausch
Carnotscher Wirkungsgrad
η=
T h −Tt
Th
hoher Wirkungsgrad bei hohen Temperaturunterschieden
Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
-
es gibt keine periodische Wärmekraftmaschine die Wärme aus einen Reservoir entnimmt
und ausschließlich in mechanische Arbeit umwandelt
-
es gibt also kein Perpetuum Mobile zweiter Art
-
trotz der Gültigkeit des Energieerhaltungssatzes besitzt mechanische Arbeit eine höhere
Qualität als thermische Arbeit
18
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4.2 Die Entropie
Reversible Prozesse
-
wird eine Zustandsänderung umgekehrt, kehrt das System wieder in den
Ausgangszustand zurück
Irreversible Prozesse
-
Prozess kann nicht umgekehrt werden, ohne ein Perpetuum Mobile zweiter Art zu
erzeugen
Definition der Entropie (geschlossenes System)
-
Maß für die Irreversibilität eines Vorgangs ist die Entropieänderung
-
die Entropie S nimmt bei irreversiblen Prozessen zu
-
die Entropie S bleibt bei reversiblen Prozessen unverändert
dS =
-
dQ
T
bzw.
∆S = ∫
zur Berechnung von ∆S bei irrreversiblen Prozessen betrachtet man reversiblen
Ersatzprozess
T 
V 
∆S = CV ln  2  + nR ln  2 
 T1 
 V1 
-
dQ
T
∆S = ∆S1 + ∆S 2
es lässt sich durch Hinzunahme der Umgebung immer ein geschlossenes System finden
19
Florian Bergner, 24.07.2009
IV. Optik
1. Einführung in die Optik
Wellenlängen (optischer Spektralbereich)
Name
Kürzel
Wellenlänge in nm
Vakuum-UV
VUV (UVC)
100 - 200
fernes UV
FUV (UVC)
200 - 280
mittleres UV
UV-B
280 - 315
nahes UV
UV-A
315 - 380
Licht
VIS
380 - 780
Nahes IR
NIR (IR-A)
780 - 1400
NIR (IR-B)
1400 - 3000
mittleres IR
MIR (IRC)
3000 - 50 000
fernes IR
FIR (IRC)
50 000 - 1000 000
λ < 100 nm :
λ > 1mm :
Röntgenstrahlen, Gammastrahlen
Radiowellen
Lichtgeschwindigkeit
-
Licht hat eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit
-
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum:
-
Lichtgeschwindigkeit im Medium:
c=
c0
n
c0
n : Brechungsindex
2. Geometrische Optik
2.1 Extremalprinzip der Lichtausbreitung
Fermatsches Prinzip
Das Licht verläuft zwischen zwei Punkten so, dass die Lichtlaufzeit ein Extremum annimmt
B

d  ∫ n(l ) dl  = 0
A

(meistens Minimum)
20
Florian Bergner, 24.07.2009
2.2 Anwendungen und Konsequenzen des Extremalprinzips
Lichtausbreitung
Das Licht breitet sich im Vakuum oder homogenen Medium geradlinig aus
Reflexionsgesetz
-
der Einfalls- bzw. Reflexionswinkel wird immer zur senkrechten der Reflexionsebene
gemessen
-
Quelle A, Reflexionspunkt P und Reflexion B liegen in einer Ebene
-
Einfallswinkel = Reflexionswinkel:
-
zur Bestimmung der Reflexion virtuelle Quelle A‘ einzeichnen
α =α'
Brechungsgesetz
sin(α ) c1 n2
= =
sin( β ) c2 n1
Optische Dichte
Medium mit
n1 ist dichter als Medium mit n2 ⇒ n1 > n2
1. Grenzfall der Brechung (dünn auf dicht):
n2 > n1
sin(α ) = 1
⇒ α = 90°
n2 < n1
sin( β ) = 1
⇒ β = 90°
 n1 

 n2 
βG = arcsin 
2. Grenzfall der Brechung (dicht auf dünn):
 n2 

 n1 
α G = arcsin 
Sonderfall der Brechung:
Totalreflexion bei
α > αG
n2 < n1
n2 = 1
1

