¨Ubung Elektrische und magnetische Felder SoSe 2015

Übung
Elektrische und magnetische Felder
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Aufgabe 1
Berechnen Sie die Raumladungsdichte ρ für:
1.1 eine Linienladungsdichte τ(~r) auf einem Kreisring mit dem Radius R 0
a) Geben Sie die Parameterdarstellung eines Kreises mit zugehörigem Wertebereich an.
b) Geben Sie ein geeignetes differentielles Wegelement an.
1.2 eine Flächenladungsdichte σ(~r) auf einer Kugeloberfläche mit Radius r 0
a) Geben Sie die Parameterdarstellung einer Kugeloberfläche mit zugehörigem
Wertebereich an.
b) Geben Sie ein geeignetes differentielles Flächenelement an.
Die Flächenladungsdichte σ aus 1.2 sei nun konstant.
1.3 Berechnen Sie die Gesamtladung Q tot , die sich auf der Kugeloberfläche befindet.
Aufgabe 2
y
τf
h
−h
x
z
Berechnen Sie das Potential der in der Abbildung gegebenen, endlichen Linienladung mit Hilfe des
Coulomb-Integrals.
a) Geben Sie die Parameterdarstellung der Linie mit zugehörigem Wertebereich an.
b) Geben Sie ein geeignetes differentielles Wegelement an.
Aufgabe 3
Gegeben ist eine Kreisscheibe, die gleichmäßig mit der konstanten Flächenladungsdichte σ belegt ist.
Die Kreisscheibe mit Radius R 0 befindet sich in der Ebene z = 0.
3.1 Berechnen Sie die Gesamtladung auf der Kreisscheibe.
a) Geben Sie die Parameterdarstellung der Kreisscheibe mit zugehörigem Wertebereich an.
b) Geben Sie ein geeignetes differentielles Flächenelement an.
3.2 Berechnen Sie das Potential und die elektrische Feldstärke für Aufpunkte auf der z-Achse.
3.3 Untersuchen Sie das Potential und die elektrische Feldstärke für die Grenzfälle z ≪ R 0 , z ≫ R 0
und R 0 → ∞ mit Hilfe der Taylorentwicklung.
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Aufgabe 4
Gegeben ist eine Kugelschale mit Radius r 0 und konstanter Oberflächenladungsdichte σ. Berechnen Sie
das Potential auf der z-Achse. Leiten Sie aus diesem Ergebnis eine im gesamten Raum gültige Lösung
her.
Aufgabe 5
Gegeben ist die zylindersymmetrische Ladungsverteilung
im Vakuum.

