Theorie D Skriptum zur Vorlesung von Prof. Hollik

Theorie D
Skriptum zur Vorlesung von
Prof. Hollik im SS 1995
Ralf M
uller
at Karlsruhe
Universit
16. Juli 1996
INHALTSVERZEICHNIS
2
Inhaltsverzeichnis
0.1 Grundstrukturen der Quantenmechanik : : : : : : : : : : : :
1 Quantenmechanische Streutheorie
1.1 Grundbegrie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.1.1 Streuexperimente und theoretische Konzepte : : : :
1.1.2 2{Teilchen{Streuproblem : : : : : : : : : : : : : : :
1.1.3 Stromdichte und Wirkungsquerschnitt : : : : : : : :
1.2 Optisches Theorem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.3 Streutheorie mit Integralgleichungen : : : : : : : : : : : : :
1.3.1 Greensche Funktionen : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.3.2 Integralgleichung fur Streutheorie : : : : : : : : : : :
1.3.3 Bornsche Naherung : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.3.4 Darstellungsfreie Formulierung : : : : : : : : : : : :
1.4 Partialwellenzerlegung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1.4.1 Spharische Losungen der freien Schrodingergleichung
1.4.2 Streulosungen bei V 6= 0 : : : : : : : : : : : : : : : :
1.4.3 Streuamplitude, Wirkungsquerschnitt : : : : : : : :
1.5 Zusammenfassung der Streutheorie : : : : : : : : : : : : : :
2 Symmetrien in der Quantenmechanik
Transformationen von Observablen und Zustanden (auf H)
Symmetrien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Erhaltungsgroen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Darstellungen und Eigenwertproblem : : : : : : : : : : : : :
2.4.1 Gruppendarstellungen : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.4.2 Eigenwertproblem bei Symmetrie : : : : : : : : : : :
2.5 Drehungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.5.1 Irreduzible Darstellungen : : : : : : : : : : : : : : :
2.5.2 Produktdarstellung, Addition von Drehimpulsen : :
2.5.3 Tensor{Operatoren : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.1
2.2
2.3
2.4
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5
8
8
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24
24
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39
40
40
42
47
50
50
53
57
57
59
62
INHALTSVERZEICHNIS
3
3 Zeitabhangige Probleme der Quantenmechanik
3.1 \Bilder" der Quantenmechanik : : :
3.2 Zeitabhangige Storungsrechnung : :
3.2.1 Wechselwirkungsbild (Dirac)
3.2.2 Bestimmung von UI (t; 0) : : :
3.2.3 Periodische Zeitabhangigkeit
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4 Quantisierung des elektro{magnetischen Feldes
4.1
4.2
4.3
4.4
Klassisches e{m{Feld : : : : : : : : : : : : :
Quantisierung des freien Feldes : : : : : : :
Photonen : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Wechselwirkung von Strahlung mit Materie
5 Relativistische Quantenmechanik
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5.1 Lorentz{Transformationen, klassische Physik : : :
5.2 Relativistische \Wellengleichungen" : : : : : : : : :
5.2.1 Die Klein{Gordan{Gleichung : : : : : : : :
5.2.2 Die Dirac{Gleichung : : : : : : : : : : : : :
5.3 Darstellungen der Lorentz{Gruppe : : : : : : : : :
5.3.1 Spinor{Darstellungen : : : : : : : : : : : :
5.3.2 Kovarianz unter Lorentz{Transformationen
5.3.3 Drehungen und Drehimpuls : : : : : : : : :
5.4 Losungen der freien Dirac{Gleichung : : : : : : : :
5.4.1 Impuls{ und Helizitatszustande : : : : : : :
5.4.2 Losungen zu negativer Energie, Positronen
5.5 Dirac{Teilchen im e{m{Feld : : : : : : : : : : : : :
5.6 Nicht{relativistischer Limes der Dirac{Gleichung :
5.7 Dirac{Teilchen im Zentralfeld, H{Atom : : : : : :
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65
65
68
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71
75
80
80
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95
95
99
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107
107
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118
122
123
124
126
INHALTSVERZEICHNIS
4
Vorwort
Sehr geehrter Leser,
das hier vorliegende Skriptum zur Theorie D (Quantenmechanik 2) auf der
Grundlage einer Vorlesung von Professor Hollik bendet sich noch in einem
fruhen BETA{Stadium. Es erleichtert einem das Verstandnis der Vorlesung,
da man sich auf den Inhalt einer Vorlesung konzentrieren kann und sich nicht
auf das Abschreiben langer Formeln konzentrieren mu. Es kann auf gar
keinen Fall eine Vorlesung ersetzen, da sich mit Sicherheit einige Fehler und
unzureichende Erklarungen eingeschlichen haben und viele Erklarungen sehr
unverstandlich sind, die vom jeweiligen Professor sicherlich verstandlicher
dargelegt werden. Hier ist Ihre Mithilfe gefragt.
Bitte schreiben Sie mir ([email protected]), falls Sie Fehler
nden, oder Anregungen haben, wie sich Erklarungen verbessern lassen. Ich
hoe, mit Ihrer Mithilfe schon bald eine neue Auage dieses Skripts herausbringen zu konnen.
Ich mochte mich hier vor allem bei Sigrid Rausch bedanken, die zahllose
Fehler in meinem Skript aus dem ALPHA-Stadium verbesserte, bei Regina Homann, die mir zahlreiche Hinweise uber Fehler und Gestaltung des
Skriptes gab, die zur besseren Lesbarkeit beitrugen, bei Dominik Stockinger,
der viele Anregungen fur bessere Erklarungen der Sachverhalte gab, und bei
vielen anderen, die zur Fehlerkorrektur beigetragen haben.
Es sei darauf hingewiesen, da von mir demnachst auch ein Skriptum
zur Festkorperphysik auf der Grundlage einer Vorlesung von Professor von
Lohneysen herauskommen wird. Ferner gibt es von Gerrit Jahn sehr gute
Skripte zur Physikalischen Chemie, Theorie A (klassische Mechanik) und
Theorie B (klassische Elektrodynamik) und von Wolfgang Voss zur Theorie
C (Quantenmechanik I).
Das Skript wurde ausschlielich auf meinem Linux{Rechner mit EMACS,
AUC{TEXund LATEXproduziert. Die Bilder wurden allesamt mit xg gemalt
und als pictex{Makros in den Text eingebunden. Dies ermoglichte, Formeln
im LATEX{Outt in die Graphiken einzubinden.
Ralf Muller
INHALTSVERZEICHNIS
5
0.1 Grundstrukturen der Quantenmechanik
1. Zustande eines physikalischen Systems lassen sich abbilden auf die
Vektoren eines Hilbert{Raumes H. Bezeichnung:
j ' i; j i; : : : 2 H; "ket\
Die Grundidee der Quantenmechanik ist, da es eine Abbildung A gibt,
die dem Hilbertraum H eine Menge von Zustanden zuordnet, die das
betrachtete System einnehmen kann. Diese Abbildung ist nicht bijektiv,
sondern es gilt: A(c j i) = A( j i); 8c 6= 0. Aber es gibt eine bijektive
Abbildung zwischen den Zustanden und den Einheitsvektoren.
2. Hilbertraum
Er ist ein linearer Raum und die Dimension ist im allgemeinen
unendlich.
Skalarprodukt h ' j i 2 C , (duale Vektoren: h ' j ("bra\), Linearform: j i 7! h ' j i 8 j i 2 H:)
p
H ist vollstandig in der Norm jj jj := h j i
H ist separabel: d. h. es gibt eine abzahlbare Basis: j '1 i; j '2 i : : :
3. Die Observablen des physikalischen Systems lassen sich abbilden auf
die linearen selbstadjungierten Operatoren auf H.
Ay = A : h A ' j i = h ' j A i
Jeder Observablen entspricht ein hermitischer Operator, aber nicht umgekehrt (z.B. das Vektorpotential A~ ).
4. Mewerte einer Observablen A sind die Eigenwerte von A .
A j 'n i = an j 'n i;
an : Eigenwerte von A
Satz: Eigenwerte sind reell. Eigenvektoren sind orthogonal, wenn an 6=
am, und vollstandig (sie bilden eine Basis).
j i=
X
n
cn j 'n i;
cn = h 'n j i
falls h 'n j 'm i = nm
INHALTSVERZEICHNIS
6
j >= (
X
n
j 'n ih 'n j ) j i ; 8 j i
Vollstandigkeit: P j 'n ih 'n j = 1
n
j 'n ih 'n j projiziert auf j 'n i.
j 'n ih 'n j i ist die Komponente von j i in Richtung von j 'n i.
Die Menge der Eigenwerte ist das Spektrum von A. Man unterscheidet
zwischen einem diskreten Spektrum und einem kontinuierlichen Spektrum des Operators A. A j a i = a j a i ; a 2 R (z.B. Q,P) sind nicht
normierbar im eigentlichen Sinne. Aber es gilt: h a0 j a i = (a a0). Die
Vollstandigkeit lautet jetzt:
Z
Spektrum
da j a ih a j = 1
Beispiel: Ort: X~ j ~x i = ~x j ~x i , Impuls: P~ j ~p i = p~ j ~p i
5. Kanonische Vertauschungsregeln: xk , k = 1; 2; 3 sei der Ortsoperator, Pk , k = 1; 2; 3 sei der Impulsoperator. Dann gilt:
[xk ; Pj ] = ihkj
Dies entspricht den Poisson{Klammern aus der klassischen Mechanik.( fxk ; Pj g = kj ).
6. Zeitentwicklung: Sie wird beschrieben durch:
ih@t j i = H j i H: Hamilton{Operator
H erhalt man zunachst aus der klassischen Hamilton{Funktion durch
Ersetzen von den Orten und Impulsen durch die entsprechenden Operatoren.
P~ 2
H = 2m + V (~x); falls ein Potential V existiert.
(P~ eA~ )2
~ E~ = @tA~ r bei e{m{Feldern: H = 2m + e; B~ = r A;
INHALTSVERZEICHNIS
7
7. Die Wahl der Basis fuhrt auf die Darstellung. Wenn
j an i die EiP
genvektoren zu A sind, dann nennt man j i = n cn j an i die A{
Darstellung. Fur h an j Aam i = amnm schreibt man auch: h an j A j am i.
Ortsdarstellung: Sei j ~x i Eigenvektor von ~x:
Z
j i = d3x |h ~x{zj }i j ~x i
Wellenfunktion
Die Bewegungsgleichung lautet jetzt:
=: (~x;t)
2
h
ih@t (~x; t) = H (~x; t); H = 2m + V (~x) ; P~ = ihr
Dies beschreibt ein Teilchen der Masse m im Potential V . Die
Eigenfunktion zu P~ ist:
1 i~kx~ ~ P~
e ; k = h
(2) 23
Impulsdarstellung: P~ j ~p i = p~ j ~p i.
Z
j i = d3p h| ~p{zj }i j ~p i
'(~p;t) ! (~x;t)
h x~0 j X~ j ~x i = ~x3(~x x~0)
h x~0 j V (~x) j ~x i = V (~x)3(~x x~0)
Alle Punkte sind unabhangig vom \Bild" der Quantenmechanik. Aber 6.
stimmt nur im Schrodingerbild. Im Heisenbergbild gilt: @t j i = 0; dtd A =
1
2h [A; H ] + @t A.
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
8
1 Quantenmechanische Streutheorie
1.1 Grundbegrie
1.1.1 Streuexperimente und theoretische Konzepte
Typisch sind :
Streuung von (festen) Teilchen an festem Target (z.B.Potential)
Teilchen{Teilchen{Streuung
....
................ .....................
......
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...
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qqqqqqqqqqqqq ...
..
qqqq..qqqqqq
..
q
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q
q
..
qqqqqqqqqqqq ...
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.q.q
qqqq
qq
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q
q
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.
q
q
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qqqqqqqqqqq ...
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..............
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....................................
Wechselwirkung
begrenzt
einlaufende
freie Teilchen
auslaufende
freie Teilchen
mikroskopischer
Bereich
Wir betrachten jetzt eine idealisierte Situation: Der einfallende Strahl sei aus
gleichartigen Teilchen (gleiche Energie und Richtung) und wird gestreut an
einem Potential endlicher Reichweite R.
Streuzentrum
Radius R
~k = ~p
h
Projektil Masse m
r
durchgelassener Strahl
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..........................
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..... .....
...
.... .........................................
.....
...
R
#
d
= sin#d#d'
~
k
d
Detektor im Abstand r
Wenn nun j ~k j = j k~0 j gilt, so sprechen wir von elastischer Streuung. Wenn
dagegen j ~k j 6= j k~0 j gilt, so sprechen wir von inelastischer Streuung. Man
kann anhand der Streuung also zum Beispiel feststellen, ob man an einem
Target, welches ein zusammengesetztes System ist, gestreut hat (z.B. Atome,
Kerne, Nukleonen, Quarks: : :).
Energie{Impuls{Zusammenhang:
p~2 h2~k2
(i) nicht{relativistisch E = 2m = 2m = Ek
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
9
p
(ii) relativistisch E = c2p~2 + m2c4 ; p = h j ~k j
Im folgenden betrachten wir nicht{relativistische, elastische Streuung (die
Substrukturen sind vernachlassigt). Fur die zeitabhangige Beschreibung benutzen wir ein einlaufendes Wellenpaket:
t! 1:
0 (~x; t) =
Z
i Ehk t A
d3kei~k~xe
Ak0 (~k) : Peak bei ~k = k~0
Fur das gestreute Wellenpaket gilt: (r = j ~x j ; x^ =
t!1:
s (~x; t) =
Z
k0 (~k )
~x
j ~x j )
ikr Ek
e
3
d k r e i h tAk0 (~k)F (~k; x^)
Annahme: Das Wellenpaket bleibt scharf.
s (~x; t) =
Z
0(~x; t) =
Z
ikr
d3k er e
~0; x^) ' 1r |F (k{z
}
d3kei~k~xe
i Ehk tA
k0 (~k )
~
WW: starke, #; '{Abhangigkeit
Z
E
d3keikr e i hk tAk0 (~k)
|
=:fE0 (#;')
k (~k )
i Ehk t A
|F ({zk; x^})
{z
}
festgelegt durch Anfangszustand
fE0 (#; ') ist die Streuamplitude.
o
Warum hat eigentlich die gestreute Welle die Form einer winkelabhangigen Kugelwelle
e f (#; ')? Es stellt sich also die Frage, ob die Wellenfunktion so aussehen mu, damit
r
sich dies ergibt. Die Antwort ist: nein, denn z.B. fur 12 e r f erhalt man asymptotisch das
gleiche. Die Bedingung = eikz + e r f (#; ') ist also nicht ableitbar, sondern ein Ansatz.
Eine Randbedingung, an die Gestalt der Wellenfunktion im Unendlichen. Es waren auch
andere Randbedungungen moglich (trivial ist die Summe aus zwei solchen Streulosungen)
z.B. auch Bindungszustande, Drehimpulseigenzustande, usw.
ikr
p
2ikr
ikr
Ziel der Streutheorie ist es:
Bestimmung der Streuphase fE (#; ') aus gegebenem Potential
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
10
Bestimmung der Eigenschaften der WW aus Kenntnis von fE (#; ') aus
dem Experiment.
U bliche Behandlung:
Idealisierung: scharfes ~k(~p)
E
E
Energie{Eigenzsutand: stationar 0(~x; t) e i hk t ; s e i hk t
Das Problem ist separierbar ! stationare Schrodingergleichung.
Stationare Behandlung des Streuproblems:
2k2
h
; Ek = 2m ; k (~x) = Nei~k~x
0 (~x; t) = k (~x)e
Z
Normierung:
d3x k(~x) k0 (~x) = 3(~k k~0) () N = 1 3
(2) 2
Die stationare Schrodingergleichung lautet: H0 k = E k .
Fur V (~x) 6= 0:
h2
2m + V (~x) (~x) = E (~x)
Fur die Reichweite R eines Potentials gilt: V (~x) ' 0 ; j ~x j > R.
Die Losung fur groe Werte von r lautet nun:
i Eh t
k (~x) = N fe
i~k~x + f (#; ') eikr g
r
Zur Begrundung: asymptotisch =) V 0:
L~ 2
h2 1
H0 s = 2m r @r2(r s ) + 2mr2 s
r-unabhangig
h2 1 2 ikr
eikr z~ 2 }| {
= 2m r (@r e )f (#; ') + 2mr3 L f (#; ')
|
2 k 2 eikr
h
= 2m r f (#; ')
|{z} | {z }
=E
s
{z
r13 0
}
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
11
1.1.2 2{Teilchen{Streuproblem
Wenn das Potential nur vom Abstand der beiden Teilchen abhangt, so kann
man eine Koordinatentransformation in Schwerpunkt{ und Relativkoordinaten bzw. {Impulse vonehmen. R~ = m1mx~11 ++mm22x~2 ; ~r = x~1 x~2; P~ =
p~1 + p~2; p~ = m1mp~11 ++mm22p~2 ; = mm11+mm22 ; M = m1 + m2.
Der Hamilton ist jetzt eine Summe aus einem
Schwerpunktsterm
und ei2
~2
p
~
P
nem Relativterm: Htot = Hs + Hr ; Hs = 2M ; Hr = 2 + V (~r), und die
Wellenfunktion ist ein Produkt aus zwei Faktoren: (x~1; x~2) = (R~ ) (~r).
Es folgen daraus zwei Gleichungen. Eine fur die freie Bewegung des Schwerpuktes und eine fur das eektive 1{Teilchen{Problem, das Streuproblem eines
Teilchen der Masse an einem Potential V (~r). Im folgenden wird stets diese
1{Teilchen Streuung behandelt.
Hs(R~ ) = Es(R~ );
Hr (~r) = Er (~r)
1.1.3 Stromdichte und Wirkungsquerschnitt
Wir betrachten einen 1{Teilchenzustand mit der Wellenfunktion (~x; t), die
normiert sein soll.
Wir denieren die Stromdichte (Wahrscheinlichkeitsstromdichte):
~j (~x; t) = h [ r
2im
(r
)
p~ ]=< m
Die Wahrscheinlichkeitsdichte ergibt sich zu: (~x; t) = Es ergibt sich die Kontinuitatsgleichung (Erhaltung der Wahrscheinlichkeit):
r~j + @t = 0
I
dZ 3
=) dt d x(~x; t) = 0; da d~o~j ! 0 ; fur r ! 1
Die asymptotische Wellenfunktion ist eine Summe aus der einlaufenden
Wellenfunktion und der gestreuten Wellenfunktion fur groe Entfernungen
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
( k (~k) =
ten sind:
12
Die zu diesen Wellenfunktionen gehorenden Stromdichh~k
j~in = N 2 m = const.
ikr
ikr
~js = N 2 h <ff (#; ') e rf (#; ') e g
m
ir
r
1 @
Der Gradient in Kugelkoordinaten lautet: r = e~r @r + e~# r1 @# + e~' rsin#
'
~
Nun ergibt sich js zu:
ikr ikr 2
~js = N h j f j 2< e @r e ~er + e~#( 13 ) + e~'( 13 )
m
ir
r
r
r
Dominant fur groe r ist also nur der erste Term:
!
1
2
~
h
k
j
f
(
#;
'
)
j
2
j~s = e~rN m
+ o r3
r2
in + s ).
1
2
j
f
(
#;
'
)
j
+ o r3
j~s = e~r j j~in j r2
R
R
R
Damit ist d~oj~s = r2d
e~r = d
j f (#; ') j 2 unabhangig von r.
Der dierentielle Wirkungsquerschnitt oder Streuquerschnitt ist deniert als:
d Zahl der gestreuten Teilchen pro Zeit und Raumwinkel
d
= Anzahl der einlaufenden Teilchen pro Zeit und Flache
Er hat die Dimension einer Flache.
d = ~js~err2 d
= j f (#; ') j 2
d
j j~in j d
d
d
=
j f (#; ') j 2
Der totale Wirkungsquerschnitt (auch integrierter Wirkungsquerschnitt)
ist deniert als:
R
(#;')
= d
dd
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
13
1.2 Optisches Theorem
Der einlaufende Strom ist divergenzfrei (d.h. r~j = 0), da fur jedes Volumen
V gilt:
I
d~o~jin = 0
@V
H
Da aber fuHr den gestreuten Strom ~js gilt: d~o~js 6= 0, ware die Summe der
Integrale d~o(~jin + ~js ) 6= 0. Man mu also die Interferenz zwischen dem
einlaufenden Strahl (hinter dem Target) und dem gestreutem Strahl berucksichtigen. Es gilt also:
...
.... .....
.......
.................
............ ..........
..... ...
........... ....... ......
..... .. ..
... .. ..
.. ... ...
.. . .
.. ... ..
... .. ..
... .... ....
.
.
.
.
.
........ ......
..
.
.
.
...
..............
.....
....
......
..................
~j = ~jin + ~js + ~jint
Interferenz gibt es auch vor dem Streuzentrum (sie hangt von jf (#; ')j2 ab),
aber sie ist klein.
~ ez .
Fur die Wellenfunktion gilt also: = N (ei~kx~ + f eikr
r ), mit k = k~
Nun lautet der Strom unter Vernachlassigung aller Terme r12 und eik(rr2 z) :
"
( ik(r z) )#
2
j
f
j
e
h
k
~j = N 2 ~ez +
~
e
+
<
f
r
m
r
r (~er~ez )
Es mu gelten:
I
I
d~o(~jint + ~js ) = 0 () d~o~jint =
I
d~o~js
H
H
Wir rechnen nun zunachst d~o~jint aus und vergleichen es dann mit d~o~js.
Sei # = Winkel zwischen ~er und ~ez und beliebig klein:
I
d~o~jint = j j~in j <
(Z
eik(r z)
r2d
f r (~ez + ~er)e~r
8Z2 Z1
<
~
= j jint j r< : d' dcos#eikr(1
0
1
)
9
=
cos#) (cos# + 1)f (#; ')
;
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
Fur r ! 1 geht dies uber in:
8
Z1
<
j j~int j + < :22f (0) dxeikr(1
1 1
14
9
=
x)
;
= j j~int j r4< f (0) ikr (1 eikr)
eikr tragt nach Faltung mit Ak0 (~k) nichts bei.
I
4
d~oj~int = k = ff (0)g j j~in j
H
Der Vergleich mit d~o~js = j j~in j liefert nun das optische Theorem:
= 4k = ff (0)g
Die Analogie zur Optik besteht durch ersetzen von f durch n (Brechungsindex). =ff g $ =fng entspricht der Absorption.
Anmerkungen:
Bei Streuung besitzt f stets einen Imaginarteil(=ff (0)g 6= 0).
Das optische Theorem gilt auch bei inelastischer Streuung (Streuung
mit Absorption). ! tot = elast + inel; tot = 4k =ffel (0)g.
Das optische Theorem ist nur sinnvoll bei Potentialen mit endlicher
Reichweite. Wenn R = 1, dann ist auch tot = 1 (z.B. beim Coulomb{
Potential).
Im folgenden wenden wir uns der Bestimmung der f (#; ') zu. Dabei gibt es
im wesentlichen zwei Methoden.
1. Losen der Schrodingergleichung mit Randbedingungen
2. Umwandlung der Schrodingergleichung in eine aquivalente Integralgleichung, die man iterativ lost (Bornsche Reihe).
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
15
1.3 Streutheorie mit Integralgleichungen
1.3.1 Greensche Funktionen
Sei D ein linearer Dierentialoperator. Gesucht ist die Losung der folgenden
Gleichung, wenn f (~x) eine gegebene Funktion ist.
D (~x) = f (~x)
Die allgemeine Losung lautet:
(~x) =
0 (~x)
| {z }
homogen
Z
+ d3x0G(~x;~x0)f (~x0)
(1)
G ist die Losung von:
Dx G(~x;~x0) = (~x ~x0)
Man nennt G die Greenfunktion des Operators D. G ist nicht eindeutig
bestimmt, G0 = G + H , mit DH = 0 ist ebenfalls Greenfunktion.
G ist bestimmt durch:
den Operator D
die Wahl der Randbedingungen gema der physikalischen Problemstellung.
1.3.2 Integralgleichung fur Streutheorie
Wir betrachten ein stationares Problem, elastische Streuung, ein Teilchen ohne Spin, das eine Wechselwirkung erfahrt durch ein Potential V (~x) endlicher
Reichweite.
Die Schrodingergleichung lautet:
h2
2m + V (~x) (~x) = E (~x)
2m
Mit k2 = 2mE
h2 ; E > 0 und U (~x) = h2 V (~x) wird sie zu:
( + k2) (~x) = U (~x) (~x)
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
16
Sei nun G(~x;~x0) die Greenfunktion von D = + k2. Dann gilt:
( + k2)G(~x;~x0) = (~x ~x0)
Infolgedessen kann man die Schrodingergleichung in eine Integralgleichung
umwandeln, indem man f (~x) = U (~x) (~x) aus der Gleichung (1) setzt.
R
(~x) = 0(~x) + d3 x0G(~x;~x0)U(~x0) (~x0)
entspricht hierbei der Losung der freien Schrodingergleichung zu U = 0
Der Vorteil dieser Umwandlung liegt darin, da sie ein einfaches Naherungsverfahren erlaubt. Als Greensche Funktion wird (wie spater gezeigt werden
wird) gewahlt:
1 e(ik j ~x ~x0 j )
0
G (~x;~x ) = 4 j ~x ~x0 j
0
G+ stellt eine auslaufende, G eine einlaufende Kugelwelle dar. Da die
Losung eines Streuproblems wohl einer auslaufenden Welle entspricht, wird
G+ gewahlt. Die Integralgleichung fur ein Streuproblem mit einer einlaufenden ebenen Welle 0(~x) = ei~k~x lautet nun:
R
0
(~x) = ei~k~x 2mh2 d3 x0 e(ikj ~xj ~x~x~x0 j j ) V(~x0) (~x0)
Dies ist die Lippmann{Schwinger{Gleichung (LS{Gleichung).
Wenn V (~x0) um ~x0 = 0 lokalisiert ist, dann gilt fur groe j ~x j =: r ; j x~0 j =: r0:
~x~x0 p 2 02
0
j ~x ~x j = r + r 2~x~x0 ' r 1 r2
Wir vereinfachen nun das Integral in der LS{Gleichung:
Z
eik j ~x x~0 j 0
3
0
d x j ~x ~x0 j V (~x )
(~x0) =
eikr Z 3 0
= r d xe
eikr Z 3 0 e ik ~xr~x
0) (~x0)
d
x
V
(
~
x
0
r
x~ ~x
1 r2
|{z}
0
'0
ik~0 ~x0 V (~x0)
(~x0)
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
Durch Vergleich mit:
17
ikr
(~x) = ei~kx~ + f (#; ') er
ergibt sich f (#; ') zu:
m R 3 0 ik~0 ~x0 V(~x0 ) (~x0)
2h2 d x e
f (#; ') =
(2)
1.3.3 Bornsche Naherung
Die Lippmann{Schwinger{Gleichung kann (naherungsweise) durch Iteration
gelost werden. Die LS-Gleichung lautet:
m Z d3x0 eik j ~x ~x0 j V (~x0) (~x0)
j ~x ~x0 j
2h2
(~x) = ei~kx~
Wir starten bei 1(~x) = ei~kx~ . Nun gilt fur 2(~x):
2
(~x) = ei~kx~ +
3 (~x) = 2 (~x) +
Z
d3x0
Z
Z
d3x0G+ (~x ~x0)U (~x0) |{z}
ei~kx~0
1 (~x0 )
d3x00G+ (~x ~x0)U (~x0)G+ (~x0 x~00)U (~x00)ei~k~x00
Und so weiter... Analog geht es fur f (#; '). Wenn wir nun die i in die Gleichung (2) einsetzen, so bekommen wir die fi in i{ter Bornschen Naherung.
1. Bornsche Naherung:
f1(#; ') =
m
2h2
R d3x0e
i(~k ~k0 )~x0 V (~x0)
f1 ist die Fouriertransformierte des Potentials V .
f1 = V~ (~k ~k0)( m 2 (2) 23 ):
2h
Anmerkungen:
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
18
f1 (1. Bornsche Naherung) ist reell, d.h. = ff1(0)g = 0. Das optische
Theorem ist verletzt. Es erlangt jedoch durch die hoheren Ordnungen
wieder seine Gultigkeit.
Jede Ordnung liefert einen Faktor V (~x). Daher sind schwache Potentiale (V E ) geeignete Anwendungsgebiete.
Nun holen wir die Bestimmung der Greenschen Funktion G+ nach:
Wir wollen die Greenfunktion, welche die folgende Gleichung lost, bestimmen:
( + k2)G(~x ~x0) = 3(~x ~x0)
(3)
Wir kennen die Fouriertransformierte der Deltafunktion:
Z
1
3
0
(~x ~x ) = (2)3 d3qei~q(~x ~x0)
Also machen wir jetzt einen Fourier{Ansatz fur G+ :
1 Z 3 ~ i~q(~x ~x0 )
0
d qG(q)e
G(~x ~x ) =
(2) 23
(3) ist nun aquivalent zu:
Z
#
"
1
d3q ( q2 + k2)G~ (q)
ei~q(~x
(2) 23
|
{z
}
=0
x~ 0 ) = 0
1
(2) (k2 q2)
Diese A quivalenz ist allerdings eine \Physikeraquivalenz", mathematisch ist
das gar nicht deniert, daher benotigt man . Die Fourier{Rucktransformation liefert jetzt G+ . Um G+ integrieren zu konnen, fuhren wir im Nenner
ein i ein und berechnen lim!0 :
() G~ =
3
2
R
G (~x ~x0) = lim!0 (21)3 d3q k2
i~q(~x ~x0 )
1
q2 i e
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
19
Diese Funktion hat Pole bei j ~k j = j ~q j , daher konnen wir das Integral mit
Hilfe des Residuensatzes berechnen. Sei nun j ~x ~x0 j =: r und der Winkel
zwischen ~q und (~x ~x0) = #, so gilt:
eircos#q
1 Z 2Z
G = (2)2 dqq dcos# k2 q2 i
1
1
0
1
2 Z
q
= 42ir dq k2 q2 i eiqr
1
1
p
Die Pole liegen jetzt bei q = k2 i|fur G+ : q = (k + i).
=(q)
1
tragt nichts bei
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~k
i
~k
i
Aus dem Residuensatz folgt nun:
Z1
1
<(q)
eiqr q
ir =) G
dq k2 q2 i = 2iResff (q = k + i)g = ieikr e|{z}
+
!0
| {z }
=:f (q)
Analog geht man bei der Bestimmung von G vor.
Wir wenden nun die Bornsche Naherung auf die Streuung am Yukawa{ und
Coulomb{Potential an:
1. Yukawa{Potential: V (r) = V0 e rr ; > 0 Die Reichweite ist R = 1 .
Es enthalt also als Grenzfall das Coulomb{Potential ( = 0).
1.Bornsche Naherung:
mV0 Z 2 Z e r i(~k
f1 (#) =
drr d
r e
2h2
1
0
~k0 )~x
(4)
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
~k
20
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.....
#
~k0
#0
d
0 = d'0dcos#0
Jetzt setzen wir: ~q := ~k ~k0; ~q~x =: qrcos#0 und den Winkel zwischen
(~k und ~k0 als #
ACHTUNG: nicht #0 und # verwechseln! # ist die Winkelabhangigkeit
von f (#) und #0 ist die Integrationsvariable von d
.
q2 = k2 + k02
2kk0(cos#) = 4k2
Jetzt wird (4) zu:
mV0 Z
f1(#) = 2 drre
h
1
r
Z1
|1
0
#
sin2
2
dcos#0 eiqrcos#0
{z
1 1 (eiqr e iqr )
= iqr
}
mV0 1
= 2 iq + iq
ih q
f (#) =
2mV0 1
h2 q2 +2
=
2mV0
1
h2 4k2 sin2 #2 +2
Der Wirkungsquerschnitt lautet:
d 2 2
1
= j f (#) j2 = 4m 4V0
d
h 4k2sin2 #2 + 22
Der totale Wirkungsquerschnitt ist endlich fur 6= 0.
2. Coulomb{Potential:
d = m2V02 = 1
d
=0 4 j p~ j 4sin4 #2
Kuriositaten des Coulomb{Potentials:
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
21
= 1 (() unendliche Reichweite)
Ein quantenmechanisches Ergebnis entspricht einem klassischen
Ergebnis(h tritt nicht auf)
Die 1.Bornsche Naherung liefert bereits das exakte Ergebnis fur
den Wirkungsquerschnitt. Der Grund ist, da alle hoheren Ordnungen in die Phase der Streuamplitude gehen.
Alle Probleme mit R = 1 sind in der Phase von f (#).
1.3.4 Darstellungsfreie Formulierung
Die stationare Schrodingergleichung lautet:
P~ 2
(H0 + V ) j i = E j i; H0 = 2m
(5)
Ein freier Zustand j ~k i erfullt: H0 j ~k i = E j ~k i; E = h22mk2 .
Wir konnen nun die Schrodingergleichung umschreiben:
(E H0) j i = V j i
Nun dividieren wir formal durch den Operator (E Ho). Bei der Division mussen wir bedenken, da die freie Losung j ~k i hinzukommt, da
(E H0) j ~k i = 0.
j i = j ~k i + (E H0) 1 V j i
| =:{zG }
E
Es gilt: (E H0)GE = 1 analog zur Greenfunktion. GE existiert nicht, wenn
E 2= Spektrum(H0) R+ . Aber es gibt eine Funktion R, mit (symbolisch
Schreibweise):
1
R(Z ) = Z H ; 8Z 2 C; Z 2= Spektrum(H0)
0