 n1 
α G = arcsin 
21
Florian Bergner, 24.07.2009
2.3 Optische Komponenten
Sammelspiegel für parallele Lichtstrahlen - Parabolspiegel
g
b
B
G
virtuelles Bild
Gegenstand
F
optische Achse
f
konkaver Parabolspiegel
g
b
f
Gegenstand
reelles Bild
G
F
optische Achse
B
konkaver Parabolspiegel
F: Brennpunkt
f: Brennweite
B: Bildgröße
b: Bildweite
G: Gegenstandsgröße
g: Gegenstandsweite
Der Kugelspiegel
-
statt einen Rotationsparabolid wird ein Kugelspiegel als Näherung verwendet
-
für paradiale Strahlen (Strahlen nahe und parallel der opt. Achse) gilt:
f ≈
R
2
R : Radius der Kugel
22
Florian Bergner, 24.07.2009
Dünne Linsen
-
der Linsendurchmesser
D ist sehr viel kleiner als die Brennweite f
plan-konvex
-
bi-konvex
bi-konkav
plan-konkav
Sammellinsen und Sammelspiegel verhalten sich bei der optischen Abbildung analog
Vergrößernde Abbildung
g
b
f
f
G
F
2F
F
2F
B
2f
2f
Verkleinernde Abbildung (Abbildung weit entfernter Gegenstände)
g
b
f
f
G
F
2F
F
2f
B
2F
2f
Virtuelles Bild in Gegenstandstraum („Lupe“)
b
g
Sehwinkel
B
G
2F
F
F
f
f
2f
2f
23
2F
Florian Bergner, 24.07.2009
Linsengleichungen
V=
B b
=
G g
V : Vergrößerung
1 1 1
= +
f b g
f < 0 : Zerstreuungslinse
b < 0 : virtuelles Bild
Sonderfälle der Abbildung
-
sehr weit entfernte Gegenstände:
-
1:1 Abbildung:
-
Punkte in der Brennebene:
g →∞
B=G
⇒ f =b
⇒ g =b=2f
g= f
⇒ alle Strahlen eines Punktes sind parallel
Reelle und Virtuelle Bilder
-
reelle Bilder lassen sich auf eine Schirm auffangen
virtuelle Bilder liegen an Stellen, an denen kein Schirm angebracht werden kann
Dicke Linsen
-
Einführung von Hauptebenen im Gegensatz zur Linsenebene bei dünnen Linsen
Linsengleichung gilt weiterhin
Hauptebenen
Das Auge
-
Der Sehwinkel ist der Winkel zwischen den Enden eines Gegenstandes oder
Abbildungsbildes zur Augenlinse hin
Linsenebene des Auges
G
ε
g
24
optische Achse
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tan ε =
G
g
ε≈
s0 = 25 cm
ε 0 = tan
v=
G
g
für große Entfernungen, kleine Objekte
deutliche Sehweite
G G
≈
s0 s0
wenn Objekt in deutlicher Sehweite betrachtet wird
Winkel bei bewaffneter Betrachtung
ε
=
Winkel bei unbewaffneter Betrachtung ε 0
Vergrößerung
Die Lupe
-
Beobachteter Gegenstand liegt in der Brennebene
-
virtuelles Bild unendlich weit entfernt
ε=
G
f
⇒ vL =
ε G s0 s0
= ⋅ =
ε0 f G f
Die Kamera
-
f ist typischerweise 50 mm
-
bei kleinere Brennweiten spricht man von Weitwinkel
-
bei größeren Brennweiten spricht man vom Teleobjektiv
-
wichtige Kenngröße: Blende
Blende =
-
f
D
D : Durchmesser des Lichtbündels
Lichtstärke ist skaliert mit
D
 