 4

 R 




ρ f 0   , 0 ≤ R ≤ R0



R0

ρ f (~r) = 
 4


 R0 



1


− 3 ρ f 0  R  , R0 < R < ∞
5.1 Im Allgemeinen kann das Potential mit Hilfe des Coulomb-Integrals berechnet werden. Stellt dieser Weg zur Berechnung des Potentials bei der gegebenen Anordnung eine sinnvolle Möglichkeit
dar? Begründen Sie Ihre Antwort.
5.2 Berechnen Sie mit dem Gaußschen Gesetz E~ für 0 ≤ R < ∞.
a) Geben Sie die Variablen und die Richtung des elektrischen Feldes bei vorliegender Symmetrie an.
5.3 Bestimmen Sie außerdem den Potentialverlauf φ(R) für 0 ≤ R < ∞. Überlegen Sie sich dazu eine
physikalisch sinnvolle Randbedingung bezüglich des Potentials.
5.4 Berechnen Sie alternativ das Potential mit Hilfe der Poisson-Gleichung und vergleichen Sie Ihr
Ergebnis mit 5.3. Es soll gelten: φ(R = 0, ϕ, z) = 0 und φ(R → ∞, ϕ, z) < ∞.
a) Leiten Sie aus den Gleichungen ∇ × E~ = 0 und ε0 ∇ · E~ = ρ die Poisson-Gleichung her.
b) Stellen Sie die Poisson-Gleichung in einem geeigneten Koordinatensystem auf.
Aufgabe 6
Beweisen Sie die folgende Relation in kartesischen Koordinaten:
~ r − ǫ ~p)
~ r + ǫ ~p) − E(~
E(~
2
2
= (~p · ∇)E~
ǫ→0
ǫ
lim
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Aufgabe 7
Gegeben sind zwei kreisförmige Linienladungen, die konzentrisch um die z-Achse angeordnet sind. Die
erste Linienladung mit dem Radius R1 befindet sich auf der Höhe z = h und ist mit der Linienladungsdichte τ f 1 (ϕ) = Rτ11 sin2 (ϕ) geladen. Die zweite Linienladung mit dem Radius R2 befindet sich auf der
Höhe z = −h und ist mit der Linienladungsdichte τ f 2 (ϕ) = Rτ22 cos2 (ϕ) geladen. Es gilt τ1 , τ2 = konst.
7.1 Berechnen Sie jeweils die Ladungen der beiden Linienladungen.
a) Geben Sie die Parameterdarstellung der Kreise mit zugehörigem Wertebereich an.
b) Geben Sie ein geeignetes differentielles Wegelement an.
~ Berechnen Sie das Dipolmo7.2 Das Dipolmoment eines endlichen Dipols ist gegeben mit ~p = Qd.
ment der gesamten Anordnung unter der Annahme, dass τ1 = −τ2 gilt.
Aufgabe 8
q
Gegeben ist eine mit der Flächenladungsdichte σ(R) = σ0 R−1 R21 + R22 geladene Kreisscheibe mit
Innenradius R1 und Aussenradius R2 , die sich konzentrisch um die z−Achse in der x − y−Ebene befindet
(σ0 = konst).
8.1 Berechnen Sie das von dem Kreisring erzeugte Potential für Aufpunkte auf der z−Achse.
8.2 Nun befindet sich im Zentrum des Kreisringes ein Punktdipol mit dem Dipolmoment ~p = p0~ez ,
wobei p0 als konstant angenommen ist. Ermitteln Sie die Kraft die der Dipol auf den geladenen
Kreisring ausübt. (Hinweis: actio = reactio)
Aufgabe 9
9.1 Gegeben ist ein Punktdipol, der sich im Koordinatenursprung befindet und das Dipolmoment ~p =
p 0~ez besitzt.
a) Geben Sie das Potential und das elektrische Feld des Dipols in Kugelkoordinaten an.
Leiten Sie eine Gleichung für die Äquipotentialflächen und die elektrischen Feldlinien des Punktdipols her. Skizzieren Sie die Äquipotentialflächen und die Feldlinien.
9.2 Nun befindet sich im Ursprung eine Punktladung Q und der Dipol an der Stelle ~r D . Geben Sie die
Ausdrücke für Kraft und Drehmoment (bzgl. seiner eigenen Drehachse) auf den Punktdipol an,
der sich im Feld der Punktladung befindet.
a) Geben Sie das elektrische Feld E~ einer Punktladung im Ursprung an.
