Additionstheoreme

10B Mathe (ht)
Bergstadt-Gymnasium
Additionstheoreme
der Trigonometrie
2006-01-26
26. März 2006
Additionstheoreme
der Trigonometrie
1
sin(α + β)
In der Zeichnung haben die Seiten CA und CB die Länge 1.
Für den Winkel δ gilt: δ = 180◦ − (α + β), also sin δ = sin (α + β).
h
Im Dreieck CHB gilt: sin δ = = h
1
Im Dreieck ABC gilt der Sinussatz:
sin(ϕ)
sin(δ)
=
1
c
(1)
sin (α + β) = hc = 2 · A∆ABC
(2)
damit erhalten wir
Für die Fläche des Trapezes BDEA gilt:
1
AT = (cos α + cos β) · (sin α + sin β)
(3)
2
Wir können sie aber auch als Summe der drei Dreiecksflächen darstellen:
AD
= A(DCB) + A(CAB) + A(CEA)
1
1
1
=
cos α sin α + hc + cos β sin β
2
2
2
1
1
1
cos α sin α + sin(α + β) + cos β sin β
=
2
2
2
(4)
(5)
(6)
(7)
AD und AT sind natürlich gleich, also ist:
cos α sin α+sin(α+β)+cos β sin β = cos α sin α+cos α sin β+cos β sin α+cos β sin β
(8)
sin(α + β) = cos α sin β + cos β sin α
1
(9)
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Bergstadt-Gymnasium
2
Additionstheoreme
der Trigonometrie
2006-01-26
26. März 2006
weitereAdditionstheoreme für Sinus, Kosinus
und Tangens
Ihr habt schon hergeleitet, dass gilt:
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
(10)
mit dem Beziehungen cos(−α) = cos(α) und sin(−α) = − sin(α) erhält man
unmittelbar
sin(α − β)
=
sin α cos β − cos α sin β
(11)
cos(α + β)
=
cos α cos β − sin α sin β
(12)
tan(α + β)
=
=
=
tan(α − β)
3
=
sin(α + β)
cos α sin β + cos β sin α
=
cos(α + β)
cos α cos β − sin α sin β
cos α sin β
cos β sin α
sin β
sin α
+
+
cos α cos β
cos α cos β
cos β
cos α
=
cos α cos β
1
sin α sin β
sin α sin β
−
−
cos α cos β
cos α cos β
1 cos α cos β
tan α + tan β
1 − tan α tan β
tan α − tan β
1 + tan α tan β
(13)
(14)
(15)
(16)
weitere Additionstheoreme 2α und 3α
sin(2α)
=
sin(α + α) = cos α sin α + cos α sin α = 2 sin α cos α
cos((2α)
=
cos(α + α) = cos α cos α − sin α sin α = cos2 α − sin2 α (18)
cos2 α − sin2 α = cos2 α − (1 − cos2 α) = 2 cos2 α − 1
cos2 α − sin2 α = (1 − sin2 α)) − sin2 α = 1 − 2 sin2 α
2 tan α
tan(2α) = tan(α + α) =
1 − tan2 α
sin(3α) = sin(2α + α) = (2 sin α cos α) cos α + (1 − 2 sin2 α) sin α
=
=
3
2
(17)
(19)
(20)
(21)
(22)
=
2 sin α cos α + sin α − 2 sin α
(23)
=
=
2 sin α(1 − sin2 α) + sin α − 2 sin3 α
3 sin α − 4sin3 α
(24)
(25)
2