Methoden der theoretischen Optik - Institut für Theoretische Physik

Institut für Theoretische Physik
Technische Universität Berlin
Methoden der
theoretischen Optik
Udo Scherz
Wintersemester 2016/17
Einleitung
Aus dem Spektrum der elektromagnetischen Wellen untersuchen wir hier neben dem sichtbaren Licht
mit Energien von 2 − 4 eV auch die benachbarten infraroten und ultravioletten Spektralbereiche. Die
Veränderung solcher elektromagnetischer Felder durch Materie in Form gebundener Atome, also durch
Festkörper, Flüssigkeiten und Gase, hat zu vielen technischen Anwendungen geführt, und ist insbesondere durch die Entwicklung verschiedener Laser und die Herstellung nanostrukturierter Materialien zu
einem bedeutenden Forschungsgebiet geworden.
Werden bei gebundenen Atomen in Zusammenhang mit Licht Energieunterschiede im Bereich
10−2 eV < ∆E < 10 eV beobachtet, sind dabei Frequenzen ν = ∆E/2πh̄, Schwingungsdauern T = 1/ν
und Wellenlängen λ = cT betroffen, die etwa in den Größenordnungen
2 THz < ν < 2 PHz
2 · 1012 s−1 < ν < 2 · 1015 s−1
;
;
400 fs > T > 0.4 fs
4 · 10−13 s > T > 4 · 10−16 s
; 100 µm > λ > 100 nm
; 10−4 m > λ > 10−7 m
liegen.
In dieser Vorlesung werden die gebundenen Atome quantenmechanisch beschrieben, wobei die
Elektronen und Atomkerne als geladene Massenpunkte angesetzt werden. Für die Wechselwirkung der
Elektronen und Atomkerne mit den klassischen oder quantisierten elektromagnetischen Feldern werden
je nach Fragestellung unterschiedliche Ansätze verwendet.
Punktmechanik und elektromagnetische Felder
Klassische Mechanik eines Massenpunktes
ohne elektromagnetische Felder
mR̈(t) = F(R, t)
invariant gegen Galilei-Transformationen
nicht relativistisch
Klassische Feldtheorie der Felder E, B
im Vakuum ρ = 0, j = 0
∇ × E = −Ḃ, ∇ × B = µ0 ε0 Ė
∇ · B = 0, ∇ · E = 0
invariant gegen Lorentz-Transformationen
relativistisch
Elektromagnetische Felder verursachen
die Bahnkurve R(t) des Massenpunktes
der elektrischen Ladung e
mR̈(t) = FL (R, t)
mit der Lorentz-Kraft
FL R(t), Ṙ(t) = e E + Ṙ(t) × B .
Eine Punktladung auf einer Bahnkurve
ρ(r, t) = eδ r − R(t)
j(r, t) = eṘ(t)δ r − R(t)
ist Ursache elektromagnetischer Felder
Elektromagnetische Feldenergie wird in
mechanische Energie verwandelt.
Mechanische Energie wird in elektromagnetische Feldenergie verwandelt.
∇ · E = ρ/ε0 , ∇ × B = µ0 ε0 Ė + µ0 j
mit ρ̇ + ∇ · j = 0.
1 Elektromagnetische Felder und Wellen
Im optischen Bereich sind die Wellenlängen groß gegen die Ausdehnung der gebundenen Atome, sodass
die elektromagnetischen Felder von räumlich gemittelten mikroskopischen Strukturen beeinflusst werden. Das lässt sich dann mit isotropen oder bei Kristallen anisotropen homogenen Materialkonstanten
beschreiben. Im Unterschied dazu ergeben sich bei Metamaterialien, die in der Größenordnung der
optischen Wellenlänge strukturiert sind, ganz andere Materialkonstanten und optische Eigenschaften.
Bei optischen Experimenten mit Lichtquellen und Detektoren sind die Beobachtungsdauern groß
gegen die Schwingungsdauer T und die räumlichen Abmessungen der Geräte groß gegen die Wellenlänge
λ, sodass räumlich und zeitlich gemittelte elektromagnetische Felder gemessen werden.
1.1 Energiedichte makroskopischer Felder
Bei makroskopischer Beobachtung kann die räumliche Ausdehnung von Atomen und Molekülen sowie
deren Abstände in Festkörpern und Flüssigkeiten nicht mehr aufgelöst werden. Ebenso lässt sich
die dynamische Bewegung innerhalb der quantenmechanischen Systeme nicht mehr zeitlich verfolgen.
Daher werden experimentell die räumlichen und zeitlichen Mittelwerte der Observablen beobachtet.
Die Feldgleichungen solcher makroskopischer Felder sind dann
1
∇ × E = −Ḃ ; ∇ · B = 0 ; ε0 µ0 = 2
c
1
B − M,
∇ × H = Ḋ + j ; ∇ · D = ρ ; D = ε0 E + P ; H =
µ0
mit den makroskopischen Observablen der Materie
ρ(r, t) :
j(r, t) :
P(r, t) :
M(r, t) :
elektrische Ladungsdichte
elektrische Stromdichte
elektrische Dipoldichte oder Polarisation
magnetische Dipoldichte oder Magnetisierung.
Aus dem Induktionsgesetz ∇ × E = −Ḃ und dem Durchflutungsgesetz ∇ × H = Ḋ + j folgt mit dem
Poynting-Vektor s = E × H, der die Dimension einer Energiestromdichte (Jm−2 s−1 ) hat,
−∇ · s = −∇ · (E × H) = E · (∇ × H) − H · (∇ × E) = E · Ḋ + H · Ḃ + j · E.
Dann
gilt für ein
Z
Z endliches Volumen V mit der Oberfläche ∂V und mit dem Integralsatz von Gauß
∇ · s d3r =
s · d2f
V
∂V
Z
|V
E · Ḋ + H · Ḃ d3r +
{z
}
Änderung der in V enthaltenen
Feldenergie pro Sekunde
Z
2
s·d f
| ∂V {z }
durch die Oberfläche
pro Sekunde nach außen
strömende Feldenergie
=
−
|
Z
V
j · E d3r
{z
}
Umwandlung von Feldenergie
pro Sekunde innerhalb V
in andere Energie
Dann ist die infinitesimale Änderung der Feldenergie pro Volumeneinheit du = E · dD + H · dB
∂u
und lokal gilt die inhomogene Kontinuitätsgleichung
+∇·s = −j·E oder Energiebilanzgleichung.
∂t
Einsetzen der Materialgleichungen D = ε0 E + P und B = µ0 H + µ0 M ergibt für die Feldenergiedichte
du = ε0 E · dE + E · dP + µ0 H · dH + µ0 H · dM
1 2
1 2
+
E
+
µ0 d 2 H
=
ε0 d E
| ·{zdP}
| {z2 }
| {z }
Energie des
elektrischen Feldes
Polarisationsenergie
µ H · dM.
| 0 {z }
+
Energie des
magnetischen Feldes
Magnetisierungsenergie
Das elektrische Feld E leistet im Medium die Polarisationsarbeit EP pro Volumeneinheit
und das Magnetfeld H die Magnetisierungsarbeit EM , die im Medium in Wärme umgewandelt wird
EP = −
Z
0
E
E · dP und EM = −µ0
Z
H
0
H · dM.
Gilt speziell
P = (εr − 1)ε0 E
M = χH
mit der Folge
D = εr ε0 E
B = µr µ0 H,
µr = 1 + χ
mit den konstanten Skalaren der relativen Dielektrizitätskonstanten εr , der relativen Permeabilität µr
und der magnetischen Suszeptibilität χ, so erhält man für die elektromagnetische Feldenergiedichte
1
1
2
2
du = E · dD + H · dB = d 2 εr ε0 E + d 2 µr µ0 H
bzw.
u = 12 E · D + 12 H · B.
Damit ergibt sich für die an die Materie abgegebene elektromagnetische Feldenergie pro Volumeneinheit
1
EP = − (εr − 1)ε0 E2
2
1
und EM = − µ0 χH2 .
2
1.2 Elektromagnetische Wellen
A Materialgleichungen
Wird an einen Festkörper ein elektrisches Feld E(r, t) angelegt, so ist bei Vernachlässigung von B die
induzierte Polarisation allgemein ein Funktional der elektrischen Feldstärke P = P E (r, t). In den
hier interessierenden Fällen sind die äußeren Felder nur klein im Vergleich zu den Feldern im Innern
der Atome, und in der linearen Optik hat die Polarisation P = (P1 , P2 , P3 ) mit E = (E1 , E2 , E3 ) die
Form
3 Z
X
χejk (r, r′ , t, t′ )Ek (r′ , t′ ) d3r′ dt′ mit Gedächtniseffekt und Fernwirkung.
Pj (r, t) = ε0
k=1
Ist der Festkörper speziell homogen und isotrop, hängt die elektrische Suszeptibilität χejk = δjk χe
nur von |r − r′ | ab, und im stationären Fall nur von t − t′ .
Im einfachsten Fall ohne Fernwirkung und Gedächtniseffekt gilt bei dielektrischen und parelektrischen
Stoffen P = ε0 χe E mit skalarem und konstantem χe . Mit der relativen Dielektrizitätskonstanten εr ist
D = ε0 E + P = ε0 εr E
mit εr = 1 + χe
und 1 ≤ εr ≤ 102 .
In der nichtlinearen Optik kann man für die Polarisation P = (P1 , P2 , P3 ) genähert setzen
Pν (r, t) = ε0
3
X
µ=1
χeνµ Eµ (r, t) + ε0
1,2,3
X
µ,ρ
χ(2)
νµρ Eµ (r, t)Eρ (r, t) + ε0
1,2,3
X
µ,ρ,τ
χ(3)
νµρτ Eµ (r, t)Eρ (r, t)Eτ (r, t).
Entsprechend erhält man im einfachsten Fall bei dia- und paramagnetischen Stoffen
M = χH
und B = µ0 H + µ0 M = µ0 µr H
mit µr = 1 + χ,
und man beobachtet χ < 0 mit |χ| = 10−5 − 10−6 bei diamagnetischen Stoffen
χ > 0 mit
χ = 10−4 − 10−5 bei paramagnetischen Stoffen.
Bei ferromagnetischen Stoffen
wird M = M(H) vom Wege abhängig und nichtlinear (Hysteresis
∂M
mit χ = 10 − 103 .
schleife). Man setzt χ =
∂H H=0
Bei der elektrischen Stromdichte gilt nur im einfachsten Fall das Ohmsche Gesetz j = σE mit
einer skalaren elektrischen Leitfähigkeit σ. Allgemeiner hat man für j = (j1 , j2 , j3 ) bei Kristallen einen
Leitfähigkeitstensor σkl und weitere Terme zu berücksichtigen
jk =
3
X
l=1
σkl El +
1,2,3
X
γklm El Bm +
l,m
1,2,3
X
σklm El Em + . . . .
lm
B Intensität elektromagnetischer Wellen
Wir betrachten zunächst stationäre, homogene, isotrope, dielektrische oder parelektrische und diaoder paramagnetische Stoffe: D = ε0 εr E = εE und B = µ0 µr H = µH ohne Ladungsdichte ρ = 0 und
Stromdichte j = 0 mit
εr µr
n2
1
εµ = ε0 µ0 εr µr = 2 = 2 = 2
c
c
v
und
n=
c √
= εr µr .
v
1 ∂2
Eine ebene Welle E(r, t) = E0 cos{k · r − ωt} als Lösung der Wellengleichung
−∆ E = 0
v 2 ∂t2
erfüllt die Dispersionsbeziehung ω(k) = v|k| > 0 mit dem Ausbreitungsvektor k, der Kreisfrequenz ω
1
und der Phasengeschwindigkeit v = √ . Aus ∇ · D = ρ und ρ = 0 folgt ∇ · E = 0.