R(Z ) ist tatsachlich ein Operator, da eben Z 2= Spektrum(H0). R nennt man
die Resolvente von H0 Wir denieren jetzt:
1
GE := Z!lim
R
(
Z
)
=
E i
E H0 i ; > 0
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
22
G+E entspricht dem auslaufenden Streuzustand, daher ist dies die naturliche Wahl fur das Streuproblem. Wir konnen jetzt also die darstellungsfreie
Lippmann{Schwinger{Gleichung aufstellen:
j i = j ~k i + E
1
H0 +i V
j i
(6)
Die Ortsdarstellung erhalten wir jetzt durch multiplizieren mit h ~x j :
h ~x j i = h ~x j ~k i +h ~x j G+E V j i
| {z } | {z~ }
(~x)
eik~x
Durch Einschieben von j x0 ih x0 j erhalten wir:
(~x) = ei~kx~ +
h ~x0 j V
Z
Z
V j }i
d3x0 h| ~x j G{zE j ~x0 }i h| ~x0 j {z
G+ (~x ~x0 )
V (~x0 ) (~x0 )
j i = d3 x00 h| ~x0 j V{zj ~x00 }i |h ~x00{zj }i
V (~x0 )3 (~x0 ~x00 )
(~x00 )
Die Losung von (6) erhalten wir wieder durch Iteration und ist die Bornsche
Reihe:
j i = j ~k i + G+E V j ~k i + G+E V G+E V j ~k i + : : :
= (1 + G+E V + (G+E V )G+E V + : : :) j ~k i
Das ist eine geometrische Reihe. Wir erhalten die LSG durch formales Aufsummieren:
j i = 1 G1+E V j ~k i
1
+
1 G+E V =: nennt man auch den Mller{Operator.
Wir konnen jetzt auch noch den T{Operator einfuhren:
TE := V + = V 1
1
G+E V
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
23
Formal gilt also: TE = V + TE G+E V (Den Nachweis fuhrt man durch Entwicklung in eine Reihe. Das fuhrt auf die Bornsche Reihe fur f (#; ')).
h ~k0 j T j ~k i =: TE (~k0; ~k)
f (#; ') TE (~k0; ~k) j j ~k j = j k~0 j
Dies fuhrt auf die formale Streutheorie und auf die analytischen Eigenschaften von f (Dispersions{Relation)
Wichtige Eigenschaften von TE :
TE als Funktion von E ist singular, das heit existiert nicht, hat Polstelle
oder ahnliches, also die Inverse einer nicht invertierbaren Abbildung bildet,
wenn
1
det[1 G+E V ] = 0 = det[E H ] det[E H0 V ]; H0 + V H
0
U(r) Streuzustande E > 0, kontinuierlich
.
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r
Bindungszust
ande
En < 0, diskret
E > 0: Eigenwert von H0 und H , gemeinsame Nullstellen von Zahler
und Nenner
E < 0 : E = E1 < 0 aus diskretem Spektrum. En ist Eigenwert von
H , nicht von H0 =) TE ist singular.
=) fE hat Pole bei En : fe E 1En Die Streuamplitude als Funktion von E
hat Pole bei E = En , wobei En < 0 die Energie der Bindungszustande ist.
ikr
2 2
! fE er ; E = h2mk
r!1
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
24
r
p
E < 0 : E : ! k ! i j ~k j = i 2mj2E j
h
kr
r!1 e
! fE r
Das ist eine exponentiell abfallende, getrennte Welle. Das entspricht einer
gebundenen Welle. =) f als Funktion von k hat Pole auf der positiven Imaginaren Achse fur Bindungszustande. Die Umkehrung gilt nicht, d.h. nicht
jeder Pol von fE entspricht einem Bindungszustand, z.B. Resonanzen.
U(r)
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r
1.4 Partialwellenzerlegung
Entwicklung der Wellenfunktion nach Eigenfunktionen von L~ 2; Lz
1.4.1 Spharische Losungen der freien Schrodingergleichung
Wir schreiben zunachst den Hamilton{Operator um, so da er einen Term
hat, der nur nach r ableitet und einen Term, der nur nach #; ' ableitet:
P~ 2
h2
stationare SRG: H0 (~x) = E (~x); H0 = 2m = 2m h2 1
L~ 2
H0 = 2m r @r2(r ) + 2mr2
[H0; L~2] = [H0; Lz ] = 0 =) H0; L~ 2; Lz haben gemeinsame Eigenfunktionen.
Daher konnen wir jetzt die Wellenfunktion zerlegen:
= R(r)Ylm (#; ')
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
25
L~ 2Ylm = h2l(l + 1)Ylm ; l = 0; 1; 2; : : :
Lz Ylm = mhYlm ; m = l; l + 1; : : : ; l
Die Radialgleichung fur die R(r) lautet nun:
l(l + 1) 1 2
2
2 = 2mE ; E > 0
@
(
rR
)
+
k
R
=
0
;
k
r
2
r
r
h2
Wir setzen: kr =: und R(r) = R( k ) =: () und erhalten so die spharische
Bessel{Dierentialgleichung:
d2 2 + 2 d +
d
d
h
1
l(l+1)
2
i
=0
(7)
Diese DGL hat zwei linear unabhangige Losungen:
1. Spharische Besselfunktionen jl ():
l
l
jl() ' 1 3 5 : : : (2l + 1) = (2l + 1)!!
!0
2. Spharische Neumannfunktionen nl ():
!0 (2l + 1)!! 1
nl() '
2l + 1 l+1
Die asymptotischen Losungen fur groe lauten:
1 1 jl() ' sin l 2
nl() ' cos l 2
Die Randbedingung fur ein physikalisches System lautet: rlim
rR(r) = 0. das
!0
r!0
ist der Fall, wenn: R ! const. Daher sind die Neumannfunktionen keine
Losung des Eigenwertproblems. Der Grund ist, da die nl keine Eigenfunk3
1
1
tionen von H0 sind. (Beispiel: n0 = coskr
kr ' kr , fur r ! 0. ( r ) = 4 (0).
Fur physikalische Probleme kommen also nur die jl in Betracht.
sin
2u
u
(
)
d
l = 0 : j0() = ! d2 + u = 0 =) u = cos
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
26
sin
cos
j0 = ; n0 = 1 d l sin
l
l
l 1 : jl() = ( 1) d (Beweis durch vollstandige Induktion)
Die normierten Eigenfunktionen von H0 lauten jetzt:
q
2
klm (~x) = 2k jl (kr)Ylm(#; ')
Das sind freie spharische Wellen. Sie sind:
R
R1
vollstandig: P dk
orthonormiert: d3 x
l;m 0
klm(~x) k0 l0 m0 (~x) = ll0 mm0 (k
0
3
klm (~x ) klm (~x) = (~x
k 0)
~x0)
Wir entwickeln nun ei~kx~ nach spharischen Wellen:
ei~kx~
=
X
l;m
clm
klm (~x);
Z
clm = d3x
i~k~x
klm (~x)e
Es sei ~k = k~ez . Daher existiert keine '{Abhangigkeit:
eikz = eikrcos# = P il(2l + 1)jl (kr)Pl(cos#)
1
l=0
1.4.2 Streulosungen bei V 6= 0
Es werden hier zwei verschiedene Zugange zu diesem Kapitel gegeben. Der
erste ist der, den Prof Hollik in der Vorlesung brachte, der zweite ist ein
Zugang, der auf einen Vorschlag von Dominik Stockinger zuruckgeht.
1. Sei V ein Potential mit endlicher Reichweite. Die SRG lautet:
[H0 + V (~x)] (~x) = E (~x)
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
27
Wir beschranken uns auf ein V (~x) = V (r), es mu gelten: [H; L~ 2] =
[H; Lz ] = 0. Nun gilt:
klm (~x) = Rkl (r)Ylm(#; ')
Es sei E > 0, das entspricht den Streuzustanden (E < 0 entspricht
den Bindungszustanden). Losen der Radialgleichung fur Rkl(r) zusammen mit der Randbedingung rlim
rR(r) = 0 liefert die Partialwellen
!0
klm(~x):
Wir machen einen Ansatz Rkl = uklr(r) :
d2 l(l + 1) 2m
2
V (r )
+
k
u
=
U
(
r
)
+
u
;
U
(
r
)
=
kl
kl
2
2
dr
r
h2
coskr
Die asymptotischen Losungen sind: sinkr
r und r , (fur groe r). Die
allgemeine asmptotische Losung (ohne Nenner) ist eine Linearkombination mit beliebigen Konstanten cl; l:
ukl (r) = clsin(kr l 2 + l)
Der einzige Unterschied zu den freien Losungen ist die Phasenverschiebung l, welche man die Streuphase nennt.
Wie bestimmt man nun diese l? Zunachst lost man die Radialgleichung
zu gegebenen V (r) mit der Randbedingung ukl(0) = 0. Dies fuhrt auf
eine Losung, die bis auf die Normierung eindeutig ist. Man mu die
Losung stetig dierenzierbar an die asymptotische Losung sin(kr
l 2 + l) anschlieen.
Wir rechnen nun ein Beispiel: V (r) = 0; r > R0
Sei ui die Losung im Innenraum und ua die Losung im Auenraum.
Dann lauten die Anschlubedingungen:
ui(R0) = ua(R0); u0i(R0) = u0a(R0)
Im folgenden seien die l bekannt. Die asymptotische Form der
Streulosungen lautet:
X
X sin(kr l 2 + l)
cl
mYlm(#; ')
=
(8)
a
kr
l
|m {z }
Pl(cos#) bei Kugelsymmetrie
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
28
Andererseits gilt auch fur die Streuphase:
eikr
ikz
a ' e + f (#) r
X
f (#) = blPl(cos#)
l
Dies ist eine Entwicklung einer beliebigen Funktion nach Legendrepolynomen.
X
eikz ' il(2l + 1) sin(kr krl 2 + l) Pl(cos#)
l
X
1
2l + 1 l ikr 2l + 1 2l 1 ikr ( i) + bl e
i e
Pl(cos#)
a(r; #; ) ' r
2
k
2
k
l
Die asymptotische Form lautet andererseits nach (8):
X sin(kr l 2 + l)
Pl (cso#)
cl
a'
kr
l
1Xc = r 2l ( i)l+1eil eikr il 1e il e ikr Pl(cos#)
l
Koezientenvergleich liefert (nach bl bzw. cl aufgelost):
cl = 2lk+1 ileil ; bl = 2lk+1 eil sinl
f (#) = P bl Pl(cos#)
(9)
l
a=
P 2l+1 n( i)le2i e
k
r
l ikr
l
1 eikr
r
o
Pl
eikr 2l 1 eikr '
i
(
Pl
k
r
r
l
Man sieht durch den Vergleich mit der freien Losung den Eekt des Potentials. Es bewirkt eine Phasenverschiebung der auslaufenden l-Welle.
eikz
X 2l + 1 i2l
i)l
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
29
2. Nun der zweite Weg. Zunachst wird versucht, plausibel zu machen,
warum der erste Weg nicht so gelungen ist:
Die Herleitungen sind sehr verschlungen, kompliziert und unsystematisch.
Wozu wird etwa klm eingefuhrt, was vorher und nachher nie
benutzt wird?
Der Ansatz klm = Rkl Ylm wird sooft gemacht und wieder aufgehoben, da es nicht zu durchschauen ist.
Was hat es mit dem Beispiel auf sich? Die Bedingung, die dann
folgt, ist ja allgemeingultig.
Das Ziel des Kapitels ist:
Streuphasen l einfuhren
mit den l die asymptotische Folrm der aufschreiben
daraus die form von f (#) ableiten (siehe 1.4.3)
V habe unendliche Reichweite und sei kugelsymmetrisch. V = V (r).
Dann ist [H; L~ 2] = [H; L~ ] = 0. Dann kann man jede Losung der
Schrodingergleichung nach Drehimpulseigenzustanden entwickeln. Die
Drehimpulseigenzustande haben die Form:
Rkl (r)Ylm(#; )
wobei Rkl die Radialgleichung lost.
l
(
l
+
1)
ukl
= U (r ) + r 2
Sie wird einfach mit dem Ansatz:
u
Rkl = rkl
Diese Gleichung hat asymptotisch die beiden Losungen sin kr und
cos kr. Aber insgesamt hat sie wegen der Randbedingung rlim
u(r) = 0
!0
nur eine eindeutige Losung (bis aufVerelfachung). Diese eine Losung
(@r2 + k2)ukl
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
30
ukl(r) mu als asmptotischen Verlauf eine Linearkombination von sin kr
und cos kr besitzen, also:
ukl(r) ' cl sin(kr l 2 + l)
mit eindeutigem l.
Diese eindeutig durch U (r) und die Randbedingung bestimmte l heit
Streuphase.
Um die Streuphase zu bestimmen, mu man prinzipiell die Schrodingergleichung exakt losen. Dies lauft darauf hinaus, eine exakte Losung
ui(r) im Innenbereich zu nden und daran die Auenlosung ua(r) =
cl sin(kr l 2 + l) stetig dierenzierbar anzuschlieen. Also folgende
Gleichungen zu losen:
u0i(R) u0a(R)
u ( R) = u ( R)
i
a
ui(R) = ua(R)
Im folgenden seien die l bekannt. Ganz allgemein ergibt sich also fur
eine beliebige Losung der Schrodingergleichung folgende asymptotische
Form:
X u (r ) X
mYlm
= cl klkr
m
l
| {z }
Pl (cos #)
'
X sin(kr l 2 + l)
c
P (cos #)
(10)
l
kr
l
Zum einen fordert man aber von \Streulosungen" die ganz bestimmte
asymptotische Form:
ikr
(11)
' eikz + f (#) er
Beide Gleichungen (10),(11) mussen also gelten. Da (10) fur jede
Losung der Schrodingergleichung gilt und (11) nicht, ergeben sich daraus Bedingungen fur cl; bl; l:
f (#) lat sich nach Legendre{Polynomen entwickeln:
l
f (#) =
X
blPl(cos #)
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
31
Damit wird (10) und (11) auf die entsprechende Form gebracht: wenn
man in (10) sin x = 21i eix e ix setzt wird (10) zu:
X cl (
(10) () ' 2ik e
X 2l + 1
ikr
l 2 +l )i e
r
e
e(l 2 l )i
ikr
r
Pl
eikr 2l + 1 e ikr 2l+1
2ik + bk r
2k i
e Pl
(11) () '
Dies ist die gleiche asymptotische Entwicklung. Also gilt:
cl il 2 i il 2l + 1 2l 1
2ik e e = 2k i
und:
cl eil 2 ieil = 2l + 1 + b
l
2ik
2ik
() cl = (2l + 1)ileil
2l + 1
2l + 1
bl = 2ik e2il 1 = k eil sin l
Daraus folgt also insbesondere:
f (#) = P bl Pl = P 2lk+1 eil sin lPl
Und daraus der asymtotische Ausdruck fur .
1.4.3 Streuamplitude, Wirkungsquerschnitt
Fur die Streuamplitude gilt, wenn man in (9) bl einsetzt:
1
1X
f (#) = k (2l + 1)eil sinlPl (cos#)
l=0
Fur den dierentiellen und den totalen Wirkungsquerschnitt gilt nun:
1 X
d
2
0 + 1)ei(l
=
j
f
(
#
)
j
=
(2
l
+
1)(2
l
2
k l;l0
d
l0 ) sin 0 P P 0
l l l l
2
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
Z
= d
j f (#) j =
X
l;l0
32
Z1
: : : 2 dxPl (x)Pl0 (x)
1
P
|1
= 4k2 (2l + 1)sin2l =
l=0
{z
2
=ll0 2l+1
}
1
P
l=0
l
Jede Partialwelle liefert einen Beitrag l.
l k42 (2l + 1)
Ergebnisse sind einfach, wenn l bekannt sind.
Die Hauptarbeit besteht darin, die Radialgleichung zu losen und so die
l zu bestimmen.
Dieses Verfahren ist dann nutzlich, falls nur wenige l signikant beitragen (bei niedrigen Energien).
Wir fuhren nun eine Abschatzung fur die l durch (halb{klassisch).
hk
R0
....
.
....
....................
.......
.....
.....
....
....
...
...
..
..
.
..
.
.
.
..
..
...
...
...
..
.
.
.....
.
......
...
...........................
Bei einem kugelsymmetrischen Potential endlicher Reichweite (V (r) =
0; r > R0) kann der Drehimpuls des einlaufenden Teilchens maximal h kR0
sein.
p
() h lmax(lmax + 1) hkR0
Dies ist ganz grob der Fall, wenn lmax kR0.
Relevante l{Beitrage gibt es also nur bei kleinen Energien oder bei kleinen
Reichweiten. Bei sehr kleinen Energieen tragt nur die l = 0 (s{Welle) bei
(eventuell auch die l = 1 (p{Welle)). Im folgenden sei nur die s{ und p{Welle
relevant:
f (#) = k1 [ei0 sin0 + 3ei1 cos#]sin1
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
33
d = j f j2 = 1 [sin2 + 6sin sin cos# + 9sin2 cos2#]
0
0
1
1
d
k2
Dies ist ein Polynom in cos#. Messungen liefern die 0; 1. (=ff (0)g > 0) !
f (#) als komplexe Groe. Bei verschiedenen k erhalt man l(k); f (#; k).
Anmerkungen und Erganzungen:
1. Optisches Theorem (bei elastischer Streuung): (Pl(1) = 1)
=ff (0)g = k1
1
X
l=0
k X
(2l + 1)sin2l = 4 4k2 (2l + 1)sin2l
|
l
{z
=
}
() = 4k =ff (0)g
2. Streuung mit Absorption: Zunachst fur elastische Streuung:
X
= k2 (2l + 1) 1 e2il 2
l
Wir fuhren jetzt das Streumatrixelement ein:
Sl(E ) := e2il
Die Verallgemeinerung auf Streuung mit Absorption lautet:
Sl(E ) = le2il ; 0 l 1
l = 1 entspricht der elastischen Streuung, l < 1 entspricht einer
Dampfung. Absorption bedeutet, da Teilchen aus der elastisch getreuten Gesamtheit in andere Kanale verschwinden.
Der elastische Wirkungsquerschnitt und die Streuamplitude lauten:
P
el = k2 (2l + 1)j 1 le2il j2
l
f (#) = 1k P(2l + 1) le2i2il 1 Pl (cos #)
l
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
Z
34
d
j f (#) j2 = el = : : : (obiges Ergebnis)
Das Optische Theorem gilt auch fur inelastische Streuung
2 X
4
tot = k =ff (0)g = k2 (2l + 1) (1
| {zlcos2l})
l
1 <fe2il g
Der inelastische Wirkungsgrad lautet nun:
P
inelast = tot elast = k2 (2l + 1)(1 l2 ) 0
l
Betrachten wir nun die Extremfalle:
l = 1 : inelast = 0; tot = elast rein elastische Streuung.
L
l = 0(l L) : inelast = k2 P(2l + 1) = elast ein total absol
bierendes \Potential". Allerdings ist im Gegensatz zur klassischen
Physik, bei der bei Totalabsorption keine elastische Streuung auftritt (tot = 0), tot = 2elast.
In der Quantenmechanik gibt es immer elastische Streuung. Das optische Analogon ist die Beugung an einer schwarzen
Scheibe.
3. Praktische Bestimmung der l: (l = 1) durch Losen der Radialgleichung:
d2u 2 l(l + 1) 2mV (r)
dr2 + k
r2 u = h2 u = 0; V (r) = 0; r > R
Wir gehen in 3 Schritten vor:
(a) Losung im Bereich r < R mit Randbedingung u(0) = 0. Die
Losung ist bis auf die Normierung eindeutig: ui(r). Man erhalt
sie im allgemeinen numerisch.
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
35
(b) Losung fur r > R:
ua(r) = AFl(r) BGl(r)
Fl(r) = krjl (kr); (Besselfunktionen)
Gl(r) = krnl(kr); (Neumannfunktionen)
Fur groe r ist ua(r) (Normierung irrelevant):
ua(r) ' Asin(kr l 2 ) Bcos(kr l 2 )
B
= Csin(kr l 2 + l); mit tanl = A
(c) Festlegung von BA durch Anschlubedingung bei r = R
ui(R) = ua(R) = AFl(R) BGl(R)
u0i(R) = u0a(R) = AFl0(R) BG0l(R)
Dividieren dieser beiden Gleichungen bringt uns auf die Bedingung fur tanl:
u0(R) F 0(R) B G0 (R)
L| {z
(R}) := u(R) = Fl (R) BA G l(R) ()
l
A l
d
= dr logu(r) jR
tanl =
F0l (R) LFl (R)
G0l(R) LGl (R)
............................
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.......... ....... .......
........
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.....
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...... ....... ..
freie Losung
V
= 0; r > R
4. Streuung bei niedrigen Energien:
k ! 0; kR ! 0; Fl0; Fl kl+1; Gl; G0l k
l
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
36
L ist fur k ! 0 (also kleine Energie) unabhangig von k. Die Losungen
ui(r) sind also durch V bestimmt. Wenn al k{unabhangige Konstanten
sind, gilt:
tanl = alk2l+1
Bei kleinen k ist die s{Welle dominant. Fur l = 0 gilt:
tan0 = a0k
Mit a0 als Streulange. Fur die Streuamplitude und den Wirkungsquerschnitt gilt:
a0
1
f0 = k ei0 sin0 = 1 ia
0k
2
4
2
a +a k
= 0 = 4 (10+ a2k0 2)2 k!!0 4a20
f0 hat einen Pol bei k0 = ai0 . Wenn a0 < 0, dann ist der Pol auf der
positiven imaginaren Achse. Falls ein Bindungszustand existiert, gilt
fur die Bindungsenergie:
h 2j k0 j2 h2k02
h2
EB = 2m = 2m = 2ma2 ; (s{Zustand)
0
Warnung: hangt von der Qualitat der Naherung tan0 = a0k ab. Diese
ist gut, falls EB nahe bei 0 ist (groe Sreulange).
Die geometrische Bedeutung von a0:
r < R : u0 = sin(kr+0) ' sink(r+a0) ' k(r+a0) Tangente im Punkt R
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
37
u(r)
...
... ...
... ..
.. ..
......
.....
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......
....
.......
...
....
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V0
a0 <
E
....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .......
R
r
E
....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .......
R
kein Bindungszustand
a0
r
V0
a0 >
r
Bindungszustand
0
u(r)
sink0 r; k0
pV
u(r)
....
..
.....
.
...
.............................................
.
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a0 <
5. Resonanzen:
Fall: ein l bei E = E0 : l = 2 in der Umgebung von E0 : tanl =
l
2
l = const.
Eo E ;
fl (#) =
i
|e l{zsin}l
tanl
2
1 itanl = E0 E i
2
0
E
r
schwach anziehender Zustand R
R
V0
r
R
'
p
...............
...............
...............
.........
.........
.
. ............ .
. ................... .
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...... .
....
a0
R
0
2l k+ 1 Pl(cos#)
Pol bei E0 = E i 2l . Wenn die l{Welle dominant ist, gilt:
a0
0
r
V0
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
U(r)
E
..........
... ...
..
.
. ......... .......... ....... ....... ....... ....... ....
..
..
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...........................
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38
.
r
Bindungszustand
2
l
4
4
' l = k2 (2l + 1)
2
(E0 E )2 + 4l
2mE 2
2
2
l E0 : k ! k0 = h2 0 (Mechanik: Resonanz bei Schwingungen)
max = l(E0); l(Eo 2l ) = max
2 .
l(E0) = 2 ; fl(E0) ist rein imaginar.
l(E0) = max = 4k2 (2l + 1)
Pol von fl bei E = E0 i 2l
Zeitverhalten von Resonanzen:
X
ikr
l
e
2l + 1 P (cos#)
2
f
0+
l
l
r l06=l
r E0 E i 2 k l
|
{z
} | resonant,{z=: res(E;#) }
nicht resonant
Ein Wellenpaket: Z
E
dEA(E ) res (E; #)e i h t
ikr
e
ikz
=e +
A(E)
A(E)
......
... ...
.. ..
.. ...
.. ....
.
..
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...
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..
....
....
..
..
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...
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...
...
.
...
...
.
...
.
...
...
.
..
.
Resonanz
E0
E
E0 E0
+ E
E
1 QUANTENMECHANISCHE STREUTHEORIE
Wenn E0 E Z
l
39
(hinreichend klein).
1
e i Eh t
2l + 1 eik0r eik0r Z
e i Eh t
dE E E i =2 k r ' k r dE
(2l+1)
l
E
E
i
0
l
0
0
0
2
1
E0 +E
E 0 E
Fur t > 0 gilt:
= (E0;~x)(t)
E
e| {z2hl}t
stat. Zustand Dampfung
j j2 ! Lebensdauer = h () l = h
l
Eine Resonanz ist ein temporarer bindungsartiger Zustand mit endlicher Lebensdauer.
(t) |e {zi h }t
1.5 Zusammenfassung der Streutheorie
Wir wollen nochmal zusammenfassen, wie wir in der Streutheorie vorgegangen sind:
Zunachst haben wir das zeitabhangige ProblemEin ein stationares Pro-
blem umgewandelt durch Abseparieren von e i h t.
Dann ikrbeschrankten wir uns auf die asymptotische Losung ' eikz +
f (
) e r .
Der Wirkungsquerschnitt lautet: dd
= j f j2
Zur Berechnung gab es zwei Moglichkeiten:
1. Losen der Lippmann{Schwinger{Gleichung durch Born{Iteration.
Die 1. bornsche Naherung entspricht der Fouriertransformation
des Potentials f V~ .
P
2. Durch Partialwellenzerlegung: f = blPl (cos#); bl(E )
l
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
40
2 Symmetrien in der Quantenmechanik
In der klassischen Mechanik lieferte eine (kontinuierliche) Symmetrie eine Erhaltungsgroe (Integral der Bewegung). Je hoher die Symmetrie war, desto
einfacher wurde die Losung der Bewegungsgleichung. In der Quantenmechanik liefert eine Symmetrie zum einen ebenfalls eine Erhaltungsgroe, aber
zum andern auch Aussagen uber die Eigenwertraume von Observablen. Dabei geht man in zwei Richtungen vor:
1. Wenn H bekannt und gegeben ist, erhalt man uber die Symmetrie die
physikalischen Eigenschaften. Die Symmetrie stellt eine Vereinfachung
des Problems dar.
2. Andererseits kann man, wenn man empirische Eigenschaften eines Systems kennt, die eine bestimmte Symmetrie zeigen, einen Ansatz fur
den Hamilton{Operator bekommen. Die Dynamik wird so (teilweise)
erschliebar.
2.1 Transformationen von Observablen und Zustanden
(auf H)
Einer Observablen entspricht ein Meapparat, einem Zustand ein Praparierapparat. Unter der Transformation T transformiert sich eine Observable:
A ! T (A) = A0. Ein Zustand transformiert sich: j i ! T j i = j 0 i.
Eine Messung von A im Zustand j i und eine Messung von A0 im Zustand
j 0 i beinhalten dieselben physikalischen Aussagen.
Bedingung:
Das Spektrum von A mu gleich dem Spektrum von A0 sein.
Fur die Erwartungswerte mu gelten: h 0 j A0 j 0 i = h j A j i
Fur die Wahrscheinlichkeiten mu gelten: jh j ' ij2 = jh 0 j '0 ij2
Diese Bedingungen sind erfullt, wenn T durch einen unitaren Operator U
dargestellt wird. Unitar bedeutet:
UU y = U yU = 1
; Uy = U
1
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
41
Damit werden die Transformationen zu:
j i !Uj i
; A ! UA U 1
; h j ! h j Uy
Der Beweis, da die Bedingungen erfullt sind, ist einfach:
=1
z}|{
h '0 j 0 i = h ' j U y U j i
h 0 j A0 j 0 i = h j |{z}
U yU A |{z}
U yU j i
=1
=1
1) = Spektrum (A)
Spektrum(U A U
Anmerkung: Die Bedingungen werden auch durch anti{unitare Operatoren
erfullt. (Sie treten bei Zeitumkehr auf.)
U^ ; U^ yU^ = U^U^ y = 1; anti{linear
U^( j i + j i) = U^ j i + U^ j i
Schauen wir uns nun an, wie sich die Eigenvektoren von A transformieren:
A j ' i = a j ' i =) U j ' i = j '0 i
j '0 i ist Eigenvektor von A0 zum gleichen Eigenwert a.
0i
=
a
U
j
'
i
=
a
j
'
A0 j '0 i = U A U 1 j '0 i = U A
j
'
i
| {z }
=a j ' i
Die Vertauschungsrelationen gehen uber in:
[A; B ] = C ! [A0; B 0] = C 0
(Ausnahme bei anti{unitaren Operatoren: U^ : [A0; B 0] = C 0).
Von vorrangigem physikalischen Interesse ist entweder die Transformation
von Observablen oder von Zustanden. Betrachten wir die Zustandstransformation:
j i ! j 0i = U j i
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
42
1A U j i = h j A j i
h 0 j A j 0 i = h j U| {z
}
0
j i ! j i ;A ! U
1A U
A
() j i ! U j i ; A ! A
Wie lauten die Gruppeneigenschaften von Transformationen?
Eine Verknupfung T1 T2 entspricht einer Hintereinanderausfuhrung.
Verknupfungen sind assioziativ: T1 (T2 T3) = (T1 T2) T3
Die Identitat I bewirkt nichts.
Es existiert eine inverse Transformation mit: T T 1 = I .
Daher bilden die Transformationen eine Gruppe. Wie wirken nun die Operatoren auf H?
U (T1 T2) = U (T1)U (T2)
U (I ) = 1
U (T 1 ) = U (T ) 1
2.2 Symmetrien
Falls fur A gilt:
A 1 = A = U (T ) 1 A U (T )
so heit A invariant (oder symmetrisch) unter T . Wenn nun T eine Symmetrietransformation ist, T 2 Gruppe ist, so heit diese Gruppe Symmetriegruppe (von A).
A symmetrisch unter T () [A; U (T )] = 0
1. Diskrete Symmetrien:
Diskrete Symmetrien konnen durch eine endliche Anzahl von T1 ; : : :; Tn
bewirkt werden. Es existieren also endliche Transformationsmatrizen
U (T1); : : :; U (Tn)
Beispiele:
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
43
Spiegelungen (~x ! ~x)
Wir denieren den Paritatsoperator P :
(~x; t) ! P (~x; t) = ( ~x; t)
Die Eigenschaften sind: P 2 = 1 () P = P 1 . Unabhangig davon
gilt: P = P y. P ist eine Observable mit den Eigenwerten 1. Es
gibt zwei Eigenfunktionen von P :
(a) P + (~x; t) = + + (~x; t) = +( ~x; t)
symmetrische Wellenfunktion.
(b) P (~x; t) =
(~x; t) = ( ~x; t)
anti{symmetrische
Wellenfunktion.
A ist genau dann symmetrisch unter P , wenn gilt: [A; P ] = 0.
Dann haben A und P gemeinsame Eigenzustande, daher sind
die Eigenfunktionen von A entweder symmetrisch oder anti{
symmetrisch.
Beispiel: Harmonischer Oszillator: A = H
2
H = 2pm + 21 m!2x2
Die Eigenfunktionen von H sind also entweder symmetrisch oder
anti{symmetrisch.
Permutationen bei Mehrteichensystemen
Wir betrachten das Verhalten eines 2{Teilchen{Systems mit der
Wellenfunktion (x~1; x~2) unter Teilchenaustausch (Permutation).
Sei der Permutationsoperator:
(x~1; x~2) = (x~2; x~1)
; 2 = 1; = y; Eigenwerte 1
Zum Eigenwert +1 gehort die symmetrische Wellenfunktion s,
zum Eigenwert 1 gehort die anti{symmetrische Wellenfunktion
a.
Fur identische (nicht unterscheidbare) Teilchen gilt das Pauli{
Prinzip, welches besagt: Fur einen Operator A0 = A mit [A; ] =
0 gilt:
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
44
Die Eigenfunktionen von A sind:
symmetrisch, fur Teilchen mit Spin = 0; 1; 2; : : :
anti{symmetrisch, fur Teilchen mit Spin = 21 ; 23 : : :
Bei groeren Teilchenzahlen bewirkt die Permutation:
ab (~x1; : : :;~xa; : : :;~xb; : : :;~xn) = (~x1; : : :;~xb; : : :;~xa; : : :;~xn)
Wenn die Symmetrie in allen Paaren gleich ist, spricht man von
totaler (Anti{) Symmetrie.
2. Kontinuierliche Symmetrien:
Kontinuierliche Symmetrien sind zum Beispiel Translationen, Drehungen, Zeitverschiebungen und die inneren Symmetrien: Eichtransformationen, Symmetriegruppen fur Elementarteilchen und SUSY (SUperSYmmetrien).
Wir betrachten jetzt Symmetrien, bei denen man die Transformation
als unitare Matrix darstellen kann (z.B. Translationen oder Drehungen):
T (1; : : :; n) ! U (1; : : :; n)
Wir betrachten nun innitesimale Transformationen (1; : : :; n), so
da wir (1)2; : : :; (n)2 vernachlassigen konnen. Wir stellen nun U
dar:
U (1; : : :; n) = 1 + |{z}
iT1 1 + : : : + iTnn + o((i)2)
@U
= @
1
Die Tk nennen wir die Erzeugenden. Sie sind hermitisch (Tk = Tky).
Wenn A symmetrisch unter der Transformation U (1; : : :; n) ist,
gilt:
[A; 1 +
X
j
j Tj ] = 0 =) [A; Tk] = 0; k = 1; : : :; n
Nun betrachten wir vier Beispiele:
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
45
(a) Raumliche Translation: U (x) = (x a)
1 ( a)n dn
X
n (x)
n
!
dx
n=1
1 ( a)n i n h d n
X
i ha P (x)
=
(
x
)
=
e
{z
}
|
h | i {z
dx }
n=1 n!
U (a)
(x a) = (x) +
P
U=e
i ha P
Wenn a innitesimal ist, so gilt: U = 1 i ah P .
P ist Erzeugende der Ortstranslation.
U 1X U =! X a :
i
i
i
(1 + h aP )X (1 h aP ) = X + h a(PX XP ) =! X a
[X; P ] = ih
