5 Gruppen

5
GRUPPEN
5 Gruppen
Hier fehlt eine schöne Einleitung oder ein motivierendes Beispiel.
Definition [5.1] Sei G eine nicht-leere Menge, e ∈ G ein (ausgezeichnetes) Element in G
und
� : G × G −→ G
eine Abbildung. Gelten die folgenden Eigenschaften, so nennen wir (G, �, e) eine Gruppe:
(i) Für alle x, y, z ∈ G gilt: �(�(x, y), z) = �(x, �(y, z))
(ii) Für alle x ∈ G gilt �(x, e) = x
(Assoziativität)
(Ex. eines rechtseutralen Elements)
(iii) Für alle x ∈ G existiert ein y ∈ G,
sodass �(x, y) = x
(Existenz von rechtsinversen Elementen)
Gilt zusätzlich:
(iv) Für alle x, y ∈ G gilt �(x, y) = �(y, x).
(Kommutivität)
so nennen wir die Gruppe kommutativ.
Anmerkung Da die bisher verwendete Abbildungsschreibweise im Umgang mit Gruppen
recht umständlich ist, verwenden wir ab jetzt eine Infixschreibweise:
�(x, y) � x � y
Betrachten wir kommutatve Gruppen, so verwenden wir oft + als Namen unserer Abbildung. Betrachten wir nicht-notwendigerweise-kommutative Gruppen so lassen wir oft
das Verknüpfungssymbol weg und schreiben nur
xy � x � y = �(x, y)
5.1 Elementare Eigenschaften
Bemerkung [5.2] Sei (G, �, e) eine Gruppe und x, y ∈ X, sodass y rechtsinverses Element
von x ist (x � y = e), dann ist y auch linksinverses Element von x (y � x = e).
Beweis. Da y ∈ G existier für y ein rechtsneutrales Element z ∈ G (y � z = e). Es ergibt sich
(i)
(ii)
y � x =(y � x) � e = (y � x) � (y � z)
(iii)
(iv)
= y � (x � y) � z = y � e � z
(v)
(vi)
= y � z = e.
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(1)
(2)
(3)
5
GRUPPEN
5.1
Elementare Eigenschaften
Dabei haben wir folgende Argumente verwendet:
(i) Rechtsneutralität von e
(ii) y � z = e
(iii) Assoziativität von �
(iv) x � y = e
(v) Rechtsneutralität von e
(vi) y � z = e
�
Bemerkung [5.3] Sei (G, �, e) eine Gruppe. Dann ist e auch ein linksneutrales Element,
d.h. es gilt für alle x ∈ X auch e � x = x.
Beweis. Sei x ∈ X, dann gibt es ein y ∈ X mit x � y = e. Es ergibt sich
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
e � x = (x � y) � x = x � (y � x) = x � e = x.
Dabei haben wir folgende Argumente verwendet:
(i) x � y = e
(ii) Assoziativität von �
(iii) Siehe [5.2]
(iv) Rechtsneutralität von e
�
Bemerkung [5.4] Sei (G, �, e) eine Gruppe. Dann ist e das einzige (rechts-)neutrale Element. Mit anderen Worten: Sei ẽ ein weiteres (rechts-)neutrales Element, dann gilt e = ẽ.
Beweis. In obiger Situation ergibt sich
(i)
(ii)
e = e � ẽ = ẽ.
Wir verwendeten
(i) Neutralität von ẽ.
(ii) Neutralität von e.
�
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5
GRUPPEN
5.1
Elementare Eigenschaften
Bemerkung [5.5] Sei (G, �, e) eine Gruppe und x ∈ G. Dann gibt es nur ein einziges zu x
inverses Element. Mit anderen Worten: Seien y, z ∈ X mit x � y = x � z = e, dann gilt bereits
y = z.
Beweis. In obiger Situation ergibt sich
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
y = = e � y = (x � z) � y = (z � x) � y = z � (x � y) = z � e = z.