9.3 Vergleichen Sie das elektrische Feld aus 9.1 mit der Kraft aus 9.2.
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Aufgabe 10
z
R0
Geben Sie die Raumladungsdichte für den skizzierten Kreiszy~ = P ~ez geladen sein
linder, der mit konstanter Dipoldichte P
0
soll, an. Berechnen Sie das Potential auf der z-Achse durch
Auswerten des Coulomb-Integrals. Der Zylinder befindet sich
im Vakuum.
z=+h
z=0
z=−h
Aufgabe 11
Ein in z-Richtung unendlich ausgedehnter Kreiszylinder mit Radius R0 ist senkrecht zur Achse polari~ = P0 e~y (P0 = const). Der Zylinder befindet sich im Vakuum. Gegeben seien die Lösungen
siert mit P
für das Potential im Innen- und Außenraum gemäß
φ(a) (R, ϕ) =
∞
X
an R−n sin(nϕ)
∞
X
bn Rn sin(nϕ)
für R0 ≤ R < ∞
n=1
(i)
φ (R, ϕ) =
für 0 ≤ R ≤ R0 .
n=1
11.1 Zeigen Sie, dass die angegebenen Lösungen des Potentials die Laplace-Gleichung erfüllen.
11.2 Berechnen Sie das elektrostatische Potential φ(R, ϕ) im Innen- und Außenraum des Zylinders.
Benutzen Sie dafür die angegebenen Ansätze.
~ im Innen- und Außenraum des
11.3 Berechnen Sie die elektrische Feldstärke E~ und die Flussdichte D
Zylinders und skizzieren Sie die Feldlinien.
y
ε0
P
ϕ
x
R0
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Aufgabe 12
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Die kugelsymmetrische Raumladungsdichte ρ(r) = ρ0 rr2 für 0 ≤ r ≤ r1 ist umgeben von einer dielek1
trischen Kugelschale (Innenradius r1 , Außenradius r2 , Dielektrizitätskonstante εr ). Der übrige Raum sei
ladungsfrei.
~ E~ und P
~ für den gesamten Raum.
12.1 Berechnen Sie das D,
12.2 Berechnen Sie φ für den gesamten Raum, wenn φ im Unendlichen zu Null werden soll.
12.3 Berechnen Sie die Polarisationsraumladungsdicht ρPV im Innern des Dielektrikums und die Polarisationsoberflächenladungsdichten σP (r1 ) und σP (r2 ).
12.4 Leiten Sie aus den Maxwell-Gleichungen der Elektrostatik eine DGL für φ her und berechnen Sie
φ mit Randbedingungen die Sie aus 12.2 ermitteln können.
Aufgabe 13
Der Zwischenraum ri < r < ra eines idealen Kugelkondensators ist mit einem Dielektrikum gefüllt,
dessen Permittivität gemäß
r
ε(r) = ε0 εi i
r
vom Ort abhängt. Die Außenelektrode ist geerdet, während die Innenelektrode auf dem konstanten Potential φi gehalten wird.
13.1 Berechnen Sie das Potential φ und die elektrische Feldstärke E~ im Innern des Kugelkondensators.
Wie groß ist die Energie, die im Kondensator gespeichert ist?
a) Leiten Sie aus den Gleichungen der Elektrostatik eine koordinatenfreie DGL für das Potential her.
b) Geben Sie die Variablen des Potentials für die gegebene Symmetrie der Anordnung an.
~ des Mediums, das den Zwischenraum des Kondensators ausfüllt.
13.2 Berechnen Sie die Polarisation P
Bestimmen Sie weiterhin die Polarisations-Oberflächenladungsdichten σpi und σpa auf den Elektroden.
Aufgabe 14
Ein ebener Plattenkondensator mit dem Abstand d und Plattenfläche F, der senkrecht zur x−Achse
angeordnet ist, ist mit einem Dielektrikum gefüllt, dessen Dielektrizitätskonstante gemäß
x
εr (x) = ε1 + (ε2 − ε1 )
d
vom Ort abhängt. Die Elektroden werden auf den konstanten Potentialen φ(0) = 0 und φ(d) = φ0
gehalten. Randeffekte aufgrund der endlichen Plattengröße sind zu vernachlässigen.