εµ
k × E0
Aus ∇ × E = −k × E0 sin{k · r − ωt} = −Ḃ folgt B(r, t) =
cos{k · r − ωt} + B1 (r). Setzt
ω
man eine konstante magnetische Induktion zu Null B1 (r) = 0, erhält man B(r, t) = B0 cos{k · r − ωt}
und es ergeben sich Transversalwellen
E0
∇·E=0
⇒
k · E0 = 0 ; E0 ⊥ k
k
∇·B=0
⇒
k · B0 = 0 ; B0 ⊥ k
k × E0
⇒ E0 · B0 = 0 ; E0 ⊥ B0
B0 =
B0
ω
Die Energiestromdichte ergibt sich aus dem Poynting-Vektor s = E × H
E0 × (k × E0 )
E20
2
s=
cos {k · r − ωt} = k
cos2 {k · r − ωt} mit s ↑↑ k
µω
µω
und die Energiedichte ist u = 12 E · D + 12 H · B = E · D.
2
Der zeitliche und räumliche Mittelwert der Energiestromdichte ist wegen cos {k · r − ωt} =
hsi =
k |k| 2
E0 cos2 {k · r − ωt}
|k| µω
=
k |k| 2
E
|k| 2µω 0
und hui = hE · Di =
ε 2
E .
2 0
1
2
1
= v 2 und der Dispersionsbeziehung
εµ
|k|
ω
k
k |k|
=
= v und es folgt
u=
vu.
s=
εµω
|k|
|k| εµω
|k|
Für die Energiestromdichte erhält man daraus wegen
k2
ω =
εµ
2
oder ω =
|k||k|
εµω
und
Bei der Messung der Intensität des Lichtes (z.B. mit einem Bolometer) wird die auf die Flächeneinheit
J
der Eintrittsöffnung pro s auftreffende Energie gemessen, [I] = 2 . Dabei ist die charakteristim s
sche Länge der Öffnung groß gegen die Wellenlänge und die Beobachtungsdauer lang gegenüber der
Schwingungsdauer des Lichtes.
v dt
s
dA
Bei senkrechtem Einfall auf die Fläche dA des Volumens dV = dAv dt tritt die Energie u dV in der
Zeit dt durch die Fläche dA. Also ist die Energiestromdichte
uv dA dt
u dV
=
= vu,
dA dt
dA dt
und durch die Mittelung erhält man für die Intensität
2 1
I = vhui = |s| = vε E = vεE20 .
2
C Allgemeine Lösungen der Wellengleichung
Sei w(r, t) eine Komponente
der Vektoren E(r, t) oder B(r, t), dann ist die allgemeine Lösung der
2
∂
w(r, t) = f (k · r − ωt) + g(k · r + ωt) mit ω 2 (k) = v 2 k2 ,
Wellengleichung v12 ∂t
w=0:
2 − ∆
2
denn es gilt für beliebige, zweimal differenzierbare f und g: ∂∂t2f = ω 2 f ′′ und ∆f = k2 f ′′ . Hier
beschreibt f den auslaufenden Teil in Richtung k und g den einlaufenden in Richtung −k. Ist etwa
k
w(r, 0) zur Zeit t = 0 gegeben, so erfüllt w(r ∓ nvt, 0) mit k · r ∓ |k| vt = k · r ∓ |k|vt = k · r ∓ ωt die
Wellengleichung und die Anfangsbedingung, wobei n = k/|k| die Ausbreitungsrichtung angibt.
Die beiden Lösungen der linearen und homogenen Wellengleichung mit Ausbreitung in Richtung k
cos{k · r − ωt} und sin{k · r − ωt} sind linear unabhängig und in exp i(k · r − ωt)
enthalten. Wir setzen k = (k, 0, 0) und wegen ω(k) = v|k| = ω(|k|) gilt ω(−k) = ω(k), dann stellen
w(x, t) = a(k) exp i(kx − ωt)
und a(−k) exp i(−kx − ωt)
mit k > 0
zwei linear unabhängige Lösungen mit beliebigen Amplituden a(k) und a(−k) dar. Die allgemeine
Lösung kann also mit der Realitätsbedingung A(k) = A∗ (−k) für die Ortsfunktion in der Form
Z ∞
Z ∞
w(x, t) =
A(k) exp i(kx − ω(k)t) dk =
A(k) exp ik(x − vt) dk
−∞
−∞
geschrieben werden, wobei w(x, t) und A(k) unterschiedliche Dimensionen haben A(k) = m w(x, t) .
Das Integral kann als Fourier-Transformation des Anfangswertproblems aufgefasst werden
Z ∞
Z ∞
1
w(x, 0) exp{−ikx} dx.
w(x, 0) =
A(k) exp{ikx} dk und A(k) =
2π
−∞
−∞
D Optische Konstanten
Ein elektrisch leitendes Dielektrikum ohne Ladungen sei durch die Materialgleichungen
j = σE
;
ρ=0 ;
D = εE ;
B = µH
mit ε = εr ε0
und µ = µr µ0
mit den skalaren Konstanten ε, µ und σ beschrieben. Aus den Feldgleichungen
∇ × E = −Ḃ ;
∇ × H = Ḋ + j
; ∇·B =0 ; ∇·D=ρ=0
erhält man
∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E = −∆E = −∇ × Ḃ = −εµË − µσ Ė
die Telegrafengleichung
∆E − µσ Ė −
1
Ë = 0
v2
mit
1
εr µr
=
εµ
=
ε
µ
ε
µ
=
.
0
0
r
r
v2
c2
Wir betrachten zur Vereinfachung spezielle Lösungen in Form von ebenen Wellen in x-Richtung
∂Ex
= 0 und wir setzen Ex = 0: E = (0, Ey , Ez ).
E = E(x, t). Aus ∇ · E = 0 folgt dann
∂x
Der Lösungsansatz für Eν (x, t) mit ν = y, z sei
2
ω
Eν (x, t) = fν (x) exp {iωt} =⇒ fν′′ (x) +
− iµσω fν (x) = 0
v2
mit der Lösung
q
2
fν (x) = fν (0) exp ±ix ωv2 − iµσω .
Das elektrische Feld mit Ausbreitung in Richtung der positiven x-Achse lautet dann
(
ω
Eν (x, t) = E0ν exp iωt − ix
c
r
c2
µσc2
−i
v2
ω
)
n
ω ∗o
= E0ν exp iωt − ix n .
c
c √
In Analogie zum Brechungsindex bei Isolatoren = εr µr führt man den komplexen Brechungsindex
v
∗
n ein mit
c2
µσc2
µr σ
c2
∗
∗2
= 2 −i
,
n = n − iκ und n = 2 − i
v
ω
v
ε0 ω
und dazu eine komplexe Dielektrizitätskonstante ε∗
c2
ε = n − κ = 2 = εr µr
v
µr σ
.
ε′′ = 2nκ =
ε0 ω
′
n∗2 = ε∗ = ε′ − iε′′
mit
2
2
Dann hat die spezielle Lösung der Telegrafengleichung
n
n ω o
n o
ω ∗o
E(x, t) = E0 exp iωt − ix n = E0 exp − κx exp iω t − x
c
c
c
n
die Form einer gedämpften ebenen Welle in x-Richtung, wobei für E der Realteil zu nehmen ist.
Die in den Feldgleichungen verwendeten Materialkonstanten ε = εr ε0 , µ = µr µ0 und σ sind zunächst
mit den statischen Feldern oder im elektrischen Bereich bestimmt. In optischen Frequenzbereichen
wird stattdessen der Brechungsindex und der Absorptionskoeffizient gemessen. Den Zusammenhang
erhält man über die Messung der gemittelten Intensität des Lichtes, siehe Abschn. B,
n ω o
1
2
I = |s| = vhui = vεhE i = vεE0 exp −2 κx
2
c
2
Ist I0 die Intensität der Welle beim Eintritt und I nach dem Hindurchtritt durch das Medium der
Dicke x, so wird eine Intensitätsabnahme nach dem Lambertschen Absorptionsgesetz I = I0 exp{−αx}
ω
mit dem Absorptionskoeffizienten α = 2 κ beobachtet. Dadurch sind die im optischen Bereich bec
stimmten Materialkonstanten Brechungsindex n und Absorptionskoeffizient α mit den Materialparametern ε = ε0 εr , µ = µ0 µr und der elektrischen Leitfähigkeit σ verknüpft,
αc
n =n−i
=
2ω
∗
s
c2
µr σ
−
i
v2
ε0 ω
c2
ε = n − κ = 2 = εr µr
v
µr σ
,
ε′′ = 2nκ =
ε0 ω
′
und n∗2 = ε∗ = ε′ − iε′′
mit
2
2
n2
nε0 µ0
nα
nα
α2
2nε0 ω αc
und es gilt εµ = 2 −
=
αc
=
≈
mit µr ≈ 1 und
sowie
σ
=
c
4ω 2
µr 2ω
µ
µc
µ0 c
!
!
r
r
εr µr
σ 2
σ 2
2
2
2
n =
1+ 1+
und α = 2εµω −1 + 1 +
.
2
εω
εω
1.3 Strahlendifferenzialgleichung
Für ein Dielektrikum ohne Ladungen ρ = 0 und Ströme j = 0, jedoch mit einer ortsabhängigen,
skalaren Dielektrizitätskonstanten ε(r) mit D = ε(r)E und Permeabilität µ(r) mit B = µ(r)H ergibt
sich ein ortsabhängiger und reeller Brechungsindex n(r)
1
n2 (r)
,
=
ε(r)µ(r) = εr (r)µr (r)ε0 µ0 =
c2
v 2 (r)
der zu einer ortsabhängigen Lichtgeschwindigkeit v(r) im Medium führt. Die Feldgleichungen
∇ × E = −Ḃ
; ∇ × H = Ḋ
; ∇·B=0 ;
∇·D=0
1
ergeben wegen ∇ · D = ε∇ · E + E · ∇ε = 0 oder ∇ · E = −E · ∇ε sowie
ε
n2 (r)
∇ × B = µ∇ × H − H × ∇µ = µεĖ − H × ∇µ =
Ė − H × ∇µ
c2
und
n2 (r)
1 ∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E = −∇ E · ∇ε − ∆E = −∇ × Ḃ = − 2 Ë + Ḣ × ∇µ
ε
c
eine modifizierte Wellengleichung
n2 (r)
∆E − 2 Ë = −∇(E · e) − Ḣ × ∇µ
c
mit e =
1
∇ε(r).
ε(r)
Wegen µr − 1 ≪ 1 wird ∇µ ≈ 0 gesetzt. Zur Abschätzung der rechten Seite der Wellengleichung
betrachten wir eine ebene Welle der Form E = E0 (t) exp {ik · r} der Wellenlänge λ = 2π/|k|, dann gilt
∇(E · e) = ikE · e + (∇e) · E und ∆E = −k 2 E mit k = |k|. Unter der Voraussetzung, dass sich der
Brechungsindex n(r) im Bereich einer Wellenlänge λ nur wenig ändert
λ|∇n| ≪ n,
gilt k|e| ≪ k 2 ,
|e| =
denn man findet mit
ε = εr ε0
und n2 (r) = εr µr ≈ εr (r)
2
1
2n
2
k
1
1
|∇ε| = |∇εr | = 2 ∇n2 = |∇n| ≪
= = .
ε
εr
n
n
nλ
λ
π
Daher kann der Term ∇(E · e) gegen ∆E in der Wellengleichung wegen der Kleinheit von (∇e) vernachlässigt werden, und man erhält genähert die Wellengleichung mit ortsabhängigem Brechungsindex
n2 (r)
∆E − 2 Ë = 0.
c
Der Lösungsansatz mit einer sich nur schwach ändernden Amplitude E0 (r) ist mit k0 =
E(r, t) = E0 (r) exp − ik0 S(r) exp {iωt}
ω
= konst.
c
mit dem reellen Eikonal S(r).