Wir argumentierten:
(i) Neutralität von e
(ii) x � z = e
(iii) Siehe [5.2]
(iv) Assoziativität von �
(v) x � y = e
(vi) Neutralität von e
�
Anmerkung Wir haben bisher gesehen, dass rechtsneutrale Elemente auch linksneutrale
Elemente sind. Ausserdem gibt es nur ein eindeutiges Element mit dieser Eigenschaft. Wir
nennen dieses Element e ∈ G das neutrale Element oder Einselement von G. Oft schreiben
wir für dieses Element auch 1 � e. Betrachten wir kommutatve Gruppen, so schreiben wir
0 � e.
Ausserdem haben wir gezeigt, dass rechtsinverse Elemente auch linksinvers sind und es
zu einem Element x ∈ G nur ein eindeutiges Element y ∈ G mit diesen Eigenschaften sind.
Wir nennen dieses Element das inverse Element von x und schreiben x−1 � y. Insbesondere
gilt (x−1 )−1 = x.
Bemerkung [5.6] Seien (G, �, e) eine Gruppe und x, y, z ∈ G mit xy = xz. Dann gilt y = z.
Diese Tatsache nennen wir auch Kürzungsregel.
Beweis. Wir verknüpfen obige Gleichung mit x−1 ∈ G und erhalten
x−1 � x � y = x−1 � x � z
e�y =e�z
y=z
�
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5
GRUPPEN
5.2
Untergruppen und Nebenklassen
5.2 Untergruppen und Nebenklassen
Definition [5.7] Sei (G, �, e) eine Gruppe und ∅ � H ⊆ G eine nichtleere Teilmenge. Gilt
für alle x, y ∈ H
x � y −1 ∈ H,
so nennen wir H eine Untergruppen von G und schreiben auch H ≤ G.
Bemerkung [5.8] Sei (G, �, e) eine Gruppe und H ≤ G eine Untergruppe. Dann gilt e ∈ H
und es ist (H, �, e) mit der auf H eingeschränkten Verknüpfung � selbst eine Gruppe.
Beweis. Wir zeigen zunächst e ∈ H. Da H � ∅ gibt es ein x ∈ H. Also gilt, da H Untergruppe,
e = x � x−1 ∈ H.
Wir rechnen die Gruppenaxiome (in verschiedener Reihenfolge) nach:
(iii) Inverse Elmente
Sei x ∈ H, dann existiert x−1 ∈ G. Wir müssen zeigen x−1 ∈ H. Da H Untergruppe ist,
gilt mit e ∈ H
x
−
1
= ex−1 ∈ H
(0) Wohldefiniertheit der Verknüpfung
Seien x, y ∈ H. Wir wollen zeigen: xy ∈ H. Da x ∈ H ist auch x−1 ∈ H. Also gilt
(x−1 )−1 y = xy ∈ H.
(i) Assoziativität
Es gilt für alle x, y, z ∈ H x(yz) = (xy)z, da dies dies in G der Fall ist und H ⊆ G gilt.
(ii) (Rechts-)Neutrales Element
Es ist e ∈ H. Für alle x ∈ H gilt in der Tat xe = x, da dies in G gilt.
(iv) Kommutativität Ist G eine kommutative Gruppe, so ist auch H eine kommutatve
Gruppe. Seien x, y ∈ H, dann gilt xy = yx in G, also auch in H.
�
Bemerkung [5.9] Sei und (G, �, e) eine Gruppe und H ⊆ G eine Teilmenge mit e ∈ H und
ist (H, �, e) mit der von auf H eingeschränkten Verknüpfung eine Gruppe, dann ist H eine
Untergruppe von G.
Beweis. Diesen Beweis überlassen wir als Übungsaufgabe.
�
Beispiel [5.10] Sei (G, �, e) eine Gruppe. Dann ist die Teilmenge {e} eine Untergruppe
von G. Wir nennen diese die triviale (Unter-)Gruppe.