Aus dieser Vertauschungsrelation folgt: P erzeugt Translation.
Dies ermoglicht einem einen umgekehrten Zugang zur Quantenmechanik. Man deniert den Impuls als den Erzeugenden von Translationen und erhalt die kanonischen Vertauschungsrelationen. Die
Verallgemeinerung auf drei Dimensionen lautet:
U (~a) = e
i
h ~aP~
(b) Zeittranslation: Die SRG lautet: ih dtd j (t) i = H j (t) i.
j (t + t) i = j (t) i + i1h tH j (t) i =
(1 hi tH ) j (t) i
| {z }
=U (t)
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
46
H ist Erzeugende der Zeittranslation
Postulat: Die Zeitentwicklung eines Systems lat sich
durch einen kontinuierlichen unitaren Operator mit H als
Erzeugende beschreiben =) SRG
(c) Drehungen: fur feste Achse (z{Achse)
( ') ! U ( ') = ( ' )
=
1
X
1
@'( ) n (') = e
n
!
n=0
U ( ) = e
@'
( ') = e
i
h Lz
( ')
i
h Lz
Innitesimale Drehungen werden mit U ( ) = 1 hi Lz dargestellt. Beliebige Drehungen werden durch drei aufeinander folgende Drehungen mit den Euler{Winkeln zusammengesetzt.
R(; ; ) = Rz^()Ry ( )Rz ( )
U (; ; ) = 1 hi (Lz + Ly + Lz )
~v0 = R~v = Rz ()Ry ( )Rz ( )~v
2 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 13
= 41 + @ 1 0 0 A + @ 0 0 0 A + @ 1 0 0 A5 ~v
0 0 0
1 0 0
= [1 + R]~v
8 v0 = v ( + )v + v
< 10 1
2
3
: vv320 == vv32 + (v 1+ )v1
0 0 0
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
47
Dies gilt nur innitesimal! Fur den Drehimpuls gilt:
L~ 0 = U 1(; ; )L~ U (; ; ) = (1 + R)L~
8 L0 = L ( + )L + L
< x0 x
y
z
L
=
L
+
(
+
)
L
z
x
: Ly0z = Lz Lx
L~ hat das gleiche Transformationsverhalten wie das eines Vektors.
[Li; Lj ] = iijk Lk
L~ ist Erzeugende von Drehungen.
(d) Innere Symmetrien:
Dies sind zusatzliche nicht Raum{Zeit{Symmertrien (z.B. Isospin). Bezuglich der starken Wechselwirkung sind die Drehungen
im 2{dimensionalen durch j p i; j n i (Proton und Neutron) aufgespannten Isospin{Raum Symmetrie{Transformationen.
e 2i 3 e 2i 2 e 2i 3 R(; ; ); i : Pauli{Matrizen.
i
R = 1 2 3 : : : ; Erzeugende: 12;2;3 =) [H; i] = 0
2.3 Erhaltungsgroen
Die zeitliche Entwicklung eines Zustandes (t) ist durch die SRG gegeben:
ih@t j (t) i = H j (t) i
Fur die Erwartungwerte von Observablen A im Zuzstand (t) gilt nach Ehrenfest:
d
1
< A >= h (t) j A j (t) i ; dt < A >= ih < [A; H ] > + < @tA >
Wir denieren jetzt eine Erhaltungsgroe: Falls dtd < A >= 0 ; 8 j (t) i, dann
nennen wir A Erhaltungsgroe. Falls @tA = 0, gilt:
d
1
<
A
>
=
dt
ih < [A; H ] >
[A; H ] = 0 () dtd < A >= 0
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
48
1. Systeme mit diskreter Symmetrie: S = P; ; : : :, [H; S ] = 0; S = S y
2. Systeme mit kontinuierlicher Symmetrie: U (1; : : :; n ) erzeugt durch
Ti; [H; U ] = 0 ! [H; Ti] = 0 8i, d.h. Ti sind Erhaltungsgroen.
Spezialfalle:
@tH = 0; [H; H ] = 0 =) H ist erhalten. H = 2P~m2 + V (x) =) die
Energie ist erhalten.
[H; Pk ] = 0 =) Pk sind erhalten =) Impulserhaltung.
[H; Lz ] = 0 =) Lz ist erhalten =) Drehimpulserhaltung.
[H; P ] = 0
[H; ] = 0
Zeitentwicklung eines Zustandes j (t0) i: Sei t0 = const Die Zeitent-
wicklung eines Zustandes bekommt man durch Anwenden des Zeitentwicklungsoperators U (t; t0) auf diesen Zustand:
j (t) i = U (t; t0) j (t0) i
Aus der SRG folgt:
H U j i = ih@tU (t; t0) j (t0) i = H U (t; t0) j (t0) i; U (to; to) = 1
Integrieren dieser Gleichung liefert:
Z
i
U (t; t0) = 1 + h dt0H (t0)U (t0; t0)
t
(1)
t0
H ist symmetrisch unter einer Gruppe von Transformationen T , beschrieben durch unitare Operatoren U (T ) im quantenmechanischen Zustandsraum
([H; U (T )] = 0). Wir multiplizieren nun Gleichung (1) von links mit U 1(T )
und von rechts mit U (T ):
iZ 0 0 1
1
(t0; t0)U (T })
U| (T )U{z(t; t0)U (T }) = 1 + h dt H (t ) U| (T )U {z
t
U(t;t0)
t0
U(t0;t0 )
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
49
Der rechte Teil ist nach Gleichung (1) = U (t; t0). Also gilt: U(t; t0) = U (t; t0)
und damit [U (t; t0); U (T )] = 0; 8T 2 G (Gruppe). Was sind nun die Kon-
sequenezen?
1. Bei diskreten Symmetrien U = S 2 (P; Pi), mit S = S y ([U (t; t0); S ] =
0) hermitische Observable gilt:
Ist j (t0) i ein Eigenzustand von S mit Eigenwert s, so bleibt j (t) i
auch Eigenzustand zu s. Denn:
S j (t0) i = s j (t0) i
|U (t;{zt0)S} j (t0) i = s |U (t; t0){zj (t0) }i
=S U (t;t0 )
j
(t) i
() S j (t) i = s j (t) i
2. Bei kontinuierlichen Symmetrien mit den Erzeugenden T1; : : :Tn ; Ti =
Tiy (, die hermitische Observablen sind) gilt:
U (T ) = U (1; : : :; n ) und nach Vorraussetzung: [H; U (1; : : :; n)] = 0
=) [U (t; t0); U (1; : : :; n)] = 0
Da die i unabhangig sind gilt fur innitesimale i:
[U (t; t0); Ti] = 0; 8i = 1; : : :; n
Daraus folgt nun ebenfalls (Schluweise analog zu (1.)), da j (t) i
ein Eigenzustand von Ti bleibt, falls j (t0) i ein Eigenzustand von Ti
war. Im allgemeinen ist [Ti; Tk] 6= 0. Es gibt einen maximalen Satz
von kommutierenden Tk : T1; : : :; Tm ; m n. Ist nun j (t0) i ein
simultaner Eigenvektor j 1; : : :; m i, so ist es j (t) i auch. 1; : : :; m
sind erhaltene Quantenzahlen.
Beispiele:
(a) Translationsinvarianz: [H; Pi] = 0; i = 1; 2; 3: ~p = (p1; p2; p3)
sind erhaltene Quantenzahlen, da [Pi; Pk ] = 0.
(b) Drehinvarianz: [H; Li] = 0; [Li; Lk ] 6= 0, daher ist maximal eine
Komponente des Drehimpulses erhalten (wahle Lz ). m ist eine
erhaltene Quantenzahl. Zusatzlich gilt noch: [H; L~ 2] = [L~ 2; Lz ] =
0, daher ist l eine erhaltene Quantenzahl. Die Eigenvektoren lauten
also: j l; m i.
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
50
2.4 Darstellungen und Eigenwertproblem
2.4.1 Gruppendarstellungen
Gegeben sei eine Gruppe G, Elemente g 2 G und eine Verknupfung g1 g2.
Wir denieren:
Eine Darstellung der Gruppe G ist eine Abbildung, die der Gruppe eine
Menge von Matrizen ( : G ! fn n {Matrizeng), einem Element der
Gruppe eine Matrix zuordnet (nur quadratische Matrizen haben eine Determinante und konnen eine Gruppe bilden).
g 2 G ! D(g) (n n Matrix); det(D) 6= 0 ;
so da gilt: g1 g2 ! D(g1 ) D(g2 ) im Sinne der Matrizenmultiplikation,
wobei n = dim( ) die Dimension der Darstellung ist.
Identitat wird als 1 = D(I ) dargestellt.
Die Inverse stellt g 1 als D 1 (g) dar.
Die n n{Matrizen entsprechen linearen Transformationen auf den n{
dimensionalen Raum bei vorgegebenen Basisvektoren dar. Dies ist der
Darstellungsraum.
ist genau dann eine unitare Darstellung, wenn D(g) fur alle g 2 G
unitare Matrizen sind.
ist die zu konjugierte Darstellung, fur die gilt: D (g) von :
D (g) = D(g).
Zwei Darstellungen ; 0 heien aquivalent, wenn gilt:
{ dim( ) = dim( 0)
{ es gibt eine Matrix S , mit D0(g) = SD(g)S 1 ; 8 g 2 G
Die Matrix S bewirkt einen Basiswechsel im Darstellungsraum.
Beispiel: Raumliche Drehungen R(; ; ):
Dastellung: ~x0 = R~x; R 1 = RT ; det(R) = 1
R ! R ist eine 33{Matrix. Die Darstellung ist 3{dimensional. Die Matrizen
bilden eine Drehgruppe (raumlich), welche isomorph zu SO(3) ist.
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
51
Zusammenhang mit der Quantenmechanik:
Sei A eine Observable, G eine Symmetriegruppe mit g 2 G und U (g) auf H,
mit [A; U (g)] = 0 8 g 2 G:
A j ar i = a j ar i; r = 1; : : :; n
Das heit: j ar i ist ein Eigenvektor zum Eigenwert a. Wenn n > 1, dann
ist a ein n{fach entarteter Eigenwert. Der Eigenraum zu a wird durch die
j ar i aufgespannt. Die j ar i konnen senkrecht gewahlt werden.
Da nun [A; U (g)] = 0, ist auch U (g) j ar i Eigenvektor zu a, denn:
A [U (g); j ar i] = U (g) |A j{zar }i = a [U (g); j ar i]
=a j ar i
n
X
r0 i
D
(
g
)
0
j
a
r;r
| {z }
r0 =1
n n{Matrix
Auf jedem Eigenraum von A lat sich eine Darstellung der Symmetriegruppe
G denieren. D(g) ist gerade die Abbildungsmatrix der Abbildung U (g),
eingeschrankt auf den Eigenraum.
Die Eigenraume von A Darstellungen von G
=)
U (g) j ar i =
Reduzible Darstellungen:
Wann ist D reduzibel? Wenn die Matrizen D(g); g 2 G gemeinsame invariante Unterraume besitzen, die den ganzen Darstellungsraum aufspannen.
Gegeben seien i : g ! Di (g); i = 1; 2 : : : ! neue Darstellung:
0
BB D1(g)
BB
B
D(g) := B
BB
BB
@
D2 (g)
D3 (g)
...
1
CC
CC
CC
CC
CC
A
(2)
P
Schreibweise: = 1 2 : : :, D(g) = D1(g) D2 (g) : : :, dim = dim i.
i
Nach einem Basiswechsel mit D(g) ! SD(g)S 1 ist D nicht mehr von der
Form (2).
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
52
Wichtig ist meistens die umgekehrte Frage: Gibt es zu einer gegebenen Darstellung D(g) 8g, eine Matrix S , so da SD(g)S 1 8g von der Form (2)
ist? Die Antwort ist: Im allgemeinen nicht. Falls eine solche Matrix existiert,
nennt man die Darstellung reduzibel. Man erhalt durch eine Basistransformation die Form (2), welche invariante Teilraume beinhaltet. Existiert keine
solche Matrix, so heit die Darstellung irreduzibel. Man erhalt durch Ausreduktion (also geeignete Basiswahl) aus einer reduziblen Darstellung lauter
irreduzible.
Wenn man die irreduzible Darstellung kennt, kann man sich andere Darstellungen konstruieren, indem man direkte Summen und A quivalenztransformationen durchfuhrt.
Produktdarstellung:
Wenn wir zwei Darstellungen gegeben haben mit: i :
g !
Di (g); dim i = ni; i = 1; 2, dann denieren wir die Produktdarstellung mit Hilfe des Kronecker{Produktes (Dieses Produkt heit auch oft
Tensorprodukt. Es ist zu unterscheiden vom karthesischen Produkt):
1 2 : g ! D(g ) = D1 (g ) D2 (g ) auch D1 (g ) D2 (g )
D(g)rr0 ss0 = D1(g)rr0 D2(g)ss0 ; r; r0 = 1; : : :; n s; s0 = 1; : : :; m
D1 D2 konnen als (n1n2) (n1n2){Matrix geschrieben werden, durch \Einsetzen" der zweiten Matrix in die erste:
0 b11 b12 1 0 a11D2 a12D2 1
0 a11 a12 1
CA
D1 = B
@ a21 . . . CA
D2 = B@ b21 . . . CA = B@ a21.D2 . . .
...
...
...
...
...
..
Wenn j er i eine Basis von 1 und j es i eine Basis von 2 ist, so gilt fur die
Produktbasis fur 1 2 : j er i j es i j Ers i. Die Basisvektoren haben
folgende Gestalt:
0 19>
0 1
0 >
1
=
BB ... C
BB 0 CC
C
i
=
;
:
:
:
j
e
j e1 i = B
C
B
C
n1
@ 0 A>>; n1; analog fur j es i; s = 1; : : :; n2
@ ... A
1
0
Die Basisvektoren der Produktbasis erhalten wir nun durch \Einsetzen" der
j es i in die j er i:
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
0
BB 1
BB
BB
j E11 i = B
BB 0
BB
@.
...
..
53
0 11
B@ 10 CA CC 0 19
... C
1 >
0 1 CCC BB 0 CC>=
1
B@ 0 CA CCC = B@ ... CA>>; n1 n2Komponenten
0
... C
CA
0 1
0
BB ... CC
j En1 ;n2 i = B
@ 0 CA
1
Produktdarstellungen sind im allgemeinen reduzibel. Seien a; b irreduzibel,
so ist:
irr
irr
a b = 1 2 :::
Eine Anwendung hat das ganze bei der Kopplung von Drehimpulsen.
2.4.2 Eigenwertproblem bei Symmetrie
Sei A eine Observable, G eine Symmetriegruppe, die Eigenraume von A sind
die Darstellung von G, die Entartung von a = dim , dann folgt daraus:
Die Entartung von Eigenwerten ist (mindestens) die Dimension einer irreduziblen Darstellung. Wir betrachten nun zusammengesetzte
Systeme, zum Beispiel 2{Teilchen{Probleme, Spin{Bahn{Kopplung, ...
Betrachten wir zunachst die beiden Teilsysteme: Die Zustandsraume sind H1
und H2, die jeweilige Basis lautet: j n(1) i und j m(2) i und die Observablen:
A1; B1; : : : A2; B2; : : :. Im Gesamtsystem lautet der Zustandsraum: H1 H1,
die Produktbasis: j n(1) i j m(2) i und die Observablen: A1 1; 1 B2; A1 B2 ; : : :
Wie ist nun die Wirkungsweise solcher Operatoren deniert?
(1)
(2)
A1 B2 j n(1) i j '(2)
n i := A
| 1 j{zn }i B| 2 j{z'n }i
j
(1)
i
j '(2) i
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
54
Ein Beispiel ware der Spin und der Bahndrehimpuls (L~ ; S~ : H1 entspricht der
Bahnbewegung, H2 dem 2{dimensionalen Spinraum. L~ wirkt auf H1, und S~
auf H2. Im Produktraum lauten die Operatoren eigentlich: L~ = L~ 1 und
S~ = 1 S~ . Der Gesamtdrehimpuls ist also: J~ = L~ 1 + 1 S~ = L~ + S~ in der
ublichen Schreibweise.
Wir betrachten nun den Hamilton{Operator des Gesamtsystems. Dabei gehen wir schrittweise vor, indem wir zunachst keine Wechselwirkung
zulassen.
1. H = H1 + H2 = H1 1 + 1 H2, keine Wechsewirkung, H1 wirkt auf
H1, H2 auf H2.
Das bedeutet: Die Hi seien invariant unter G. Es sei U1(g) Symmetriegruppe auf H1 und U2(g) Symmetriegruppe auf H2. Daher gilt:
[Hi; Ui(g)] = 0; 8g 2 G. Daraus folgt nun, da H auf H1 H2 symmetrisch ist, [H; U (g)] = 0; U (g) = U1(g)
U2 (g). (Zum Beweis verwende
A1B1 A2B2 = (A1 A2)(B1 B2).) Daher sind die Eigenraume von
H die Darstellungsraume von G.
Wir betrachten zunachst das Eigenwertproblem auf den Einzelraumen
und dann das auf dem Produktraum:
H1 j Er i = E j Er i; r = 1; : : :; n1; Die Darstellung 1 wird aufgespannt durch die j Er i, sei "1 ein Teilraum.
H2 j s i = j s i; s = 1; : : :; n2; Die Darstellung 2 wird aufgespannt durch die j s i, sei 2 ein Teilraum.
Eigenwertproblem auf H = H1 H2 ist separierbar:
(H1 + H2) j Er i j s i = (E + ) |j Er{zi j s }i
Produktbasis
Der Eigenraum "1 2 hat die Dimension n1n2.
Da [H; U (g)] = 0, ist U (g) j Er i j s i Eigenvektor zu E + .
=)
X
r0 s0
r
s
r
s
D
| 1 ({zg)rr}0 D| 2({zg)ss}0 j E i j i; j E i j i Basis von
2
1
2
2
1 2
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
55
Der Eigenraum "1 2 ist Darstellungsraum von 1 2 (im allgemeinen
reduzibel). Ausreduktion liefert:
irr irr : : : X T irr
=
1
2
1
1
besitzt die Basisvektoren j i; = 1; : : :; dimTirr. Die Basistransformation lautet:
X Crs j i
j Er i j s i =
|{z}
; Zahlen
Die Entartung ist n1n2. Man kann die Energie{Zustande nun klassizieren nach:
den Quantenzahlen ; r; ; s aus den Produktzustanden, oder
den Quantenzahlen ; ; ; aus den irreduziblen Zustanden.
2. H = H1 + H2 + HWW wirkt auf beide Einzelraume (z.B. L~ S~ {Kopplung.
Sei H invariant unter G : [H; U (g)] = 0 8g 2 G, daher betrachten
wir nun die Eigenraume von H : Darstellungen von G.
H j E i = E j E i; = 1; : : : ; n; n = dim( )
Die j E i konnen nicht als j Er i j s i geschrieben werden. Jedoch
wenn (mindestens) eine irreduzible Darstellung ist, dann gilt: Eigenraume von H irreduzible Darstellung von G.
X irr
irr
1 2=
; dim n1 n2
Tirr
Das bedeutet, da im allgemeinen eine geringere Entartung vorhanden
ist. Dies fuhrt zu einer Termaufspaltung.
Wenn H12 = h; ! 0 gilt fur H (wenn ein stetiger U bergang moglich
ist):
H !!0 H1+H2 die Eigenraume von H ! Eigenraume von H1 + H2
Eine irreduzible Darstellung geht fur ! 0 in eine reduzible Darstellung und nicht in eine Produktdarstellung uber. Wir betrachten nun
die Eigenzustande von H :
j E; i !!0 j E + ; i und nicht gegen j Er i j s i
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
56
Wichtig fur die Storungsrechnung ist nun: Der Ausgangspunkt ist
die Basis j E + ; i und die Aufspaltung E = h E +
; j H12 j E + ; i ist unabhangig von aber abhangig von .
E
=1
=2
...
....
.....
....
.....
.
.
.
.
....
....
....
...
....
.....
....
....
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..
.......
.....
......
.......
.......
......
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.......
.......... ......................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
................................................................................................................................................
......................
...................
...............
..........
........
........
.......
......
.......
.......
........
.....
Entartung
Pm
i
E
+ 0
Die Entartung ist dim
=3
irr ; dim irr ; dim irr .
1
2
3
Symmetrieverminderung:
Habe H0 eine Symmetriegruppe G und H = H0 + h eine Symmetriegruppe G0 6 G, mit dim irr (G0) < dim irr (G). Also ist auch die
Entartung von H kleiner als die Entartung von H0 .
Eine Anwendung ist das H{Atom im homogenen B~ {Feld (Zeemann{
Eekt).
B~ = 0 : Es gilt die volle Drehsymmetrie, die Entartung ist 2J +1{
fach.
B~ 6= 0 : Die Drehsymmetrie ist nur noch bezgl. der B~ {Achse (z{
Achse). Die Darstellung lautet (mit Jz als Erzeugende):
0
e
B
D() = e iJz = B
B@
iJ
e
0
Die Darstellung ist irreduzibel. dim
ist 1.
i(J 1)
irr
...
0
eiJ
1
CC
CA
= 1, der Entartungsgrad
Satz: ist G eine abelsche Symmetriegruppe, so existieren 1{dimensionale
irreduzible Darstellungen (hier: Rr ()Rz (0) = Rz (0) = Rz ()).
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
57
2.5 Drehungen
2.5.1 Irreduzible Darstellungen
Die Gruppe der (raumlichen) Drehungen sind eine kontinuierliche Gruppe.
Die Erzeugenden Jk ; k = 1; 2; 3 erfullen die kanonischen Vertauschungsregeln:
[Jk ; Jl] = iklmJm
(3)
Die Erzeugende sind bis auf einen Faktor h identisch mit dem Drehimpuls.
Die Darstellungen von Jk fur innitesimale Drehungen lauten:
1 i(!1Jx + !2Jy + !3Jz )
Durch Exponenzieren erhalten wir die Darstellung fur endliche Drehungen.
Die Darstellungen der Jk sind Matrizen, die die kanonischen Vertauschungsregeln (3) erfullen. Notation: Die Darstellungsmatrizen werden mit demselben
Symbol Jk bezeichnet.
Fur endliche Drehungen lautet die Darstellung mit den Eulerwinkeln ; ; :
D(; ; ) = e
iJz e iJy e iJz
Anmerkung: Die Erzeugenden Jk bilden zusammen mit den Vertauschungsrelationen (3) eine Lie{Algebra.
Wir erklaren den allgemeinen Begri der Lie{Algebra: Seien T1; : : :; Tn hermitische Operatoren (Tky = Tk ) und es gelten folgende Vertauschungsregeln:
[Tk; Tl] =
n
X
m=1
ifklmTm
Die fklm sind Zahlen und werden Strukturkonstanten genannt. Die Tk sind
die Erzeugenden einer kontinuierlichen Gruppe, einer Lie{Gruppe. Fur die
Transformationsmatrix gilt:
X
U ( ; : : :; ) = ei(1T1;:::;nT2) innit.
! 1 + i n T
1
n
Beispiele von physikalischer Bedeutung sind:
k=1
k k
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
58
SU (2), unitare 2 2{Matrizen mit Determinante= +1. Die drei Erzeu-
genden T1; T2; T3 sind Tk = 12 k , mit k den Pauli{Matrizen. Anwendung ist der Isospin mit der schwachen Wechselwirkung. Die Algebra
lautet: [Ik ; Il] = iklmIm.
SU (3), unitare 3 3{Matrizen mit Determinante= +1. Die Gruppe hat
8 Erzeugende: T1; : : :; T8, mit Tk = 12 k . Die k sind 3 3{Matrizen,
die sogenannten Gell{Mann{Matrizen. Man verwendet diese Gruppe
zur Beschreibung der starken Wechselwirkung und Quarks.
Betrachten wir nun Darstellungen der Jk : Bekannt ist schon folgende Darstellung:
1 3
J~2 j jm i = j (j + 1) j jm i; j = 0; 2 ; 1; 2 ; : : :
Jz j jm i = m j jm i; m = j; : : :; j
In der Basis der j jm i lautet Jz nun :
0 0
BB
1 0
2
BB
1
0
2
BB
Jz = B
BB
BB
0
@
0
1 0 0
0 0 0
0 0 1
...
1
CC
CC
CC
CC
CC
CA
Wie denieren nun die Schiebeoperatoren: J := Jx iJy . Ihre Wirkungsweise
auf einen Zustand ist wie folgt:
p
p
J+ j jm i = j (j + 1) m(m + 1) j j; m + 1 i; J+ j jj i = 0
J j jm i = j (j + 1) m(m 1) j j; m 1 i; J j j; j i = 0
Darstellung von J zerfallt jetzt in irreduzible Dartstellungen, wobei jede
dieser Darstellungen zu festem j der zugehorige Teilraum von j jm i ist. Das
sind invariante Teilraume, d.h. es sind keine U bergange j $ j 0 moglich.
Die irreduziblen Darstellungen zu einem festem j sind 2k + 1{dimensional
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
(Spinor{Darstellungen):
0 0
BB 2 2
J = B
@
0
0
33
44
59
1
CC
CA
P
Die Darstellungen von J~2 = Jk2: Fur festes j gilt:
k
J~2 = j (j + 1)1
; [J~2; J] = 0
Die irreduziblen Darstellungen sind klassiziert durch die Eigenwerte von J~2.
Allgemein gilt fur Lie{Gruppen das Schursche Lemma:
Wenn C (T1; : : :; Tn) ein Polynom in Tk ist, mit [C; Tk] = 0; k = 1; : : : ; n,
dann gilt in einer irreduziblen Darstellung mit als Zahl: C = 1.
Wir betrachten die Poincare{Gruppe: Sei P P = P 2 m2 der Masse der
Teilchen und S~ 2 ! Spin, mit s = 0; 12 ; 1; : : :, dann gilt fur Spin 12 :
Dz () = e
i 2z
=
e
i 2
0
0
ei 2
Bei einer Drehung von 2, gilt fur alle halbzahligen Darstellungen:
Dz (2) = 1. Das heit, eine Drehung um 2 fuhrt einen Spinor nicht wieder
auf sich selber zuruck:
( + ) 2!
( + )
2.5.2 Produktdarstellung, Addition von Drehimpulsen
Gegeben sei ein System H1, mit J~12 und ein System H2, mit J~22, das Gesamtsystem H = H1 H2 besitzt den Gesamt{Drehimpuls: J~ = J~1 1+1 J~2 =:
J~1 + J~2 und die Ji erfullen die Vertauschungsrelation: [Jk; Jl] = iklmJm , d.h.
J~ ist Erzeugende von Drehungen auf H1 H2, Die irreduzible Darstellung
j 1 wirke auf dem Teilraum von H1 .
J~12 j j1m1 i = j1(j1 + 1) j j1m1 i
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
j2
60
wirke auf Teilraum von H2:
J~22 j j2m2 i = j2(j2 + 1) j j2m2 i
j jimi i ist die Basis.
Wir schauen uns nun die Produkt{Darstellung auf H1 H2 an: j1 Die Produktbasis j j1m1 i j j2m2 i ist (2j1 + 1)(2j2 + 1){dimensional
j2
:
Jz = J1z + J2z : Jz j j1m1 i j j2m2 i = (|m1 {z
+ m2}) j j1m1 i j j2m2 i
=:M
M := m1 + m2
Die Produkt{Basis beinhaltet jedoch keine Eigenvektoren von J~2. Die Eigenzustande von J~2 ( irred. Darstellung, (2J + 1){dimensional):
1
J~2 j JM i = J (J + 1) j JM i; J = 0; 2 ; 1; : : :; M = J; : : :; J
Wir wollen nun j1 j2 nach J ausreduzieren:
j1 j2
=
X
Jmax
J =Jmin
J
=
X
j1 j2
J =jj1 +j2 j
J
0 j 1 +j 2
1
X
@
2J + 1 = (2j1 + 1)(2j2 + 1)A
J =jj1 j2 j
Die Matrizen Jz ; J ( Jx; J ) in der Basis j JM i haben folgende Gestalt:
0
BB Jmin Jmin . .
.
@
0
Beispiel: j1 = 2; j2 = 1
0
Jmax Jmax
1
CC
A
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
61
J=3 J=2 J=1
3
2
2
1
1
1
0
0
0
-1 -1 -1
-2 -2
-3
Die moglichen Werte von J sind: j1 + j2; : : :; jj1 j2j. Die zugehorigen M {
Werte sind J; : : :; J . Die physikalische Bedeutung ist: J (J + 1) ist die Gesamtdrehimpulsquantenzahl, m ist die Quantenzahl der z{Komponente des
Gesamtdrehimpulses.
Basis{Transformationen: orthogonal ! orthogonal (unitar).
Fur feste j1; j2 berechnen sich die j JM i :
X
j JM i =
j j1m1 i j j2m2 i
|h j1m1j2{zm2 j JM }i
m1 ;m1
Clebsch{Gordan{Koezient
Die Clebsch{Gordan{Koezienten sind nur fur m1+m2 = M verschieden von
Null. Sie sind Elemente einer unitaren Matrix und bis auf eine Phasenwahl
eindeutig. Wir fuhren jetzt eine Konvention ein (Messiah):
h j1m1j2m2 j jj i 0; m1 = j1
Die anderen CG{K sind durch die J bestimmt. Wie geht man nun vor, wenn
man die CG{K bestimmen will?
1. Berechnung fur maximales J = j1 + j2:
j JJ i = j j1j1 i j j2j2 i; j JM i durch Anwenden von J
...
j J; J i = j j1; j1 i j j2; j2 i
2. kleinere J = j1 + j2 1; : : : durch Normierung, Orthogonalitat und
Phasenkonvention.
Das 3{j {Symbol:
j j j ( 1)j1 j2 m
1
2
m1 m2 m := p2j + 1 h j1m1j2m2 j j; m i
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
62
ist symmetrisch unter zyklischen Permutationen.
ist antisymmetrisch bei Transposition von Spalten
Anwendungen: Spin{Bahn{Kopplung
Ein Elektron sei im
Zentralfeld. Der wechselwirkungsfreie Hamilton{
Operator sei H0 = 2p~m2 + V (r). Wenn L~ der Bahndrehimpuls, S~ der Spin und
J~ = L~ + S~ der Gesamtdrehimpuls ist, lautet der gesamte Hamilton{Operator:
H = H0 + |{z}
L~ S~ .
H1
Es gelten folgende Vertauschungsregeln:
[L~ 2; Jk ] = [S~ 2; Jk ] = [L~ 2; J~2] = [S~ 2; J~2] = 0
1
[L~ S~ ; Jk ] = 2 [J~2 L~ 2 S~ 2; Jk ] = 0
Daraus folgt, da [H; Jk ] = 0, also der Gesamtdrehimpuls erhalten ist. J; M
sind also erhaltene Quantenzahlen, H; J~2; Jz ; L~ 2; S~ 2 haben gemeinsame Eigenzustande j E; J; M; l; s i.
Andererseits ist [H; Lk ] 6= 0 und [H; Sk ] 6= 0, d.h. L~ ; S~ sind nicht separat
erhalten, ml; ms sind keine erhaltenen Quantenzahlen. Also sind j lml i j sms i
keine Eigenzustande von H .
Z
.......
......
......... ..
..... .
......
.. ..
......
...
......
.......
.
.
.
.
...
.
.
...
..
.......
... ............
......
........
....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .......
............ .......... ....... ....... .......
...... ....
.
.
.
.
.
..
..............
......
.... ...... ....... ....
....... ...... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ..
....
...
.
...
....
.
....
..
.
...
....
.
....
.
.
....
...
...
..
..
....
.
....
..
....
..
.... ...
.
.....
.
..
.... ....
.
.... .
.
.... ...
.
....
.
.... ..
.
.... ..
.
....
..
.... ...
.
.... .
.... .
..
.....
..... ..
..... .
.....
.
..
~
S
~
L
~ S
~
L;
prazedieren um J~{achse
J~
Korrekturen zu den Energieniveaus h E; JM j J~2 L~ 2 S~ 2 j E; JM i. Da
j = l 21 ; l 6= 0 und j = s; l = 0, sind die Korrekturen J (J + 1) l(l +
1) s(s + 1).
2.5.3 Tensor{Operatoren
Denition: Ein Satz von 2k + 1 Operatoren:
Tm(k); m = k; k + 1; : : :; +k
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
63
heit irreduzibler Tensor{Operator k{ter Stufe, wenn unter Drehungen
gilt:
k
X
(k) (R)T 0(k)
Dmm
U (R)Tm(k)U 1(R) =
0
m
m0 = k
Das heit er transformiert sich wie die j km i
Eine aquivalente Formulierung ist:
p
[Jz ; Tm(k)] = mTm(k); [J; Tm(k)] = k(k + 1) m(m + 1)Tm(k) 1
Beispiele:
k = 0 : T (0) : [J; T (0)] = [J+; T (0)] = 0
k = 1 : Vektor V0 = T0(1) = z; V1 = T1(1) = p12 (Vx + iVy ), V 1 =
T (1)1 = p12 (Vx iVy ) ~x = (x; y; z) ; J~ ! (J ; Jz ) das heit in (T(1)1 )
k = 2 : Tensor 2{ter Stufe mit 5 Komponenten. Karthesisch hat er
9 Komponenten | Symmetrie | Sp(: : :) = 0 ergibt 5 Komponenten.
Ein Beispiel ist der elektrische Quadrupoltensor.
Allgemein: Ylm(#; '); l = 0; 1; 2; : : : ist ein Tensoroperator l{ter Stufe
(bzgl. Multiplikation).
Wir machen jetzt wichtige Aussagen uber Matrixelemente. Allen vorran das
Wiegner{Eckart{Theorem
Seien j ; JM i Basisvektoren einer (2J+1){dimensionalen irreduziblen Darstellung mit einer weiteren simultanen Quantenzahl (z.B. Energie) und
entsprechend j 0; J 0M 0 i diejenigen fur eine irreduzible Darstellung zu J 0.
T;(k) seien Komponenten eines irreduziblen Tensoroperators. Dann gilt:
1
|2J{z+ 1}
\red. Matrixelement" Konvention
0 ; J 0 j jT (k)j j ; J i
h ; JM j Tm(k) j 0; J 0M 0 i = h| J 0M 0; km
j
JM
i
h
{z
}|
{z
}
CG{K
2 SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK
64
Die CG{K sind fur (J 0M 0)(km) ! (JM ), die reduzierten Matrixelemente
sind unabhangig von M; M 0 und m.
Wenn man nun das reduzierte Matrixelement aus der einfachsten Konguration (z.B. M = M 0 = m = 0) berechnet, so sind alle Matrixelemente durch
die CG{K bestimmt. Diese kann man aus einer Tabelle ablesen (Man kann
sie sich auch jedesmal ausrechnen, wenn man gerade zuviel Zeit hat, oder sie
auf ein U bungsblatt stellen).
l = 2 l0 = 3 k = 2 5
7
5
Da nun die CG{K nur fur bestimmte U bergange von Null verschieden sind,
bekommt man so die Auswahlregeln fur U bergange.
Anwendung in der Spektroskopie:
Dipolstrahlung: < ~x > Tm(1) ; k = 1
Quadrupolstrahlung: < Qik >< Tm(2) > ; k = 2
Allgemein gelten fur k{Pol{Strahlung die folgenden Auswahlregeln
jJ J 0j k jJ + J 0j; M M 0 = 0; 1
Jedoch konnen noch weitere Einschrankungen zum Beispiel durch die Paritat
hinzukommen. So ist zum Beispiel bei k = 1; J J 0 = 0 nicht erlaubt (Q{
Zweig).