Dabei beschreibt S(r) = konst. die Flächen gleicher Phase im Ortsraum, die im Falle n = konst. wegen
k
ωc
S(r) = n
· r, |k| =
= k0 n und k · r = k0 S(r) Ebenen senkrecht zum geradlinigen Strahl sind.
|k|
cv
Zum Einsetzen des Ansatzes in die Wellengleichung berechnen wir zunächst die erste Ortsableitung
einer beliebigen Komponente E = E0 (r) exp − ik0 S(r) exp {iωt} nach dem Ort r = (x, y, z)
∂E
∂S
1 ∂E0
= −ik0
E+
E=
∂x
∂x
E0 ∂x
∂S
1 ∂E0
−ik0
+
E,
∂x
E0 ∂x
und die zweite Ableitung ergibt
∂2E
∂S
∂2S
∂ 1 ∂E0 1 ∂E0
1 ∂E0
∂S
E + −ik0
+
+
= −ik0 2 E +
−ik0
E
∂x2
∂x
∂x E0 ∂x
∂x
E0 ∂x
∂x
E0 ∂x
2
∂S
1 ∂E0 ∂S
∂2S
E,
E − i2k0
≈ −ik0 2 E − k02
∂x
∂x
E0 ∂x ∂x
wobei zwei Terme vernachlässigt werden, die bei nur schwach veränderlicher Amplitude E0 klein sind.
Damit erhält man aus der Wellengleichung mit reellem S(r)
n2 (r)
n2 (r) 2
∆E − 2 Ë = ∆E + 2 ω E = ∆E + k02 n2 (r)E = 0
c
#
" c 2 2
2
1
∂S
∂S
1
∂S
+
+
− n2 (r) E − i2k0 ∆S +
∇E0 · ∇S E
0 = −k02
∂x
∂y
∂z
2
E0
Da Real- und Imaginärteil getrennt verschwinden müssen, ergeben sich die Eikonalgleichungen
(∇S)2 = n2 (r)
und
1
1
∇E0 · ∇S = − ∆S.
E0
2
Während die zweite Differenzialgleichung zur Bestimmung der Amplitude E0 dient, lässt sich die
erste in die Strahlendifferenzialgleichung umformen. Sei t der Kurvenparameter der Kurve r(t) des
Lichtstrahles bei ortsabhängigem Brechungsindex n(r), so gilt für die Bogenlänge s(t)
s(t) =
Z
t
t0
dr(t′ ) =
Z t
dr(t′ ) ′
dt′ dt
t0
ds(t) dr(t) .
=
dt
dt mit
dr(s) = 1 mit dr = t und
Wird als Kurvenparameter die Bogenlänge s verwendet r = r(s), so gilt ds ds
|t| = 1 mit dem Tangentenvektor t an die Strahlkurve.
Betrachtet man die Fläche eines konstanten Eikonals S(r) = konstant, die die Fläche gleicher
Phase des Lichtstrahles ist, so ist ∇S(r) ↑↑ t und |∇S(r)| = n(r) nach der Eikonalgleichung. Also gilt
dr
∇S(r) = n(r)t = n(r) .
ds
t
r(s)
Differenziert man diese Gleichung nach der Bogenlänge s als Kurvenparameter
dr
1
1
1
d
∇S =
· ∇∇S =
∇S · ∇∇S =
∇(∇S)2 =
∇n2 (r) = ∇n(r),
ds
ds
n(r)
2n(r)
2n(r)
S(r) = konst.
so folgt die Strahlendifferenzialgleichung
d
ds
dr
n(r)
ds
= ∇n(r).
z
x
y
Fermatsches Prinzip
Aus der Eikonalgleichung folgt ∇S(r) = n(r) und der Lichtstrahl r(s) verläuft immer senkrecht zur
Fläche S(r) = konstant. Also gilt ∇S(r) = n(r)t mit dem Tangentenvektor |t| = 1. Die Integration
entlang der Strahlkurve mit dr = t ds ergibt die optische Weglänge W von r0 nach r1
W =
Z
r1
r0
∇S(r) · dr = S(r1 ) − S(r0 ) =
Z
r1
n(r)| dr| =
r0
Z
t1
t0
n r(t) |ṙ| dt =
Z
t1
t0
c dt = c(t1 − t0 )
mit r0 = r(t0 ) und r1 = r(t1 ). Auf einem beliebigen anderen Weg Γ von r0 nach r1 kann
WΓ =
Z
r1
n(r)| dr| =
Z
r1
Γ r0
Γ r0
∇S(r)| dr| ≥
Z
r1
Γ r0
∇S(r) · dr
beliebig groß werden, sodass die Strahlkurve r(t) das Minimum der optischen Weglänge W darstellt
und aus dem Extremalprinzip von Fermat
δ
δr(t)
Z
t1
t0
δ
n r(t) | dr| =
δr(t)
Z
t1
t0
n r(t) ṙ(t) dt = 0
bestimmt werden kann. Die Variationsableitung führt dann auf die Strahlendifferenzialgleichung
dr
d
n(r)
= ∇n(r).
ds
ds
1.4 Elektromagnetische Wellen an Grenzflächen
A Stetigkeitsbedingungen
Zwei homogen isotrope optische Medien, die D = εE, B = µH und j = σE mit skalaren Konstanten
ε, µ, σ erfüllen, mögen sich an einer Grenzfläche derart in Kontakt befinden, dass der komplexe
Brechungsindex dort eine Unstetigkeit hat. Ist n der Normalenvektor und t ein Tangentenvektor an
der Grenzfläche, so sind die folgenden Komponenten dort stetig:
Aus ∇ × E = −Ḃ
Aus ∇ · B = 0
Aus ∇ × H = Ḋ + j
Aus ∇ · D = ρ
folgt Et = E · t ist stetig.
folgt Bn = B · n ist stetig.
folgt Ht = H · t ist stetig,
falls an der Grenzfläche keine Flächenströme vorhanden sind.
folgt Dn = D · n ist stetig,
falls es in der Grenzfläche keine Flächenladungen gibt.
B Brechungsgesetze
Für die Brechung und Reflexion von Lichtstrahlen an der Grenzfläche setzen wir voraus, dass das
Medium 1 des einfallenden Strahles nicht absorbiert, d.h. es ist n1 reell und σ1 = 0, während das
Medium 2 des gebrochenen Strahles absorbiert und einen komplexen Brechungsindex n∗ = n2 − iκ mit
σ2 6= 0 besitzt.
Sei dann ϑ der Winkel zwischen dem einfallen Strahl und der Flächenormalen, ϑ′ der Winkel zwischen
dem reflektierten Strahl und der Flächennormalen und ϑ′′ = θ′′ +iφ′′ der komplexe Brechungswinkel des
gebrochenen Strahles. Liegt die Flächennormale in Richtung der negativen z-Achse n = (0, 0, −1) und
die Tangente t = (1, 0, 0) in x-Richtung, so hat der einfallende Strahl die Richtung (sin ϑ, 0, cos ϑ), der
′
′
∗
′′
∗
′′
reflektierte Strahl (sin ϑ , 0, − cos ϑ ) und der gebrochene Strahl ℜ{n sin ϑ }, 0, ℜ{n cos ϑ } , wobei
ℜ den Realteil bezeichnet.
Dann gilt das Brechungsgesetz von Snellius
⊲ alle drei Strahlen liegen in einer Ebene,
⊲ der Einfallswinkel ist gleich dem Reflexionswinkel ϑ = ϑ′ (Reflexionsgesetz),
⊲ n1 sin ϑ = (n2 − iκ) sin ϑ′′ mit komplexem Brechungswinkel ϑ′′ .
Bezeichnet man die Amplituden der elektrischen Feldstärke parallel zur Einfallsebene für den einfallenden, reflektierten und gebrochenen Strahl mit Ep , Ep′ , Ep′′ , und senkrecht zur Einfallsebene mit Es ,
Es′ und Es′′ , so ergibt sich aus den Fresnelschen Formeln
Es′
sin(ϑ′′ − ϑ)
;
=
Es
sin(ϑ′′ + ϑ)
Ep′
tan(ϑ − ϑ′′ )
;
=
Ep
tan(ϑ + ϑ′′ )
Es′′
2 sin ϑ′′ cos ϑ
=
Es
sin(ϑ + ϑ′′ )
Ep′′
2 cos ϑ sin ϑ′′
.
=
Ep
sin(ϑ + ϑ′′ ) cos(ϑ − ϑ′′ )
C Reflexionsgesetze
Bei schrägem Einfall einer elektromagnetischen ebenen Welle auf die Detektoreintrittsfläche unter dem
Winkel ϑ im Medium mit der Lichtgeschwindigkeit v = c/n mit ε = n2 , ergibt sich die Intensitiät I
aus der gemittelten Energiedichte hui = hE · Di = 12 εE20 mit reellem ϑ zu
I = vhui cos ϑ = vεhE2 i cos ϑ =
c 2
E n cos ϑ
2 0
mit der Amplitude E0 der einfallenden elektrischen Feldstärke E. Dann ist das Reflexionsvermögen Rs
bzw. Rp des senkrecht bzw. parallel zur Einfallsebene polarisierten Lichtes mit Amplituden Es bzw.
Ep und reellen ϑ und ϑ′ definiert durch
Rs =
Is′
Is
=
Es′
Es
2
;
Ip′
Rp =
=
Ip
Ep′
Ep
2
; Ts =
Is′′
Is
=
Es′′
Es
2
n2 cos ϑ′′
,
n1 cos ϑ
und es gilt für das Transmissionsvermögen T mit der Definition von I: Rs + Ts = 1 und Rp + Tp = 1.
Findet Absorption nur im Medium (2) statt, ist also n1 reell und n∗ = n2 − iκ komplex, so ergibt sich
mit dem komplexen Brechungswinkel ϑ′′ mit n1 sin ϑ = (n2 − iκ) sin ϑ′′
sin(ϑ′′ − ϑ) 2
Rs = ′′
sin(ϑ + ϑ) tan(ϑ′′ − ϑ) 2
,
und Rp = ′′
tan(ϑ + ϑ) und speziell Rs = Rp =
bei senkrechtem Einfall ohne Dämpfung ϑ = ϑ′′ = 0, κ = 0.
n1 − n2
n1 + n2
2
Die Abbildung zeigt das Reflexionsvermögen von senkrecht bzw. parallel zur Einfallsebene polarisiertem Licht im Vakuum an einem Medium mit dem komplexen Brechungsindex n − iκ.
Die Abbildung zeigt das Reflexionsvermögen von senkrecht bzw. parallel zur Einfallsebene polarisiertem Licht im Vakuum an einem Medium mit dem komplexen Brechungsindex n − iκ.
Die Abbildung zeigt das Reflexionsvermögen von senkrecht bzw. parallel zur Einfallsebene polarisiertem Licht im Vakuum an einem Medium mit dem komplexen Brechungsindex n − iκ.
Setzt man zur Abkürzung
n2 − iκ
n2 − iκ p
′′
cos ϑ =
1 − sin2 ϑ′′ =
n1
n1
s
n2 − iκ
n1
2
− sin2 ϑ = α − iβ,
so erhält man für das Reflexionsvermögen an einem absorbierenden Medium
(cos ϑ − α)2 + β 2
Rs =
(cos ϑ + α)2 + β 2
(α − sin ϑ tan ϑ)2 + β 2
und Rp = Rs
.
(α + sin ϑ tan ϑ)2 + β 2
D Mehrfachreflexion an einer ebenen Schicht
Eine ebene dünne Schicht der Dicke d, die nicht groß ist im Vergleich zur Wellenlänge der optischen Strahlung, mit dem komplexen Brechungsindex ñ = n − iκ grenze mit der Oberseite an das
Medium (1) mit dem reellen Brechungsindex n1 und an der Unterseite an das Medium (2) mit dem
reellen Brechungsindex n2 .