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5
GRUPPEN
5.2
Untergruppen und Nebenklassen
Beispiel [5.11] Sei (G, �, e) eine Gruppe und x ∈ G. Dann definieren wir für n ∈ Z



x � x � ... � x





xn � 
e





x−1 � x−1 � . . . � x−1
falls n > 0
falls n = 0
falls n < 0
Dann betrachte die Teilmenge
H � {xn | n ∈ Z}.
H ist eine Untergruppe von G. Wir nennen diese, die von x erzeugte Untergruppe.
Definition [5.12] Sei G eine Gruppe und H ≤ G eine Untergruppe. Dann definieren wir
eine Relation auf G via
x ∼H y : ⇔ x−1 y ∈ H
Bemerkung [5.13] Die Relation aus [5.12] ist eine Äquivalenzrelation.
Beweis.
(i) Reflexivität
Sei x ∈ G. Dann ist x−1 x = e ∈ H. Also x ∼H x und damit ∼H reflexiv.
(ii) Symmetrie
Seien x, y ∈ G mit x ∼H y, d.h. x−1 y ∈ H. Dann gilt wegen [5.8,(iii)] (x−1 y)−1 ∈ H. Wir
zeigen:
(x−1 y)−1 = y −1 x.
Berechne dazu
(x−1 y)(y −1 x) = x−1 (yy −1 )x = x−1 x = e.
Also gilt y ∼H x.
(iii) Transitivität
Seien x, y, z ∈ G mit x ∼H y und y ∼H z. Das bedeutet x−1 y ∈ H und y −1 z ∈ H. Dann
ist
H � (x−1 y)(y −1 z) = x−1 (yy −1 )z = x−1 z,
also x ∼H z.
�
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5
GRUPPEN
5.3
Der Satz von Lagrange
Bemerkung [5.14] Sei G eine Gruppe,H ≤ G eine Untergruppe und x ∈ G. Dann ist die
Äquivalenzklasse von x bzgl. der in [5.12] definierten Äquivalenzrelation gegeben durch
[x] = xH � {xh | h ∈ H}.
Beweis.
„⊆“ Sei y ∈ [x], also x−1 y ∈ H. Es gibt also ein h ∈ H mit x−1 y = h. Verknüpfen wir diese
Gleichung mit x, so erhalten wir
xx−1 y = y = xh.
Also ist x ∈ xH.
„⊇“ Sei y ∈ xH, also gibt es ein h ∈ H mit y = xh. Verknüpfen wir diese Gleichung mit
x−1 , so erhalten wir
x−1 y = x−1 xh = h ∈ H.
Es ist demnach x ∼H y und y ∈ [x].
�
�
Anmerkung Wir bezeichneten die Menge aller Äquivalnzklassen mit G ∼H . Wir schreiben nun einfacher
�
�
�
G/H � G ∼H = [x] | x ∈ G .
5.3 Der Satz von Lagrange
Definition [5.15] Seien G eine Gruppe und H ≤ G eine Untergruppe. Ist G/H eine
endliche Menge, so nennen wir die Mächtigkeit diese Menge den Index von H in G und
schreiben
�
�
(G : H) � # G/H
Definition [5.16] Sei (G, �, e) eine Gruppe. Wir nennen diese Gruppe endlich (oder
endliche Gruppe), falss G (als Menge) nur endlich viele Elemente besitzt. Gegebenenfalls
nennen wir #(G) die Ordnung von G.
Definition [5.17] Sei (G, �, e) eine Gruppe und x ∈ G. Dann definieren wir
�
�
ord(x) � # {xn | n ∈ Z}
�
�
Bemerkung [5.18] Sei G eine endliche Gruppe. Dann gilt G : {e} = #(G).
