4. ¨Ubung zur Vorlesung Mathematik 4 (II/2) für Elektrotechniker etc.

Sommersemester 2016
Fachrichtung Mathematik, Institut für Wissenschaftliches Rechnen
Prof. Dr. Jörg Wensch
Dr. Ute Feldmann
4. Übung zur Vorlesung Mathematik 4 (II/2) für Elektrotechniker etc.
1. Es seien A und B zufällige Ereignisse. Mit Hilfe von p = P (A), q = P (B) und r = P (A ∪ B)
ermittle man
(a) P (A ∩ B),
(b) P (A \ B),
(c) P (A|B),
(d) Seien p = 0, 5 , q = 0, 2 und r = 0, 6. Sind für diese konkreten Werte die Ereignisse A und B
unabhängig voneinander ?
2. In allen Räumen I, II, III, IV eines Studentenklubs findet eine Diskothek statt. Eine Studentin
sucht dort einen bestimmten Studenten. Sie weiß: die Wahrscheinlichkeit, dass der Student die
Diskothek besucht, ist gleich p; die Wahrscheinlichkeit, dass er sich dann in einem bestimmten
Raum aufhält, beträgt 41 .
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Studentin den Studenten im Raum III trifft?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie ihn im Raum IV antrifft, wenn sie ihn in den
Räumen I − III nicht gefunden hat?
3. Bei der Übertragung der Zeichen Punkt“ und Strich“ in einem Fernmeldesystem werden durch
”
”
Störungen 6% der gesendeten Punkte als Striche und 4% der gesendeten Striche als Punkte empfangen. Im Mittel sind 60% der gesendeten Zeichen Punkte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass
(a) ein Punkt gesendet wurde, wenn ein Punkt empfangen wurde?
(b) ein Strich gesendet wurde, wenn ein Strich empfangen wurde?
4. Bei einem zufälligen Versuch, als dessen Ergebnis stets genau eines der zufälligen Ereignisse A1 , . . . , A5
eintritt, wird durch X = i, falls Ai eintritt“ (i = 1, . . . , 5) eine Zufallsgröße definiert.
”
(a) Mit Hilfe der Werte p1 = P (A1 ), p2 = P (A2 ), p3 = P (A3 ) und p5 = P (A5 ) bestimme man die
Verteilungsfunktion FX von X.
(b) Für p1 = 31 , p2 =
1
12 ,
p3 = p5 =
1
6
stelle man FX graphisch dar.
5. Es werden wiederholt, unter konstanten Bedingungen und (total) unabhängig voneinander, Schüsse
auf ein Ziel abgegeben, wobei die Treffwahrscheinlichkeit p = 0.8 betrage. Das Schießen werde so
oft durchgeführt, bis der erste Treffer erzielt wird, jedoch höchstens bis zum 4. Schuss.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird das Ziel getroffen?
(b) Man bestimme die Verteilungsfunktion FX der Anzahl X der abgegebenen Schüsse.
(c) Man berechne E(X) und var(X).
6. Es sei FX die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße X mit FX (x) = a + b arctan x
∞).
(a) Welche Werte können die Konstanten a und b annehmen?
(b) Wie lautet die Dichtefunktion von X?
(−∞ < x <
Zusatzaufgaben zum Festigen
7. Zwei Schützen geben unabhängig voneinander jeweils auf ein eigenes Ziel einen Schuß ab. Die Trefferwahrscheinlichkeit des ersten Schützen sei p1 , die des zweiten p2 . Es sei X1 die Zufallsgröße,
die den Wert 1 annimmt, falls der erste Schütze getroffen hat und den Wert 0, falls er nicht traf.
Analog sei die Zufallsgröße X2 für den zweiten Schützen definiert. Geben Sie für die Zufallsgröße
Z = X1 − X2 in einer Tabelle zu allen Werten, die Z annehmen kann, die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten an.