• Im Medium (1) wird eine ebene Welle mit dem Einfallswinkel ϑ in einen reflektierten Anteil r1′
und einen gebrochenen Anteil t1 unter dem Brechungswinkel ϑ′′ aufgespalten.
• An der Grenze zum Medium (2) wird der Anteil r2 reflektiert, und der Anteil t2 in das Medium (2)
mit dem Brechungswinkel ϑ2 gebrochen.
• An der Grenzfläche zum Medium (1) wird der zurückreflektierte Strahl mit dem Anteil r1 erneut
reflektiert und mit dem Anteil t′1 in das Medium (1) gebrochen.
ϑ
ϑ
t′1
r1′
n1
r1
t1
r2
ϑ′′
t2
n − iκ
n2
ϑ2
Dann gilt für das Amplitudenverhältnis der elektrischen Feldstärke nach den Fresnelschen Formeln bei
senkrecht zur Einfallsebene polarisiertem Lichtstrahl
⊲
Brechung 1:
⊲
Brechung 2:
⊲
Brechung 3:
sin(ϑ′′ − ϑ)
=
sin(ϑ′′ + ϑ)
sin(ϑ2 − ϑ′′ )
r2 =
sin(ϑ2 + ϑ′′ )
sin(ϑ − ϑ′′ )
r1 =
sin(ϑ + ϑ′′ )
r1′
2 sin ϑ′′ cos ϑ
sin ϑ
n − iκ
und t1 =
mit
=
sin(ϑ′′ + ϑ)
sin ϑ′′
n1
2 sin ϑ2 cos ϑ′′
sin ϑ′′
n2
und t2 =
mit
=
sin(ϑ2 + ϑ′′ )
sin ϑ2
n − iκ
sin ϑ′′
n1
2 sin ϑ cos ϑ′′
′
und t1 =
mit
=
.
sin(ϑ + ϑ′′ )
sin ϑ
n − iκ
Bei Mehrfachreflexion muss der Phasenunterschied auf Grund verschieden langer Wegstrecken bzw.
Laufzeiten berücksichtigt werden. Er berechnet sich bei schwacher Dämpfung aus Re{ϑ′′ } für einen
Durchgang durch die Schicht zu
κ 2πd 2π
′′
δ=
n cos ϑ − i
mit
ω
=
c
λ
cos ϑ′′
λ
mit der Vakuumwellenlänge λ des einfallenden Strahles. Der insgesamt bei Mehrfachreflexion durch
die Schicht hindurchtretende Anteil t ist
t = t1 e−iδ t2 + t1 e−iδ r2 e−iδ r1 e−iδ t2 + . . . =
t1 t2 exp {−iδ}
,
1 − r1 r2 exp {−i2δ}
und der insgesamt bei Mehrfachreflexion an der Schicht reflektierte Anteil r ist
r=
r1′
+ t1 e
−iδ
r2 e−iδ t′1
+ ... =
r1′
t1 t′1 r2 exp {−i2δ}
.
+
1 − r1 r2 exp {−i2δ}
E Transmission einer dünnen Schicht
1) Sind beide äußeren Medien gleich und n > n1 = n2 , und findet in der Schicht mit dem dichteren
Medium keine Absorption statt κ = 0, so gilt r1 = r2 , t2 = t′1 , r1′ = −r1 und t1 t′1 + r12 = 1.
Das Transmissionsvermögen ist dann
(1 − r12 )2
.
T = |t| =
1 − 2r12 cos{2δ} + r14
2
Bei senkrechtem Einfall ϑ = ϑ′′ = 0 erhält man mit der Wellenlänge λm = λ/n in der Schicht
λ
λm
2π
dn = π bzw. d =
=
,
• das maximale Transmissionsvermögen bei cos{2δ} = 1 oder
λ
2n
2
π
λ
λm
2π
dn = bzw. d =
=
.
• das minimale Transmissionsvermögen bei cos{2δ} = −1 oder
λ
2
4n
4
Dadurch entstehen farbige Ringe, z.B. bei Seifenblasen.
2) Findet in der Schicht keine Absorption statt κ = 0, und gilt n1 < n < n2 , so ist t1 > 0, t2 > 0,
r1 > 0, r1′ < 0 und r2 < 0.
c
Das Transmissionsvermögen ist dann mit der Intensität I = E20 n1 cos ϑ bei schrägem Einfall
2
IT
t21 t22
n2 cos ϑ2
2 n2 cos ϑ2
T =
= |t|
=
.
I
n1 cos ϑ
1 + |r1 r2 |2 cos{2δ} + r12 r22 n1 cos ϑ
Bei senkrechtem Einfall ϑ = ϑ′′ = 0 erhält man
π
2π
dn = oder
• das maximale Transmissionsvermögen bei cos{2δ} = −1, und es folgt δ =
λ
2
d=
λm
λ
=
4n
4
mit der Wellenlänge in der Schicht λm =
λ
.
n
Die Beschichtung von Glasflächen z.B. mit einer sogenannten λ/4-Schicht erzeugt in Luft ein
Minimum an Reflexion, was u.a. bei der Vergütung optischer Linsen ausgenutzt wird.
1.5 Metamaterialien
Die im optischen Bereich bisher betrachteten Materialparameter mit einem Brechungsindex n > 1 und
einer relativen Permeabilität µr ≈ 1 lassen sich mit periodischen Nanostrukturen verändern, deren
räumliche Ausdehnung d im Bereich
10 nm ≤ d ≤ 400 nm ≤ Wellenlänge des sichtbaren Lichtes liegt.
Bei der Beobachtung von Licht mit Wellenlängen λ ≫ d wird über die periodischen Nanostrukturen
gemittelt, sodass neue makroskopische Materialkonstanten dieser Metamaterialien entstehen.
A Negativer Brechungsindex
Als Beispiel seien hier Nanostrukturen mit einem negativen Brechungsindex n < 0 betrachtet. Aus der
Telegrafengleichung ergibt sich mit εµ = εr µr ε0 µ0 = εr µr /c2 = 1/v 2 der Brechungsindex zu
c2
n = 2 = εr µr
v
2
√
oder n = ± εr µr .
Es zeigt sich, dass ein negativer Brechungsindex möglich ist, falls εr < 0 und µr < 0 erreicht werden
kann. In einer Nanostruktur lässt sich ein negativer Realteil der relativen Dielektrizitätskonstanten
durch ”verdünnte Metalle”, also z.B. durch dünne Metallfilme herstellen. Bei Metallen erfüllt der
Realteil der relativen Dielektrizitätskonstanten εr = ε′ − iε′′ das Dispersionsgesetz
ωp2
ε (ω) = 1 − 2
ω
′
mit der Plasmafrequenz
ωp2
e20 n
,
=
ε0 m
(vergl. Abschn. 2.2),
wobei n die Elektronendichte und m die Elektronenmasse bezeichnen. Es ist also ε′ < 0 für ω < ωp
und bei Metallen liegt h̄ωp in der Größenordnung von 10 eV, also oberhalb des optischen Bereiches.
B Magnetische Nanostrukturen
Relative Permeabilitäten µr = 1 + χ sind bei Nichtmetallen durch |χ| ≪ 1 gekennzeichnet, und auch
bei Metallen ist µr < 0 im optischen Bereich nicht möglich. Zwar treten an magnetischen Festkörpern
Spinwellenanregungen durch elektronische Anregungen mit Spinumkehr im Femtosekundenbereich auf,
die zugehörigen Suszeptibilitäten sind aber klein |χ| ≪ 1.
Negative Suszeptibilitäten mit χ < −1 lassen sich jedoch aus geschlitzten Leiterkreisen als Nanostruktur erzeugen. Ist L die Induktivität eines kleinen Leiterringes, R der Ohmsche Widerstand, C die
Kapazität am Schlitz und U ind die vom eingestrahlten Licht induzierte Spannung, so ergibt sich die
Differenzialgleichung der erzwungenen Schwingung eines gedämpften elektrischen Schwingungskreises
1
LI¨ + RI˙ + I = U̇ ind
C
1
mit der Resonanzfrequenz ωr = √
LC
r
CR2
,
1−
2L
die im optischen Bereich liegen sollte. Die vom Licht eingestrahlte magnetische Induktion BL erzeugt
im Ring die Stromstärke I ind nach dem Induktionsgesetz ∇ × E = −ḂL mit der Fläche des Ringes F
Z
Z
Z
−
ḂL · d2f =
∇ × E · d2f =
E · dr = U ind = RI ind .
F
F
∂F
Sei die Querschnittsfläche Q des Leiters im Verhältnis zur Fläche F des Leiterringes mit dem Radius
|r| = r klein: Q ≪ F = πr2 , so erhält man aus der induzierten Stromdichte jind = I ind /Q mit dem
Volumen Q2πr des Leiters das magnetische Moment m eines Leiterringes
Z
1
1 m=
r × jind d3r = |r|jind Q2πr = I ind πr2 = I ind F.
2
2
Ist nnano die Anzahl der geschlitzten Leiterringe pro Volumeneinheit, erhält man für die Magnetisierung
M = nnano |m| = nnano I ind F . Weil nach der Lenzschen Regel die Magnetisierung M dem Magnetfeld
HL = BL /µ
(mitµ = µ0 > 0 für das Material ohne Ringe) entgegengesetzt ist, gilt M ↑↓ HL und man
∂M
< 0. Hierbei muss die Frequenz des eingestrahlten Lichtes im Resonanzbereich
erhält χ =
∂H H=0
der kleinen geschlitzten Metallringe liegen.
C Magnetodielektrika
Wir betrachten hier Nanostrukturen auf Glas aus zwei metallischen Goldfilmen von 30 nm Dicke, die
durch eine dielektrische Schicht von 60 nm Dicke aus Saphir Al2 O3 getrennt sind. Sie enthalten ein
quadratisches Gitter aus runden Löchern mit Durchmessern von 360 nm im Abstand von 838 nm durch
die ganze Vielschichtenstruktur. Das Licht wird dabei senkrecht zu den Schichten eingestrahlt. Für
die Dielektrititätskonstante εr = ε′ − iε′′ wurden Werte von ε′ = −2 und ε′′ = 3, also mit erheblicher
Absorption erreicht, vergl. S. Zhang et al. Phys. Rev. Lett. 95, 137404 (2005).
D Optische Eigenschaften
Die Brechungs- und Reflexionsgesetze von Metamaterialien mit n = −1 an einer ebenen Grenzfläche
zum Vakuum mit n = 1 ergeben sich ebenso aus den Stetigkeitsbedingungen der Tangentialkomponenten von E und H sowie der Normalkomponenten von B und D. Aus dem Brechungsgesetz
n1 sin ϑ = (n2 − iκ) sin ϑ′′ aus Abschn. 1.4 ergibt sich mit n1 = 1, n2 = −1 und κ = 0 das Brechungsgesetz sin ϑ = − sin ϑ′′ oder ϑ′′ = −ϑ. Da H = |H|t stetig ist, wechseln an der Grenzfläche von
n = 1 nach n = −1 auch µ = µ0 nach µ = −µ0 und B = µH sowie k das Vorzeichen, denn aus dem
Induktionsgesetz ∇ × E = −Ḃ folgt für ebene Wellen k × E = ωB, vergl. Abschn. 1.2.
Aus einer planparallelen Platte der Dicke d eines
n
E
Metamaterials mit n = −1 ließe sich eine perfekte, also
abbildungsfehlerfreie ”Linse” konstruieren, vergl. S. Linden, M. Wegener, Physik Journal 5 (2006) Nr. 12, S. 29.
n=1
n = −1
b
ϑ
n=1
ϑ′′
n = −1
s ↑↑ k
n=1
k
Abbild
Gegenstand
B ↑↑ H
optische Achse
B ↓↑ H
⊗
s
E
2 Dispersion
Die Wechselwirkung von Licht mit Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen wird von den gebundenen Atomen bestimmt. Die makroskopischen Beobachtungen entstehen dabei durch komplizierte
mikroskopische Prozesse, sodass man vielfach bei konkreten Messungen zu einfachen Beschreibungsmodellen übergeht. Wir behandeln hier die in der Spektroskopie an Materie beobachteten frequenzabhängigen dielektrischen Eigenschaften und vernachlässigen den Einfluss magnetischer Felder, indem
wir M = 0 setzen, was bei dia- und paramagnetischen Stoffen mit M = χH wegen µr = 1 + χ und
|χ| = 10−4 − 10−6 gerechtfertigt ist.