14.1 Berechnen Sie das Potential φ zwischen den Elektroden.
~ und die Flussdichte D
~ zwischen den Elektroden.
14.2 Berechnen Sie das elektrische Feld E
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14.3 Berechnen Sie die Oberflächenladungsdichten σ f (0) und σ f (d) auf den Kondensatorelektroden.
14.4 Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators.
Aufgabe 15
Eine Punktladung Q befindet sich vor einer geerdeten
Metallkugel mit Radius r0 . Der Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und der Punktladung beträgt p. Das Potential für den Außenraum der Kugel läßt sich mit Hilfe einer Spiegelladung im Innern der Kugel ermitteln.
Berechnen Sie die Position p′ und den Betrag der Spiegelladung Q′ , damit die Randbedingung φ|Kugelrand = 0
erfüllt werden kann. Geben Sie das Potential im gesamten Raum an.
Q′
p′
Q
p
z
a) Geben Sie einen Ausdruck für das von Q und Q′ erzeugte Potential an, wenn die Kugel nicht
vorhanden wäre.
b) Berechnen Sie den Abstand von ~r jeweils zu ~r p und ~r p′ .
Aufgabe 16
Bei z = 0 befindet sich eine geerdete, leitende, unendlich ausgedehnte Ebene. Oberhalb dieser Ebene
befindet sich ein Punktdipol am Ort ~rD = d~ez mit dem Dipolmoment ~p = p0~ez .
16.1 Berechnen Sie das elektrostatische Potential φ für z ≥ 0.
a) Geben Sie das Potential eines Punktdipols an.
16.2 Berechnen Sie die auf der Ebene influenzierte Oberflächenladungsdichte σ f .
Aufgabe 17
y
b
a
x
Gegeben Sei der obige Potentialkasten, für den die 2D Poisson-Gleichung
∇2 φ = 0
in 0 < x < a und 0 < y < b
mit den vorgegebenen Randbedingungen
φ (0, y) = φ (a, y) = φ (x, 0) = 0 ,
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φ (x, b) =
V0
a2
x (a − x) .
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17.1 Berechnen Sie für das obige Randwertproblem das Potential φ(x, y) mit Hilfe des Separationsansatzes. Benutzen Sie dabei die Orthogonalitätseigenschaft der Sinusfunktion:
Z a
nπx mπx a
sin
dx = δmn
sin
a
a
2
0
17.2 Im Folgenden soll das Potential numerisch berechnet werden. Leiten Sie dazu
mit Hilfe der Taylorreihenentwicklung eine Vorschrift zur Berechnung des Potentials φ xk , yl = φk,l aus den Nachbarwerten φk+1,l , φk−1,l , φk,l+1 und φk,l−1 her. Nehmen Sie dazu eine äquidistante Unterteilung des
Lösungsgebietes an xk = kh, yl = lh .
∂φ ∂φ φ (x, y) ≈ φ xk , yl +
xk , yl x − xk +
xk , yl y − yl
∂x
∂y
2
2
2
2
1 ∂2 φ 1∂ φ
∂ φ x
,
y
xk , yl y − yl
x
−
x
+
+
x
,
y
x
−
x
y
−
y
k l
k
k l
k
l +
2
2
2 ∂x
∂x∂y
2 ∂y
17.3 Benutzen Sie nun zur numerischen Berechnung des Potentials ihr Ergebnis aus 17.2. Tragen Sie
ihre Ergebnisse im Gesamtschrittverfahren in die vorbereiteten Gitter ein und skizzieren Sie die
Äquipotentiallinien.
192
256
192
192
256
192
0
0
0
0
0
0
0
0
0. Schritt 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2. Schritt 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
192
256
192
0
0
0
0
0
0
192
256
192
0
0
0
1. Schritt
0
0
3. Schritt
0
0
Aufgabe 18
x
Betrachtet wird ein in + z–Richtung unendlich ausgedehntes Rohr
mit rechteckförmigem Querschnitt. Die Außenwände des Metallrohrs sind geerdet, während der Deckel an der Stelle z = 0 auf
