logik-ws15-Blatt03-angabe - Informatik

Universität Augsburg
Institut für Informatik
Prof. Dr. W. Vogler
Dipl.-Inform. F. Bujtor
Logik für Informatiker WS 15/16
Übungsblatt 3
(Abgabe bis Donnerstag 05.11.2015, 12:00 Uhr)
Aufgabe 1: (Beweise)
9 Punkte
Zeigen oder widerlegen Sie, dass die folgende Eigenschaften für alle Interpretationen I und
alle Formeln A, B gelten.
Betrachten Sie auf jeden Fall beide Implikationen ⇒ und ⇐ separat.
Für eine Widerlegung ist oft ein Gegenbeispiel angemessen.
Arbeiten Sie formal präzise und schrittweise.
1. I |= A → B ⇔ I 6|= A oder I |= B
2. I |= ∀x∀y A ⇔ I |= ∀y∀x A
3. I, β |= ∀x A ⇒ I, β |= ∃x A
Aufgabe 2: (Formalisierung)
9 Punkte
Die Grundmenge D sei eine (nichtleere) Teilmenge natürlicher Zahlen. Gegeben seien die
Prädikatssymbole P und LE mit Interpretation ist prim“ und kleiner-gleich“ sowie die
”
”
Funktionssymbole add und mult mit Interpretation + und ·. Bemerkung: Die Vorgaben haben
zur Folge, dass D mit je zwei Zahlen auch deren Summe und Produkt enthalten muss.
Formalisieren Sie auf angemessene Weise:
1. x ist die kleinste Primzahl in der jeweiligen Menge D. (Beachten Sie, dass x hier eine
freie Variable, also ohne ∀x, sein muss.)
2. Die kleinste Zahl in D ist eine Primzahl.
3. D enthält 0. (Beachten Sie: Das Symbol 0 dürfen Sie nicht verwenden; dies wäre eine
Konstante, die in unserer Signatur aber nicht vorkommt.)
4. Es gibt eine größte Primzahl.
5. Gibt es ein D, wie oben beschrieben, dass die Formel für Es gibt eine größte Primzahl“
”
erfüllt? (Begründung)
6. Wenn es zwei verschiedene Primzahlen gibt, so gibt es keine größte Primzahl. Verwenden
Sie A als Formel für Es gibt eine größte Primzahl“, auch wenn Sie 4. nicht gelöst haben.
”
Für besonders Interessierte: Überlegen Sie, ob diese Aussage für alle D wie in der Aufgabenstellung gilt.
(Keine Punkte)
Aufgabe 3: (Universelle Formeln)
7 Punkte
Welche der folgenden Formeln sind universelle Formeln? Begründen Sie Ihre Antworten auf
angemessene Weise.
1. (∀xP (x)) ∧ ∀yQ(y)
2. ∀xP (x) → ∀yQ(y)
Übungsblatt 3 (Logik für Informatiker WS 15/16)
2
3. ∀x∀yP (x) → Q(y)
4. ∃xP (x) ∧ Q(y)
5. ¬(P (x) → P (y) ∧ Q(x, y)) ∨ P (y) ∧ x = y ↔ P (z) ∧ ¬¬¬x = z ∨ Q(z, z) → ¬P (x)
Geben Sie für eine der obigen Formeln A eine Interpretation J, eine Teilinterpretation I und
ein passendes β an, sodass J, β |= A aber I, β 6|= A.