2.1 Dielektrische Eigenschaften
Die Frequenzabhängigkeit der makroskopisch beobachteten optischen Konstanten wird dann durch die
Polarisation P = P[E](r, t) bestimmt, die allgemein ein Funktional der elektrischen Feldstärke E(r, t)
ist. Bei hinreichend schwachen elektrischen Feldern des Lichtes, das auf die Materie trifft, im Vergleich
zu den inneren Feldern der Atome, hängt die Polarisation P = (P1 , P2 , P3 ) linear von E = (E1 , E2 , E3 )
ab, und man setzt bei Festkörpern mit dem Tensor der elektrischen Suszeptibilität pro Volumen- und
Zeiteinheit χe = (χjk ), vergl. Abschn. 1.2, für anisotrope Stoffe mit Gedächtniseffekt und Fernwirkung
D(r, t) = ε0 E(r, t) + P(r, t) mit Pj (r, t) = ε0
3 Z
X
k=1
χjk (r, r′ , t, t′ )Ek (r′ , t′ ) d3r′ dt′ .
Bei einem Festkörper im stationären Zustand, d.h. ohne zeitabhängige äußere Störungen, hängt der
Tensor χe nur von t − t′ ab. Wir betrachten ferner nur Wellenlängen λ = 2π/|q|, die groß sind
im Vergleich zur Gitterkonstanten a des Kristalles λ ≫ a, dann herrscht näherungsweise räumliche
Homogenität, was einer räumlichen Mittelung über eine Elementarzelle entspricht. Dadurch hängt der
Tensor χe nur von r − r′ ab: χjk = χjk (r − r′ , t − t′ ).
Für die dielektrische Verschiebung D = (D1 , D2 , D3 ) erhält man dann
Dj (r, t) = ε0 Ej (r, t) + ε0
3 Z
X
k=1
χjk (r − r′ , t − t′ )Ek (r′ , t′ ) d3r′ dt′ .
Der Einfachheit halber beschränken wir uns hier auf isotrope Festkörper und auf kubische Kristalle,
bei denen der Tensor der elektrischen Suszeptibilität ein Vielfaches der Einheitsmarix ist χjk = χδjk .
Dies gilt z.B. nicht bei hexagonalen Kristallen wie ZnO, CdS, GaN und anderen, bei denen es eine
ausgezeichnete optische Achse, die sogenannte c-Achse gibt, und es zur Doppelbrechung kommt. Bei
isotropen Festkörpern schreibt sich die dielektrische Verschiebung mit der Ortsintegration über das
Grundgebiet V
D(r, t) = ε0 E(r, t) + ε0
Z
V
χ(r − r′ , t − t′ )E(r′ , t′ ) d3r′ dt′ .
Wir nehmen für den Festkörper und die Felder räumliche Periodizität mit dem Grundgebiet V an, und
führen für D(r, t), E(r, t) und χ(r, t) die Fourier-Transformierten D(q, t), E(q, t) und χ(q, t) ein
Z
X
1
E(r, t) exp {−iq · r} d3r,
E(r, t) =
E(q, t) exp {iq · r} mit E(q, t) =
V V
q
wobei über alle Ausbreitungsvektoren q zu summieren ist
q=
m2
m3
m1
b1 +
b2 +
b3
N
N
N
mit ganzen Zahlen m1 , m2 , m3 ,
den Basisvektoren des reziproken Gitters b1 , b2 , b3 und der Zahl N 3 der Anzahl der Elementarzellen
im Grundgebiet V . Dann erhält man mit dem Faltungssatz der Fourier-Transformation
Z ∞
F f ∗ g)(x) = F
f (ξ)g(x − ξ) dξ = F(f )F(g)
−∞
die einfache Form für die dielektrische Verschiebung
Z ∞
D(q, t) = ε0 E(q, t) + ε0
χ(q, t − t′ )E(q, t′ ) dt′ .
−∞
Die dielektrischen Eigenschaften werden untersucht, indem eine elektrische ebene Welle mit der Kreisfrequenz ω in den Kristall gestrahlt wird, die im Innern auch durch Absorption gedämpft sein kann
E(r, t) = E(r, ω) exp {iωt}
bzw. mit der Fourier-Transformierten E(q, t) = E(q, ω) exp {iωt} .
Damit erhält man D(q, t) = ε0 E(q, t) + ε0 E(q, ω) exp {iωt}
Z
∞
−∞
χ(q, t − t′ ) exp − iω(t − t′ ) dt′ oder
D(q, ω) = ε0 ε̃(q, ω)E(q, ω),
mit der komplexen Dielektrizitätskonstanten mit der Realitätsbedingung ε̃(−q, −ω) = ε̃∗ (q, ω)
Z ∞
ε̃(q, ω) = 1 +
χ(q, t − t′ ) exp − iω(t − t′ ) dt′ .
−∞
Die durch die Fernwirkung der Polarisation verursachte räumliche Dispersion wirkt erst in Abständen
der Wellenlänge, und kann im optischen Bereich außer bei Nanostrukturen vernachlässigt werden,
sodass die elektrische Suszeptibilität vom Ort unabhängig ist χ(r − r′ , t − t′ ) = χ(t − t′ )δ(r − r′ ).
Dann wird die dielektrische Verschiebung von der elektrischen Suszeptibiltät pro Zeiteinheit χ(t − t′ )
bestimmt
Z
t
D(r, t) = ε0 E(r, t) + ε0
−∞
χ(t − t′ )E(r, t′ ) dt′ ,
wobei wegen der Kausalität die Integration nur bis t ausgeführt ist. Daraus erhält man
D(r, t) = ε0 E(r, ω) exp {iωt} + ε0 E(r, ω) exp {iωt}
Z
t
−∞
χ(t − t′ ) exp {−iω(t − t′ )} dt′
oder mit D(r, t) = D(r, ω) exp {iωt} und t′′ = t − t′
D(r, ω) = ε0 E(r, ω) + ε0 E(r, ω)
Z
∞
0
χ(t′′ ) exp {−iωt′′ } dt′′ .
Dies schreibt man in der einfachen Form
D(r, ω) = ε0 ε̃(ω)E(r, ω)
mit der komplexen Dielektrizitätskonstanten ε̃(−ω) = ε̃∗ (ω)
ε̃(ω) = 1 +
Z
0
∞
χ(t′′ ) exp {−iωt′′ } dt′′ .
Wird also in einem Dielektrikum eine elektromagnetische Welle der Frequenz ω eingestrahlt, so wird
die Wirkung durch die Polarisation P bzw. durch die dielektrische Verschiebung D festgestellt, die
sich mit Hilfe einer frequenzabhängigen Dielektrizitätskonstanten schreiben lässt. Das die Polarisation
bestimmende Integral berücksichtigt nicht nur das elektrische Feld zur Zeit t, sondern auch zu früheren
Zeiten, sodass Gedächtniseffekte im Medium eine Rolle spielen. Bei hohen Frequenzen verzögert sich die
Reaktion der Atome auf das E-Feld des Lichtes, wodurch die Dielektrizitätskonstante frequenzabhängig
wird. Die Elektronen des Mediums können dem sich zu schnell ändernden E-Feld des Lichtes nicht
mehr folgen, sodass es zu Verzögerungseffekten kommt.
Im Folgenden werden einzelne mikroskopische Modelle besprochen, die die Frequenzabhängigkeit
der Dielektrizitätskonstanten in verschiedenen Spektralbereichen erklären.
2.2 Dispersion im optischen Bereich
In einem einfachen klassischen Modell entsteht die durch das elektrische Feld der elektromagnetischen
Welle hervorgerufene Polarisation durch die Ausrichtung permanenter Dipole der Moleküle und durch
die induzierten elektrischen Dipole der Atome, sowie durch das Elektronengas der Halbleiter und
Metalle. Entsprechend setzt sich die elektrische Suszeptibilität
χe = χperm + χAtom + χGas
genähert aus den Anteilen
χperm
χAtom
χGas
durch permanente elektrische Dipole
durch induzierte elektrische Dipole
durch ein Elektronengas
zusammen.
1) Dispersion durch permanente Dipole
Befinden sich im Dielektrikum viele kleine elektrische Dipole, die ohne ein äußeres elektrisches Feld
ungeordnet alle möglichen Richtungen einnehmen, so dass die Polarisation oder Dipoldichte insgesamt
Null ist, so werden diese Dipole durch ein elektrisches Feld ausgerichtet.
In dem Modell von Debye folgen diese Dipole dem elektrischen Feld nur mit einer gewissen Verzögerung,
und für diesen Anteil der elektrischen Suszeptibilität χperm wird, bei nicht zu hohen Frequenzen unterhalb des optischen Bereiches, angenommen, dass eine Polarisation P nach Abschalten des äußeren
elektrischen Feldes E exponentiell mit einer Relaxationszeit τ abklingt, wobei ein gewisser Teil der
Polarisation dem elektrischen Feld ohne Verzögerung verlustfrei folgen kann. Mit P. Debye wird für
E(r, t) = E0 (r, ω) exp {iωt} mit reellen ε′0 = ε̃(0) und ε′∞ = ε̃(∞) gesetzt
D(r, t) = ε0 ε̃(ω)E(r, t)
Z
t
t − t′ o ′
=
+ ε0
E(r, t )a exp −
dt
τ
−∞
Z t
n t − t′ o
′
= ε0 ε∞ E(r, t) + ε0 E(r, t)
a exp −
exp − iω(t − t′ ) dt′
τ
−∞
Z ∞
n t′′ o
exp {−iωt′′ } dt′′ .
= ε0 E(r, t) ε′∞ + a
exp −
τ
0
ε0 ε′∞ E(r, t)
Das Integral liefert mit aτ = ε′0 − ε′∞ wegen
′
Z
∞
0
n
∞
τ
exp {−t /τ } exp {−iωt } ′′
=
. . . dt =
−(1/τ )(1 + iωτ )
1 + iωτ
0
′′
h
i
τ
τ
′
D(r, t) = ε0 E(r, t) ε∞ + a
− iaωτ
1 + ω2 τ 2
1 + ω2 τ 2
h
ε′0 − ε′∞ i
ε′0 − ε′∞
′
− iωτ
.
= ε0 E(r, t) ε∞ +
1 + ω2 τ 2
1 + ω2 τ 2
′′
Setzt man die komplexe Dielektrizitätskonstante
ε̃(ω) = ε′ (ω) − iε′′ (ω)
ein, so erhält man
′
ε (ω) =
ε′∞
ε′0 − ε′∞
und ε (ω) = ωτ
.
1 + ω2 τ 2
ε′0 − ε′∞
+
1 + ω2 τ 2
′′
Bei sehr niedrigen Frequenzen werden alle Dipole ausgerichtet sein, so dass ε′ (0) den größten Wert hat.
Bei sehr hohen Frequenzen können die Dipole nicht mehr folgen, so dass ε′ (∞) den kleinsten Wert
hat, und ε′ (ω) mit der Frequenz monoton abnimmt. Für den Imaginärteil ε′′ (ω) ist ε′′ (0) = 0 und
ε′′ (∞) = 0 mit einem Maximum bei ω = 1/τ , das meist im Mikrowellenbereich liegt. Die Dispersion
durch permanente Dipole spielt also im optischen Bereich praktisch keine Rolle.
