Automatentheorie, ¨Ubungsblatt 6

TU Ilmenau, Fachgebiet Theoretische Informatik
Prof. Dr. Dietrich Kuske, Dipl.-Inf. Roy Mennicke
http://www.tu-ilmenau.de/tinf/lehre/ss-2013/automatentheorie
Automatentheorie, Übungsblatt 6
Die Übungsaufgaben werden in den Übungsveranstaltungen am 14.6. bzw. 20.6. besprochen.
Übungsaufgaben
(1) Aus der Vorlesung wissen wir, dass sich jedem Term über dem Rangalphabet Σ mit
Σ0 = {a}, Σ1 = {c}, Σ2 = {+} und Σm = ∅ für alle m > 2 auf natürliche Weise ein
co-Graph η(t) zuordnen lässt.
(a) Geben Sie η(t) für die folgenden beiden Bäume an.
+
c
c
+
a
+
a
c
c
+
+
a
a
a
c
+
+
a
a
a a
(b) Geben Sie zu den nachfolgenden Graphen G jeweils einen Term t mit η(t) = G
an.
(c) Beschreiben Sie einen Algorithmus, der bei Eingabe eines Graphen G einen Term t
mit η(t) = G konstruiert.
(2) Wir führen zunächst die folgenden Definitionen ein: Sei Σ ein Alphabet.
• Ein gerichteter Graph ist ein Tupel (V, E), wobei V eine endliche Knotenmenge
und E ⊆ V × V eine Kantenmenge ist. Ein Σ-beschrifteter Graph ist ein Tupel
(V, E, λ) wobei (V, E) ein gerichteter Graph ist und λ : V → Σ eine Abbildung.
• Ein Baumgraph ist ein Graph G, in dem es einen Knoten (die Wurzel ) gibt, von
dem es jeweils genau einen gerichteten Weg zu jedem anderen Knoten gibt. Die
Menge der Knoten mit Ausgangsgrad 0 bezeichnen wir mit B(G) (die Blätter ).
• Ein Doppelbaum ist ein gerichteter Graph G = (V, E), so dass es V1 , V2 ⊆ V gibt
mit:
– V = V1 ∪ V2
– für i ∈ {1, 2} ist Gi = (Vi , E ∩ (Vi × Vi )) ein Baumgraph
– V1 ∩ V2 = B(G1 ) = B(G2 )
Die folgende Abbildung zeigt, dass sich G als Diamant“ auffassen lässt. Die
”
gemeinsamen Blätter B(G1 ) = B(G2 ) sind durch Kreise dargestellt.
G1
G2
Ein Σ-beschrifteter Doppelbaum ist ein beschrifteter Graph (V, E, λ) wobei (V, E)
ein Doppelbaum ist.
• Die Logik DMSOG entsteht aus der Logik MSOG (siehe Vorlesung), wenn wir
die Atomformel {v, w} ∈ E durch (v, w) ∈ E ersetzen. Für einen gerichteten
Graphen G = (V, E) und Abbildungen α : V1 → V und β : V2 → 2V definieren
wir G, α, β |= (v, w) ∈ E gdw. (α(v), α(w)) ∈ E.
• Mit LMSOG bezeichnen wir die Logik, die entsteht, wenn wir die Logik DMSOG
um die Atomformel Pa (x) (für x ∈ V1 und a ∈ Σ) erweitern. Für einen beschrifteten Graphen G = (V, E, λ) und Abbildungen α : V1 → V und β : V2 → 2V
definieren wir G, α, β |= Pa (x) gdw. λ(α(x)) = a.
• Seien A eine Menge und B = {x ∈ A | x besitzt Eigenschaft . . . }. Die Menge
B heißt entscheidbar, wenn es einen Algorithmus gibt, der, gegeben ein Element
a ∈ A, berechnet, ob a ∈ B gilt.
Lösen Sie nun die folgenden Teilaufgaben.
(a) Zeigen Sie, dass das folgende Problem nicht entscheidbar ist:
T1 = {ϕ ∈ LMSOG | G |= ϕ für alle beschrifteten Doppelbäume G}
Hinweis: Sei G die Menge aller Tupel (G1 , G2 ) wobei G1 und G2 kontextfreie
Grammatiken sind. Das Schnittproblem für kontextfreie Grammatiken gegeben
durch
S = {(G1 , G2 ) ∈ G | L(G1 ) ∩ L(G2 ) = ∅}
ist nicht entscheidbar. Skizzieren Sie einen Beweis dafür, dass die Entscheidbarkeit
von T1 auch die Entscheidbarkeit von S bedeuten würde.
(b) Folgern Sie, dass auch die folgende Menge nicht entscheidbar ist:
T2 = {ϕ ∈ DMSOG | G |= ϕ für alle Doppelbäume G}
(c) Geben Sie eine Formel ϕ ∈ DMSOG an, so dass für alle Graphen G gilt:
G |= ϕ ⇐⇒ G ist ein Doppelbaum
(d) Zeigen Sie mittels der Resultate aus den Teilaufgaben (b) und (c), dass die folgende
Menge nicht entscheidbar ist:
TAUT = {ϕ ∈ DMSOG | G |= ϕ für alle Graphen G}
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