3 ZEITABHANGIGE
PROBLEME DER QUANTENMECHANIK
65
3 Zeitabhangige Probleme der Quantenmechanik
3.1 \Bilder" der Quantenmechanik
1. Schrodinger{Bild:
Im Schrodinger{Bild sind die Zustande j (t) i zeitabhangig und die
Observablen A zeitunabhangig. Wenn @tA 6= 0, d.h. bei expliziter
Zeitabhangigkeit ist: dA
dt = @t A.
Die Bewegungsgleichung ist die Schrodinger{Gleichung (SRG):
d
ih dt j (t) i = H j (t) i
Die Losung dieser SRG lautet:
j (t) i = U (t; t0) j (t0) i ; U (t0; t0) = 1
Falls @tH = 0 ist, lautet: U (t; t0) = e hi (t t0)H .
Die Losung von ih ddtU = H U , bzw ih dUdty = U yH lautet:
X
j (t) i = h En j (t0) ie hi (t t0)En j En i
n
wobei im diskreten Spektrum H j En i = En j En i gilt.
Im kontinuierlichen Spektrum gilt:
Z
j (t) i = dE h E j (t0) ie
i
h (t t0 )E
jE i
Falls @tH 6= 0 sei H = H0 + H1(t); mit @tH0 = 0, wahle H1 =
0; t < t0 = 0.
{ Fur t < 0 gilt nun :
j (t0) i = j En0 i
{ Fur t > 0 gilt
j (t) i =
X
k
; H0 j En0 i = En j En0 i (sei gelost)
ck (t) j En0 i
(Entartung sei ausgeschlossen)

