Thermodynamik I - Theorieblatt 4

1.2 Isentrope Prozesse bei idealen Gasen
Thermodynamik I - Theorieblatt 4
Ideale-Gas-Prozesse können wir mit dem Ansatz der polytropen Zustandsänderung idealisieren
(pV n = const.). Für einen isentropen Prozess gilt der Spezialfall :
Isentropenexponent, isentrope Prozesse, Entropie
n=κ
Diese Beziehung erlaubt es, den Wärmetransfer für isentrope Prozesse bei idealen Gasen zu
bestimmen. Der 1. Hauptsatz für geschlossene Systeme (massenspezifisch) lautet :
Daniel Hentzen
[email protected]
q12 = w12 + ∆u
14. November 2014
mit
V2
Z
w12 =
p dV
V1
=
n6=1
R(T2 − T1 )
1−n
und
∆u = cv (T2 − T1 )
Inhaltsverzeichnis
Man weiss, dass
1
Bemerkungen
1.1 Isentropenexponent κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Isentrope Prozesse bei idealen Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
2
Entropie
2.1 Definition : Entropieänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Entropietransfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Entropieerzeugung (Serz ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Die T dS Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Entropieänderung für inkompressible Substanzen . . . . . . . . .
2.6 Entropieänderung für ideale Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Entropieänderung in reversiblen Prozessen geschlossener Systeme
2.8 Entropiebilanz für geschlossene Systeme . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
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2
2
3
3
3
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n=κ=
cv + R
cv
⇒
cv =
R
n−1
Für q12 ergibt sich also
R
R
q12 =
+
(T2 − T1 ) = 0
1−n
n−1
Daraus schliessen wir, dass isentrope Prozesse bei idealen Gasen adiabat sind. Aus diesem
Grund wird der Isentropenkoeffizient auch manchmal als Adiabatenkoeffizient bezeichnet.
2 Entropie
Bis jetzt haben wir den 2. Hauptsatz vor allem vom Standpunkt eines thermodynamischen
Kreisprozesses betrachtet. Um Prozesse zu analysieren, welche keine Kreisprozesse sind, werden
die Begriffe der Entropie und der Entropieerzeugung benötigt.
1 Bemerkungen
1.1 Isentropenexponent κ
2.1 Definition : Entropieänderung
Für ein ideales Gas ist κ ist definiert als das Verhältnis von cp und cv :
Die Entropieänderung ist gegeben durch :
Z 2
Z S2
δQ
dS = S2 − S1 =
T
S1
1
κ=
cp
cv
Die differentielle Form lautet :
δQ
dS =
T
Dieses Verhältnis beschreibt, wie sich Druck und Temperatur eines Systems relativ zueinander
verändern müssen, damit es sich um eine adiabate und isentrope, also reversible, Zustandsänderung handelt.
(1)
(2)
Die Einheit für die Entropie ist J/K oder kJ/K. Spezifische Entropie wird entsprechend in
kJ
kJ
(s) oder in kmolK
(s̄) angegeben.
kgK
1
Aus 6 leitet sich die zweite T dS Gleichung ab, indem man die Beziehung H = U +pV anwendet.
2.2 Entropietransfer
Das Differential der Enthalpie lautet :
Bei der Entropie handelt es sich um eine extensive Zustandsgrösse (Masse, Energie, . . . ). Man
kann also analog zur Massen- und zur Energiebilanz ebenfalls eine Entropiebilanz aufstellen :
dH = dU + d(pV ) = dU + pdV + V dp
(Kettenregel)
dU + p dV = dH − V dp

 
 
Produktion von
Zufluss der
Änderung der

 Netto-Entropie über  Entropie im 
Entropie im

 

 

 System während  =  die Systemgrenze  − 
System
im Zeitintervall
im Zeitintervall
einem Zeitintervall

