Lecture 4
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1
I
Unterricht 4
I.1
Komplexe Zahlen.
Seien z und w komplexe Zahlen. Beweisen Sie, dass
i) zw = z̄ w̄ ,
ii) z = z ,
iii) |zw| = |z||w|,
iv) ||z|| = |z|,
v) z 2 6= |z|2 ,
vi)
z
w
=
z̄
,
w̄
| wz | =
|z|
|w|
(für w 6= 0).
vii) Re{z} ≤ |Re{z}| ≤ |z|.
Beweis:
Seien
z := a + ib, w := c + id.
i)
(a + ib) · (c + id) = ac − bd + i(ad + bc) = ab − bd − i(ad + bc)
= ab − (−b)(−d) + i(a(−d) + b(−c)) = (a − ib) · (c − id) = (a + ib) · (c + id).
ii)
a + ib = a − ib = a + ib.
iii)
|zw| =
√
√
√
√ √
zwzw = zwz̄ w̄ = z z̄ww̄ = z z̄ ww̄ = |z||w|.
iv)
√
||z|| = | a2 + b2 + i0| =
v)
q
√
2
a2 + b 2 + 0 2 =
√
a2 + b2 = |z|.
z 2 = a2 − b2 + i(ab + ab) 6= a2 + b2 = |z|2 .
2
vi)
z
w
zw
|w|2
=
= ((ac − bd)/|w|2 + i(ad + bc)/|w|2 ) = (ac − bd)/|w|2 − i(ad + bc)/|w|2
= (ac − (−b)(−d))/(a2 + (−b)2 ) + i(a(−d) + b(−c))/(a2 + (−b)2 ) = z̄ w̄/|w̄|2 =
vii)
Re{z} = a ≤
√
a2 + 02 = |Re{z}| ≤
√
a2 + b2 = |z|.
Seien z und w komplexe Zahlen. Zeigen Sie,dass
|z + w| ≤ |z| + |w|.
Beweis,
|(z + w)|2 = (z + w)(z + w) = z z̄ + ww̄ + z w̄ + wz̄ = |z|2 + |w|2 + (z w̄ + z w̄).
= |z|2 + |w|2 + 2Re{z w̄} ≤ |z|2 + |w|2 + 2|z w̄|
= |z|2 + |w|2 + 2|z||w| = (|z| + |w|)2 .
Es folgt, dass
|(z + w)| ≤ |z| + |w|.
I.2
Folgen
N
Zeigen Sie, dass die Folge (an )∞
n=1 ∈ R mit an =
konvergent ist.
(n+1)!
nn
Beweis: Wir beweisen, dass die Folge (an )∞
n=1 monoton fallend und nach
unten beschränkt ist. Danach benutzen wir Satz V.5.
Es ist klar, dass
∀n ∈ N : 0 ≤ an .
Wir beweisen, dass
an+1
< 1.
an
an+1
an
=
(n+2)!
(n+1)n+1
(n+1)!
nn
=
(n+2)nn
(n+1)n+1
(I.1)
=
(I.2)
nn+1 +2nn
.
(n+1)n+1
Wir benutzen die binomische Formel:
(n + 1)n+1 =
n+1
0
0
n +
n+1
1
n1 +
n+1
2
n2 + · · · +
n+1
n
nn +
n+1
n+1
nn+1 ,
(I.3)
z̄
.
w̄
3
und deswegen gilt
(n + 1)n+1 > (n + 1)nn + nn+1 ≥ nn+1 + 2nn ,
(I.4)
Gleichungen (I.2) und (I.4) implizieren, dass
(I.5)
an+1 < an ,
und deshalb ist die Folge (an )∞
n=1 monoton fallend.
N
Zeigen Sie, dass die Folge (an )∞
n=1 ∈ R :
a1 = 1, an+1 =
√
2 + an ∀n ≤ 1.
(I.6)
Beweis: Wir beweisen, dass die Folge (an )∞
n=1 monoton
steigend und nach oben beschränkt ist. Danach benutzen wir Satz V.5.
Wir beweisen, dass an ≤ 2. Wir benutzen Induktion. Es ist klar, dass
konvergent ist
a1 = 1 ≤ 2.
(I.7)
an ≤ 2.
(I.8)
Wir nehmen an, dass
Es folgt, dass
an+1 ≤
√
Es ist klar, dass
an+1 =
2 + an ≤
√
4 = 2.
√
an + 2 ≥ an .
(I.9)
(I.10)
N
∞
Untersuchen Sie folgende Folgen (an )∞
n=1 , (bn )n=1 ∈ R auf Konvergenz und berechnen Sie ggf. den Grenzwert, wobei
an =
Beweis.
Es klar, dass
an =
n2
n
, bn :=
.
n+1
n+1
n
n
n2
=
≥ .
n+1
1 + 1/n
2
(I.11)
Deshalb ist (an )∞
n=1 nicht beschränkt und deswegen ist die Folge nicht konvergent.
Es gilt
bn =
n2
1
=
.
n+1
1 + 1/n
(I.12)
4
Wir denieren für alle n ∈ N
xn := 1, yn := 1 +
1
.
n
Es folgt, dass
lim xn = 1
n→∞
und
lim yn = 1 6= 0
n→∞
Es folgt aus Satz V.3, dass
lim bn =
n→∞
limn→∞ xn
1
= = 1.
limn→∞ yn
1
Berechnen Sie Limes Superior und Limes Inferior folgender Folgen
∞
(an )∞
n=1 , (bn )n=1 ,
wobei
n2
,
an :=
n+1
n
bn := (−1)n
.
n+1
Beweis: Sei
xn := sup ak = ∞.
k≥n
Es folgt, dass
lim sup(an ) = inf xn = ∞.
n∈N
n∈N
Sei
n2
yn := inf ak =
k≥n
n+1
Es folgt, dass
lim inf (an ) = sup yn = ∞.
n∈N
n∈N
Sei
zn := sup bk = 1.
k≥n
Es folgt, dass
lim sup(bn ) = inf zn = 1.
n∈N
n∈N
5
Sei
wn := inf bk = −1
k≥n
Es folgt, dass
lim inf (bn ) = sup wn = −1.
n∈N
n∈N