3 ZEITABHANGIGE
PROBLEME DER QUANTENMECHANIK
66
X
ih dtd j (t) i = ihc_k (t) j En0 i = H j (t) i =
=
Xk
0
ck (t)(H0 + H1) j En0 i
k
Durch Multiplizieren von h En0 j von links wird dies zu:
P
ihc_k (t) = Ek0ck + 0 ck0 (t)h Ek0 j H1 j Ek00 i
k
(1)
Dies ist ein System von gewohnlichen Dierentialgleichungen.
Diese sind exakt losbar z.B. fur Systeme mit endlich vielen
Energie{Niveaus (z.B. Spin im Magnetfeld).
Sei nun H1 = const:
H
H1
H1
6= 0
=0
t
Nun ist (1) ein lineares homogenes System von gewohnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koezienten. Der Ansatz zur
Losung dieses Systems lautet mit den Eigenwerten und ni den
Eigenvektoren:
0 1 0 1
n
c
B@ ...1 CA = B@ ...1 CA e i
t
nn
cn
X
j (t) i = cn(t) j Ek0 i sei gelost.
n
 bergangswahrscheinlichkeit also die Wahrscheinlichkeit,
Die U
da das System zur Zeit t im Zustand j Em0 i angetroen wird,
ergibt sich zu:
W (t) = jh Em0 j (t) ij2 = jcm(t)j2

3 ZEITABHANGIGE
PROBLEME DER QUANTENMECHANIK
67
2. Heisenberg{Bild:
Im Heisenberg{Bild sind die Zustande j H i zeitunabhangig und
die Observablen AH (t) zeitabhangig. Zur Unterscheidung schreiben
wir fur das Schrodinger{Bild j S i; AS . Fur die Umrechnung von
Schrodinger{Bild in das Heisenberg{Bild gilt:
< A >= h S (t) j AS j S (t) i = h S (t0) j |U (t; t0)y{z
AS U (t; t0}) |j S{z(t0) }i
=AH (t)
() < A > h S (t0) j AH (t) j
j Hi
Hi
AH (t) = U (t; t0)yAS U (t; t0)
j H (t) i = j S (t0) i = U (t; t0)y j S (t) i
Die Bewegungsgleichung lautet nun:
!
dU dU y
dAH
y
y
dt = dt AS U + U AS dt + |U @{ztAS U}
@t AH
Dies fuhrt auf die Heisenberg{Gleichung:
dAH = 1 [AH; HH ] + @tAH
dt
ih
Sei nun AS = AS (xk ; Pl; : : :; t); O = xk ; Pl; Sm; : : :, dann ist AS :
X
X
O
| s :{z: :O}s gn (t) ; @tAS = n O| s :{z: :O}s g_n(t)
n n mal
n mal
Fur die Zeitableitung im Heisenberg{Bild gilt:
AS =
@tAH (OH ; t) U y@tAS U =
X y
U {z
OS U} U yOS U : : : U yOS U g_n(t)
|
n
=:OH (t)

3 ZEITABHANGIGE
PROBLEME DER QUANTENMECHANIK
68
Beispiele: Ein freies Teilchen (1{dimensional), HH = 2pm2h :
x_ H = i1h [xH ; HH ] = 2mi1 h [xH ; PH2 ] = pmH
p_H = i1h [pH ; HH ] = 0
Diese Gleichungen entsprechen in der klassischen Mechanik die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen: Sei A = A(qk; pk ; t):
dA
+@tA
f|A;{zH g}
dt =
Poisson{Klammern
Die Losungen in der klassischen Mechanik lauten:
1
pH (t) = pH (0); xH (t) = m pH (0) t + xH (0)
Die Losung der Dierenzialgleichungen fur die Operatoren benotigt
Anfangsbedingungen AH (0). Sei @tAHi = 0 (() @tAS = 0), und
@tHS = 0, dann ist HH = HS , da [e h (t t0)H ; H ] = 0. Die Bewegungsgleichung und deren Losung lauten jetzt:
dAH 1
dt = ih [AH ; H ]
AH (t) = e hi (t t0)H AH (t0)e hi (t t0)H
Das Eigenwertproblem von AH beinhaltet nun zeitabhangige Eigenvektoren:
AH (t) j aH (t) i = a j aH (t) i
Die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t den Wert a zu messen, ist nun:
Wa = jh aH (t) j H ij2 jh aS j S (t) ij2
3.2 Zeitabhangige Storungsrechnung
In der Regel sind die Probleme nicht exakt losbar. Daher benotigt man ein
Naherungsverfahren.

