Algebraische Kombinatorik

Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. Detlev Hoffmann
Sven Wagner
Sommersemester 2015
Übungsblatt 3
23.04.2015
Algebraische Kombinatorik
Aufgabe 3.1:
Seien m, n ∈ N0 . Zeigen Sie, dass es in jeder Folge a1 , a2 , . . . , amn+1 bestehend aus mn + 1
verschiedenen reellen Zahlen entweder m + 1 Zahlen in (nicht notwendigerweise fortlaufender)
aufsteigender Ordnung oder n + 1 Zahlen in absteigender Ordung gibt.
(Hinweis: Betrachten Sie zu jedem Folgenglied ai das geordnete Paar (xi , yi ), wobei xi (bzw. yi ) die Länge der
längsten ansteigenden (bzw. absteigenden) Teilfolge ist, die mit ai endet. Die Aussage gilt, falls es ein i mit
xi ≥ m + 1 oder yi ≥ n + 1 gibt. Ist es möglich, dass zwei verschiedene Folgenglieder dasselbe geordneten Paar
(xi , yi ) ergeben? Sollten Sie noch mehr Hilfe benötigen, versuchen Sie z.B. die Paare (xi , yi ) für alle Glieder der
Folge 2, 4, 1, 3, 5 zu bestimmen.)
Aufgabe 3.2:
Sei n ∈ N.
(a) Zeigen Sie: Wählt man n + 1 verschiedene Zahlen aus den Zahlen 1, 2, . . . , 2n aus, dann sind
darunter notwendigerweise
(i) zwei, die teilerfremd sind, und
(ii) zwei, bei denen eine die andere teilt.
(Hinweis: Verwenden Sie für beide Aussagen das Schubfachprinzip. Denken Sie für den zweiten Teil an 2er–
Potenzen.)
(b) Zeigen Sie: Gilt n ≥ 2, so ist die größte Anzahl (verschiedener) Zahlen aus 1, 2, . . . , n, für
die gilt, dass keine zwei dieser Zahlen teilerfremd sind, genau ⌊ n2 ⌋.
Aufgabe 3.3:
Zeigen Sie, dass die größte Anzahl (verschiedener) Teilmengen einer nichtleeren endlichen Menge,
unter denen keine zwei disjunkt sind, genau die Hälfte der Gesamtzahl aller Teilmengen dieser
Menge ist. Zeigen Sie außerdem, dass alle maximalen Systeme von Teilmengen mit dieser Eigenschaft diese Anzahl von Teilmengen enthalten.
In den folgenden Übungen verwenden wir sogenannte zirkulante Graphen um Abschätzungen für einige
Werte von R(k1 , k2 ) zu erhalten.
Definition:
Seien a1 , . . . , ar ∈ {1, . . . , n}. Ein zirkulanter Graph C(n; a1 , a2 , . . . , ar ) ist folgendermaßen
definiert: Er besteht aus Ecken v1 , . . . , vn , und vi ist adjazent (benachbart) zu vi±a1 , vi±a2 , . . .,
vi±ar , wobei die Indizes modulo n zu lesen sind.
Also ist C(n; 1) = Cn , der n–te Kreisgraph. Es ist C(n; 1, 2, . . . , p) = Cnp , der Graph, der aus Cn
entsteht, wenn man zwei Ecken verbindet, falls sie in Cn Abstand (s.u.) ≤ p haben.
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C(5; 1) = C5
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C(5; 2)
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C(6; 1, 2) = C62
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C(7; 1, 3)
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C(8; 1, 4)
Der Abstand von vi zu vj in C(n; a1 , a2 , . . . , ar ) ist das kleinste r ≥ 0 mit j ≡ i + r (mod n).
Also ist der Abstand von vi zu vj addiert mit dem Abstand von vj zu vi gleich n. Und, falls vi
und vj adjazente (benachbarte) Ecken von Cnp sind, so ist der Abstand von vi zu vj entweder ≤ p
oder ≥ n − p.
Aufgabe 3.4:
(a) Was ist die größte Anzahl paarweiser nicht adjazenter Ecken, die (i) in Cn , (ii) in Cnp gefunden
werden können?
(Hinweis: Was ist die größte Anzahl von Ecken in einer Teilmenge X von (i) V (Cn ), (ii) V (Cnp ), sodass keine
zwei Ecken in X adjazent sind? Die Antwort kann nicht größer als n sein. Verwenden Sie auf geeignete Weise
die Abrundungsfunktion ⌊ ⌋. Bedenken Sie, dass Cn = Cn1 gilt, womit (i) ein Spezialfall von (ii) ist.)
(b) Sei k ≥ 2, und sei G = Cnp , wobei n = k2 − k − 1 und p = k − 2. Zeigen Sie, dass weder G
noch sein Komplement G einen zu Kk isomorphen Teilgraphen enthält. Schließen Sie daraus,
dass R(k, k) > k2 − k − 1 gilt.
(Hinweis: Die Aussage über G folgt aus Teilaufgabe (a). Nehmen Sie zum Zeigen der ersten Aussage an,
dass in G ein zu Kk isomorpher Teilgraph enthalten ist, und betrachten Sie darin die Abstände zwischen
den aufeinanderfolgenden Ecken. Jeder dieser Abstände muss ≤ k − 2 oder ≥ n − k + 2 sein. Aber es gilt
n > k(k − 2) . . . .)
Aufgabe 3.5:
Zeigen Sie, dass C(13; 1, 5) ein dreiecksfreier Graph ist, dessen Komplement keinen zu K5 isomorphen Teilgraphen enthält. Schließen Sie daraus, dass R(3, 5) > 13 gilt.
Abgabe bis Donnerstag, den 30. April, 12 Uhr in Briefkasten 33 im Eingangsbereich des
Mathematikgebäudes.