Zusammen mit 6 ergibt sich die zweite T dS Gleichung :
T dS = dH − V dp
(7)
Die T dS Gleichungen können auch spezifisch oder molar geschrieben werden :
Entropie kann folglich über die Systemgrenze transferiert werden. Bei geschlossenen Systemen gibt es nur ein Mittel für Entropietransfer : Transfer durch Wärmeübertragung. Bei
offenen Systemen wird Entropie zusätzlich durch die ein- und austretenden Massenströme
übertragen.
T ds = du + p dv
T ds = dh − v dp
(8)
T ds̄ = dū + p dv̄
T ds̄ = dh̄ − v̄dp
2.3 Entropieerzeugung (Serz )
Achtung! Obwohl diese Gleichungen anhand eines reversiblen Prozesses hergeleitet wurden,
entspricht die Entropieänderung durch Integrieren dieser Gleichungen genau der Änderung für
einen beliebigen Prozess, reversibel oder irreversibel, sofern dieser Prozess zwischen den 2
gleichen Gleichgewichtszuständen abläuft. Tatsächlich ist die Entropie eine Zustandsgrösse,
sodass ihr Wert nicht prozessabhängig ist.
Im Gegensatz zur Masse und zur Energie, die erhalten bleiben, wird Entropie innerhalb eines
Systems erzeugt wenn Irreversibilitäten (siehe Theorieblatt 3) vorkommen. Diese Entropieerzeugung kann laut dem 2. Hauptsatz (siehe Theorieblatt 3) nur positiv oder null sein,
nie negativ . Insofern ist die Entropieerzeugung ein Indikator dafür, ob ein Prozess möglich
(Serz ≥ 0) oder unmöglich (Serz < 0) ist.
2.4 Die T dS Gleichungen
2.5 Entropieänderung für inkompressible Substanzen
Obwohl man die Entropieänderung zwischen zwei Zuständen im Prinzip mit Gleichung 1
bestimmen könnte, werden meistens die T dS Gleichungen verwendet, da man dabei Daten zu
anderen, praktischeren Eigenschaften benutzen kann.
Für inkompressible Substanzen ist v = const. Die spezifische innere Energie ist nur von der
Temperatur abhängig (siehe Theorieblatt 1). Daraus folgt du = c(T ) dT . Aus Gleichung 8.1
folgt :
0
c(T )dT
pdv
7 c(T )dT
ds =
+
=
T
T
T
Ausgehend von den T dS Gleichungen kann man wichtige Eigenschaften und Beziehungen
für reine, kompressible Systeme herleiten. Für ein solches reines, kompressibles System welches einen intern reversiblen Prozess durchläuft, schreibt sich die Energie Bilanz (kin. und pot.
Energie werden vernachlässigt) in differentieller Form :
(δQ)int.
rev.
= dU + (δW )int.
rev.
Durch Integration folgt :
(3)
Z
Für ein kompressibles System lautet die (infinitesimale) Arbeit :
T2
s2 − s1 =
T1
(δW )int.
rev.
= p dV
(4)
Mit der Annahme, dass c konstant ist, erhält man
Aus Gleichung 2 ergibt sich :
(δQ)int.
rev.
= T dS
(5)
s2 − s1 = c ln(
3 und 4 ergeben zusammen die erste T dS Gleichung :
T dS = dU + p dV
c(T )
dT
T
(6)
2
T2
)
T1
(inkompressibel, c konst.)
bei i.G + konstanten spezifischen Wärmen : Gleichungen 10 und 11 vereinfachen sich
zu
2.6 Entropieänderung für ideale Gase
Aus Gleichung 8.1 und 8.2 folgt :
du
p
+ dv
T
T
dh
v
ds =
− dp
T
T
ds =
(9)
Für ein ideales Gas gilt du = cv (T )dT , dh = cp (T )dT , und pv = RT . Mit diesen Beziehungen
werden Gleichungen 9 zu :
ds = cv (T )
dv
dT
+R
T
v
ds = cp (T )
dT
dp
−R
T
p
s(T2 , v2 ) − s(T1 , v1 ) = cv ln
T2
v2
+ R ln
T1
v1
s(T2 , p2 ) − s(T1 , p1 ) = cp ln
T2
p2
− R ln
T1
p1
2.7 Entropieänderung in reversiblen Prozessen geschlossener Systeme
Wir haben gesehen, dass für geschlossene Systeme die Entropie nur mittels Wärmeübertragung
transferiert werden kann. Wenn dem geschlossenen System also Wärme über seine Systemgrenze zugeführt wird, steigt die Entropie im System an. Andererseits sinkt die Entropie im System
wenn Wärme über die Systemgrenze abgegeben wird.
und
Wenn das System isoliert ist (adiabat), kann folglich auch keine Entropie dem System hinzugefügt werden oder dem System abgeführt werden. Ausserdem ist die Entropieerzeugung
Serz = 0, da man einen reversiblen Prozess annimmt. Somit gibt es weder einen Transfer an
Entropie über die Systemgrenze, noch eine Erzeugung an Entropie durch Irreversibilitäten im
System. Die Entropie bleibt also konstant.
Durch Integration :
T2
Z
s(T2 , v2 ) − s(T1 , v1 ) =
cv (T )
T1
v2
dT
+ R ln
T
v1
(10)
p2
dT
− R ln
T
p1
(11)
Einen Prozess, bei dem die Entropie konstant bleibt, wird als isentrop bezeichnet.
und
Z
T2
s(T2 , p2 ) − s(T1 , p1 ) =
cp (T )
T1
2.8 Entropiebilanz für geschlossene Systeme
In den Idealen-Gas-Tabellen :
Z T
cp (T )
s0 (T ) =
dT
T
T0
Z
S2 − S1 =
1
T2
T1
cp (T )
dT =
T
Z
T0
cp (T )
dT +
T
T1
Z
T1
=−
T0
δQ
+ Serz
TGrenze
Entropieänderung = Entropietransfer + Entropieerzeugung im System
Wenn Anfangs- und Endzustand eines Prozesses bekannt sind, kann man S2 − S1 bestimmen,
unabhängig vom Prozess. Die Terme der rechten Seite der Gleichung sind aber abhängig vom
Prozess und können nicht aus den Zuständen alleine herausgelesen werden.
wo T 0 eine arbiträre Referenztemperatur ist. Daraus folgt, dass
Z
2
Z
T2
T0
cp (T )
dT +
T
Z
cp (T )
dT
T
T0
T1
cp (T )
dT
T
Serz
= s0 (T2 ) − s0 (T1 )
Die Entropieerzeugung kann nie negativ sein, wenn der Prozess möglich ist. Die Entropieänderung S2 − S1 kann allerings positiv, null und negativ sein :

 <0
= 0 : isentrop
S2 − S1

>0
Gleichung 11 wird dann zu
s(T2 , p2 ) − s(T1 , p1 ) = s0 (T2 ) − s0 (T1 ) − R ln
p2
p1
Wenn die Temperatur an der Grenze konstant ist, ergibt sich als Bilanz :
oder pro mol :
s̄(T2 , p2 ) − s̄(T1 , p1 ) = s̄0 (T2 ) − s̄0 (T1 ) − R̄ ln
> 0 : Irreversibilitäten im System
= 0 : keine Irreversibilitäten im System
p2
p1
Serz = S2 − S1 −
3
n
X
Qj
T
j=1 G,j
über alle Wärmeein- und ausgänge
Zeitspezifisch :
n
Ṡerz =
X Q̇j
dS
−
dt
T
j=1 G,j
Für alle Kreisprozesse gilt :
I
δQ
≤ 0 Clausius Ungleichung
TG
4