ε′ (ω)
ε′′ (ω)
ε′0 +
ε′0 +
+
+
ε′∞ +
ε′∞ +
+
1/τ
+
+
+
+
5/τ
+
ω
+
1/τ
+
+
+
+
5/τ
+
ω
2) Dispersion durch induzierte atomare Dipole
Im optischen Bereich wird allgemein die normale Dispersion beobachtet, wonach der Brechungsindex
mit der Frequenz zunimmt. Es gibt aber auch bestimmte Frequenzbereiche mit anomaler Dispersion, in
denen der Brechungsindex, und damit bei geringer Dämpfung der Realteil der Dielektrititätskonstanten
mit der Frequenz abnimmt. Im klassischen Modell für die Suszeptibilität χAtom geht man von der
Vorstellung aus, dass es im Kristall elastisch gebundene Elektronen gibt, die durch das elektrische Feld
zu gedämpften Schwingungen angeregt werden. Befindet sich der Oszillator mit der Federkonstanten
mω02 und dem Reibungskoeffizienten mγ am Ort R, so lautet die Bewegungsgleichung für ein Elektron
der Ladung e, der Masse m und am Ort r im elektrischen Feld E(r, t) = E0 exp − i(q · r − ωt)
r̈ + γ ṙ + ω02 (r − R) ≈
e
E0 exp {−iq · R} exp {iωt} ,
m
wobei angenommen wurde, dass die Auslenkung der Elektronen klein ist im Vergleich zur Wellenlänge
|r − R| ≪ λ = 2π/|q| der elektrischen Welle. Der Lösungsansatz für die erzwungene Schwingung
e
1
r − R = A E0 exp {−iq · R} exp {iωt} ergibt A = 2
m
ω0 − ω 2 + iωγ
mit der komplexen Amplitude A. Die Summe der Dipolmomente e(r−R) der schwingenden Elektronen
pro Volumeneinheit ergeben die komplexe Dipoldichte oder Polarisation
N e2
e2
A,
P = N e(r − R) = N A E(r, t) = ε0 ε̃(ω) − 1 E(r, t) mit ε̃(ω) = 1 +
m
ε0 m
wobei N die Dichte des Oszillatoren bezeichnet.
Man setzt unterschiedliche Oszillatoren mit Frequenzen ωj , Dämpfungen γj und Konzentrationen N fj
P
mit j fj = 1 an, und erhält für die komplexe Dielektrizitätskonstante
fj
N e2 X
′
′′
=
ε
(ω)
−
iε
(ω),
ε̃(ω) = 1 +
2
ε0 m j ωj − ω 2 + iωγj
und bezeichnet fj als Oszillatorenstärke. Die Zerlegung in den Real- und Imaginärteil liefert
ωj2 − ω 2
N e2 X
2
2
fj 2
=
ε
=
n
−
κ
ε (ω) = 1 +
r
2
ε0 m j
(ωj − ω 2 )2 + ω 2 γj
′
ωγj
nc
N e2 X
fj 2
=
2nκ
=
α
ε (ω) =
ε0 m j
(ωj − ω 2 )2 + ω 2 γj2
ω
′′
wegen α =
2ω
κ.
c
Daraus ergibt sich eine Zunahme des Brechungsindex mit der Frequenz, also normale Dispersion im optischen Bereich, für alle Frequenzen bis auf Bereiche in einer Umgebung der Resonanzstellen ωj . Unter
der Annahme schwacher Dämpfung findet man aus dem Imaginärteil der Dielektrizitätskonstanten
ε′′ (ω) den Absorptionskoeffizienten α = (ω/nc)ε′′ (ω) mit Absorptionsmaxima an den Stellen ωj . In
einer Umgebung dieser Stellen, die ungefähr der Halbwertsbreite der Absorptionslinien entspricht,
nimmt der Brechungsindex mit der Frequenz ab, sodass hier anomale Dispersion beobachtet wird.
Die Abbildung zeigt den berechneten Brechungsindex
n und den Absorptionskoeffizienten α als Funktion
der Kreisfrequenz ω in der Umgebung dreier Resonanzfrequenzen ωj und Dämpfungskonstanten γj in
beliebigen Einheiten sowie die Oszillatorenstärken fj
ωj
γj
fj
30
50
80
3
10
2
0.01
0.4
0.15
3) Dispersion durch ein Elektronengas
Im Drude-Modell des Elektronengases werden die Elektronen eines Metalles oder Halbleiters im elektrischen Feld E(r, t) = E(r) exp {iωt} beschleunigt, und ihre Geschwindigkeit v klingt beim Abschalten
von E mit der Relaxationszeit τ ab. Dann gilt im Rahmen der klassischen Mechanik
e0 τ
∂v
1
e0
1
= − v − E mit der Lösung v = −
E.
∂t
τ
m
m 1 + iωτ
Hier ist v weder die mikroskopische Geschwindigkeit der Elektronen, noch die Driftgeschwindigkeit,
die bei der elektrischen Leitung auftritt, sondern die Geschwindigkeit der oszillierenden Dipole. Bei
einer Elektronendichte n ergibt sich die elektrische Stromdichte mit der Plasmafrequenz ωp
ωp2 ε0 τ
e20 nτ
1
j = −e0 nv =
E=
E
m 1 + iωτ
1 + iωτ
mit
ωp2
e20 n
=
.
ε0 m
Diese elektrische Stromdichte j sei die Ursache der Polarisation oder Dipoldichte P. Der Verschiebungsvektor eines Elektrons r(t) erzeugt lokal ein Dipolmoment p = −e0 r mit ṗ = −e0 v. Daraus
ergibt sich für die Dipoldichte Ṗ = nṗ = −e0 nv = j mit der Elektronendichte n. Damit schreibt sich
die dielektrische Verschiebung D mit der komplexen Dielektrizitätskonstanten ε̃(ω) in der Form
ωp2 ε0 τ D = ε0 E + P mit Ḋ = ε0 ε̃(ω)Ė = ε0 Ė + j = iωε0 +
E = iωε0 ε̃(ω)E,
1 + iωτ
und es folgt
ωp2 τ
ωp2 τ 2
ωp2 τ
1
ε̃(ω) = 1 − i
=1−
= ε′ (ω) − iε′′ (ω).
−i
2
2
2
2
ω 1 + iωτ
1+ω τ
ω(1 + ω τ )
Bei Metallen gilt ωτ ≫ 1 für ω in der Größenordnung der Plasmafrequenz bei h̄ωp = 10 eV, sodass gilt
ωp2
ε (ω) ≈ 1 − 2
ω
′
und ε′′ (ω) ≪ 1.
Bei Halbleitern ist ωp2 ≪ ω 2 mit ω im optischen Bereich, sodass der Anteil des Elektronengases zur
Dispersion vernachlässigbar ist.
Aus dem Durchflutungsgesetz ∇ × H = Ḋ = ε0 Ė + j und dem Induktionsgesetz ∇ × E = −µ0 Ḣ
folgt
∂
−µ0 ∇ × Ḣ = −µ0
ε0 Ė + j = ∇ × (∇ × E) = ∇∇ · E − ∆E,
∂t
mit ∇ · E = 0, woraus sich wegen Ḋ = ε0 Ė + j und D = ε0 ε̃(ω)E die Telegrafengleichung ergibt
∆E = µ0
∂
∂
(ε0 Ė + j) = µ0 Ḋ = µ0 D̈ = µ0 ε0 ε̃(ω)Ë.
∂t
∂t
• Für ω < ωp gilt ε′ (ω) < 0, und wegen ε′′ (ω) > 0 gibt es nach der Telegrafengleichung nur
abklingende Lösungen für die elektrische Feldstärke E.
• Für ω > ωp verschwindet die Dämpfung praktisch, und die Metalle werden bei hinreichend hohen
Frequenzen durchsichtig.
2.3 Dispersionsrelationen
Es wird vorausgesetzt, dass die elektrische Suszeptibilität
f (ω) = ε̃(ω) − 1 = (n − iκ)2 − 1 = n2 − κ2 − 1 − i2nκ = ε′ (ω) − 1 − iε′′ (ω)
in der unteren komplexen ω-Halbbene einschließlich der reellen Achse holomorph ist. Ferner sei
|ωf (ω)| → 0 für |ω| → ∞. Dies ist bei der komplexen Dielektrizitätskonstanten ε̃(ω) nach Abschn. 2.2
der Fall, die die normale und die anomale Dispersion qualitativ richtig wiedergeben. Dann lässt sich
die Cauchy-Formel für jeden Punkt ω auf der reellen Achse anwenden
Z
Z ∞
1
f (z) dz
f (ω ′ ) dω ′
1
f (ω) =
=− P
,
′−ω
2πi Γ z − ω
πi
ω
−∞
mit einem Integrationsweg Γ, der auf der reellen Achse aber oberhalb der Polstelle bei ω und auf einem
Halbkreis unten herum im mathematisch positiven Sinn verläuft, wobei Letzterer verschwindet. Wegen
Z ∞
ε̃(ω) = 1 +
χ(t′ ) exp {−iωt′ } dt′ folgt ε̃(−ω) = ε̃∗ (ω),
0
und es gilt wegen f (−ω) = ε̃(−ω) − 1 = f ∗ (ω)
Z ∞
1
1
2ω ′ f (ω ′ ) dω ′
Re f (ω) = f (ω) + f (−ω) = −
P
2
2πi
ω ′2 − ω 2
−∞
Z ∞
ω
2f (ω ′ ) dω ′
1
f (ω) − f (−ω) =
Im f (ω) =
P
′2
2
2i
2π
−∞ ω − ω
mit
1
1
2ω ′
+
= ′2
ω′ − ω ω′ + ω
ω − ω2
1
2ω
1
−
=
.
ω′ − ω ω′ + ω
ω ′2 − ω 2
Wegen f (−ω) = f ∗ (ω) erhält man
Z ∞ ′
Z ∞ ′
′
∗
′
′
ω f (ω ) − f (ω )
ω Im f (ω )
1
2
′
Re f (ω) = − P
dω
=
−
dω ′
P
′2
2
′2
2
πi
ω −ω
π
ω −ω
0
0
Z ∞
Z
∞
′
ω
Re
f
(ω
)
f (ω ′ ) + f ∗ (ω ′ )
2ω
′
′
Im f (ω) = P
dω
=
dω
P
π
ω ′2 − ω 2
π
ω ′2 − ω 2
0
0
2
2
und mit Re f (ω) = n − κ − 1 und Im f (ω) = −2nκ ergeben sich die Kramers-Kronig-Relationen
Z ∞
2
2n(ω ′ )κ(ω ′ )ω ′
2
2
′
n (ω) − κ (ω) = 1 + P
dω
π
ω ′2 − ω 2
0
Z ∞ 2 ′
n (ω ) − κ2 (ω ′ ) − 1
2ω
′
dω
,
2n(ω)κ(ω) = −
P
′2 − ω 2
π
ω
0
wonach sich der Realteil der Dielektrizitätskonstanten berechnen lässt, wenn der Imaginärteil für alle
Frequenzen bekannt ist, und umgekehrt. Die zur numerischen Integration praktischere Form der
Kramers-Kronig-Relationen
Z ∞
2n(ω ′ )κ(ω ′ )ω ′ − 2n(ω)κ(ω)ω
2
2
2
′
n (ω) − κ (ω) = 1 +
dω
π 0
ω ′2 − ω 2
Z
2ω ∞ n2 (ω ′ ) − κ2 (ω ′ ) − n2 (ω) + κ2 (ω)
2n(ω)κ(ω) = −
dω ′
′2
2
π 0
ω −ω
enthält keine Polstellen mehr, und wird mit Hilfe der Beziehung bewiesen:
Z ∞
dω ′
= 0.