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5
GRUPPEN
5.3
Der Satz von Lagrange
Beweis. Wir untersuchen die Gestalt der Äquivalenzklassen [x]. Ist y ∈ [x], so ist x−1 y ∈ {e},
also x−1 y = e. Verknüpfen wir diese Gleichung mit x, so erhalten wir y = x. Also gilt
[x] = {x} und
��
��
�
�
��
��
G : {e} = # [x] | x ∈ G = # {x} | x ∈ X = #(G).
�
Satz [5.19] (Lagrange) Sei G eine endliche Gruppe und H ⊆ G eine Untergruppe. Dann
gilt
#(G) = #(H) · (G : H).
Insbesondere wird die Ordnung der Gruppe von der Ordnung jeden Untergruppe geteilt.
Beweis. Da ∼H eine Äquivalenzrelation auf G ist, ist nach [3.9] G/H eine Partition von G.
Da G endlich ist, exisieren endlich viele Elemente x1 , x2 , . . . , xn , mit
�
�
G/H = [x1 ], [x2 ], . . . , [xn ]
und für alle i, j ∈ {1, 2, . . . , n} mit i � j gilt
[xi ] ∩ [xj ] = ∅.
(1) Schritt 1
Wir zeigen zunächst, dass alle Äquivalenzklassen die gleiche Mächtigkeit haben.
Dazu genügt es, zu zeigen, dass für alle i ∈ {1, 2, . . . , n} gilt
� �
� �
# [xi ] = # [e] .
Es ist
[e] = {eh | h ∈ H} = {h | h ∈ H} = H.
Um zu zeigen, dass [e] = H und [xi ] die selbe Mächtigkeit haben, konstruieren wir
eine bijektive Abbildung. Betrachte
f : H −→ xi H = [xi ]
h �−→ xi h.
Hätten wir gezeigt, dass dies Abbildung bijektiv, also injektiv und surjektiv, ist, so
helfen uns folgende Argumente
(i) f ist genau dann injektiv, wenn #(f (H)) = #(H) gilt.
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5
GRUPPEN
5.3
Der Satz von Lagrange
(ii) Ist f injektiv, so gilt #(xi H) ≥ #(H).
(iii) Ist f surjektiv, so gilt #(xi H) ≤ #(H).
(Den Nachweis dieser Eigenschaften überlassen wir als Übungsaufgabe.) Aus (ii)
und (iii) folgt schließlich die Gleichmächtigkeit aller Äquivalenzklassen.
Betrachten wir also die Abbildung f und weisen die Injektivität sowie die Surjektivität nach.
(inj.) Seien h, h̃ ∈ H mit f (h) = f (h̃). Dies bedeutet gerade xh = xh̃. Durch anwenden
der Kürzungsregel erhalten wir h = h̃. Also ist f injektiv.
(surj.) Sei y ∈ xi H, dann gibt es ein h ∈ H mit y = xi h. Damit ist h aber gerade ein
Urbild von y. Also ist f surjektiv.
Schließlich ist f eine Bijektion und alle Äquivalenzklassen besitzen die selbe Mächtigkeit.
(2) Schritt 2
Wir zeigen nun
#(G) = #(H) · (G : H).
�
�
Nach obiger Argumentation ist [x1 ], [x2 ], . . . , [xn ] eine Partition von G. Wir verwenden diese Erkenntnis, um die Menge G abzuzählen. Es ist
 n

n
n
n
� � (ii) �
� � (iii) �
�  (i) �


#(G) = #  [xi ] =
# [xi ] =
# [e] =
#(H) = m · #(H).
i=1
i=1
i=1
i=1
Dabei verwendeten wir die Argumente
(i) Für alle i � j gilt [xi ] ∩ [xj ] = ∅
(ii) Für alle i gilt [xi ] = [e]
� �
(iii) Es ist # [e] = #(H)
Ausserdem ist m = (G : H). Damit ist alles gezeigt.
�
22