 f 
2
Lichtstärke ∼
Strahlungsleistung
Fläche
Astronomische Fernrohre
-
wegen der großen Entfernung entsteht Bild in der Brennebene der Linse
-
da die abzubildenden Objekte sehr groß sind, erscheinen sie unter einem Winkel
Lichtstrahl ohne Linse
ϕ
ϕ
Linsenebene des Auges
F
ε0
ε
s0
25
Florian Bergner, 24.07.2009
ϕ=
G B B
= =
g b f
 f 
g G F 
g  fF
ε B / s0
vF = =
= 
=
s0G
s0
ε0 G / g
Keplersches Fernrohr
-
Beobachtung des reellen Bildes durch eine zusätzliche Sammellinse (Okular) mit
Brennebene im reellen Bild
v = vF vL =
f F s0
f
= F
s0 f L
fL
Galileisches Fernrohr
-
Einschieben einer Zerstreuungslinse vor dem Brennpunkt der ersten Linse (Objektiv)
sodass das Bild des Objektives in der Brennebene liegt
-
es kann ein aufrechtes, virtuelles Bild mit größeren Sehwinkel in unendlicher Entfernung
beobachtet werden
Zerstreuungslinse
ε
ϕ
v=
Brennebenen
f
ε
= Obj
f Ok
ϕ
Spiegelteleskope
-
Newton: konvexer Parabolspiegel mit Ablenkspiegel im Brennpunkt
-
Cassegrain: konvexer Parabolspiegel mit Loch in Höhe der optischen Achse und Reflektor
im Brennpunkt
-
Schmidt: wie Cassegrain Teleskop, mit Korrekturplatte
Mikroskop
f < g <2f
-
Sammellinse als Objektiv mit Vergrößerungsfunktion
-
Sammellinse als Okular mit Brennebene in der Bildebene des Objektivs
-
wegen des sehr großen D/f sehr schwer zu realisieren (Lichtstärke muss groß sein)
vObj =
B bObj
≈
G f Obj
vOk =
s0
fOk
vM = vObj ⋅ vOk =
26
bObj
f Obj
⋅
s0
f Ok
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Projektor
-
Kondensor (2 Sammellinsen hintereinander) bündelt Licht der Lichtquelle in Brennpunkt
-
Brennpunkt der Lichtquelle befindet sich idealerweise in Linsenebene des Objektivs
-
Dia befindet sich zwischen Kondensator und Objektiv direkt hinter dem Kondensor
-
Objektiv bildet Dia auf die Leinwand ab
Glasfaser
-
Kern des Glasfaserkabels hat größeren Brechungsindex als Ummantelung
-
Totalreflexion an der Übergangsfläche
Ablenk- und Umlenkprisma
αα
2.4 Dispersion
Eigenschaft der Dispersion
-
der Brechungsindex ist von der Wellenlänge des Lichts abhängig
n = n( λ )
Normale Dispersion
-
Licht kleinerer Wellenlänge wird stärker gebrochen
-
Licht kleinerer Wellenlänge erfährt größeren Brechungsindex
Dispersionsprisma
-
normale Dispersion
-
kann als Spektrometer verwendet werden (Kirchhoff und Bunsen)
27
Florian Bergner, 24.07.2009
Chromatische Aberration
-
normale Dispersion bei Linsen
-
unerwünscht, da Brennweite von Wellenlänge abhängig
-
Brennweite bei kurzwelligen Licht kürzer
-
Korrektur durch Achromat möglich
Achromat
-
Kombination zweier Linsen als Sammellinse
-
Linse mit hoher Brechkraft und kleiner Dispersion (Sammellinse)
-
Linse mit geringer Brechkraft und hoher Dispersion (Zerstreuungslinse)
-
Korrektur gelingt für zwei Wellenlängen
3. Wellenoptik
3.1 Betrachtung des Lichts als Welle
Spaltversuch
-
Intensitätsverteilung mit Maxima und Minima am Schirm
-
nicht durch die geradlinige Bewegung von Teilchen erklärbar
Polarisation
-
Licht wird durch Platte reflektiert
-
zweite Platte reflektiert Licht erneut, Intensität variiert aber beim Drehen dieser Platte
-
nicht durch geometrische Optik erklärbar
Huygenssches Prinzip
-
Licht kann als transversale Welle beschrieben werden
-
jeder Ort einer Wellenfront ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle
-
diese Kugelwellen überlagern sich nach gewisser Zeit wieder zu einer Wellenfront
-
Prinzip kann geometrische Optik richtig erklären
28
Florian Bergner, 24.07.2009
3.2 Interferenz
Überlagerung von zwei Wellen unterschiedlicher Amplitude aber gleicher Frequenz
-
transversale Lichtwellen sind transversale elektrische und magnetische Felder
-
Addieren der Amplituden der elektrischen Feldstärke
-
Intensität ist proportional zu dem Quadrat der elektrischen Feldstärke
-
wegen der hohen Frequenzen des Lichts kann das Amplitudenquadrat zeitlich gemittelt
werden
E = Eˆ ⋅ e j (ωt −kx−δ ) = Eˆ ⋅ e jϕ
E = A cos(ωt − kx − δ1 )
I ∼ ( E1 + E2 )
E
I
Sonderfall:
I Max = 4 I
2
2
=
( E1 + E2 )
=
E1E1* + 2 E1E2 + E2 E2* =
=
E1 + 2 E1 E2 cos ( ∡ ( E1 , E2 ) ) =
=
E1 + 2 E1 E2 cos (ϕ1 − ϕ2 )
=
I1 + I 2 + 2 I1I 2 cos (ϕ1 − ϕ 2 ) =
=
I1 + I 2 + 2 I1I 2 cos ( (ωt − kx1 − δ1 ) − (ωt − kx2 − δ 2 ) ) =
=
I1 + I 2 + 2 I1I 2 cos ( k ( x2 − x1 ) + (δ 2 − δ1 ) ) =
=
I1 + I 2 + 2 I1I 2 cos ( k ∆ x + ∆δ )
2
= E12 + 2 E1E2 + E22 =
2
2
I1 = I 2
I Min = 0
Kohärenz
-
reale Wellenzüge sind nicht beliebig lang
-
betrachtete Interferenz muss innerhalb der Kohärenzzeit bzw. der Kohärenzlänge erfolgen
29