dem konstanten Potential φ(x, y, z = 0) = V0 liegt. Überlegen Sie
sich eine sinnvolle Randbedingung bezüglich des Potentials in z–
Richtung. Berechnen Sie das Potential φ(~r) innerhalb der Anordnung.
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a
0
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z
b
y
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a) Leiten Sie aus den Gleichungen der Elektrostatik eine koordinatenfreie Differentialgleichung für
das Potential im Innern des Rohres her.
b) Wählen Sie geeignete Koordinaten, formulieren Sie dafür die Differentialgleichung und machen
Sie einen geeigneten Ansatz zur Separation.
Aufgabe 19
Gegeben ist eine Kreisscheibe mit dem Radius R0 . Auf dem Rand der Kreisscheibe ist das Potential mit
φ(R0 , ϕ) = φ0 (sin3 (ϕ) + cos3 (ϕ)) vorgegeben. Berechnen Sie das Potential innerhalb der Kreisscheibe
mit Hilfe des Separationsansatzes, wenn das Potential im Zentrum der Scheibe beschränkt und in der
ϕ-Abhängigkeit periodisch sein soll.
Aufgabe 20
Gegeben sind die folgenden Widerstände mit entsprechender Leitfähigkeit κ(z):
z
z
!(z )
b
a
0
a
0
a
!0
!
z"
$
" $$1 % ###
$&
a '#
!0
!(z )
b
1%
y
3z 2
2a 2
y
x
x
In den folgenden Berechnungen sind Randeffekte in Feldstrukturen zu vernachlässigen.
20.1 Leiten Sie unabhängig von der Geometrie und ausgehend von den Maxwell-Gleichungen der Elektrostatik und der Kontinuitätsgleichung eine partielle Differentialgleichung zur Bestimmung des
Potentials φ her. Begründen Sie dabei Ihr Vorgehen.
20.2 Lösen Sie diese Differentialgleichung für die oben abgebildeten Anordnungen. Benutzen Sie dabei ein entsprechendes Koordinatensystem und passen Sie Ihre Randbedingungen bezüglich des
Potentials φ an. Berechnen Sie zudem das elektrische Feld E~ und die Stromdichte ~j der Anordnungen.
20.3 Berechnen Sie mittels der Stromdichte ~j den Strom I, der durch die jeweilige Anordnung fließt.
Bestimmen Sie im Anschluß die zugehörigen Widerstände für den Fall, dass φ 0 > 0 gilt.
Nun werden die Widerstände folgendermaßen verschaltet (es ändert sich nur die Höhe der Widerstände, alle anderen Grössen bleiben unverändert):
R3
R2
R1
3
b ! 2a
1
2
b !a
b ! 2a
R5
4
b !a
R4
b ! 4a
9U 0
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20.4 Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der Schaltung. Benutzen Sie dabei Ihre vorherigen Ergebnisse und die Definition des Widerstandes R0 = κ01a .
20.5 Berechnen Sie die Potentiale φ1 , φ2 , φ3 und φ4 in Anhängigkeit von der Quellspannung U0 .
Aufgabe 21
Gegeben ist der dargestellte Leiter mit rechteckigem Querschnitt. Bei ϕ = 0 liegt der Leiter auf dem
konstanten Potential φ0 und bei ϕ = π/2 ist der Leiter geerdet. Die Leitfähigkeit κ(~r ) im Innenraum des
Leiters ist endlich und vom Ort abhängig.
y
z
φ=0
κ(~r)
h
φ = φ0
x
R0
3
2
R0
Für die Leitfähigkeit des Leiters gilt
κ(~r ) = κ0
R ϕ2 + π2 /4
R0
πϕ
21.1 Berechnen Sie das Potential φ und die elektrische Feldstärke E~ für den Innenraum des Leiters.
21.2 Berechnen Sie die Stromdichte ~j und den Gesamtstrom I im Innenraum des Leiters.
21.3 Berechnen Sie den ohmschen Widerstand RΩ des Leiters und die im System umgesetzte Verlustleistung PΩ .
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