P
′2 − ω 2
ω
0
2.4 Polaritonen
Die Dispersion im optischen Bereich geschieht nicht nur durch induzierte atomare Dipole wie in Abschn. 2.2, sondern auch bei teilweise ionischen Kristallen durch die Polarisation der gegeneinander
schwingenden benachbarten Gitterteilchen oder Ionen entgegengesetzter Ladung, die bei optischen
Phononen entsteht. Diese schwingenden Dipole eines transversalen optischen Phonons werden durch
das transversale elektrische Feld des eingestrahlten Lichtes bei ähnlicher Frequenz beeinflusst, sodass
eine Photon-Phonon-Wechselwirkung entsteht. Zur Polarisation der atomaren Dipole PaD = (εopt −1)E
nach Abschn. 2.2 mit einer reellen Dielektrizitätskonstanten εopt außerhalb der Resonanzstellen ist also
die Polarisation der Ionenpaare PIP hinzuzufügen
D = ε0 E + P mit P = PaD + PIP = ε0 ε̃(ω) − 1 E.
Zur Herleitung wird das Modell eines Ionenpaares verwendet mit Massen M1 , M2 , der reduzierten
Masse Mr = M1 M2 /(M1 + M2 ) und einer effektiven Ladung eI . Die elastische Schwingung des
Ionenpaares sei durch die Schwingungsfrequenz ωTO des transversal optischen Phonons und einer
Dämpfungskonstanten γ gegeben. Die Abstandsänderung des Ionenpaares u ergibt sich als erzwungene
Schwingung durch das von außen eingestrahlte Licht mit der elektrischen Feldstärke E = E0 exp {iωt}
2
ü + γ u̇ + ωTO
u=
εI
E0 exp {iωt}
Mr
zu
u=
εI
1
2 − ω 2 + iγω E0 exp {iωt} ,
Mr ωTO
denn die Wellenlänge des eingestrahlten Lichtes mit der Kreisfrequenz ω ist groß gegen |u|.
Bei N IP solcher Ionenpaare pro Volumeneinheit ergibt sich die Polarisation zu
P
IP
N IP e2I
1
E.
= N eI u =
Mr ωT2 O − ω 2 + iγω
IP
Damit findet man mit der ionischen Plasmafrequenz ωIP
2
ωIP
ε̃(ω) = εopt + 2
ωTO − ω 2 + iγω
mit ωIP =
s
N IP e2I
.
Mr ε0
Die Zerlegung in Real- und Imaginärteil ε̃(ω) = ε′ (ω) − iε′′ (ω) liefert
′
ε (ω) = εopt +
2
ωIP
2
− ω2
ωTO
(ωT2 O − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
2
und ε′′ (ω) = ωIP
γω
(ωT2 O − ω 2 )2 + γ 2 ω 2 .
Für kleine Frequenzen ω ≪ ωTO ergibt sich die statische Dielektrizitätskonstante εstat = ε′ (0) zu
εstat
2
ωIP
= εopt + 2
ωTO
und man erhält
2
(εstat − εopt )ωTO
.
ε̃(ω) = εopt + 2
ωTO − ω 2 + iγω
Da die longitudinal optischen Moden mit der Schwingungsfrequenz ωLO von der transversalen elektrischen Welle nicht angeregt werden können, gilt ε̃(ωLO ) = 0 und man erhält für γ = 0 die
Lyddane-Sachs-Teller-Beziehung
r
ωLO
εstat
=
.
ωTO
εopt
Durch die Kopplung des eingestrahlten Lichtes mit der schwingenden Polarisation PIP des optischen
Phonons entsteht ein Polariton als ebene Welle. Zur Berechnung der Dispersion des Polaritons vernachlässigen wir die Dämpfung und beschreiben die Polarisation der atomaren Dipole PaD = (εopt −1)E
durch die relative Dielektrizitätskonstante im optischen Bereich εopt . Die dielektrische Verschiebung
ist dann
D = ε0 E + PaD + PIP = ε0 εopt E + PIP .
Zur Kopplung der schwingenden Dipole PIP mit dem elektrischen Feld E des Lichtes setzen wir eine
Kopplungskonstante χ an, und erhalten ein Gleichungssystem aus Polarisationsgleichung, Durchflutungsgesetz und Induktionsgesetz
2
P̈IP + ωTO
PIP = ε0 χE
; ∇ × H = ε0 εopt Ė + ṖIP
; ∇ × E = −µ0 Ḣ.
Mit dem Ansatz transversaler ebener Wellen in z-Richtung erhält man daraus ein gekoppeltes Gleichungssystem
Ex (z, t) = E0 exp i(kz − ωt)
Hy (z, t) = H0 exp i(kz − ωt)
Px (z, t) = P0 exp i(kz − ωt)
2
)P0 − ε0 χE0 = 0
(−ω 2 + ωTO
=⇒
−kH0 + ε0 εopt ωE0 + ωP0 = 0
kE0 − µ0 ωH0 = 0.
Dieses lineare homogene Gleichungssystem für die Amplituden E0 , H0 und P0 hat nur dann eine
nichttriviale Lösung, wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet:
2
ω − ω2
TO
ω
0
0
−k = 0
−µ0 ωH0 −ε0 χ
ε0 εopt ω
k
oder
2
ωTO
−ω
2
ω2
ω2
2
εopt 2 − k + 2 χ = 0.
c
c
Daraus erhält man die Dispersionsgleichung der Polaritonen zu
χ c2 2 2
k 2 c2
2
+
+
ω k = 0.
ω − ω ωTO +
εopt
εopt
εopt TO
4
2
Aus der Polarisationsgleichung
P̈
IP
+
2
ωTO
PIP
= ε0 χE
ergibt sich für die ebenen Wellen
−ω +
2
(εstat − εopt )ωTO
oder mit obigem Wert für ε̃(ω) = εopt +
2 − ω2
ωTO
PIP = ε0
2
2
ωTO
PIP = ε0 χE
χ
aD
E
=
P
−
P
= ε0 (ε̃(ω) − 1)E − (εopt − 1)E = ε0 (ε̃(ω) − εopt )E
2
ωTO − ω 2
2
(εstat − εopt )ωTO
E.
= ε0
2 − ω2
ωTO
2
2
εstat zu
εopt = ωTO
Die Kopplungskonstante χ ergibt sich mit der Lyddane-Sachs-Teller-Beziehung ωLO
2
2
2
χ = (εstat − εopt )ωTO
= εopt (ωLO
− ωTO
).
Setzt man die Kopplungskonstante in die Dispersionsbeziehung der Polaritonen ein, so erhält man
4
ω −ω
2
2
ωLO
c2 2 c2 2 2
+
k +
ω k = 0,
εopt
εopt TO
mit den beiden Wurzeln
2
ω =
1
2
2
ωLO
2
1
c
k2 ±
+
εopt
2
s
2
2
c2 2 2
c
2
2
k
ω k .
−4
ωLO +
εopt
εopt TO
√
In der Nähe des Γ-Punktes mit k ≪ ωLO εopt /c ergeben sich die beiden Wurzeln
ω1 = ωLO
c
und ω2 = √
k.
εstat
2
2
) findet man dagegen
− ωTO
Bei schwacher Kopplung k 2 c2 ≫ χ = εopt (ωLO
ω1 = √
c
k
εopt
und ω2 = ωTO .
Der Verlauf der beiden Frequenzkurven ω1 (k) und ω2 (k) ist in der folgenden Abbildung angegeben.
Dispersion der Polaritonen
Wechselwirkung zwischen Licht und transversal optischen Phononen.
ω
ck
Gezeichnet ist als blaue Linie die Dispersion der Polaritonen ω(k) in einer Umgebung
des Γ-Punktes, sodass die Phononendispersionskurven ωLO (k) und ωTO (k) hier als waagerechte
Geraden erscheinen.
ck
√
εopt
Die schwarze gestrichelte Linie gibt die Dispersion von Licht mit der Geschwindigkeit c im
Vakuum an.
Die lange blaue gestrichelte Linie zeigt die
Dispersion von Licht im Medium mit der Ge√
schwindigkeit v = c/ εopt .
Die kurze blaue gestrichelte Linie ist die
Tangente an die Dispersionskurve des Polaritons.
ωLO
ωTO
ck
√
εstat
k
0
0
3 Nichtlineare Optik
Experimentell kann man statische elektrische Felder E bis zu 106 V/m an Nichtleiter anlegen, und in
diesem Bereich hängt die Polarisation P linear von E ab. Innerhalb der Atome herrschen Feldstärken
|E| > 1011 V/m. Gitterschwingungen in Festkörpern führen zu Energien bis zu 1 eV bei atomaren
Verschiebungen von 1 Å = 10−10 m, wobei elektrische Felder von 1010 V/m auftreten. Hierbei hängt die
Polarisation nichtlinear von E ab. In diesen Bereich gelangt man auch mit Laserlicht hoher Intensität,
sodass nichtlineare optische Effekte beobachtet werden.
3.1 Nichtlineare elektrische Suszeptibilität
Unter den Voraussetzungen ρ = 0, j = 0, M = 0, B = µ0 H ergeben die elektromagnetischen
Feldgleichungen ∇ × E = −Ḃ und ∇ × B = µ0 Ḋ
∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E = −∇ × Ḃ = −µ0 D̈,
oder mit der Polarisation P
∆E − ∇∇ · E = µ0 D̈
und ∇ · D = 0 mit D = ε0 E + P.
Ohne räumliche Dispersion wird für nichtferroelektrische Stoffe für die Polarisation P = (P1 , P2 , P3 )
die Reihenentwicklung nach der elektrischen Feldstärke E = (E1 , E2 , E3 ) ohne Fernwirkung und mit
einem Gedächtniseffekt im linearen Term der elektrischen Suszeptibilität χ angesetzt
Pν (r, t) = ε0
Z
∞
0
3
X
µ=1
χνµ (t′ )Eµ (r, t − t′ ) dt′ + ε0
+ ε0
1,2,3
X
χ(2)
νµρ Eµ (r, t)Eρ (r, t)
µ,ρ
1,2,3
X
χ(3)
νµρσ Eµ (r, t)Eρ (r, t)Eσ (r, t) + . . . .
µ,ρ,σ
Wir trennen die Polarisation P in den linearen und nichtlinearen Teil mit ε(t′ ) = 1 δ(t − t′ ) + χ(t′ )
D = ε0
Z
∞
0
ε(t′ ) · E(r, t − t′ ) dt′ + PNL (r, t) mit PNL (r, t) = ε0 χ(2) : EE + ε0 χ(3) :̇EEE,
und die zweite Differenzialgleichung erhält die Form
∇ · D = 0 bzw.
Z
∞
0
∇ · ε(t′ ) · E(r, t − t′ ) dt′ = −
1
∇ · PNL (r, t).
ε0
1) Bei isotropen Medien ist ε(t′ ) = ε(t′ )1 . Dann transformieren E, D und P wie der Ortsvektor bei
einer Inversion r → −r, sodass χ(2) = 0 folgt, und PNL von dritter Ordnung in E, und somit sehr
klein ist.
2) Bei nichtisotropen Stoffen mit ε(t′ )·E(r, t−t′) = ε·E(r, t−t′ )δ(t−t′ ) lauten die Grundgleichungen
der nichtlinearen Optik mit dem Tensor der Dielektrizitätskonstanten ε wegen D = ε0 ε · E + PNL
∆E − ∇∇ · E −
1
ε · Ë = µ0 P̈NL
2
c
und ∇ · ε · E = −
1
∇ · PNL
ε0
mit µ0 ε0 =
1
.
c2
Berücksichtigt man nur Terme bis zweiter Ordnung in E, so erhält man für nichtisotrope Stoffe
1
1 (2) ∂ 2
∆E − ∇∇ · E − 2 ε · Ë = 2 χ : 2 EE
c
c
∂t
und ∇ · ε · E = −∇ · χ(2) : EE.