3 ZEITABHANGIGE
PROBLEME DER QUANTENMECHANIK
69
3.2.1 Wechselwirkungsbild (Dirac)
Das Wechselwirkungsbild ist eine Synthese aus Heisenberg{ und Schro-
dinger{Bild, welches sich fur die Storungsrechnung besonders eignet.
Sei im Schrodinger{Bild ein Hamilton gegeben: H = H0 + H1; @tH = 0
(Wir wollen nun Operatoren im Schrodingerbild mit einem oberen Index
bezeichnen: z.B. H0 =: H0S .)
Das Wechselwirkungsbild (I fur Interaction) ist nun deniert durch:
Operatoren AI (t) bezuglich H0 (Heisenbergbild)
AI (t) = e hi H0tAI (0)e
i
h H0 t
Zustande j I (t) i, die zeitabhangig bezuglich H1(t) (Schrodinger{Bild)
sind.
mit
ih@t j I (t) i = H1I (t) j I (t) i
H1I = e hi H0tH1e
i
h H0 t
Dabei wird festgesetzt, da fur alle Operatoren AI (0) AS (0) und
I (0) S (0) gilt. Zur Zeit t ist also das Wechselwirkungsbild gleich dem
Schrodinger{Bild.
Wir losen nun die Bewegungsgleichung fur j I i:
j I (t) i = UI (t; 0) j I (0) i
Dabei ist UI die Losung der folgenden Gleichung (Beweis durch Einsetzen).
Rt
UI (t; 0) = 1 + i1h dt0H1I (t0)UI (t0; 0)
0
Die Eigenzustande von H0: (H0I = H0 )
H0 j En0 i = En0 j En0 i j En0 i sind zeitunabhangig
Dir typische Fragestellung ist: Wenn ein System zum Zeitpunkt t = 0 in
einem bestimmten Zustand j En0 i ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit trit

3 ZEITABHANGIGE
PROBLEME DER QUANTENMECHANIK
70
 berganswahrman bei t > 0 das System im Zustand j Em0 i an? Diese U
scheinlichkeit ergibt sich zu:
Wmn(t) = jh Em0 j I (t) ij2 = jh Em0 jUI (t; 0) j En0 ij2
Falls die Energie Em0 aus dem kontinuierlichen Spektrum von H0 ist, gilt:
| (Em0{z)dEm0} = dn = Zahl der Zustande im Intervall [Em0 ; Em0 + dEm0 ]
Zustandsdichte
Die Wahrscheinlichkeit in einem Intervall dEm0 ist:
dWmn = (Em0 )dEm0 jh Em0 j I (t) ij2
dWmn
0 )jh E 0 j (t) ij2
=
(
E
m
m I
0
dEm
Allgemein gilt fur die Wahrscheinlichkeit:
R dE 0 dWmn
E2
E1
m dEm0
Wir fuhren nun eine Notation ein, wenn = (1 ; : : :; k ) weitere simultane
Quantenzahlen sind:
j a i := j Ea0; i
; j b i = j Eb00 i
Wobei Ea0 ; Eb0 Eigenwerte des freien Hamilton H0 (diskret oder kontinuierlich) sind.
Sei nun j a i = j I (0) i also der Anfangszustand. Fur t > 0 ist der Zustand
 bergangsamplitude vom Zugegeben durch: j I (t) i = UI (t; 0) j a i. Die U
stand j a i zum Zustand j b i betragt:
Aba = h b j UI (t; 0) j a i
 bergangswahrscheinlichkeit ist:
Die U
Wba = jAbaj2

3 ZEITABHANGIGE
PROBLEME DER QUANTENMECHANIK
71
Falls j b i 2 Spektrum(H0), gilt:
dWba = jAbaj2(Eb0)dEb0
Die Wahrscheinlichkeit, da der Zustand j a i in den Energiebereich [E1; E2]
ubergeht, ist:
Wa!b =
ZE2
E1
dEb0(Eb0)jAbaj2 =
ZE2
E1
dEb0(Eb0)jh b jUI (t; 0) j a ij2
Beispiel: U bergange zwischen freien Teilchenzustanden:
h2k2
2
~
~
j a i = j Ea; ka i; j b i = j Eb ; kb i; E = 2m :
Z 1
h b j UI (t; 0) j a i = (2)3 d3xe i~kb~xUI (t; 0)ei~ka~x
Die Wahrscheinlichkeit, da der Zustand mit ~ka in das Intervall d~kb bei ~kb
ubergeht, betragt: (~kb = (kb; #| b{z; '}b)):
b
W = jh b j UI (t; 0) j a ij2d3kb = jAbaj2kb2dkb d
b
p 3
2m Eb
2
= jAbaj
3 d
b dEb
h
| {z }
(Eb)
3.2.2 Bestimmung von UI (t; 0)
Die Integralgleichung fur UI (t; 0) lautet:
1Z 0 I 0
UI (t; 0) = 1 + ih dt H1 (t )UI (t0; 0)
t
0
Deren Losung erhalt man durch sukzessive Approximation:
U0(t; 0) = 1
Rt
U1(t; 0) = 1 + i1h dt0H1I (t0)
0
0
t
R
2 Rt 0 Rt 00 I 0 I 00
0
I
0
1
1
U (t; 0) = 1 + dt H (t ) + ( ) dt dt H (t )H (t )
2
ih
0
1
ih
0
0
1
1

3 ZEITABHANGIGE
PROBLEME DER QUANTENMECHANIK
72
Dies fuhrt auf eine Storungsreihe fur U (t; 0):
U (t; 0) = 1 +
1 1 n Z t
X
n=1
ih
0
dt1 : : : Z
tn
0
1
dtnH1I (t1) : : : H1I (tn)
Dieses Vorgehen ist dann sinnvoll, wenn H1 nur eine verglichen mit H0 schwache Storung ist. Dann herrscht hinreichend rasche Konvergenz, d.h. es sind
nur wenige Terme relevant. Z.B. H1 (t) = h(t) mit einer kleinen Zahl.
Wir betrachten die 1. Naherung:
1Z 0 1 0
j I (t) i = j I (0) i + ih dt HI (t ) j I (0) i
t
0
Fur j I (0) i = j a i ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude (mit Wba = jAbaj2)
fur j b i 6= j a i:
1Z 0
1 Z 0 hi (Eb0 Ea0 )t0
1
0
Aba = ih dt h b j HI (t ) j a i = ih dt e| {z }h b j H1(t0) j a i
=:ei!t
t
t
0
0
1. Zeitlich konstante Storung:
0; t < 0
H1(t) =
V = const; t > 0; @tV = 0
Die Anfangsbedingung lautet: j I (0) i = j a i. In 1. Naherung lautet
nun die Amplitude:
Z
ei!bat 1
1
1
V j a }i dt0ei!bat0 = ih Vba i!
Aba = ih h| b j {z
| {zba }
t
=:Vba
0
! t sin( !2ba t)
2
ei ba
!ba
2
Die Wahrscheinlichkeit betragt also:
Wba = jAbaj2 = 12 jVbaj2f (t; !ba)
h

3 ZEITABHANGIGE
PROBLEME DER QUANTENMECHANIK
f (t; !ba) =
73
sin2( !2ba t)
2
!ba
4
f
........
... ....
... ........
... ...... ...
........
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..
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2
t
4
t
!
Fur groe t sind die U bergange, fur die !b ' !a gilt, bevorzugt. Es gilt:
jEb0 Ea0j ' 2t h
Das heit, da die Energie bei solchen U bergangen bis auf den Wert
2t h erhalten ist.
 bergange im Kontinuum (Eb0 2 kontin. SpekWie betrachten nun U
trum von H0):
1
dWa!b = (Eb0)dEb0jAbaj2 = (Eb0) 2 jVbaj2f (t; !ba)
h
Z
1
Wa!b = dEb0 2 jVbaj2f (t; !ba)
h
(a)
B
2= B = (E1; E2) ; jE2 E1j so klein, da:
1
Wa!b ' (E1)jVbaj2 jE1 2 (E2 E1)
|f (t;{z!ba})
h
Ea0
(b) Ea0 2 B = (Ea0
uber t gemittelt:! (Eb2hE2a)2
E1; Ea0 + E ); E kein
1
Wa!b ' (Ea0) 2 jVbaj2 jEa0
h
Z
Ea0 +E
|
Ea0 E1
1
=
Z
dEb0f (t; !ba)
{z
dEb0 : : : +RE
|1 {z(I) }
}

3 ZEITABHANGIGE
PROBLEME DER QUANTENMECHANIK
74
Wir denieren nun := Eb h Ea t. Damit wird (I ) zu:
0
0
Z1 sin
(I ) = 2ht d
|1
j R E j = 2
Fur groe t also E Z1
{z }
=
8h2
dEb0 : : : E
Ea0 +E
2h () 1
t
E
....
....
.. ..
.. ..
.. .
.. ...
... ...
.
... ...
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.. ...
.... ...
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.
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.
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.
.
......... ........ ..........................
.
.
.
.
..... ..........
.............. ....................
2
2i h gilt nun:
2 Wa!b = h jVbaj2(Eb0) Eb0=Ea0 t
Die Wahrscheinlichkeit ist proportional zur Zeit !! Also denieren wir eine U bergangsrate ( Wt ). Dies fuhrt auf die goldene
Regel:
Wba = dWdtba = 2h jVbaj2(E0b) E0b=E0a
Ein anderer Zugang ist:
Z
d
1
Wba = dt Wa!b = dEb0 (Eb0) 2 jVbaj2@tf (t; !ba)
h
B
sin!t
! 2(!)
@tf (t; !ba) = 2 ! t!1
2. Storung wahrend einer endlichen Zeit [ T; T ]
Sei H1 (t) = 0 auerhalb von [ T; T ]. (T kann auch 1 sein, wenn
lim H (t) = 0 schnell genug). Setze nun noch t0 := T :
jtj!1 1

3 ZEITABHANGIGE
PROBLEME DER QUANTENMECHANIK
75
t= T :
j a i = j I( T ) i
t> T :
I (t) = UI (t; T ) j a i
t > T : in 1. Naherung:
1Z 0 I 0
UI (t; T ) = 1 + ih dt H1 (t )
T
|T1R {z }
1
dt0 H1I (t0)
Die Amplitude ist nun:
1 Z
1 Z
I
Aba = ih dth b j H1 (t) j a i = ih dth b j ei!tH1(t) j a i
1
1
1
1
1
Aba = ih h b j
Z1
1
Dabei ist H1(t) = p12
1 (t) j a i =
dtei!batH
p
2
~
ih = h b j H1(!ba) j a i
R1 d!e i!tH~ (!) die Fourier{Transformierte.
1
1
Damit ein U bergang moglich ist, mu H~1(!ba) 6= 0 sein, also h!ba =
Eb0 Ea0 mu im Fourier{Spektrum von H1 vorkommen. Dies ist die
Bohrsche Frequenzbedingung.
3.2.3 Periodische Zeitabhangigkeit
Sei H = H0 + H1(t); @tH0 = 0
t=0:
t>0:
H1 (t) = V ei!t + V +e
j a i = j I (0) i
i
i
VI (t) = e h H0 tV e h H0 t
VI+(t) = e hi H0tV + e hi H0t
i!t ;
@tV = 0.

3 ZEITABHANGIGE
PROBLEME DER QUANTENMECHANIK
76
 bergangswahrscheinlichkeit betragt:
Die U
Aba = h b j UI (t; 0) j a i
1Z 0
= ih dt h b j VI e
t
0
2
t
1 Z 06
V j a }i ei(!ba
= ih dt 4h| b j {z
0
Vba
1 ei(!ba
= ih Vba i(!
ba
! )t
i!t + V + ei!t j a i
I
3
!)t0 + h b j V + j a i ei(!ba+!)t0 7
5
| {z }
1
Vba+
ei(!ba+!)t
1 +
1
+
V
ba
!) ih i(!ba !)
Die Wahrscheinlichkeit betragt:
1n 2
Wba = ih jVbaj f (t; !ba !) + jVba+ j2f (t; !ba + !)+
ei(!ba !)t 1 e (!ba+!)t 1 o
+2< VbaVab i(! !) i(! !)
| ba{z } ba
!ba !
sin!ba 2 ! t
2
Es gibt einen Peak fur !ba ' !; t gro, bzw. fur !ba ' !. Die Eigenschaften fur groe Zeiten t sind:
limt!inf f (t; !ba !) t(!ba !)
limt!inf f (t; !ba + !) t(!ba + !)
1. ! = !ba = Eb hEa > 0 : niedriges ! hoheres Energie{Niveau
Wba = 12 jVbaj2f (t; !ba !)
h
2. ! = !ba = Ea h Eb > 0 : umgekehrt (=) Emission)
Wba = 12 jVbaj2f (t; !ba + !)
h

3 ZEITABHANGIGE
PROBLEME DER QUANTENMECHANIK
77
2
dW
wba := dtba = 2 jVbaj2(Eb0 Ea0 h!)
h
Fur das kontinuierliche Spektrum gilt:
wba = 22 (Eb0)jVbaj2 jEb=Eah!
h
Anmerkung: Die {Funktion ist eine zu starke Idealisierung. Eine genauere
Beschreibung ist: H1(t) als Fourier{Spektrum 6= (! !0) ; V ! H~ 1(!ba !); Vba ! h b j H~ 1 j a i.
Wir betrachten nun eine Anwendung: Ein Atom im elektrischen Feld (e{
m{Welle)
P~ 2
H0 = 2m + V0; j a i = j En; l; m i; j b i = j en0 ; l0m0 i
E~ = E~ 'ei(~kx~ !t) + E~ #e i(~k~x !t)
Es gibt zwei Moglichkeiten, dies nun zu behandeln:
1. Dipolnaherung: ~k~x 1; ei~kx~ = 0
2. Vernachlassigung des magnetischen Anteils
~ x = eE~ 0~xe i!t + eE~ 0~xei!t
H1(t) = F~ ~x = eE~
Wir betreiben Storungsrechnung:
e~x
jai
Vba = |h b j eE~{zo~x j a }i = E~ 0h b j
|{z}
Dipolmoment
Dipolmatrixelement
U bergange sind unmoglich (\verboten"), fur: h b j ~x j a i = 0 und moglich (\erlaubt"), fur h b j ~x j a i 6= 0
(1)
(1)
~xE~ 0 = x(1)
1 E + x 1 E+ + x0 E0Z
(xp iy)
E = Ex p iEy ; x(1)
1; 1 =
2
2

3 ZEITABHANGIGE
PROBLEME DER QUANTENMECHANIK
78
(1)
(1)
Vba = eE h b j x(1)
1 j a i + eE+ h b j x 1 j a i + E0Z h b j x0 j a i
Das Wiegner{Eckart{Theorem sagt nun:
1
0
0 0
h Eb0; l0m0 j x(1)
h Eb0l0 jjx(1)j j Ea0l i
j Ea ; lm i = h lm; 1 j l m i p 0
2l + 1
Die Auswahlregeln sind nun:
1. m0 = m + () m0 m = = 0; 1
2. l0 = l + 1; l; l 1 () l0 l = 0; 1
Wir fuhren nun die Berechnung des reduzierten Matrixelements durch:
1
0
h Eb0l00 j x(1)
h l0; 10 j l00 ih Ebl0 j jzj j Eal i
0 j Ea l 0 i = p 0
2l + 1
Z1
0
L.S =
Z
drr2 Rk0 l0 Rklr
d3xRk0l0 (r)Yl00zRkl(r)Yl0
Z
p
p
2l 0 + 1 2l + 1
cos#
d
Pl Pl0
4
= : : : (2l + 1) Pl = lPl 1 + (l + 1)Pl+1
p 0 p
Z
2l + 1 2l + 1 Z
3
0
lPl 1Pl0 + (l + 1)Pl+1 Pl0 dx
= drr R R 2(2l + 1)
p 0 p
Z
+ 1 2l + 1 = drr3R0R 2l2(2
l
0 + (l + 1)l+1;l0
l
1
;l
l + 1)
Z
1
= drr3 R0R p
(l 0 + (l + 1)l+1;l0 )
2 2l + 1 l 1;l
Z
1
=p 0 p
[l 0 + (l + 1)l+1;l0 ] drr3 Rn0 l0 Rnl
2l + 1 2l + 1 l 1;l
p 0
2l m
0
0
(1)
=) h n l j jx j j nl i = h l0; 10 j l00 i h n0l00 j z j nl0 i
Weitere Auswahlregeln sind: l0 = l + 1; l 1, l = l0 ist wegen der Paritat
verboten.
Anmerkungen:

