Quantengatter - Lehrstuhl für Optik, Uni Erlangen
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Quantengatter Sebastian Otto Inhalt: Motivation Bits und Qubits Bloch Kugel Klassische Gatter 1-Qubit-Gatter Beispiele Generelle Darstellung von 1-Qubit Operationen 2-Qubit-Gatter Bedingungen CNOT Basiswahl No cloning Universelle Gatter Realisierungsmöglichkeiten (mögl.) optische Implementierungen Warum Quanten Computer ? - klassische Computer so gut wie ausgereizt viele Problemstellungen benötigen astronomische Rechnerkapazität - Quanten Algorithmen wesentlich schneller → Quanten Fourier Transformation: Shor Algorithmus → exponentielle Steigerung → Quanten Suchalgorithmen: Grover Algorithmus: → quadratische Steigerung Klassisch: - 0 oder 1 → Strom oder keiner → C geladen oder nicht usw. - Einzige nicht triviale Operation 1 0 01 Quantenmechanik: ∣0 ⟩ und ∣1 ⟩ orthogonale Basiszustände eines Zwei-Zustandssystems z.B. Polarisation , Spins oder Besetzungszust. Vor der Messung System immer im Zustand ∣ ⟩ =a∣0 ⟩ b∣1 ⟩ a ,b∈ℂ 2 2 2 ∣⟨ ∣ ⟩∣ =∣a∣ ∣b∣ =1 a, b Amplituden der Basiszustände Nach Messung System im Zustand oder im Zustand 2 ∣0 ⟩ mit P=∣a∣ 2 ∣1 ⟩ mit P=∣b∣ Mehrere Qubits → ein Qubit → zwei Qubits ∣ ⟩ =a∣0 ⟩ b∣1 ⟩ ∣ ⟩ =a 00∣00 ⟩ a 01∣01 ⟩ a10∣10 ⟩ a11∣11 ⟩ Zahl der Amplituden → 2 2 n n -dim Hilbertraum Operationen auf dem Qubit: -Veränderung des „Mischverhältnisses“ von ∣0 ⟩ und ∣1 ⟩ -Veränderung der Phase zwischen ∣0 ⟩ und ∣1 ⟩ Veranschaulichung von Qubits und auf ihnen ausgeführte Operationen auf der Blochkugel ∣ ⟩ =a∣0 ⟩ b∣1 ⟩ a ,b∈ℂ i i ∣ ⟩ = cos ∣0 ⟩ sin e ∣1 ⟩ e 2 2 Das Qubit mit den Basiszuständen ∣0 ⟩ und ∣1 ⟩ auf der Blochkugel 2 ∣0 ⟩ =0 ; ∣a∣ =1, b=0 3 = 2 = =0 = 2 2 ∣1 ⟩ = ; a=0,∣b∣ =1 Klassische Gatter AND OR XOR NAND NOR NXOR NOT IEC ANSI Quantengatter da gelten muss: ∣i ⟩=a i∣0 ⟩ bi∣1 ⟩ a i , bi ∈ℂ 2 2 2 ∣⟨ i∣i ⟩∣ =∣a i∣ ∣bi∣ =1 Für Operationen ∣1 ⟩ ∣ 2 ⟩ Spiegelungen bzw. Rotationen auf der Blochkugeloberfläche -Quantengatter → reversible Operationen → unitäre Matrizen U t U U =I klassisch quantenmech. a∣0 ⟩ b∣1 ⟩ b∣0 ⟩ a∣1 ⟩ 0 1 X= 1 0 a b X = b a quantenmech. NOT Gatter dreht Blochvektor 180° um x-Achse klassisch quantenmech. 0 1 X= 1 0 a∣0 ⟩ b∣1 ⟩ b∣0 ⟩ a ∣1 ⟩ 0 −i Y= i 0 a∣0 ⟩ b∣1 ⟩ −ib∣0 ⟩ ia∣1 ⟩ 1 0 Z= 0 −1 a∣0 ⟩ b∣1 ⟩ a∣0 ⟩ −b∣1 ⟩ quantenmech. 