8. Von drei Maschinen gleichen Typs werden von der ersten 20%, von der zweiten 30%, von der dritten
50% der Gesamtproduktion hergestellt. Erfahrungsgemäß entstehen bei der ersten Maschine 5%,
bei der zweiten 4% und bei der dritten 2% Ausschuss.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig der Gesamtproduktion entnommenes Teil Ausschuss?
(b) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gefundenes Ausschussteil von der
ersten bzw. zweiten bzw. dritten Maschine hergestellt wurde.
Zusatzaufgaben für Fortgeschrittene
9. Es seien A und B zufällige Ereignisse und p = P (A), q = P (B) und r = P (A ∪ B).
(a) Zeigen Sie, dass für voneinander unabhängige Ereignisse A und B auch A und B, A und B
bzw. A und B Paare unabhängiger Ereignisse sind.
(b) Welche Beziehung muss für die Wahrscheinlichkeiten p,q,r gelten, damit die Ereignisse A und
B unabhängig voneinander sind?
10. Bei einem Klassifikator (z.B. einem medizinischen Test) werden in der Regel 2 × 2 Fälle unterschieden:
Subjekt ist ’positiv’ Subjekt ist ’negativ’
Test sagt ’positiv’ true positive (tp)
false positive (fp)
Test sagt ’negativ’ false negative (fn)
true negative (tn)
Seien ntp , nf p , nf n und ntn die Häufigkeiten der entsprechenden Fälle. Im Folgenden sind alle Wahrscheinlichkeiten durch Verwendung dieser Häufigkeiten zu schätzen.
(a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fall ’Subjekt ist positiv’ an!
(b) Geben Sie die sogenannte Sensitivität (true-positive-rate) des Tests an! Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Subjekt positiv getestet wird unter der Bedingung, dass es positiv
ist.
(c) Geben Sie die sogenannte Spezifität (true-negative-rate) an! Das ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein negatives Subjekt auch negativ getestet wird.
(d) Es gibt weitere bedingte Wahrscheinlichkeiten, die (verschiedene) Falschklassifizierungen beschreiben? Geben Sie diese an! Welche addiert sich mit der Sensitivität zu 1 und welche mit
der Spezifität?
(e) Drücken Sie p(T K|P K) und p(T K|P G), siehe 3. Vorlesung, durch die Größen aus (b)-(d) aus!
Gilt (immer) p(T K|P K) + p(T K|P G) = 1?
Bemerkung: Die Grafik veranschaulicht, dass durch die Wahl des Testschwellwertes in der Regel ein
Kompromis zwischen guter Sensitivität und guter Spezifität gefunden werden muss.
11. Bei einem Markov-Automaten sind die Übergänge zwischen Zuständen nicht determiniert wie bei
sequentiellen Automaten (siehe VL Systemtheorie) sondern werden durch gewisse Übergangswahrscheinlichkeiten beschrieben. Sei pij die Übergangswahrscheinlichkeit vom Zustand j in
den Zustand i also die bedingte Wahrscheinlichkeit pij = p(z(n + 1) = i|z(n) = j). Angenommen
es gibt 3 Zustände (z.B. Student ist ’Spitze’, ’mittel’ oder ’hat noch keinen Plan’).
Gegeben seien die Startwahrscheinlichkeiten für jeden dieser Zustände zu Beginn des Studiums
p(0) = [p1 (0), p2 (0), p3 (0)]0 = [1/3, 1/3, 1/3]0
und die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten (zum Zustand ein Semester später)


4/5 1/6 0
P = 1/5 4/6 3/8
0 1/6 5/8
(a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß ein Student nach einem Semester im Zustand
’Spitze’ ist, p1 (1)!
(b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten für alle 3 Zustände nach einem Semester p(1) = [p1 (1), p2 (1), p3 (1)]
an.
(c) Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten für alle 3 Zustände nach 10 Semestern?
(d) Die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten, P , hat immer einen Eigenwert gleich 1. Berechnen Sie den zugehörigen Eigenvektor. Normieren Sie den Eigenvektor so, daß die Summe
seiner Komponenten gleich 1 ist. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem von (c)!