3 ZEITABHANGIGE
PROBLEME DER QUANTENMECHANIK
79
1. U bergange, die in 1. Ordnung verboten sind, konnen in hoheren Ordnungen erlaubt sein. H1 = h; klein.
Wba = c1 + c22 + c33 + : : :
2. Bei 2. Ordnung: eikx = 1 + ikx + : : : wird ikx benotigt und die magnetische WW von B~ . Dies fuhrt auf den elektrischen Quadrupol und den
magnetischen Dipol.
3. Wba jVbaj2 jE~ 0j2. Die Energiedichte der Welle ist: u = 21 0jE~ 0j2.
der Photonen . wba N :
Im Quantenbild ist u = N h! = Zahl Volumen
Photonenunabhangig (ohne WW).
4. U bergange sind induziert, d.h. nur fur jE~ 0j2 N 6= 0 n ! n0 : En0 >
En : induzierte Absorption sonst Emission.
5. Laser: Spontane Emission sind U bergange ohne aueres Feld. Ein angeregtes Atom geht in den Grundzustand und ein Photon uber. Diese
wird von dieser Theorie nicht erfat. Sie erfordert das e{m{Feld als
Quantenfeld.
4 QUANTISIERUNG DES ELEKTRO{MAGNETISCHEN FELDES 80
4 Quantisierung des elektro{magnetischen Feldes
Die Wechselwirkung mit Teilchen der Ladung e wird durch den Hamilton{
Operator: H = 21m (P~ eA~ )2 + e beschrieben. Die Grundgroen, also die
~ werden durch Operatoren ersetzt.
Potentiale A;
4.1 Klassisches e{m{Feld
Wir erinnern uns an die Denition des Vektorpotentials A~ :
B~ = r A~ ; E~ = @tA~ r Im folgenden wird die Coulomb{Eichung verwendet: rA~ = 0 . Die
Maxwell{Gleichungen fur die Potentiale lauten nun:
1
= (~x; t) ; : instantanes Coulomb{Potential
0
2A~ = 0~j? (~j = ~jk + ~j? ; r j~k = 0 ; rj~?) = 0
A~ (~x; t) ist das Strahlungsfeld. Im folgenden betrachten wir ein freies Feld
( = 0 ; ~j = 0). Nun lauten die freien Maxwellgleichungen:
= 0 ; 2A~ = 0
Es ist durch eine Eichtransformation stets erreichbar, da 0 ist. Daraus
folgt, da: B~ = r A~ ,E~ = @tA~ ,rA~ = 0: Das ist die Transversalitat.
Ein freies Strahlungsfeld hat also 2 physikalische Freiheitsgrade. Dies sind
die Polarisationen. Zu 0 : gegeben, 6= 0.Da r = 0, hat 0
dieselbe physikalische Bedeutung, wenn gilt:
0 = @t(~x; t) ; A~ 0 = A~ + r Dies sind Eichtransformationen. Wir wahlen nun:
Zt
= dt0(~x; t0) =) 0 = 0
0
4 QUANTISIERUNG DES ELEKTRO{MAGNETISCHEN FELDES 81
=)= rA~ + = 0
Die Hamilton{Funktion des e{m{Feldes ist nun:
Z 1
1 ~2
3
2
~
H = d x 2 E + 2 B
0
E~ und B~ werden durch A~ ausgedruckt.
4.2 Quantisierung des freien Feldes
A~ ist die Losung von 2A~ = 0:
Z
~A(~x; t) = 1 3 d3 kf ~a(~k; t) ei~kx~ + ~a(~k; t) e
| {z }
| {z }
(2) 2
~ i!t
~ i!t
~a(k)e
i~k~x g
~a (k)e
Wenn wir nun E~ = A~_ , B~ = r A~ in H einsetzen und folgende Beziehung
benutzen
Z
d3xei(kk0)~x(2)3 = 3(~k ~k0);
so ergibt dies in H :
Z
H = 0 d3k!2(~a~a + ~a~a); ! = c j ~k j
Die Transversalitat lautet: ~a~k = 0. Wir wahlen nun zwei zu ~k senkrechte
Vektoren ~1;~2 (Polarisations{Vektoren), mit den Eigenschaften: ~~k = 0,
~~0 = 0
P2
Wir schreiben nun: ~a(~k; t) = ~ a (~k; t). Damit wird H zu:
=1
Z
H = d3k
2
X
=1
!2(a a + a a )
(1)
Wir denieren neue Variablen: Q (~k; t) := p0(a + a ), P (~k; t) := p0(a
a )( i!) Diese Variablen in (1) eingesetzt ergibt:
H=
P2 R d3k 1 (P 2 + !2Q2 )
=1
2
4 QUANTISIERUNG DES ELEKTRO{MAGNETISCHEN FELDES 82
Dies ist eine kontinuierliche Summe aus ungekoppelten harmonischen Oszillatoren. Wir ersetzen zunachst das Integral durch eine diskrete Summe uber
Zellen im ~k{Raum.
Z
X
d3k ! Vk
~k
Unsere Variablen P , Q und a (~k; t) gehen nun uber in:
P ! p 1 P~k ; Q ! p 1 Q~k ; a (~k; t) ! p 1 a~k (t)
Vk
Vk
Vk
Also ist H nun:
P
H = 12 (P~k2 + !2Q~2k )
~k;
Kanonische Quantisierung:
Der Hamilton eines harmonischen Oszillators lautet:
P~ 2
H = 2m + !2x2
P und Q gehen jetzt uber in Operatoren mit kanonischen Vertauschungsregeln.
[P~k ; P~k;0 ] = [Q~k; ; Q~k;0 ] = 0; [Q~k; ; P~k;0 ] = ih0 ~k~k0
Analog ersetzen wir die a~k; ; a~k; durch Operatoren:
s
h
a~k() ! 2! a~k(y;)
0
mit den Vertauschungsregeln:
[a~k; ; a~yk00 ] = 0 ~k~k0 ; [a~(ky); a~k(y0;) 0 ] = 0
Die Variablen Q~k; und P~k; lauten nun:
r
r
Q~k; = 2h! (a~k; + a~yk; ); P~k; = 2h! ( i!)(a~k; a~yk; )
=) H =
X
~k ;
h!fa~k; ; a~yk; g
4 QUANTISIERUNG DES ELEKTRO{MAGNETISCHEN FELDES 83
Dies fuhrt auf die endgultige Form des Hamilton{Operators:
H = P h!(a~yk; a~k; + 21 )
~k;
(2)
Wenn wir nun den Teilchenzahloperator N denieren, konnen wir analog zum
harmonischen Oszillator verfahren:
N~k; := a~yk; a~k; ; 8~k; Aus den Vertauschungsregeln fur die a~k; folgt die Wirkungsweise dieses Operators:
N~k; j n~k; i = n~k; j n~k; i; n~k; = 0; 1; 2; : : :; 8~k; Die Wirkungsweise der a~k; als Aufsteiger und Absteiger lautet nun:
q
a~yk; j n~k; i = n~k; + 1 j n~k; + 1 i
a~k; j n~k; i = pn~k; j n~k; 1 i
Also kann man den Zustand j n~k; i durch n~k; {maliges Anwenden des Aufsteigers aus dem Grundzustand j 0 i erzeugen:
j n~k; i = pn1~k; ! (a~yk; )n~k; j 0 i
Die Operatoren sind im Heisenberg{Bild. Es gilt:
d
ih dt a~k; = [a~k; ; H ] = h!a~k;
Die Zeitabhangigkeit des Operators ist also gegeben durch:
a~k; (t) = a~k; (0)ei!t
Da sich die e{Faktoren beim Produkt aya wegheben, ist der Teilchenzahloperator N = a~yk; a zeitunabhangig. Wir denieren nun fur die Zukunft:
a := a~k; , ay := a~yk; und N := n~k;
4 QUANTISIERUNG DES ELEKTRO{MAGNETISCHEN FELDES 84
Analog zur E{Dynamik gibt es folgende Schwierigkeit:
P 1 h!(~k) (das ist
~k;
2
der Summand 21 im Hamilton in (2) fur den gesamten Raum) ist eine divergente Konstante. Das ist die \Nullpunktsenergie" des Feldes. Diese ist ohne
physikalische Bedeutung und wird daher weggelassen. Wir setzen also im
folgenden:
X
X
H = h!aya = h!N
~k
~k;
Vollig analog verfahren wir fur den Impuls des Feldes. In der klassischen
E{Dynamik gilt:
Z
1
Pklass = c2 d3xS~ ; S~ = 1 E~ B~
0
Daher ist der Impulsoperator:
P~ = P h~kN
~k;
Wir betrachten den Zustandsraum:
H ist P
eine Summe aus den Hamilton{Operatoren ungekoppelter Oszillatoren
H = H . Die gemeinsamen Eigenvektoren von H~k; Eigenvektoren von
~k
H . Die Produktbasis ist:
j n~k1 ;1 ; n~k2;2 ; : : : i := j n~k1 ;1 i j n~k2 ;2 i : : :
Nun gilt fur die Wirkungsweise der Operatoren H und P :
0
1
X
H j n~k1;1 ; n~k2;2 ; : : : i = @ h!(~ki)n~ki ; A j n~k1;1 ; n~k2;2 ; : : : i
~ki i
0
1
X
P j n~k1;1 ; n~k2;2 ; : : : i = @ h~kin~ki i A j n~k1 ;1 ; n~k2;2 ; : : : i
~ki n~ki i sind die Besetzungszahlen zu ~ki ; i und n~k; ist die Zahl der Photonen. Photonenzustande sind total symmetrisch bezuglich Vertauschung von
Teilchen, denn die ay vertauschen. Photonen sind Bosonen, Der Spin ist
ganzzahlig.
4 QUANTISIERUNG DES ELEKTRO{MAGNETISCHEN FELDES 85
4.3 Photonen
Photonen sind die naheliegende Interpretation. Ein freies e{m{Feld ist die
Gesamtheit von freien Teilchen mit Energie h! und Impuls h~k. Photonen
sind Teilchen mit der Masse 0. E = h! = hkc = j ~p j c. (allgemein gilt:
E 2 = ~p2c2 + m2c4):
Der Zustandsraum der Photonen wird aufgespannt von freien Photonenzustanden. Das Vakuum ist der Zustand ohne Photon (Grundzustand des
Feldes) und wird mit j 0 i j 0 i j 0 i : : : bezeichnet. Das Vakuum ist normiert: h 0 j 0 i = 1. Der Einteilchenzustand mit einem Photon mit ~k und
Polarisation wird dargestellt:
j 1~k; i j ~k i = ay j 0 i
a j ~k i = ~k~k0 0 j 0 i
;aj0i = 0
ay ist ein Erzeuger und a ein Vernichter von Photonen.
2{ und Mehrteilchenzustande erreicht man durch Produktbildung aus
j ~k i j ~k i : : :. Dies ergibt einen Hilbertraum H(n) bei n{Teilchenzustande
mit n = 1; 2; : : :
(1)
(1)
(1)
H(n) = H
| H {z : : : H }
n{mal
1
P
Der gesamte Zustandsraum ist H = H(n), wobei H(0) der Raum ist,
n=0
der von j 0 i aufgespannt wird. Dieser gesamte Zustandsraum ist der Fock{
Raum. Die Teilchenzahl ist nicht fest. Den U bergang zum Kontinuum machen wir durch Rucksetzung der Summe durch die Integrale, die wir vorher
eingefuhrt haben:
Z
X
Vk ! d3k; ~kV~k0 = 3(~k ~k0)
k
~
k
p 1 a ! a (~k); p 1 j ~k i ! j ~k i
Vk
Vk
h| ~k {z
j ~k00 }i ! |h ~k {z
j ~k00 }i
=~k~k0 0
=0 3 (~k ~k0 )
4 QUANTISIERUNG DES ELEKTRO{MAGNETISCHEN FELDES 86
[|a;{zay}] ! [a(~k); ay (~k0)] = 0 3(~k ~k0)
=0 ~k~k0
ay (~k) j 0 i = j ~k i ; a (~k) j ~k00 i = 0 3(~k ~k0) j 0 i ; a (~k) j 0 i = 0
Das klassische Vektorpotential A~ ist:
Z X
1
A~ klass(~x; t) =
d3k f~ a (~k)ei(~k~x
3
(2) 2
!t)~ a (~k )e i(~k~x !t) g
Das Photonenfeld erhalten wir durch Ersetzen von:
s
s
h
h
a (~k) ! 2! a (~k); a (~k) = 2! ay (~k)
0
0
A~ (~x; t) = (21) 32 R d!3k Pf~ a (~k; t)ei~k~x + ~ay (~k; t)e
i~k~x g
Die Vakuum{1{Teilchenamplitude betragt nun:
h 0 j A~ (~x; t) j ~k i = 1
(2)
s
3
2
h
i(~k~x
~
e
20!
!t)
Das ist die \Wellenfunktion" des Photons. A~ (~x; t) ist ein Operator auf dem
Fock{Raum, der die Gleichung 2A~ = 0 erfullt. Die Quanten E~ { und B~ {Felder
sind nun:
E~ = @tA~ Feldgleichung fur Quantenfeld
B~ = r A~ Bewegungsgleichung fur Quantenfeld
Anmerkungen:
1. Der Operator fur die Gesamt{Photonenzahl:
N=
X
~k Z
N~k; ! d3kay (~k)a (~k)
4 QUANTISIERUNG DES ELEKTRO{MAGNETISCHEN FELDES 87
[N; A~ ] 6= 0 6= [N; E~ ]; [N; B~ ] 6= 0
Daher sind die Photonenzahl und die E~ und B~ {Werte nicht gleichzeitig
scharf mebar. Wenn aber (~x; t) und (~x0; t0) raumartige Vektoren sind,
gilt:
[E~ (~x; t); B~ (~x0; t0)] = 0
2. j n i ist ein Zustand fester Photonenzahl.
j n i = j n~k1 1 i j n~k2 2 i : : :;
X
~ki i
n~ki = N
h n j E~ j n i = 0 inkoharente Photonen
X ~
0 ~ 2
h!(ki)nki~i 6= 0
h
n
j
E
j
n
i
=
2
~ki i
Das bedeutet: Feste Photonenzahl gehort nicht zu einem klas-
sischen Feld.
3. koharente Zustande: Es seien ~k; fest. Sei j z i ein Zustand mit der
Eigenschaft: a j z i = z j z i mit z einer komplexen Zahl. Nun gilt:
r
i
h
h z j E~ j z i = i 23 h2! ~zei(~kx~ !t) ~ze i(~k~x !t)
(2)
Dies ist eine klassische ebene Welle mit jzj der Amplitude. Im Zustand
j z i sind die Photonen phasenkoharent.
jzi =
1
X
n=0
j n ih n j z i =
y
1 n
X
z
n=0
p e
n!
jz j2
2
jni
Dies folgt aus j n i = (apn)!n j 0 i; ay j z i = zn j z i und der Normierung
hzjzi = 1
Die Wahrscheinlichkeit, da n Photonen im Zustand j2zn i vorhanden
sind, ist eine Poisson{Verteilung zum Mittelwert jzj2: jznj ! e jzj2
Also ist < np>= jzj2 die mittlere Zahl der Photonen mit der Schwann = p 1 .
kung n = < n > = jzj und der relativen Schwankung <n>
<n>
Diese ist klein fur groe < n >.
4 QUANTISIERUNG DES ELEKTRO{MAGNETISCHEN FELDES 88
4. Spin des Photons: Die Wellenfunktion bzw. A~ ist eine Vektorgroe.
Sie hat also 3 Komponenten, von denen jedoch nur 2 physikalisch sind.
~1 und ~2 stehen senkrecht aufeinander und sind zwei Basis{Vektoren
in einem karthesischen Koordinatensystem. Die dritte Richtung (~3 :=
~k
~
j ~k j ) ist unphysikalisch, hat fur festes k 3 Freiheitsgrade und entspricht
der Projektion von Spin 1 auf die ~k{Richtung, der Helizitat.
Physikalisch sind nun ~1;~2 und Linearkombination aus Spin +1
und Spin -1.
Unphysikalisch ist ~3 Spin 0.
z
+1
...
... ...
.... ...
....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ..........
.....
...... .
......
......
......
......
.
.
.
.
.
.
...
......
......
......
.......
......
......
.
.
.
.
.
......
......
........................ ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .....
......
......
......
......
.......
.......
......
.......
.....
......
.......
......
.....
....... .
...... ..
....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ...........
0
-1
Wir fuhren nun neue Koordinaten ein:
1
~ = p (~1 i~2)
2
X
Mit den Erzeugern:
~ a = ~+aR + ~ aL
1
ayL = p (ay1 iay2 )
2
1
; ayR = p (ay1 + iay2 )
2
ayR erzeugt Spin +1 und rechtszirkular, und ayL erzeugt Spin -1 und
linkszirkular.
4.4 Wechselwirkung von Strahlung mit Materie
Wir betrachten ein System ohne Strahlungsfeld. H0 = 2P~m2 + V (r), z. B. ein
e im Atom. V (r) = 0 gilt fur ein freies Teilchen. Das Strahlungsfeld ist
4 QUANTISIERUNG DES ELEKTRO{MAGNETISCHEN FELDES 89
durch das Coulomb{geeichte Vektorpotential A~ (~x; t) mit rA~ = 0 gegeben.
Der Hamilton{Operator des Gesamtsystems lautet nun:
1
H = 2m (P~ eA~ )2 + V (r) + HFeld ,mit
1 Z 3 ~2 1 ~2
HFeld = 2 d x(0E + B )
0
Die Basis des Zustandsraumes ist ein Produktraum aus den Atom{ und Photonenzustanden: j a i j n i. Wenn wir nun das Quadrat ausquadrieren, erhalten wir die neuem Summanden:
"~
#
P
H = 2m + V (r) + HFeld + H1 + H10
e
e
H1 = m A~ P~ ; H10 = 2m A~ 2
Dies ist der Fall, da P~ = hi r und rA~ = 0.
Wir betreiben nun Storungsrechnung bzgl. H1 und H10 . Dazu schreiben
wir die Operatoren im Wechselwirkungsbild:
P~ (t) := P~I (t) = e hi H0tP~ (0)e hi H0t
a (~k; t) := aI (~k; t) = a (~k)e i!t
Die ay werden entsprechend deniert. Im folgenden wird der Index I weggelassen. Der Anfangszustand j i i bei t = 0 ist ein Produktzustand zu H0 und
HFeld mit n Photonen:
j i i = j a i j ~k11; ~k22; : : : i
Der Zustand j f i ist ein Produktzustand zu H0 und n0 Photonen:
j f i = j b i j ~k10 10 ; ~k20 20 ; : : : i
Zum Zeitpunkt t = 0 ist das System im Zustand j i i. Gesucht ist U bergangsamplitude fur positive Zeiten in den Zustand j f i:
In 1. Ordnung Storungsrechnung ist diese Amplitude:
1Z 0
0 0
0
Afi = ih dt h f j H
1{z(t }) +H1 (t ) j i i
|
0
WW{Bild
t
4 QUANTISIERUNG DES ELEKTRO{MAGNETISCHEN FELDES 90
H1 A~ P~ ist linear in a; ay =) Die Photonenzahl in j f i und j i i ist um
1 verschieden. H10 A~ 2 ist bilinear in a; ay =) Die Photonenzahl ist um 2
verschieden, oder gleich.
Da fur Strahlungsubergange 1. Ordnung im Atom j a i 6= j b i ist, kommt nur
H1 in Frage.
Spontane Emission:
Das ist die Emission von Licht durch ein angeregtes Atom. Der Ausgangszustand ist ein Zustand ohne Photon: j i i = j a i j 0 i. Dieser geht in einen
Zustand uber, der 1 Photon enthalt: j f i = j b i j ~k i. Die Energie Eb mu
aber kleiner als Ea sein. (Sei j b i z.B. der Grundzustand) Nun ist die U bergangsamplitude:
Z
1
Afi = ih dt0h b; ~k j me A~ P~ j a; 0 i
t
s
0
Z X h n
1
A(~x; t) =
d3k
~0 a0 (~k0)e
3
2
!
2
(2)
0
s
i!0 t0 +i~k~x + ~ 0 ay0 (~k 0)ei!0 t0 i~k~x
o
e
h Z 0 i!t0 1
i~k~x ~p(t0) j a i
dt
e
~
h
b
j
e
Afi =
3
|
{z
}
(2) 2 ih! 20! 0
zu bestimmen
In der elektrischen Dipolnaherung (e i~kx~ 1, wenn die Wellenlange sehr viel
groer ist, als die Abmessungen des Atoms) ist das Impulsmatrixelement:
h b j p~ j a i = mh b j ~x_ (t) j a i = imh h b j [~x(t0); H0] j a i
m E0 Eb 0 ) j a i = m ! e i!ab t0 h b j x j a i
= i
h
b
j
~
x
(
t
| {z }
h
i ab
t
~xba
Dies eingesetzt in die U bergangsamplitude ergibt die U bergangswahrscheinlichkeit:
2
Zt
2
jAfij2 = (21 )3 2h! he2 !ab2 j~xba~ j2 dt0ei(! !ab)t0 0 0
|0
{z
}
t2(! !ab )=f (t;!)
4 QUANTISIERUNG DES ELEKTRO{MAGNETISCHEN FELDES 91
Die U bergangsrate fur den U bergang von j i i nach j f i mit den Photonenimpuls d3k bei ~k und 0 ist:
dwfi = 1t jAfij2d3k
Die gesamte Rate fur j a i nach j b i ist:
wba =
X2 Z
X
1 XZ 3
1 e2 3 Z
2
dwfi = t
d kjAfij = 82 hc3 !ba d
k j~xba~ j2
0
| 2{z }2
=1
=sin #k j~xbaj
x
~
..
............
~
k
.....
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
.
..
.....
.......
......
......
.......
.....
......
.....
.......
.....
......
.
.
.
.
.......
....
......
.....
......
.....
.......
......
......
.....
...... .........
..........
~
1
#k
E2
3 jh b j ~x j a ij2
wba = 3e02hc3 !ab
Anmerkung:
1 denieren, ist:
Wenn wir die Feinstrukturkonstante := 4e20 hc 137
3
4
!
ab
wba = 3c2 jh b j ~x j a ij2 = c1(+c22 + c33 + : : :)
Wir betrachten nun die Lebensdauer eines Zustandes: Ein Zustand j a i
hat eine endliche Lebensdauer. Falls der U bergang j a i ! j b i der einzig
mogliche U bergang ist, ist die LebensdauerP := w1ba . Falls die U bergange
j a i ! j bj i ; j = 1; 2; : : : moglich sind, ist wba = 1 die Gesamtrate. Falls
j
Na Atome im Zustand j a i sind, gilt:
1
1
dN
=
w
dt
=
a
ba
Na
dt = const
2
2h
2
!
;
t
()
ab
t
!ab
Ea Eb
4 QUANTISIERUNG DES ELEKTRO{MAGNETISCHEN FELDES 92
.
......
.. ...
.. ..
.. ..
... ....
. .
.. ....
..
..
..
...
..
..
..
..
..
..
.
..
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..
.
...
..
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...
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...
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...
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..
..
.
.
...
..
.
.
... ................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
..... ........ ....
...........
.....
...
...
..
!ba
+ 2t
!ba
Typische Groenordnungen
sind, wenn Eb Ea 1eV (optische U bergange),
16eV s
6
;
6
10
8
h
10 . 1eV = 1eV 10 15s.
t
{
Die Linienbreite ist: Wenn j a i kein Eigenzustand von H0 ist, wird
das
e
Verhalten dadurch erreicht, da man j a i ersetzt durch: j a ie 2t = j a ie 2 t.
Man deniert also: := 1 . Dies mu man dann in der U bergangsamplitude
berucksichtigen:
Zt
Afi = (: : :) dt0e
0
lim A = (: : :)
l!1 fi
i(!+!ab)t0
1
0
2t
j : : : j2
(! !ab )2 + 42
Die Ausnahme ist, wenn alle anderen Faktoren schwach !{abhangig sind,
! ! !ab. Die Rate fuhrt auf die naturliche Linienform:
1
dWba
=
w
j
ba
=0
d!
(! !ab )2 + 42
Die Naherung ist gut fur h Eb Ea
Wir betrachten die induzierte Emission: Wenn j i i = j a i j : : :n~k : : : i und
j f i = j b i j : : :n~k + 1 : : : i, wobei n~k die Anzahl der Photonen mit Impuls
~k und Polarisation ist. Dies ergibt einen Faktor pn~k + 1 in Afi. In der
Rate ergibt das einen Faktor n~k + 1 (Normierung auf den Flu einfallender
Photonen n~k h!c ! Wirkungsquerschnitt).
Anders bei der Absorption: Wenn j i i =p j a ij : : :n~k : : : i und j f i =
j b i j : : :n~k 1 : : : i, ergibt es einen Faktor n~k in Afi und einen Faktor
n~k . Die Normierung auf die einfallende Stromdichte ergibt den Absorptions{
WQ (keine Integration uber ~k und eine Summation uber ). Fur realistische
Situationen mu man uber das Spektrum der einlaufenden Welle integrieren.
4 QUANTISIERUNG DES ELEKTRO{MAGNETISCHEN FELDES 93
Wenn wir nun auch hohere Multipole zulassen, entwickeln wir e i~k~x bis zu
hoheren Termen: e i~k~x ' 1 i~k~x +( i~k~x)2 12 + : : :. Dies ermoglicht Multipol{
U bergange. Sei El ein elektrischer 2l{Pol und Ml ~ein magnetischer 2l{Pol.
Betrachten wir nun die Entwicklung 1. Ordnung: e ikx~ = 1 i~k~x. Damit wird
das Impulsmatrixelement:
h b j e i~k~x~p j a i = |h b j{z~p j a }i i|h b j (~k{z~x)~p j a }i
neu
Dipol
Wir machen einige Denitionen (magnetisches Moment): ~ := 2em L~ ; ~x ~x(t); ~p p~(t) = m~x_ (t). In Afi zeigt sich die :
e ~
1 1d ~
1~
_
~
h
b
j
(
k
~
x
)
p
~
j
a
i
=
e~
h
b
j
[(
k
~
x
)
~
x
]
+
hm
h
2 dt
2 k (~x ~x) j a i
eE E 1
1 e
= h a h b 2i h b j (~k~x)~x j a i~ + h 2m h b j ~k L~ j a i~
| !{z }
|
{z
}
1 ~ [~kh b j ~
ab
]
j
a
i
h | {z }
~ ba
Die Auswahlregeln sind: (diagonal in l (??)): l0 = 1; m0 = m 1.
~k h b j ~ j a i~ = !ab X kj ;lh b j e(xj xl 1 jl~x2) j a i
2i j;l
3
Wir denieren nun den elektrischen Quadrupoltensor: Qjl = e(xj xl
2
1
3 jl~x ), der spurfrei ist. Er hat also 5 unabhangige Komponenten, die als
Linearkombination geschrieben werden konnen. Y2;m;m= 2;:::;2. Y2m ist ein irreduzibler Tensoroperator der Stufe 2.
Qjl l=2
! er2Y2m Q(2)
m
h n0l0m0 j Q(2) j nlm i Wiegner
=) = h n0l0 j jQ(2)j j nl i
|
{z
0 0
} |h lm; 2{z j l m }i
red. Matrixel. liefert Auswahlregeln
) und daher unterdruckt gegen den elektrischen
Die ~k~x{Terme sind d(Atom
Dipol. In der Amplitude fur den optischen Bereich ist die Groenordnung
von d 10 3 , das heit in der Rate nur 10 6 . Daher ist die Betrachtung
hoherer Terme nur sinnvoll, wenn der Dipolubergang verboten ist.
4 QUANTISIERUNG DES ELEKTRO{MAGNETISCHEN FELDES 94
Anmerkung: Die systematische Multipolentwicklung fur Strahlung ist
die Entwicklung von A~ (~x; t) nach Ylm (Drehimpulseigenzustande, Vektor{
Kugelfunktionen).
Zusammenfassung:
Das freie quantisierte e{m{Strahlungsfeld besitzt: Photonen mit der
Energie h!, dem Impuls h~k, der Masse 0 und der Polarisation = (zirkular), welches der Spinprojektion 1auf die ~k{Richtung entspricht.
Die Feldoperatoren gehorchen den kanonischen Vertauschungsregeln.
Die Wechselwirkung mit der~ 2 Materie bekommt man durch ersetzen von
P~ durch ~p eA~ in H0 = 2Pm + V (r), der minimalen Substitution und
der minimalen Kopplung.
Die U bergange sind bestimmt durch:
1. Frequenzbedingung: ! = !b !a = Eb hEa
2. Matrixelement des (El; Ml){Moments zwischen h b j : : : j a i.
Die endliche Lebensdauer angeregter Niveaus ist 1 = wba P wbi a.
i
Daraus folgt, da die naturliche Linienform (! !ab1 )2+ 4 ist.
U bergange zwischen freien Elektronen (e + ! e0; e ! e0 + ) sind
verboten wegen der Energie{Impuls{Erhaltung. Dagegen ist e + !
e0 + 0 moglich (Compton{Eekt), in 2. Ordnung in H1 oder 1.Ordnung
in H10 ist:
t Zt0
Z
h p~0~k00 j (ih1)2
dt0dtnH1(t0)H1(tn) j ~p~k i
0 0
2
1Z d0 0
h j ih t t H1(t ) j i; H1 = 2em A~ 2
0
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
95
5 Relativistische Quantenmechanik
Im folgenden sei h = c = 0 = 1, die Energie{Einheit sei 1eV und die Dimension einer Lange ist gleich der Dimension einer Zeit ist gleich der Dimension
1
[Energie] . Fur die Umrechnung gilt: hc = 197:327MeV fm.
5.1 Lorentz{Transformationen, klassische Physik
Die Prinzipien der Relativitatstheorie sind:
1. Relativitatsprinzip: Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt.
2. c ist unabhangig vom Bezugssystem.
Die Lorentz{Transformation ist die Transformation, die ein Inertialsystem in ein anderes transformiert. Ein Ereignis ist gegeben durch einen 4{
dimensinalen Weltpunkt (t;~x) = (x); = 0; 1; 2; 3. Dabei seien Weltpunkte mit dem Index oben kontravariante Vektoren (x = (x0 = t; xk ; k =
1; 2; 3)) und Weltpunkte mit dem Index unten kovariante Vektoren. Die
kovarianten Komponenten ergeben sich aus: x = g x . Wobei g der metrische Tensor ist:
1
0 1
0
CC
B
1
B
g = g = @
A
1
0
1
Dies ist die Vorzeichenkonvention, die in der Kern{ und Teilchenphysik ublich
ist. Ansonsten ist das Vorzeichen genau andersherum deniert.
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren x und y ist deniert als:
x y = g xy = x0y0 ~x~y = xy
Das 4-dim. Langenquadrat ist invariant unter Lorentz{Transformationen:
x2 = g xx = xx = (x0)2 ~x2
Eine lineare Lorentz{Transformation
transfomiert einen Vektor x von
0
einem System S in den Vektor x im System S 0. Diese Transformation kann
man als durch eine Matrix darstellen. Es gilt also:
x0 = x
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
96
Damit das Langenquadrat invariant bleibt, mu die Lorentz{Transformation
folgende Bedingung erfullen:
g = = g
Also ist die Determinante von = 1. Nun ist d4x = jdet()jd4x0 = d4x0
invariant (was gleichzeitig bedeutet, da das dreidimensionale Langenelement
d3x nicht invariant ist.)
Bisher haben wir nur homogene Lorentz{Transformation betrachtet. Wenn
wir noch eine Verschiebung um a = const zulassen, erhalten wir die Pointcare{Transformation, welche eine inhomogene Lorentz{Transformation
ist:
x0 = x + a
x0 = x ist die kontravariante Komponente der homogenen Lorentz{
Transformation und x = x0 die kovariante.
Wir betrachten nun spezielle Lorentz{Transformation :
1. Drehungen
1 0 =
k
0 Rl
Rkl ist eine orthogonale 3 3{Matrix mit detRkl = +1.
2. Boost langs der x{Achse (~x = x~ex; =
q
1
1 v2 ):
0 v
0
B v = B
@
1 0
0
0 1
1
CC
A
analog geht es bei Boosts in y{ und z{Achse.
Die homogenen Lorentz{Transformationen bilden eine (kontinuierliche)
Gruppe mit 6 Parametern (3 Drehwinkel und 3 Boost{Parameter). Sie
ist eine 6{parametrige Lie{Gruppe (sie besitzt 6 Erzeigende).
3. Spiegelungen (det = 1), ~x ! ~x sind diskrete Transformationen.
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
97
Die gesamte Pointcare{Gruppe besitzt 4 zusatzliche kontinuiertliche Parameter (a), ist also eine 10{parametrige Lie{Gruppe mit den Erzeugenden
~ |{z}
J;
K~ .
|H;{zP~}; |{z}
Transl. Dreh. Boosts
Wir denieren einen allgemeinen Vierer{Vektor a, der sich unter Lorentz{
Transfomationen folgendermaen transformiert: a0 = a . Ein Skalar ist
invariant unter Lorentz{Transformationen (z.B. xx; xy)
Ein Tensor n{ter Stufe A1;:::;n ist eine Groe, die sich unter Lorentz{
Transformationen folgendermaen transformiert:
A01;:::;n = 11 nn A1;:::n
Wir denieren die Dierentiation: @ := @@x (Das ist die kovariante Komponente). Es gilt nun also:
0
@ = @0 () = @x
@x
Analog denieren wir die kontravariante Komponente: @ := g @ , es gilt
ebenso: @ 0 = @ . @0 = @ 0 = @t ; @k = @x@k = @ k ist der Gradient. Also
gilt:
@2
@@ = g @@ = @t2 = +2
Der 4{dimensionale Gradient ist invariant unter Lorentz{Transformationen
(@0 @ 0 = @@ ).
Ein Skalarfeld '(x) := '(x0; x1; x2; x3) verhalt sich unter Lorentz{
Transformationen folgendermaen (x0 = x):
'(x) ! '0(x0) = '(x)
Ein Vektorfeld V (x):
V (x) ! V 0(x0) = V (x)
Ein Tensorfeld A1;:::;n (x):
A01;:::;n (x0) = 11 nn A1 ;:::;n (x)
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
98
Wir wenden nun diesen Formalismus auf die Mechanik und die E{Dynamik
an:
1. Mechanik:
Wir beschreiben die Bewegung eines Teilchens der Masse m. Die Kurve
t ! ~x(t) sei die Bahnkurve. Die 4{dimensionale Bahn sei die Weltlinie
t ! (x0;~x) Das Abstandsquadrat sei invariant:
g dx dx = (dx)2 = invariant = dt2 (d~x)2 =: d 2
ist die Eigenzeit eines Korpers (die Zeit im mitbewegten Koordinatensystem). Es gilt:
s 2
d~x
dt
d = dt 1 dt = Das Koordinatenzeitintervall ist also gedehnt (Zeitdilatation)
u := dxd ist die 4er{Geschwindigkeit
P := mu ist der 4er{Impuls, mit P 0 = m = E; P~ = m~v,
mit ~v = d~dtx
Der Zusammenhang zwischen E und P~ ist:
(P 0)2 (P~ )2 = m2 = PP ()
E2 = P~ 2 + m2
s
P~ 2
P~
E = m 1 + m = m + 2m + : : :
In 1. Naherung ist die Energie also die Summe aus der Ruheenergie
m und der kinetischen Energie.
2. E{Dynamik:
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
99
(j ) = (; ~j ) ist der 4er{Strom, wenn die Ladungsdichte und
~j die Stromdichte ist. Die Kontinuitatsgleichung (@t + r~j = 0)
liefert die Erhaltung des 4er{Stroms:
@j = 0
Ebenfalls erhalten ist die Ladung als Integral uber die Ladungsdichte:
d
dZ 3 0
dt Q = dt d xj = 0
A = (; A~ ) ist das 4er{Potential
F = @ A @ A ist der Feldstarke{Tensor:
0 0 E1 E2 E3 1
B E 1 0 B3 B2 CC
(F ) = B
@ E 2 B3 0 B1 A
E 3 B2
B1 0
E~ = @tA~ r ; B~ = r A~
Wenn wir nun die Lorentz{Eichung (@A = 0) durchfuhren, lauten die Maxwellgleichungen: @ F = j und mit den Potentalen:
2A = j
Nach dem U bergang vom einen Koordinatensystem S in ein anderes S 0, gilt:
@0 F 0 = j 0; 20A0 = j 0
Das heit, es handelt sich um forminvariante kovariante Gleichungen.
5.2 Relativistische \Wellengleichungen"
Wir suchen eine relativistische invariante Form der Schrodinger{Gleichung.
Dabei gehen wir hier den heuristischen Weg (,der historisch gegangen wurde).
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
100
5.2.1 Die Klein{Gordan{Gleichung
Die Schrodinger{Gleichung in Ortsdarstellung ist nicht Lorentz{invariant
und lautet:
P~
i@t (~x; t) = H (~x; t) ; H = 2m + V + : : :
Den Hamilton{Operator fur ein freies Teilchen erhalten wir durch Anwenden
der Korespondenz zur Hamilton{Funktion:
q
q
H = P~ 2 + m2 ! H = P~ 2 + m2
; P~ : Impulsoperator
Die Schrodinger{Gleichung lautet: i@t = H . Wie auch bisher ublich, sollen
die Vertauschungsrelationen gelten: [xl; P k ] = ilk . Diese sind erfullt, wenn
der Impulsoperator P k ! 1i @k = i@ k ist. Also gilt: Pk = i@k
Der Hamilton{Operator ist nun also:
H=
p
+ m2
(1)
Dieser Operator ist allerdings kein lokaler Operator, von daher ist er unpraktisch. Stattdessen wird also eine Gleichung fur das Quadrat aufgestellt. Spater
werden wir den Operator durch Wurzelziehen vereinfachen. Doch zunachst
betrachten wir das Quadrat:
(i@t)2 = H 2 = ( + m2)
@2
@t2
+ m2
2 + m2
=0
=0
(2)
Dies ist die Klein{Gordan{Gleichung. Sie ist in lorentz{invarianter Form,
wenn (~x; t) (~x) ein Skalarfeld ist, was bedeutet, da 0(x0) =
(x) ; x0 = x. Das heit, da folgende Gleichungen gelten:
(20 + m2) 0(x0) = 0
(2 + m2) (x) = 0
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
101
Doch was ist die Bedeutung dieses s? In der Schrodinger{Theorie ist j j2 =
= 0 die Wahrscheinlichkeitsdichte im Raum und ~j = 1 ( r
2im
a
tsgleichung
@t +
r ) die Wahrscheinlichkeitsstromdichte. Die Kontinuit
R
r~j = 0 fuhrt auf die Erhaltung der Normierung: dtd d3x = 0.
Kann man nun in der Klein{Gordan{Theorie j j2 auch als Wahrscheinlichkeitsdichte
interpretieren? ist ein Skalar, also ist auch ein Skalar, also
R
kann d3xj j2 nicht invariant sein, da d4x invariant ist und somit d3x nicht
invariant sein kann.
Wie sieht es mit einem erhaltenen Strom aus?
(
2 + m2)
() @ ( @
@ i @
@t | 2m
@t{z
=?
(2 + m2) = 0
i
@ ) = 0
j 2m
@ i @t } +r | 2m ( r{z r ) } = 0
=~j
R
ist die 0{Komponente eines Vierer{Vektors j , also ist d3x lorentz{
invariant.
Betrachten wir ein Beispiel:
(x) p= ei(~p~x Et) e ipx sei Losung
der Klein{Gordan{Gleichung
(2) fur
0
0
p
p
3
3
4
E
2
2
E = ~p + m . Also ist = m = m . Es ist d x m = d x . Da d x invariant
ist auch d4x = d3xdt = d3x |{z}
d , also ist d3x invariant.
invar.
Ein neues Problem ist: + = e ipx ; = eipx fuhrt auf + = mE
; =
p
~
E . hat kein deniertes Vorzeichen. ~j = ~p
~
; j = m.
+ m
m
Fuhren wir eine neue Interpretation ein: (j ) = (; ~j ) ist der elektro{
magnetische Strom, die Ladungsdichte und die Klein{Gordan{Gleichung
beschreibt Teilchen mit 2 Ladungen 1. Das Teilchen mit +1 hat die Wellenfunktion +(x) = eipx, den Impuls p~ und die Energie E , das andere ist
das Anti{Teilchen mit der Wellenfunktion = e ipx, den Impuls p~ und
die Energie E . @ j = 0 heit jetzt Ladungserhaltung. Es gibt keine weiteren
Freiheitsgrade, das heit der Spin ist 0.
Betrachten wir nun eine konsistente Interpretation:
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
102
, die Losung von (2) ist das Quantenfeld. Wir fuhren Operatoren ein:
Z
d3p
h
a(~p)e
ipx + by (~p)eipx
i
a; b; ay; by sind Operatoren mit kanonischen Vertauschungsrelationen.
ay j 0 i = j +; p~ i ist der Erzeuger eines Teilchens mit dem Impuls ~p,
by(~p) j 0 i = j ; p~ i ist der Erzeuger von Anti{Teilchen, a; b die jeweiligen Vernichter. Die \Wellengleichungen" sind + = h 0 j (x) j +; ~p i und
= h 0 j (x) j ;~p i.
Ein Klein{Gordan{Teilchen im e{m{Feld wird vom freien Teilchen ausgehend (i@0)2 = (~p2 + m2) = 0 durch minimale Substitution (~p !
~ i@0 ! i@0 e) beschrieben.
~p eA;
i
h
(i@0 e)2 = (~p eA~ )2 + m2
Das Ganze schreiben wir kovariant mit A = (; A~ ), P := i@ (i@ eA )(i@ eA) m2 = 0
Die Lorentz{Transformation bewirkt: x ! x0; @ ! @0 ; A ! A0; (x) !
0(x). Der Strom ist erhalten (@ j = 0) Die Herleitung ist analog zur freien
Klein{Gordan{Gleichung. Mit dem elektrostatischen Potential (A~ = 0; =
(~x); V (~x) = e(~x)) folgt (die stationare Losung ist (x) = e iEt (~x)) die
stationare Klein{Gordan{Gleichung:
(E V )2 (~x) = ( + m2) (~x)
[ + E2 m2 2EV + V2 ] (x) = 0
Fur das H{Atom ist V = 4er2 = r . Wenn V = V (r), ist (x) =
u(r) Y (#; '). Das fuhrt auf einen Radialterm und die Energie{Werte E .
nl
r lm
5.2.2 Die Dirac{Gleichung
Wir beschaen
uns den Hamilton{Operator nun durch \Wurzelziehen"
p
(H =\ + m2"). Wir machen einen Ansatz von 1. Ordnung in allen Ableitungen (@0; @k). Dies fuhrt auf zusatzliche Freiheitsgrade, das fuhrt auf
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
103
den Spin und die Positronen. Es gibt jedoch ahnliche Probleme, wie bei der
Klein{Gordan{Theorie. Alles ist im Rahmen einer 1{Teilchen{Theorie, daher mu man den begrenzten Gultigkeitsbereich beachten. (Eine konsistente
Theorie erhalt man, wenn man als einen Quantenfeldoperator einfuhrt.)
Wir machen also den Ansatz:
@
p
1
@
@
2
3
1
\ + m2\ = i @x1 + @x2 + @x3 + m = k pk + m
H = ~ p~ + m
i@0 = H
Die Forderung H 2 = p~2 + m2 = + m2 ; (2 + m2) = 0 fuhrt auf
folgende Bedingung:
X3 ij + j i @ 2 m X j
j ) @ + 2m2
2
+
(
+
H =
i
j
2
@x @x 2 j
@xj
ij
Diese Forderung ist erfullt, wenn gilt:
ij + j i = 2ij ; i + i = 0; 2 = 1
(3)
Dies ist durch Matrizen erfullt, die Dirac{Matrizen. Die Eigenschaften der
Matrizen sind: (i )2 = 1, Spur(i ) = 0, Spur( ) = 0, da die i; hermitisch
sind, sind die Eigenwerte 1, die Dimension ist geradzahlig, die Spur =
Summe der Eigenwerte ist 0.
in zwei Dimensionen erfullen nur 3 Matrizen diese Eigenschaften. Dies
sind die Pauli{Matrizen.
wir betrachten die minimale Realisierung in vier Dimensionen in der
moglichen Darstellung als (4 4){Matrizen.
1 0 0 i i
= 0 1 ; = i 0
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
104
Worin hier die i die Pauli{Matrizen sind. Dies ist die Standard{Darstellung,
die Dirac{Darstellung.
Nun suchen wir eine kovariante Form der Dirac{Gleichung. Dazu fuhren wir
formal neue Matrizen ein:
0 k 0
k
k
k
( = ; = ) =: =
k 0
Damit lautet nun (3):
+ = 2g
Wir denieren nun den Anti{Kommutator:
0f 1; g := + , :=
g und zusatzlich: 5 := i 0 1 2 3 = 1 0 und := 2i [ ; ]. Es
gilt ( 0)2 = 1; ( k )2 = 1. ist antisymmetrisch und hat 6 unabhangige
Parameter.
Wir haben jetzt einen Satz aus: 1; 5; ; 5; , welches 16 linear unabhangige Matrizen sind. Also bilden sie eine Basis der 4 4{Matrizen.
Die Dirac{Gleichung lautet nun:
i@0 = (~ p~ + m)m
Nun formen wir die Gleichung ein letztes mal um:
[i@0 + ik @k m] = 0
[i( 0@0 + k @k ) m)] = 0
(i @ m) = 0
