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1.5. Relationen, Abbildungen und Flächen
In Verallgemeinerung der reellen Situation nennt man jede Teilmenge F eines kartesischen
Produkts
A B
eine Relation zwischen A und B, und man spricht von einer Abbildung von A in B, geschrieben
F:A
B,
falls es zu jedem x aus A genau ein y aus B gibt, so daß (x,y) zu F gehört. In diesem Fall heißt y
wieder das Bild von x und wird mit F(x) bezeichnet.
Rotationen (Drehungen)
Wir haben zuvor schon Figuren rotieren lassen. Wie geht das mathematisch?
Eine Drehung in der Ebene ist interpretierbar als Abbildung von 2 nach 2, die jedem Punkt den
durch die Drehung entstehenden neuen Punkt zuordnet.
Bei einer Drehung um den Winkel (im Gegenuhrzeigersinn) bewegt man
x, 0 nach (x cos
, x sin
)
, y cos
)
0, y nach ( y sin
und folglich
x, y nach (x cos
y sin
, x sin
y cos
).
Die Drehung um
wird daher beschrieben durch die Abbildung D von
D (x,y) = (x cos
y sin
, x sin
y cos
2 nach
).
Beispiel 1: Drehspuren auf dem Radarschirm
1,0
0,5
y
x
1,0
0,5
0
0,5
1,0
0,5
1,0
2 mit
Beispiel 2: Drehung des großen Wagens am Firmament
1,0
0,5
1,0
0,5
0
0,5
1,0
0,5
1,0
Koordinatentransformationen
entstehen, wenn man statt einzelnen Punkten das ganze Koordinatensystem dreht.
Sind x und y die Koordinaten im neuen (um α gedrehten) Koordinatensystem, so sind
x' = x cos
y sin
y' = x sin
y cos
die Koordinaten im ursprünglichen System (denn das Koordinatensystem dreht sich relativ zu
einem Punkt in umgekehrter Richtung wie dieser Punkt relativ zum Koordinatensystem).
Flächen
werden fast immer durch Gleichungen oder Ungleichungen festgelegt. Aber auch bei Flächen
sind Parameterdarstellungen möglich. Man braucht dann zwei statt eines Parameters.
So beschreibt man eine ebene Fläche durch eine Abbildung
2, F(r, t) = (F r, t , F r, t )
F:A B
1
2
mit geeigneten Intervallen A und B.
Beispiel 3: Der Einheitskreis
Die abgeschlossene Kreisscheibe
K = { (x, y) : x2 y2 1}
hat z. B. die Parameterdarstellung
K = {(r cos t , r sin t ) : 0 r
1, 0
t < 2 }.
Ihre Randkurve (die Peripherie)
2
y2 = 1}
P = { (x, y) : x
hat die Parameterdarstellung
P = {(cos t , sin t ) : 0 t < 2 },
und ihr Inneres (die offene Kreisscheibe)
2
2
I = { (x, y) : x
y
1}
hat die Parameterdarstellung
I = {(r cos t , r sin t ) : 0 r < 1, 0 t < 2 }.
Schließlich wird das vom Kreis in die Ebene gestanzte Loch
L = {(x, y) : 1 x2 y2}
durch die Parameterdarstellung
L = {(r cos t , r sin t ) : 1 < r, 0 t < 2 }
beschrieben.
Keine dieser Relationen ist eine Funktion. Nur die zweite beschreibt eine Kurve (Gleichung!), die
anderen drei dagegen Flächen.
Beispiel 4: Ein Halbkreis
hat eine Randkurve, die z. B. folgendermaßen beschrieben werden kann:
H = {(x,y) : x
1, y =
1
x2 }.
Hier handelt es sich im Gegensatz zu Beispiel 3 um eine Funktion!
Neben der obigen "kartesischen Parameterdarstellung" und vielen weiteren hat man die polare
Parameterdarstellung
}.
H = {(cos t , sin t ) : 0 t
Die Halbkreisfläche
F = {(x,y) : x
1, 0
y, y
1
2
x }
ist dagegen natürlich keine Funktion.
Beispiel 5: Raute, Astroide und Variationen
Wir "verbiegen" den Kreis durch Potenzieren der Koordinaten mit einem Exponenten p:
x p y p = 1.
Für eine bequeme Parameterdarstellung benutzen wir die Signum-Funktion s mit
s(x) = -1 für x < 0
s(x) = 0 für x = 0
s(x) = 1 für x > 0
die mit dem Absolutbetrag über die Gleichung
x=s x x
zusammenhängt.
1,0
0,5
2
1
0
0,5
1
x
2
1,0
Zur Abkürzung setzen wir q =
2
und erhalten "gequetschte Kreise":
p
Abgeschlossene Fläche:
K(p) = { (x, y) : x p y p 1}
= {(u s cos t cos t q, u s sin t sin t q) : 0 u < 1, 0
Rand(kurve):
R(p) = { (x, y) : x p y p = 1}
= { s cos t cos t q, s sin t sin t q: 0 t < 2 }
t<2
}
Restmenge (Loch):
x p y p}
L(p) = {(x, y) : 1
= {(u s cos t cos t q, u s sin t
Raute: p = 1, q = 2
Kreis: p = 2, q = 1
Astroide: p =
1
, q =4
2
sin t
q
):1
u, 0
t<2 }
Beispiel 6: Hyperbeln
Wir betrachten für feste reelle Zahlen a die Relationen
H(a) = { (x,y) : x y = a}.
Da sie durch Gleichungen beschrieben werden, handelt es sich um Kurven.
Wir zeichnen H(1) und H(-1) in ein gemeinsames Bild:
4
2
4
2
0
2
4
x
2
4
Die "symmetrisierte" Menge
H = { (x, y) : x y
a und max x , y
b}
beschreibt eine Fläche zwischen den vier Hyperbel-Ästen, die folgendermaßen aussieht:
2
1
2
1
0
1
1
x
2
2
a = 0.1, b = 3
Drehen um den Winkel
=
x2
liefert weitere Hyperbeln, z. B. für
bzw.
=
:
4
4
y2 = 1 bzw. y2 x2 = 1
4
1
4 3 2 1
1 2 3 4
4
Und jetzt eine ganze Schar gedrehter Hyperbeln:
4
1
4 3 2 1
1 2 3 4
4
Beispiel 7: Ein Achsenkreuz
ergibt sich für
H(a) = { (x,y) : x y = a},
falls a = 0 :
xy=0
x = 0 oder y = 0
bzw. nach einer Drehung um t
x cos t
y sin t
x sin t
y cos t
y = cot t x oder y = tan t x
=0
1,0
0,5
1,0
0,5
0
0,5
1,0
0,5
x
1,0