1 0 S= 0 −i a∣0 ⟩ b∣1 ⟩ a∣0 ⟩ −ib∣1 ⟩ 1 0 T= i / 4 0 e a∣0 ⟩ b∣1 ⟩ a∣0 ⟩ e i /4 b∣1 ⟩ 1 1 1 H= 2 1 −1 a∣0 ⟩ b∣1 ⟩ a ∣0 ⟩ ∣1 ⟩ 2 b ∣0 ⟩ −∣1 ⟩ 2 =a∣ ⟩ b∣ − ⟩ Alle Bewegungen auf der Blochkugel lassen sich durch Rotationen Um deren Achsen darstellen cos 2 −i sin 2 R x = −i sin 2 cos 2 2 2 2 2 cos −sin R y = sin cos e−i /2 0 R z = 0 e i /2 Alternativ kann bei Wahl einer geeigneten Rotationsachse n jede Bewegung auf der Blochkugel durch eine einzige Rotation dargestellt werden. −i n /2 R n =e n x , n y , n z ∈ℝ =cos I −i sin n x X n y Y n z Z 2 2 = X ,Y , Z Jedes 1-Qubit Gatter ist darstellbar durch i U =e R z R y R z i U =e R n 2-Bit Gatter A=1, B=0 Y =1 Y =1 ? A=0, B=1 Y =0 Y =0 ? Nicht als Quantengatter Realisierbar da → nicht Unitär → irreversibel → Informationsverlust 2-Qbit Gatter unzulässig fan-in fan-out loops 2-Qbit Gatter - Drähte repräsentieren Qubits - Zahl der Drähte gleichbleibend - Zeitentwicklung von links nach rechts 2-Qbit Gatter CNOT-controled NOT ∣0 0 ⟩ ∣00 ⟩ ∣01 ⟩ ∣01 ⟩ ∣10 ⟩ ∣11 ⟩ ∣11 ⟩ ∣1 0 ⟩ 1 0 0 0 0 1 0 0 ∣a , b ⟩ ∣a , b a ⟩ 0 0 0 1 0 0 1 0 Kopieren eines Qubits? [ a∣0 ⟩ b∣1 ⟩ ] ∣0 ⟩ =a∣00 ⟩ b∣11 ⟩ a∣0 ⟩ b∣1 ⟩ ∣0 ⟩ allgemein: a∣00 ⟩ b∣11 ⟩ ? ∣ ⟩ ∣0 ⟩ ∣ ⟩∣ ⟩ ∣ ⟩∣ ⟩ =a 2∣00 ⟩ ab∣01 ⟩ ab∣10 ⟩b 2∣11 ⟩ Nur der Fall für ∣ ⟩ =∣0 ⟩ oder ∣1 ⟩ Wahl der Basis ∣0 ⟩ ∣1 ⟩ ∣ ⟩ = 2 ∣0 ⟩ − ∣1 ⟩ ∣− ⟩ = ∣ ⟩∣ ⟩ ∣ ⟩∣ ⟩ ∣− ⟩∣ ⟩ ∣− ⟩∣ ⟩ ∣ ⟩∣ − ⟩ ∣− ⟩∣ − ⟩ ∣− ⟩∣ − ⟩ ∣ ⟩∣ − ⟩ = 2 Quantengatter: Austauschknoten = Toffoli Gate = Fredkin Gate = Universelle Gatter klassisch Quantengatter CNOT 8 Phase Hadamard Jede unitäre dxd Matrix U ist durch 2dim. unitäre Matrizen darstellbar a d U= b e c f U 1= U 2= g h j U 3 U 2 U 1 U =I a∗ b∗ ∣a∣2∣b∣2 ∣a∣2∣b∣2 b −a ∣a∣2∣b∣2 ∣a∣2∣b∣2 0 0 0 1 0 a'∗ ∣a '∣2 ∣c '∣2 0 c'∗ ∣a '∣2∣c '∣2 0 1 0 0 c' ∣a '∣2 ∣c '∣2 a' ∣a '∣2∣c '∣2 a' U 1U = 0 c' d' e' f' g' h' j' 1 d'' U2U1U= 0 e ' ' 0 f '' g'' h' ' j' ' 1 0 U 2 U 1 U unitär → d ' ' =g ' ' =0 U 3 = 0 e ' ' ∗ 0 h' ' ∗ 0 f ' '∗ j' '∗ dxd-Matrix 1 0 0 U d −1 U d −2 ...U 1 U = 0 a 00 a i0 0 a 0j a ij U =V 1 ... V k a ij ∈U = (d-1)x(d-1)-Matrix k d −1d −2...1=d d −1/2 Single Qubit und CNOT Gatter sind universell a 0 0 0 U= 0 0 0 b 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 c 0 0 0 0 0 0 d a c U = b d wirkt nur auf ∣000 ⟩ und nicht trivial Gray code A 0 0 1 B C 0 1 1 1 1 1 A B C U ∣111 ⟩ Approximation universeller Operationen durch eine endliche