Wir denieren nun das Symbol: 6 a := a = a, welches ein Vierer{Vektor
ist. 6 @ := @ . Nun haben wir die endgultige Form der Dirac{Gleichung:
(i 6 @ m) = 0
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
0
B
=B
@
1
2
3
4
105
1
CC ist ein 4{komponentiger Spinor (Dirac{Spinor). Der adjungierte
A
Spinor ist: y = ( 1; 2; 3; 4). := y 0 = ( 1; 2; 3; 4) fuhrt auf
die adjungierte Dirac{Gleichung:
i@ + m = 0 ; ( 0)y = 0 ; ( k )y = k ; 0( )y 0 = Dies zusammen fuhrt uns nun auf einen erhaltenen Strom:
(Dirac{Gl.) + (adj. D.{Gl.) = 0
=) @( ) = 0
Hat jetzt dieses j = eine physikalische Bedeutung? (Ist j ein Vierer{
Vektor?)
= j 0 = 0 = y = j 1j2 + j 2j2 + j 3j2 + j 4j2 0
kann als Wahrscheinlichkeitsdichte
interpretiert werden (! Ladungs{
R
Dichte). Es mu gelten: d3x ist lorentz{invariant. Falls j ein Vierer{
Vektor ist, gilt dies auch. Es ist zu beweisen, ob eine Transformation folgendes
bewirkt: ! 0 0 = .
Wie sehen die Losugen zu festem Impuls ~p aus? Dazu setzen wir (x) =
e ipxu(p) in die Dirac{Gleichung (i 6 @ m) = 0 ein und erhalten eine
algebraische Gleichung:
(6 p m)u(p) = 0
Das ist ein homogenes lineares Gleichungssystem, die Losung im Ruhesystem
(p ) = (m; ~0) lautet:
0 1 0 1
0 0 B uu1 C B 00 C
B 2C B C
( 0 1)u = 0
0 1 @ u3 A = @ 0 A
0
u4
Die Matrix hat den Rang 2 und daher 2 linear unabhangige Losungen:
001
011
B1C
B0C
u(1) = B
A ; u(2) = B@ 0 CA
@0C
0
0
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
(1) = u(1)e imt ;
106
(2) = u(2)e imt
Das sind zwei Spin{Einstellungen im Ruhesystem (z{Achse).
Betrachten wir das Ruhesystem:
= ue
iEt ;
(i 6 @ m) = 0
() ( 0E m1)u = 0
(E m)1
0
0u 1
BB u12 CC = 0
0
(E + m)1 @ u3 A
u4
Die Bedingung det = 0 = (E m)2(E + m)2 () E = m ergibt 2 Falle:
001
011
B 0 CC ; u = BB 1 CC ;
1. E = +m : u1 = B
@0A 2 @0A
0
0
001
001
B0C
B 0 CC
2. E = m : u3 B
@ 1 A ; u3 = B@ 0 CA ;
0
1
+
= u (r ) e
imt ;
r = 1; 2
= u(s)e+imt; s = 3; 4
u(r); r = 1; 2; 3; 4 ist eine Basis im Spinorraum. Was ist die physikalische
Bedeutung von u(3); u(4)? (e+)
Anmerkung:
wir fuhren einen Darstellungswechsel (A quivalenztransforma
tion) der durch. ! T 1 T , mit T einer festen Matrix. Diese neuen
Matrizen erfullen ebenfalls die Dirac{Algebra (f ; g = 2g 1). Dies fuhrt
auf die Chirale Darstellung, welche spater verwendet wird.
0 1
0 k 0
k
chiral = 1 0 ; chiral = k 0
Wir haben nun noch zwei oene Fragen:
1. Ist die Dirac{Gleichung Lorentz{invariant?
x ! x0 = x; (x) ! 0(x0) = S (x)
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
107
(i 6 @ m) (x) = 0 ?! (i 6 @ 0 m) 0(x0) = 0
Dann ist auch d3x = j 0d3x invariant und damit die Wahrscheinlichkeitsinterpretation sinnvoll.
2. Was sind die Losungen zu negativer Energie, und beschreibt die Dirac{
Gleichug Teilchen mit Spin 12 ?
Die Antwort auf die erste Frage werden wir im nachsten Kapitel bekommen.
5.3 Darstellungen der Lorentz{Gruppe
5.3.1 Spinor{Darstellungen
Die homogene Lorentz{Transformation bilden eine 6{parametrige Lie{Gruppe.
1. Drehungen um die z{Achse ~x0 = R~x
01 0 0 01
01 0 0 01
BB 0 1 0 CC
BB 0 cos sin 0 CC innites.
!
@ 0 1 0 A
@ 0 sin cos 0 A
0 0 0 1
0 0
0 1
= 1 + iJ 3 J 3 : Erzeugende
Unter Vernachlassigung von 2; : : : gilt:
00 0 0 01
1B 0 0 1 0 C
J3 = i B
@ 0 1 0 0 CA
0 0 0 0
Analog gilt es fur Drehungen um x{, y{Achse. Insgesamt gilt:
1+i
3
X
~ J~ = (J 1; J 2; J 3)
lJ l = 1 + i~J;
0 0l=10 0 0 1
00 0 0 01
1B 0 0 0 1 C
0 0 0 0C
1=1B
C
C
B
J2 = i B
;
J
@0 0 0 0 A
i@0 0 0 1A
0 1 0 0
0 0 1 0
Diese Matrizen erfullen die Vertauschungsrelationen [J k ; J l] = iklmJ m.
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
108
2. Boosts langs x{Achse (cosh = p11 v2 ; sinh = p1vx v2 ):
x
x
00 1 0 01
0 cosh1 sinh1 0 0 1
BB sinh1 cosh1 0 0 CC inf.
1 0 0 0C
1K 1; K 1 = 1 B
C
B
!
1
+
i
@ 0
0 1 0A
i@0 0 0 0A
0 0 0 0
0
0 0 1
Da innitesimal gilt: coshx = 1; sinhx = . Analog folgt fur alle
Achsen:
~ ~ = (1; 2; 3)
1 + i~K;
00 0 1 01
00 0 0 11
1B 0 0 0 0 C
0 0 0 0C
3= 1B
C
C
B
K2 = i B
;
K
@1 0 0 0A
i@ 0 0 0 0 A
0 0 0 0
1 0 0 0
Wir kennen also 6 Generatoren, daraus folgen die Vertauschungsrelationen:
9
[K 1; K 2] = iJ 3; zyklisch >
[J 1; K 2] = iK 3; zyklisch = existiert eine Gruppenstruktur?
[J 1; K 1] = 0; usw.
>;
i
l
ilm
m
[J ; J ] = J
Wir fuhren neue Matrizen ein: A~ := 12 (J~ + iK~ ); B~ := 21 (J~ iK~ ). Daraus
folgen die Vertauschungsregeln fur A~ und B~ :
9
[A1; A2] = iA3; zyklisch =
[B 1; B 2] = iB 3; zyklisch ; Lie{Algebra der SU (2) SU (2)
[Aj ; B k ] = 0; 8j; k
Die A{Algebra ist eine SU (2) und entspricht der Drehimpulsalgebra
(Pauli{Matrizen), die B{Algebra ist ebenfalls eine SU (2). Also ist die
Lorentz{Gruppe isomorph zu SU (2) SU (2).
Es folgt ein mathematischer Einschub zu einem neuen Begri: das Gruppen{Produkt.
Seien G und H zwei Gruppen. Nun gilt:
G H = f(g; h)j g 2 G; h 2 H g
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
109
Eine Verknupfung ist folgendermaen deniert:
(g1; h1) (g2; h2) = (g1 g2; h1 h2)
Falls nun G und H Lie{Gruppen sind, mit den Erzeugenden und Vertauschungsrelationen
G : T1; : : :; Tn;
(g )
[Tk; Tl] = ifklm
Tm ;
H : R1; : : :; Rm und
(h)
[Rk ; Rl] = ifklm
Rm ,
dann folgt: G H ist eine Lie{Gruppe mit den Erzeugenden
T1; : : :; Tn; R1; : : :; Rm und den Vertauschungsrelationen [Tk ; Rl] = 0; 8 l; k.
Genauer sind die Erzeugenden eigentlich: Ti 1; : : :; 1 Ri. Die fklm heien
Strukturkonstanten.
Betrachten wir nun die SU (2): Wir betrachten irreduzible Darstellungen
zu j = 0; 21 ; 1; 23 ; : : :, also die Spinor{Darstellungen der SU (2). Dann sind
die Darstellungen der SU (2) SU (2) bestimmt durch (j1; j2): Die Spinor{
Darstellungen der SU (2) SU (2).
(j1; j2) = (0; 0):
~ B~ = 0 =) J~ = K~ = 0. Das ist die
Eindimensionale Darstellung, A;
triviale Transformation. Jede Lorentz{Transformation wird
als 1 dar
gestellt. Ein einkomponentiger Spinor ist ein Skalar: ! Fur ein
Teilchen mit fester Masse m gilt:
P P = m2
Dies ist eine invariante Gleichung. Dies fuhrt mit P = i@mu auf die
Klein{Gordan{Gleichung:
(2 + m2) = 0
Die Klein{Gordan{Gleichung ist also die einfachste Darstellung der
SU (2) SU (2) und beschreibt nur spinlose Teilchen.
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
110
(j1; j2) = ( 21 ; 0):
B~ = 0; A~ = 12 ~, mit den Pauli{Matrizen.
~ J~ = 1 ~
B~ = 0 () K~ = iJ;
2
Die innitesimale Lorentz{Transformation lautet nun:
1 + i~J~ + i~K~ = 1 + i ~2 (~ i~)
Eine endliche Lorentz{Transformation wird dargestellt durch eine 22{
Matrix:
M := e 21 ~(~ i~)
Dies ist eine 2{dimensionale Darstellung. Die Elemente
des Darstellungsraumes sind 2-komponentige Spinoren = 1 . Eine Lorentz{
2
Transformation bewirkt: ! M.
(j1; j2) = (0; 21 ) :
A~ = 0; B~ = ~2 ; J~ = 12 ~; K~ = iJ~ = 2i ~. Die Lorentz{Transformationen
sind:
i
: 1 + 2 ~(~ + i~)
Die 2 2{Matrix der endlichen Lorentz{Transformation lautet:
N := e 2i ~(~+i~)
Ein 2{komponentiger Spinor = 1 geht uber in: ! N.
2
Ferner gilt:
N = TM T 1; T = i2
Drehungen und Boosts konnen als 2{dimensionale Spinor{Darstellungen rea~ J~ ! J~
lisiert werden. Spiegelungen (P : ~v ! ~v), daher K~ ! K;
Pseudo{Vektor.
1 P 1 ( 1 ; 0) 0 2
0 (0; 12 )
2 ; 0 ! 0; 2 ;
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
111
Wenn wir Spiegelungen in der Darstellung aufnehmen, so erhalten wir die
4{komponentige Darstellung ( 12 ; 0) (0; 12 ). Die Elemente des Darstellungsraumes sind 4{komponentige Spinoren. Dies ist also die einfachste irreduzible Darstellung der homogenen Lorentz{Gruppe nach der Trivialen. Die
Darstellungs{Matrizen sind 44{Matrizen und stellen Drehungen und Boosts
dar. Die Elemente und Matrizen sind:
0 1
B 1 C e 2i ~(~ i~) 0 !
B 2C
= @ 1 A ;
0
e 21 ~(~+i~)
2
Die Lorentz{Gruppe ist also isomorph zu SU (2) SU (2), die Darstellungen
sind (j1; j2),
(0; 0): 1{dimensional, 1{komponentiger Spinor, entspricht dem Zustand eines Teilchens mit der Masse m und ist ein Skalar =) (2 +
m2) = 0.
( 12 ; 0) (0; 21 ): ist irreduzibel, wenn P eingeschoben wird. = :
sind 4{komponentige Spinoren und entsprechen den Zustanden eines
Teilchens der
Masse m. Eine Lorentz{Transformation
bewirkt, wenn
1 ~(~+i~)
1 ~(~ i~ )
und D () := e 2
:
D() := e 2
!
D()
0
0
D ()
= ist die Zustandswellenfunktion der Masse m. Folgt daraus
eine Bedingung fur ? Fur Boosts gilt:
(m; 0) ! (p0; ~p) = (E; p~); E 2 = p~2 + m2
Ein Teilchen in Ruhe wird in ein Teilchen mit dem Impuls ~p transformiert. Fur einen Boost (keine Drehung) in Richtung ~n = j ~p~p j ; cosh =
= mE = p11 v2 gilt mit ~ = ~n:
: (0) ! (~p) = e 21 (~n~)(0) = [cosh 2 + (~n~)sinh 2 ](0)
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
112
Das folgt aus der Reihenentwicklung und (~~n)2 = 1; n2 = 1.
1
(0) ! (~p) = e 2 (~n~)(0) = [cosh 2 (~n~)sinh 2 ](0)
(Benutze
q
E m ).
2m
cosh 2
=
q cosh+1
2
=
q E +m
2m
und
sinh 2
=
q cosh
2
1
=
(0) Im Ruhesystem (~p = 0, (0) = (0) ) gilt mit P dem Paritatsoperator:
P (0) = (0)
(0) (0) 0 1 (0) P (0) = (0) = 1 0
(0)
Die Bedingung hierfur ist (0) = (0). Wir wahlen \+" (\ " fuhrt
auf das gleiche Ergebnis).
E + m + ~p~
E + m ~p~
(0)
(~p) = p
(0); (~p) = p
2m(E + m)
2m(E + m)
E + ~p~
=) m (~p) = (~p); E m~p~ (~p) = (~p)
001
m1 E + ~p~ (~p) B 0 C
B C
(~p) = @ 0 A
E ~p~ m1
| {z }
0
= (~p)
8
>> < 0 1
>>E | 1{z0 }
: =:0
0
9
0 ~ >>=
~p ~ 0
m1> (~p) = 0
| {z } >;
=:~
~k
~ = ( 1; 2; 3); k = ~k 0 ; 0; k : sind die Dirac{Matrizen in
chiraler Form.
(E 0 + ~ p~ m1) (~p) = 0
E 0 + ~ p~ = p0 0 + pk k = p =6 p
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
113
Daraus ergibt sich die Dirac{Gleichung im Impulsraum:
(6 p m) (~p) = 0
5.3.2 Kovarianz unter Lorentz{Transformationen
Kovarianz ist Forminvarianz unter Lorentz{Transformationen. Es ist zu zeigen, ob aus (6 p m) (p) = 0 folgt: (6 p0 m) 0(p0) = 0, wenn die gestrichenen
Groen die Groen nach einer Lorentz{Transformation sind. Es folgt der
Beweis mit 0 dem Spinor im Ruhesystem:
E + m + ~p~
1
0
(p) = p
0
E + m ~p~ 0
2m(E + m)
|
(p) = p
|
{z
=6p 0 +m1
6 p 0 + m
2m({zE + m})
}
0 Sp 0
=:Sp
ist in chiraler Form. Die Inverse Transformation ist S 1 = p2m0 6p(+Em+m) . Ein
Test ist SpSp 1 = 1
0(p0 ) = S 0 = S 0 S 1 (p)
p 0
p p
1
1
p
(p)
(6 p0 m) 0(p0) = (6 p0 m)(6 p0 0+m)( 0 6 p+m) p
2m(E 0 + m) 2m(E + m)
(6 p = m nach Vorraussetzung ((6 p m) (p) = 0).)
( 0 1)( 0 + 1) (p) = 0; da ( 0)2 = 1
Was sind die Fundamentaleigenschaften der ?
0(p0 ) = S ()
(p); p0 = p ; (6 p0 m) 0(p0) = 0
S 1()(6 p0 m)S () (p) = 0; (6 p m) (p) = 0
Diese Gleichungen mussen beide gelten. Daher mu gelten: S 1 6 p0 S =6 p.
S 1 Sp0 = p ;
p = p0
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
S 1 Sp0 = p0 Daher gilt der Paulische Fundamentalsatz:
114
8p0
S 1 S() = Wir betrachten nun die Dirac{Gleichung im Ortsraum:
(x) ! 0(x0) = S () (x)
S 1 (i @0 m) 0(x0) = 0
1 S @ 0 m] (x) = 0
[i S| {z
} = @0 = @
(i @ m)
(x) = 0
Es gibt eine kovariante Schreibweise der Darstellungsmatrizen:
Fur die homogene Lorentz{Transformation (x0 = x ) gilt:
g = g
(4)
Fur innitesimale Lorentz{Transformationen gilt:
x0 = x + ! x = (| +
{z ! }) x
Aus (4) folgt: ! = ! . Es gibt 6 unabhangige Komponenten (!0k ; k =
1; 2; 3 ; !12; !23; !31). Die Transformation ist also:
x0 = x + ! x
Die Transformation von unter innitesimaler Lorentz{Transformation
( 0(x0) = S () (x)) kann man bis zur 1. Ordnung entwickeln.
i
S = 1 2 ! S ;
S = S
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
115
i
S 1 = 1 + 2 ! S + o(!2 )
(da S 1 S = )
(1 + 2i ! S ) (1 2i ! S ) = ( + !) = + ! () 2i ! S S = 12 ! ; S = i( )
S = 4i ; i
i
1
S = 1 2 ! 4 [; ] = 1 + 8 ! [; ]
1
S 1 = 1 8 ! [; ] = 0S y 0
Dies gilt wegen 0[ ; ]y 0 = [; ].
Fur eine endliche Lorentz{Transformation gilt:
S () = e
i S
2!
S 1 = 0S y 0 folgt aus der Reihendarstellung Term fur Term. Folgt daraus, da y eine Wahrscheinlichkeitsdichte reprasentiert? Sei wieder mal
eine Lorentz{Transformation , fur die gilt: x0 = x, 0(x0) = S () (x)
und S () = e 2i ! S . Ferner gilt: S = 4i [; ]und S 1 = 0S y 0. Eine
Spiegelung wird dargestellt durch: S (p) = 01 10 = 0 in chiraler Form.
1 0 0
In der Dirac{Darstellung gilt: S (p) = = 0 1 . Wir denieren die
Bilineare Kovariante: (x) (x).
2 f1; 5; ; 5; g ; = 2i [ ; ]
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
1. (x) (x) ! 0(x0) 0(x0)
0 = S =) 0 = S 1 =) 0
0
116
! S 1S = : Skalar
2. ! 0 0 = S 1 S = Wir denieren einen
Vierer{Vektor j , mit j 0 y = ist eine Dichte und d3x ist ein Skalar.
3. 0 0 = 0 0 0 ist ein Tensor 2{ter Stufe.
4. 05 0 = det() 5 ist ein Pseudoskalar (\ " bei Spiegelungen).
5. 0 5 = det() 5 ist ein Pseudo{Vektor (Axialvektor).
5.3.3 Drehungen und Drehimpuls
Wir betrachen innitesimale Drehungen !kl = !lk mit !0k = !k0 = 0; k =
1; 2; 3 (3 !kl sind unabhangig). Die Drehmatrix lautet: S = 1 2i !kl Skl, mit
m 0 m
m
m
1
i
Skl = 4 [k ; l] = 2 . Die k; l; m zyklisch. Die sind: = 0 m .
Wir denieren also wieder einen Vektor: ~ = (1; 2; 3). Die Drehmatrix
ist also jetzt:
S = 1 + i~!~ ; ~! = (!23; !31; !12)
Die Transformation einer Wellenfunktion lautet nun:
0(x0 ) = (1 + i~!
~ ) x(x0)
x0k = xk + !klxl
()
0 (x0) = (1 + i~! ~ ) x(x0) =
xk = x0k !klxl
x(x0) + i~!~ x(x0)
@
x(x0) = (x0k !klxl) = (x0) + @xl (x0)( !klxl) + o(!2)
i kl xl @ xl @ 0
0
= (x ) + 2 ! i @xl i @xk (x ) k; l; m zyklisch
|
{z
= Ll
}
Dabei ist Ll der Bahndrehimpuls, den wir zusammenfassend schreiben: L~ =
(L1; L2; L3). Es gelten die wohlbekannten Vertauschungsrelationen: [L1; L2] =
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
117
P
iL3, zyklisch. Daraus ergibt sich: L~ 2 = (Lk )2, die Eigenwerte sind l(l +
1); l = 0; 1; 2; : : :
Die Transformation sieht nun folgendermaen aus:
x(x0) = (x0) + i~!L~ (x0)
i
=) 0(x0) = (1 + 2 !~ ~ + i~!L~ ) (x0) (1 + i~!J~) (x0)
Das fuhrt uns mal wieder zum Gesamtdrehimpuls J~ = L~ + 12 ~ = L~ + S~ , mit
dem Spinoperator S~ = 12 ~ .
Im Ruhesystem ist L~ = 0 und daher J~ = S~ . Nun gilt fur den Eigenwert des
Drehimpulsquadrates:
S~ 2 =
3
3 1 1 1X
k
2
4 k=1 ( ) = 4 1 = 2 2 + 1 1
Der Spinor (x) beschreibt ein Teilchen der Masse m und dem
festen Spin 21 .
Die Eigenwerte von k sind 1 und von den S k 12 (doppelt!?)
Was sind die Eigenschaften des Drehimpulses? Der Hamilton
0 ~ ist, wie
schon oben erwahnt: H = P~ ~ + m, mit = 0 und ~ = ~ 0 . Nun
sind die Eigenschaften:
1. [H; L1] =
P3 k [P k ; Lk ] = P k [P k ; x1P 2 x3P 2]
k=1
= i(2P 3 3P 2) = i(~ P~ )1
Fur L2; L3 geht es analog. Dies fuhrt auf die Eigenschaft:
[H; L~ ] = i~ P~
Das bedeutet, da L~ keine Erhaltungsgroe ist.
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
2. [H; S~ ] = [P~ ~ ; S~ ]
118
1X
[H; S 1] = 2 [k ; 1]P k = i(~ P~ )1
(Dies folgt mit [k ; l] = 2ij zyklisch) Fur die anderen Komponenten
geht es analog, also gilt:
~
[H; ~S] = +i~ P
Das bedeutet, da auch S~ keine Erhaltungsgroe ist. Also sind die Eigenwerte der S k keine erhaltenen Quantenzahlen.
3. Man sieht aber an den Kommutatoren, da J~ erhalten ist, das heit es
ist eine Spin{Bahn{Kopplung vorhanden.
4. P~ S~ ist eine Erhaltungsgroe, denn:
X
[H; P~ S~ ] = P k [H; S k ] = iP~ (~ P~ ) = 0
Wir denieren die Helizitat: jP~P~S~j . Ferner gilt [H; P ] = 0. P ist also
erhalten. Fur Impulszustande P~ = p~ gilt:
P~ S~ = ~pS~ = S~ ~n; ~n = p ; ~n2 = 1
j ~p j
j P~ j j ~p j
Die Helizitat hat den Eigenwert 21 (doppelt!)
Teilchenzustande sind beschrieben durch
den Impuls und die Helizitat
5.4 Losungen der freien Dirac{Gleichung
5.4.1 Impuls{ und Helizitatszustande
Wir machen den Ansatz zur Losung: (x) = w(p)eipx, mit p = p = (E; P~ ).
Die Losung ist dann bestimmt durch:
(6 p m)w(p) = 0
p
Mit det(6 p m) = 0 fur p0 = ~p2 + m2.
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
Die Losungen zu positiver Energie lauten:
119
= u(p)e ipx Das ist
einfach nur eine Umbenennung. Die Losung ist nun aquivalent zu (6
p m)u(p) = 0.
Die Losugen zu negativer Energie lauten (ersetze ~p ! ~p): (x) =
v(p)e+ipx. Die Losung ist aquivalent zu (6 p + m)v(p) = 0. (Also gilt:
!
v(p) w( E; ~p).) Fur den Viererimpuls gilt: P (x) = p (x).
001
011
B 0 CC ; u(2) = BB 1 CC ; v(1) =
Im Ruhesystem sind die u(1)(0) = B
@0A
@0A
0
0
001
001
BB 0 CC ; v(2) = BB 0 CC die Eigenzustande von 3; S 3.
@0A
@1A
1
0
Die u(r)(p) und die v(r)(p) erhalt man durch Boosts: u(r)(p) = Spu(r)(0),
v(r)(p) = Spv(r)(0). mit Sp = p2m0(+Em+m) (siehe Kapitel 5.3.2). In der
Standard{Darstellung ist diese Matrix:
E + m ~p~ Sp =
~p~ E + m
+ (x)
In expliziter Form gilt mit p := p1 ip2:
0 1 1
0
r
r
E + m B 03 C
E+mB
u(1)(p) = 2m B
@ p CA ; u(2)(p) = 2m B@
Ep+m
+
E +m
p
E +m3
p
E +m
0
E+mB
v(1)(p) = 2m B
@ 0
r
1
CC ;
A
0
1
p
E +m3
p
E +m
0 p3
Ep+m
+
E +m B
(2)
B
v (p) = 2m @ E+1m
r
1
0
Damit gilt (6 p m)u(p) = 0 und (6 p m)v(p) = 0 (nachprufen).
Es gilt die Orthogonalitat:
u(r)(p)u(r0)(p) = rr0 ; v(r)(p)v(r0)(p) = rr0
1
CC
A
1
CC
A
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
120
u(r)(p)v(r0)(p) = v(r)(p)u(r0)(p) = 0
Und es gilt Vollstandigkeit:
2
X
X (r ) (r )
6 p+m
6p m
u(r)(p)u(r)(p) = 2m ;
2v (p)v (p) = 2m
r=1
r=1
{z
|
P2 fu(r) (p)u(r) (p) v(r) (p)v(r) (p)g=1=:+ +
r=1
}
+ = 6p2+mm und = 6p2+mm sind die Projektionsoperatoren auf die
Teilraume zu positiver und negativer Energie. Sie erfullen folgende Bedingungen: (+)2 = +; ( )2 = ; + = + = 0; + u(r) =
u(r); v(r) = v(r); u(r) = +v(r) = 0.
Die Losungen im Ortsraum sind:
(r)(x) = v (r)(p)eipx
(r )
ipx ;
+ (r)(x) = u (p)r
Daraus folgt, da = + = mE . Es sind keine Eigenzustande der Helizitat.
Die allgemeine Losung erhalt man durch Entwickeln:
(x) =
P2 R d3 p a (p)u(r)(p)e
r=1
r
ipx + b (p)v(r)(p)eipx r
Die Helizitatszustande sind nun mit der Helizitat W := 12 j~P~P~j . Fur den u{
Zustand ( + = ue ipx) gilt: P~ = p~ und fur den v{Zustand ( = veipx)
gilt: P~ = ~p. Die Helizitat ist also fur positive Energie: W = 2~j p~p~j und fur
negative Energie: W = 2~j ~p~pj .
Die Eigenzustande von W sind u(p) und v(p) mit den Eigenwerten 12
(Wu(p) = 12 u(p); Wv(p) = 21 v(p)). Man nennt den Zustand
zum Eigenwert + 12 rechtshandig und den Zustand zum Eigenwert 12
linkshandig.
Wir betrachten einen Boost p vom Ruhesystem in die Richtung ~n = j ~p~p j .
p : (m; 0) ! (E; p~);
W(0) = 12 ~ ~n
W(0) ! W
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
121
Die u(0) und v(0) sind Eigenzustande von W(0). Nun gilt: u(p) =
S (p)u(0) und v(p) = S (p)v(0). Beachte: Beim v{Spinor ist der Spin
im Ruhesystem in ~n{Richtung, dann ist die Helizitat + 12 .
Wir schreiben das nun in der kovarianten Form:
~ ~n = 5~ ~n = 5 0~~n
0 1
1 0 0 ~ Zur Erinnerung: 5 = 1 0 , 0 = 0 1 und ~ =
~ 0 .
6p
~ ~n = 5(~~n) 0 = 5 s(0) = 5 6 s(0) m(0)
(s(0) = (0;~n), 0 = 6pm(0) und p(0) = (m; 0).)
Wenden wir nun p an:
p = p(0);
p(0) ! p ,
s = s(0);
s(0) ! s,
s = m1 ( j ~p j ; E~n),
s2 = 1, ps = p s = 0.
Auf ~ ~n angewandt ergibt sich: ~ ~n ! 5 6 s m6p ,
6 p u (p) = 6 su (p)
(~ ~n)u (0) ! 5 6 s m
5
6 p v (p) = 6 sv (p)
(~ ~n)v(0) ! 5 6 s m
5 W(0) ! W fuhrt auf die kovariante Form der Helizitat:
W = 12 5 6 s
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
Anmerkung: W kann geschrieben werden als: W =
s
=
1
m ( j p~ j ; E~n).
122
W s , s
m wie oben
Nun gilt:
1
i
W = 2 S p ;
S = 4 [ ; 5]
Dies ist also ein kontravarianter Spin{Operator. W W ist invariant (neben
P P). W W = s(s + 1)1 mit s = 21 .
5.4.2 Losungen zu negativer Energie, Positronen
Die Dirac{Gleichung ist geeignet zur Beschreibung von Elektronen. Immer
noch oen ist allerdings die Frage, welche Bedeutung die Losung
=
+
ipx
v(p)e hat. Die \Erklarung" von Dirac ist die Locher{Theorie:
Im Grundzustand sind alle Zustande mit negativer Energie besetzt (Dirac{
See). Wegen des Pauli{Prinzips mussen nun Elektronen positive Energie haben. Es sind jedoch bei Energiezufuhr Anregungen moglich, wenn die Energie
groer als 2m ist. Dann entsteht ein Elektron{Loch{Paar. Das Elektron (e+)
ist ein Teilchen mit postiver Energie
p E und negativer Ladung. Das Loch hat
positive Ladung, positive Energie ~p2 + m2 (also fehlende negative Energie)
und den Impuls ~p. Die Interpretation dieses Loches ist das Anti{Teilchen
zum Elektron, also das Positron e+.
Die Wellenfunktion des Anti{Teilchens ist:
= (p)eipx. Ein Positron
kann nur paarweise mit einem Elektron erzeugt werden (z.B. + ! e+ +
e ), wenn E1 + E2 2m. Ein Positron kann zusammen mit einem Elektron
vernichtet werden: e+ + e ! + .
Diese Theorie lieferte die Vorhersage des Positrons! Sie beinhaltet allerdings
noch folgende Bedenken:
Die Gesamtladung des Sees sollte null sein.
Die Theorie ist unsymmetrisch bezuglich Teilchen und Anti{Teilchen
Dies ist bereits keine Einteilchen{Quantenmechanik mehr. Daher ist
die Wahrscheinlichkeitsinterpretation fragwurdig.
Wie beschreibt man die Erzeugung und Vernichtung?
Eine konsistente Beschreibung liefert die relativistische Quantenfeld{Theorie :
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
123
(x) geht in einen Operator uber, die Dirac{Gleichung wird eine Feldgleichung und die ar(p) und br(p) aus der Fourierentwicklung werden zu Operatoren mit kanonischen Anti{Vertauschungsregeln. ([; ] ! f; g). Die a; ay
sind nun die Vernichter und Erzeuger von Elektronen, die b von Positronen.
Die Dirac{Gleichung als Einteilchen{Gleichung
liefert ein fast richtiges Spektrum des H {Atoms
enthalt die Pauli{Gleichung als nichtrelativistischen Limes
enthalt die Spin{Bahn{Kopplung, relativistische Korrekturen
liefert g = 2 fur das magnetische Moment
ist anwendbar fur E 2m, also fur genugend schwache auere Felder
(sonst QED ).
5.5 Dirac{Teilchen im e{m{Feld
Wir betrachten fur ein aueres Feld (A) = (; A~ ) die minimale Substitution:
i@ ! i@ eA
(i @ m) = 0 fuhrt damit auf:
[ (i@ eA) m] = 0
(5)
Adjungieren der Gleichung (5) liefert ( (i@ + eA) + m) = 0 und die
Addition:
j = Also ist der Strom erhalten (@j = 0). Wir fuhren nun die Ladungskonjugation ein (C kann als 44{Matrix gewahlt werden):
C:
(x) !
C (c) = C T (x);
0
B@
T = B
1
2
3
4
1
CC
A
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
124
C = i 2 0
Die Eigenschaften von C sind nun: C 1 = C y = C , C 1 C = ( )T und
die Wirkung auf unsere Funktionen: C uT = v und C vT = u. Es gilt nun:
C
T
ipx
+ = C + = ve =
= C T = ue ipx = +
Die Dirac{Gleichung ist also symmetrisch bezuglich Ladungskonjugation:
C
[ (i@ eA) m] = 0 C! [ (i@ + eA) m]
C
=0
Teilchen und Anti{Teilchen sind symmetrisch bezuglich Ladungskonjugation.
Die Festlegung, was nun Anti{Teilchen und was Teilchen sind ist also reine
Konventionssache und historisch bedingt. Neutrinos haben die Leptonenzahl
1.
5.6 Nicht{relativistischer Limes der Dirac{Gleichung
Fur ein Teilchen im elektromagnetischen Feld gilt:
(i@t e) (x) = [~ p~ + m] (x)
(6)
Wir betrachten ein nicht{relativistisches Elektron ( jm~p j = v 1; E m m). Wir fuhren eine sinnvolle Separation der Masse gema durch ( K ; L
sind 2{komponentige Spinoren):
(x) = e
imt
K (~x; t)
L (~x; t)
(7)
Dies in (6) eingesetzt ergibt gekoppelte Gleichungen fur Pauli{Spinoren:
i@t K = ~(P~ eA~ ) L + e K
(8)
i@t
L = ~(P~
eA~ )
K + e L
(9)
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
125
Fur v 1 ist L unterdruckt durch einen Faktor v. P~ meA~ = ~v;
m( v2). (9) fuhrt nun auf:
~(P~ eA~ ) = (i@t e) L
=
L
K
2m
2m
Wir bezeichnen nun K als die groe Komponente und L als die kleine
Komponente. Die Entwicklung von L nach v unter Vernachlassigung von
o(v2) lifert:
(0)
L =0
~)
(1) ~ (P~ eA
=
K
L
2m
Dies in (8) eingesetzt ergibt:
1
i@t K = 2m [~(P~ eA~ )][~(P~ eA~ )] K + e K
Unter Benutzung von (~~a)(~a~b) = ~a~b + i(~a ~b) ergibt sich:
1
e
i@t K = 2m (P~ eA~ )2 2m ~ [|r (A~ K ){z+ A~ r K}] +e K
=(rA~ ) K =B~ K
Nun folgt mit S~ = 21 ~ und g = 2 die Pauligleichung:
i@t K =
n1
e g~SB
~ eA
~ )2 2m
~ + e
2m (P
o
K
g = 2 ist also eine Konsequenz der Dirac{Gleichung. Der S~ B~ {Term ent~ ~s = 2em gS~ . ~s ist das magnetische Dipolmoment des
spricht Hint = ~s B;
Elektrons zum Spin s. (Beachte: ~s = 2em L~ )
Das Experiment liefert jedoch g > 2. Den genauen Wert lefert die QED in
einer Entwicklung:
2
g 2 =
+
c
2
2 1 + : : :
Die Wechselwirkung mit dem Photonenfeld enthalt in erster Ordnung g = 2.
Eine Storungsrechnung 2. Ordnung liefert g = 2 + .
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
126
Die Theorie liefert bis jetzt 8 Stellen fur g 2, die alle mit dem Experiment
ubereinstimmen.
Die nachste Naherung L = L(1)(v) + L(2)(v2) (systematisches Verfahren:
Foldy{Wonthnysen{Transformation ) fuhrt auf Korrekturterme zur Pauligleichung:
i@t K = H K
e
~p4
e
1
H = 2m (P~ eA~ )2 2m gS~ B~ + e 8m3 4m2 ~(E~ P~ )
ie
ie ~ ~
~
~
(
r
B
)
8m2
8m2 P E
Fur ein statisches Zentralpotential: A~ = 0; = (r); V (r) = e(r); E~ 0 r
gilt darin:
e ~ ~
1 1 1 ~
~
(
E
P
)
=
4m2
2m2 r @r V 2 ~L
|{z}
S~ L~
Das beinhaltet die Spin{Bahn{Kopplung.
ie ~(r B~ ) = 0
8m2
1
ie ~ ~
P
E
=
2
8m
8m2 V
Dies ist der Darwin{Term. Fur V (r) = r ist er V = 4(3)(0). Er tragt
nur fur s{Zustande bei.
5.7 Dirac{Teilchen im Zentralfeld, H{Atom
Wir betrachten ein statisches Potential A~ = 0, V (r) = e(r), i@t = H , mit
H = P~ + m + V (r). Die stationaren Losungen lauten:
= e iEt (x)
Das Eigenwertproblem H (x) = E (x) lautet:
[~ P~ + m + V (r)] (x) = E (x)
Es gelten die Vertauschungsrelationen
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
127
[H; J~] = 0;
H = H0 + V (r);
[H0; J~] = [V (r); J~] = [H; J~2] = [H; J3] = 0.
Also haben H; J~2 und J 3 gemeinsame Eigenzustande mit den Eigenwerten
E; j; m.
[H; P ] = 0 also ist H spiegelinvariant, und die Eigenzustande haben eine
denierte Parit
'at(~x) 1.
Mit (~x) = (~x) ('; Spinoren) folgt:
m ~P~ ' ' '
+ V (r ) = E ~P~ m
'(~x) P
! 0
'( ~x) '(~x) ! '(~x) ( ~x) =
( ~x) = (~x)
(~x)
Die L
'; sindqvon der Form c(r)'(jm)(
). Mit j = l + 21 ; l = j
qosungen
1
1
a = l 2l2+1+m und b = l 2l2+1m ist:
'(+)
jm =
Und mit j = l
1;
2
aYl;m+ 21
bYl;m+ 12
!
l = j + 12 (fur l > 0) ist:
!
1
bY
l;m+ 2
'(jm) =
aYl;m+ 12
Die Eigenschaften der '(jm) sind:
1. '(jm) sind Eigenfunktionen von J~2; J 3;~ L~ .
() = (J~2 L
2 S~ 2 )'() = [j (j + 1) l(l + 1) + 3 ]'()
~
~
~
L
'
jm
jm
|{z}
4 jm
2S~ L~
(10)
~L~ '(jm) = (1 + )'(jm) = (1 jj)'(jm)
ist (j + 21 ) fur (+) und j + 12 fur ( ).
1,
2
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
128
2.
~x~
'(jm) = r '(jm); r = j ~x j
3. Das Verhalten bei Spiegelungen ist:
1
j 1 (+)
P'(+)
l=j 2 :
jm = ( 1) 2 'jm
1
1
P'(jm) = ( 1)j 2 '(jm)
l=j+2 :
Der Ansatz fur (~x) ist nun:
jm
Mit
=
(
i Gjlr(r) 'ljm
Fjl (r) ~x~ l
r r 'jm
!
(+) ; l = j 1
'
jm
2
=
'(jm); l = j + 21
Dies eingesetzt in (10) unter Benutzung von:
~~x 2 f (r)
f (r ) l
~
(~P ) r 'jm (
) = r ~P~ r 'ljm
| {z }
'ljm
=1
f (r )
~~x 1 d
~
= r2 i dr + i~L r 'ljm
~x~ 1 d f (r)
f (r ) l
= r2 'jm i dr r i(1 + ) r
liefert gekoppelte Radialgleichungen:
d
dr Gjl + r Gjl = [E + m
d
dr Fjl + r Fjl = [E m
V (r)]Fjl
V (r)]Gjl
Wir fuhrenp eine Variablensubstitution
durch: 1 := m + E , 2 := m E
p 2 2
und := 12r = m E r. Die Indices jl lassen wir ab jetzt weg und
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
wahlen das2 Coulomb{Potential V (r) =
und = 4e . Nun gilt also:
dG
d
dF
d
129
mit z der Koordinationszahl
z ,
r
p
+ G = 12 + z F
F = p 2 z G
1
(11)
Die Schritte zur Losung von (10) sind:
1. Fur ! 1:
Da also
F dG r 1
dF
F
=
d
2
d
r 2
1 G = 0
G e lautet der Ansatz:
G=e
1
X
=0
an
us+ ;
F =e
1
X
=0
b s+
2. Fur ! 0 gilt die Euler {DGL:
z
dF z
dG +
G
F
=
F
+
d d G=0
Der Ansatz lautet G = a0s und F = b0s unter den Bedingungen:
(s + )a0 zb0 = za0 + (s )b0 = 0
( )
p
s = + 2 (z)2
( ) ist nicht normierbar.
3. Wir machen also einen Reihenansatz:
G=e
s
1
X
=0
a 5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
G = e s
1
X
=0
130
b Diesen in (11) eingesetzt ergibt eine Rekursionsformel:
p 1 b = 0
p 12 a 1 = 0
(12)
2 1
p
Subtrahieren dieser beiden Gleichungen liefert: 12 = 0. Daraus folgt:
r 1
r 1 (s + + )a a 1 Zb
(s + )b b 1 + Za
s + + Z a = (s + ) + Z b
2
2
(13)
4. Das asymtotische Verhalten (s ! 1) ist durch groe bestimmt. (14)
fuhrt also auf:
a '
p 1 b
2 (14)
(12) und (14) sind fur groe :
a 2a 1 = 0
Also ist:
a = 2 a 1
b = 2 b 1
F; G sind also e.
5. Physikalische Losungen gibt es nur, wenn die {Reihe abbricht. Es mu
also die Bedingung gelten: a+1 = b+1 = 0 fur alle nr . Aus (12)
folgt fur = nr+1:
r
anr + 1 bnr = 0
2
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
131
r 1
bnr + anr = 0
2
Aus (13) folgt dann fur = nr : anr 6= 0
r 2 r 1 s + nr + Z anr = s + nr + Z anr
2
1
Also gilt:
s + nr p E
Z = m2 E 2
p p 1 = p 2E .
, da gilt: 21
2
m2 E 2
Auosen nach E (E > 0 fur Elektronen) liefert:
E = q m 2
a + s+Znr
Mit:
s 2
1
s= 1+ 2
Z 2 2
E
m
..
....
verbotener Bereich
...
...
-m
Mit der Hauptquantenzahl n: n = nr + j + 12 , n = 1; 2; 3; : : : und 0 <
j +p12 n folgen die Energieniveaus. Im Grundzustand ist: En=1;j= 12 =
m 1 Z 22. Die Niveaus sind:
Enj = vuu
0
u
tq+@
m
n
r
( ) ( )
Z
2 2 2
Z j+ 12 + j+ 12
12
A
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
132
Anmerkung: j ! l ergibt das Spektrum der Klein{Gordan{Gleichung.
Diskussion:
1. Die Niveaus sind nur von n; j anhangig (nicht von l).
2. Die Klassizierung ist analog zur nicht{relativistischen Bezeichnungsweise: n; l; j .
0S
1
j=2 : l= 1P
1P
3
j=2 : l= 2D
Die Termbezeichnungen sind: n Sj; nPj :
Term 1S 12 2S 12 2P 12 2P 32
n
1 2 2 2
l
0 0 1 1
1
1
3
1
j
2
2
2
2
Fur ein festes Enj0 > Enj ist j 0 > j .
3
1
2
2
1
2
1
1
2
S
5
2
3
2
3
21
23
2
1
2
P
D
3. Die Entwicklung nach Potenzen von Z liefert:
Z 2 2 m Z 2 2 1
3
Enj = m Zn2 1 + n j + 1 4n + : : :
2
m ist die Ruheenergie des Elektrons. Der zweite Term ist das Schrodingerspektrum und der dritte Term sind die relativistischen Korrekturen:
5 RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
133
Erstens die Spin{Bahn{Kopplung und zweitens der p4{Term zur kinetischen Energie.
p
4. 1 Z 22 ist imaginar fur 4Z > 1, z > 1 = 137. Bereich der Vielteilchentheorie. Die Dirac{Gleichung ist als 1{Teilchengleichung nicht
meht anwendbar, wenn die Feldstarke zu gro ist.
5. Das Spektrum Enj enthalt die folgenden beobachtbaren Eekte nicht:
Hyperfeinstruktur{Aufspaltung (Wechselwirkung mit dem Kern{
Spin)
Lamb{Shift: Die S {Niveaus sind gegenuber den P {Niveaus zu
gleichem j nach oben verschoben.
3
2
2
1
2
1
1
2
S
1
....... ....... ....... ....... ....... ......... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .......
.
...
..
..
Lamb{Shift 2
P
bei groen n; l schwacher
Die Erklarung ist aus Quanteneekten aus der QED ableitbar.
Coulomb:
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......
......
.....
......
......
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......
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...............
e
+
Kern
........
.......
......
......
......
......
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......
e
e
e
+
e
.......
........
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..........
.....
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... .........
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...
.....
.
.......................
Kern
Kern
Die letzten beiden Feynman {Graphen ergeben den Lamb{Shift.
Index
U bergangswahrscheinlichkeit, 66,
70
Absorption, 92
Absteiger, 83
Anti{Teilchen, 101
Aufsteiger, 83
Bewegungsgleichung, 65, 67
Bilder, 65
Bilineare Kovariante, 115
Bohrsche Frequenzbedingung, 75
Boost, 96
Bosonen, 84
Brechungsindex, 14
Chirale Darstellung, 106
Coulomb{Eichung, 80
Dirac{Darstellung, 104
Dirac{Gleichung, 113
Dirac{Matrizen, 103
Drehungen
innitesimale, 46
Driac{See, 122
Eichtransformationen, 80
Eigenzeit, 98
Emission, 76
induzierte, 92
spontane, 90
Ereignis, 95
Erhaltungsgroe, 40
Feinstrukturkonstante, 91
Feldstarke{Tensor, 99
Fock{Raum, 85
Gesamtdrehimpuls, 117
Gesamtrate, 91
goldene Regel, 74
Gruppen{Produkt, 108
Heisenberg{Bild, 67
Heisenberg{Gleichung, 67
Helizitat, 88, 118, 120
Klein{Gordan{Gleichung, 100, 109
Koharenz, 87
Kovarianz, 113
Ladungskonjugation, 123
Lebensdauer, 91
Linienbreite, 92
Linienform
naturliche, 92
linkshandig, 120
linkszirkular, 88
Lorentztransformation, 95
Loretz{Eichung, 99
magnetische Dipolstrahlung, 93
Maxwell{Gleichungen, 80
Maxwellgleichungen, 99
metrischer Tensor, 95
Multipolubergange, 93
Mller{Operator, 22
Optik, 14
Pauli{Matrizen, 103
Paulischer Fundamentalsatz, 114
Photonenfeld, 86
Pointcare{Transformation, 96
Poisson{Klammern, 68
134
INDEX
Polarisationen, 80
Quadrupolwechsel, 93
Quantenfeld, 102
rechtshandig, 120
rechtszirkular, 88
Relativitatsprinzip, 95
Schrodinger{Bild, 65
Skalar, 97
Skalarfeld, 97
Skalarprodukt, 95
Spin{Bahn{Kopplung, 118
Spinoperator, 117
Storung
in endl. Zeit, 74
zeitlich konstant, 72
Strahlungsfeld, 80
Streuamplitude, 9
Streuphase, 30
Streuung
elastische, 9
Strukturkonstanten, 109
Teilchenzahloperator, 83
Tensor, 97
Transversalitat, 80
unitar, 40
Vakuum, 85
Vektoren
kontravariant, 95
kovariant, 95
Vektorfeld, 97
Vierer{Vektor, 97
Wechselwirkungsbild, 69
Wellenpaket, 9
135
Weltlinie, 98
Weltpunkt, 95
Zeitdilatation, 98
Zellen, 82
Zustandsraum, 84