Menge an Quantengatter Fehler bei der Verwendung von V statt U E U ,V ≡max∣ ⟩∣∣U −V ∣ ⟩∣∣ ∣P U −P V ∣2 E U ,V E U m U m−1 ...U 1, V m V m−1 ...V 1 ∑ E U j , V j [ NC00 ] T und HTH 2 THTH =cos I −i cos X Z sin Y sin 8 8 8 8 2 n =cos , sin , cos cos =cos 8 8 8 2 8 THTH =R n Single-Qubit-Operationen E R n , R n 3 n [ NC01] Realisierungsmöglichkeiten - Harmonischer Oszillator - Photonen und nichtlin. Optische Medien Qubits: Photonen in zwei moden, polarisation Unitäre Entw.: Phasenschieber, Beamsplitter, KerrMedium - Cavity Quantum Electrodynamics Devices Qubits: Photonen in zwei moden, polarisation Unitäre Entw.: Phasenschieber, Beamsplitter, QED-systeme - Ionenfallen Qubits: Phyperfeinstrucktur, Phononen Unitäre Entw.: zustandsmanipulation durch Laserpulse, Phononen - Nuklear Magnetresonanz mit Molekülen Qubits: Kernspin Unitäre Entw.: EM-Pulse auf sich in starkem Magnedfeld befindliche Spins Kopplung durch Chem. Bindung zwischen Atomen Harmonischer Oszillator QM 1 H =ℏ a a 2 a a = n a ∣n ⟩= n1∣n1 ⟩ 1 H ∣ n ⟩ =E n∣ n ⟩ =ℏ n ∣n ⟩ 2 a ∣n ⟩= n∣n−1 ⟩ a ∣0 ⟩ =0 Harmonischer Oszillator QM - CNOT Kodierung ∣0 0 ⟩ ∣0 ⟩ ∣01 ⟩ ∣2 ⟩ ∣10 ⟩ ∣4 ⟩∣1 ⟩ / 2 ∣11 ⟩ ∣4 ⟩−∣1 ⟩ / 2 Nach Zeitablauf t=/ ℏ n ∣n ⟩ −1 ∣n ⟩ Qubits repräsentiert von: ∣0 ⟩ , ∣1 ⟩ , ...∣2 ⟩ n Präparation des Startzustandes: nicht berücksichtigt Auslesen: nicht berücksichtigt Photonen und nichtlin. Optische Medien i single-rail : ∣ ⟩ =cos ∣0 ⟩ sin e ∣1 ⟩ 2 2 → Besetzungszahl ∣0 ⟩ , a ∣0 ⟩ → Hadamard Gatter k 0 −1 ∣ ⟩ ∣1 ⟩ ∣k ⟩ 2 dual-rail : → räumlich → Polarisation i ∣ ⟩ =cos ∣10 ⟩ sin e ∣01 ⟩ 2 2 i ∣ ⟩ =cos ∣H ⟩ sin e ∣V ⟩ 2 2 Photonen Strahlteiler R=cos ai n aout =ai n cos bi n sin bi n bout =−a i n sin bi n cos für =/2 a b Kerr-Medium b−a 2 ab 2 H xpm=− a a b b K ∣0 0 ⟩ =∣00 ⟩ i L a a b b K =e K ∣0 1 ⟩ =∣01 ⟩ K ∣10 ⟩ =∣10 ⟩ iL K ∣1 1 ⟩ =e ∣11 ⟩ Kristall Länge L = Qubits repräsentiert von: → Zwei Moden → Polarisation Unitäre Entwicklung: → Phasenschieber ( R z Rotationen) → Strahlteiler ( R yRotationen) → Kerr-Medium (WW. Zwischen Qubits) Präparation des Startzustandes: → Einzelphotonenzustände Auslesen: → z.B. Photomultipler Nachteile: für nichtlin. Effekte hohe Intensitäten benötigt Quellen: Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang, [ NC00 ] Kap. 4.5.3, S.194 [ NC01] Kap. 4.5.3, S.196 Quantum Computation and Quantum Information