3.2 Erzeugung und Vernichtung von Photonen
Wir untersuchen Drei-Photonen-Prozesse, wie sie durch die Quantenoptik begründet werden
h̄ω1 , h̄k1
h̄ω3 , h̄k3
h̄ω2 , h̄k2
Energiesatz
Impulssatz
h̄ω1 + h̄ω2 = h̄ω3
h̄k1 + h̄k2 = h̄k3
Energiesatz
Impulssatz
h̄ω1 = h̄ω2 + h̄ω3
h̄k1 = h̄k2 + h̄k3
h̄ω2 , h̄k2
h̄ω1 , h̄k1
h̄ω3 , h̄k3
Dazu werden reelle Lösungen für die elektrische Feldstärke E mit drei verschiedenen Frequenzen gesucht
E1 (r, t) = E1 (r, ω1 ) exp {−iω1 t}
1
∗
∗
∗
mit
E = E1 + E1 + E2 + E2 + E3 + E3
2
E2 (r, t) = E2 (r, ω2 ) exp {−iω2 t}
E3 (r, t) = E3 (r, ω3 ) exp {−iω3 t} .
Setzt man E in die Differenzialgleichung ein, erhält man
1
∂2
∆ − ∇∇ · − 2 ε · 2
c
∂t
(E1 +
E∗1
+ E2 +
E∗2
+ E3 +
E∗3 )
1 (2) ∂ 2
= 2 χ : 2 (E1 + . . . E∗3 )(E1 + . . . E∗3 ).
2c
∂t
Weil die elektrischen Felder für verschiedene Frequenzen linear unabhängig sind, gilt diese Gleichung
für jede Frequenz einzeln und es folgt für den Prozess der Erzeugung eines Photons mit ω3 = ω1 + ω2 :
ω12 (2)
ω12
∆E1 − ∇∇ · E1 + 2 ε · E1 = − 2 χ : E3 E∗2
c
c
ω22 (2)
ω22
∆E2 − ∇∇ · E2 + 2 ε · E2 = − 2 χ : E3 E∗1
c
c
ω32
ω32 (2)
∆E3 − ∇∇ · E3 + 2 ε · E3 = − 2 χ : E1 E2
c
c
und ∇ · ε · E1 = −∇ · χ(2) : E3 E∗2
und ∇ · ε · E2 = −∇ · χ(2) : E3 E∗1
und ∇ · ε · E3 = −∇ · χ(2) : E1 E2 .
In den Gleichungen für E1 (r, t) bzw. E2 (r, t), E3 (r, t) läßt sich jeweils der Faktor exp {−iω1 t} bzw.
exp {−iω2 t}, exp {−iω3 t} kürzen, sodaß die Gleichungen auch für E1 (r, ω1 ) bzw. E2 (r, ω2 ), E3 (r, ω3 )
gelten.
Exkurs über lineare Abhängigkeit
Def.: Die N Funktionen f1 (x), f2 (x), . . . fN (x) sind linear unabhängig,
N
X
an fn (x) ≡ 0 folgt a1 = 0, a2 = 0, . . . an = 0, sonst linear abhängig.
wenn aus
n=1
Dies lässt sich mit der Wronski-Determinante entscheiden, denn es gilt
f2
···
fN f1
′
f2′
···
fN
= 0, falls f1 . . . fN linear abhängig sind,
f1′
W = ..
..
..
..
6= 0, falls f1 , . . . fN linear unabhängig sind.
.
.
.
.
(N −1)
(N −1) (N −1)
· · · fN
f2
f1
Bei der Anwendung auf f1 (t) = exp {iω1 t} und f3 (t) = exp {iω3 t} ergibt die Wronski-Determinante
f1
W = iω1 f1
f3 = i(ω3 − ω1 )f1 f3 6= 0 für
iω3 f3 und f1 und f3 sind für ω1 6= ω3 linear unabhängig.
ω1 6= ω3 ,
3.3 Bestimmung der zweiten Harmonischen
Bei Einstrahlung von zwei ebenen Transversalwellen E1 und E2 in z-Richtung ek = (0, 0, 1), die auch
die optische Achse sein soll, nimmt man für die zweite Harmonische |E3 | ≪ |E1 |, |E2 | an
E1 (z, t) = n1 E10 exp i(k1 z − ω1 t)
mit n1 · ek = 0
E2 (z, t) = n2 E20 exp i(k2 z − ω2 t)
mit n2 · ek = 0

ε⊥
und ε =  0
0
0
ε⊥
0

0
0 .
εk
Die elektrische Feldstärke der zweiten Harmonischen wird in einen longitudinalen Anteil in z-Richtung
und einen transversalen Anteil senkrecht dazu aufgespalten mit |n1 | = |n2 | = |ek | = |e⊥ | = 1 und
e⊥ = (e1 , e2 , 0), und der Folge e⊥ · ek = 0 sowie e⊥ · ε · ek = 0
E3 (z, ω3 ) = Ek (z, ω3 )ek + E⊥ (z, ω3 )e⊥
mit ε · E3 = εk Ek (z, ω3 )ek + ε⊥ E⊥ (z, ω3 )e⊥
wegen ε · ek = εk ek und ε · e⊥ = ε⊥ e⊥ = e⊥ · ε. Zur Lösung der Differenzialgleichung für E3 (z, ω3 )
ω32 (2)
ω32
∆E3 − ∇∇ · E3 + 2 ε · E3 = − 2 χ : E1 E2
c
c
und ∇ · ε · E3 = −∇ · χ(2) : E1 E2
multiplizieren wir für die Transversalkomponente mit e⊥ und erhalten zunächst
∂2
e⊥ · ∆E3 = 2 E⊥ (z, ω3 ) und e⊥ · ∇∇ · E3 = 0 sowie e⊥ · ε · E3 = ε⊥ E⊥ (z, ω3 ).
∂z
ω32 ε⊥
(2)
(2)
: n1 n2
und
χ
Daraus findet man mit den Abkürzungen k =
⊥ = e⊥ · χ
2
c
2
∂2
ω32 (2)
2
+ k E⊥ (z, ω3 ) = − 2 χ⊥ E10 E20 exp i(k1 + k2 )z .
∂z 2
c
Entsprechend ergibt sich aus der Differenzialgleichung für E3
ω32
ω32 (2)
∆E3 − ∇∇ · E3 + 2 ε · E3 = − 2 χ : E1 E2
c
c
und ∇ · ε · E3 = −∇ · χ(2) : E1 E2
nach Multiplikation mit ek der longitudinale Anteil wegen
∂2
ek · ∆E3 = 2 Ek (z, ω3 )
∂z
∂2
und ek · ∇∇ · E3 = 2 Ek (z, ω3 ) und ek · ε · E3 = εk Ek
∂z
zu
1 (2)
(2)
mit χk = ek · χ(2) : n1 n2 .
Ek (z, ω3 ) = − χk E10 E20 exp i(k1 + k2 )z
εk
Die Poisson-Gleichung liefert das gleiche Ergebnis für die longitudinale Komponente
εk
∂
∂ (2)
Ek (z, ω3 ) = − χk E10 E20 exp i(k1 + k2 )z .
∂z
∂z
Es zeigt sich, dass die Transversalkomponente E⊥ (z, ω3 ) mit der Eindringtiefe z zunimmt, und damit
die größere Strahlungsintensität liefert.
Zur Lösung der Differenzialgleichung für E⊥ (z, ω3 ) machen wir einen Ansatz einer ebenen Welle mit
schwach veränderlicher Amplitude F (z, ω3 ) im Bereich einer Wellenlänge λ = 2π/k
E⊥ (z, ω3 ) = F (z, ω3 ) exp {ikz}
mit
F (z, ω3 ) ∂F |∆F |
k
≈
≪
= F (z, ω3 ) .
∂z |∆z|
λ
2π
F (z, ω3 )
z
zo
exp {ikz} = exp i2π
λ
n
ω32 (2)
∂2
2
E
(z,
ω
)
=
−
E
E
exp
i(k
+
k
)z
+
k
χ
Einsetzen in
⊥
3
10 20
1
2
2 ⊥
∂z 2
c
2
∂2
∂ F
∂F
2
liefert wegen
E
=
−
k
F + 2ik
exp {ikz}
⊥
∂z 2
∂z 2
∂z
i
∂2
∂F
∂ h ∂F
2
+
2ikF
≈
2ik
exp {ikz}
+
k
E
=
exp
{ikz}
⊥
∂z 2
∂z ∂z
∂z
oder
∂F (z, ω3 )
ω32 (2)
2ik
= − 2 χ⊥ E10 E20 exp {iKz}
∂z
c
mit K = k1 + k2 − k.
Wir setzen z = 0 an der Oberfläche des Kristalles, an der die ebenen Wellen E1 und E2 in den Kristall
eintreten, sodass dort E3 (0, ω3 ) = 0 ist. Dann ergibt sich aus der Anfangsbedingung F (0, ω3 ) = 0 die
Lösung der Differenzialgleichung
z
(2)
ω32 χ⊥ E10 E20 exp {iKz} − 1
exp {iKz} F (z, ω3 ) =
=
K
c2 2k
K
0
Kz 2 (2)
ω3 χ⊥ E10 E20 sin 2
Kz
=
2i
exp i
mit K = k1 + k2 − k.
c2 2k
K
2
(2)
ω32 χ⊥ E10 E20
c2 2k
Damit ergibt sich die Intensität der Strahlung der Transversalkomponente der elektrischen Feldstärke
der erzeugten zweiten Harmonischen E⊥ (z, ω3 ) mit der Frequenz ω3 senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
c2
2
bzw. der z-Achse aufgrund der zeitlichen und räumlichen Mittelung wegen ε = n ε0 = 2 ε0 und
v
vk = ω3
"
Kz #2
2 2 2
2
c
1
ω3
(2)
2 sin
2
I⊥ = vε |E⊥ |2 = v 2 ε0
,
χ
E
E
z
10
20
⊥
Kz
v
2 2kc2
2
d.h. die Intensität der erzeugten Strahlung mit der Kreisfrequenz ω3 = ω1 + ω2
2 sin Kz 2
ε0 ω33 (2)
2
I⊥ = 2
χ⊥ E10 E20 z 2
Kz
8c k
2
nimmt für K = 0 wegen lim
x→0
sin x 2
x
= 1 mit der durchstrahlten Strecke z im Kristall zu.
Die Intensität der zweiten Harmonischen oszilliert mit der Eindringtiefe z in den Kristall, besitzt ein
Maximum bei K = k1 + k2 − k = 0 oder k = k1 + k2 und hat Nullstellen bezüglich K, was den
Impulssatz der Photonen zum Ausdruck bringt.
Ist d die Dicke des durchstrahlten Kristalles und ϑ der Einfallswinkel bei schrägem Einfall zur
optischen oder z-Achse, so ist die durchstrahlte Strecke im Kristall z = d/ cos ϑ und die Intensität I⊥
hängt vom Einfallswinkel ab
I⊥ (ϑ) =
ε0 ω33
8c2 k
2 4
Kd
(2)
2
χ⊥ E10 E20
.
sin
K2
2 cos ϑ
sin x 2
x
1
ϑ
opt. Achse
z=
d
d
cos ϑ
−3π −2π
−π
0
π
2π
x
4 Optische Fasern
Moderne Hochgeschwindigkeitsleitungen der Telekommunikation arbeiten mit Trägerfrequenzen im optischen Bereich. Dazu betrachten wir unterschiedliche Glasfasertypen.
4.1 Stufenprofilfasern
Die Faser besteht aus einem inneren Kernbereich mit einem Brechungsindex n1 = 1.46, wobei
der Quarz SiO2 mit GeO2 oder P2 O5 (Phosphorpentoxid) dotiert ist, und einem äußeren Mantelbereich mit niedrigerem Brechungsindex n2 = 1.45, was durch eine Dotierung mit F erreicht wird. Für
die Totalreflexion an der Grenzfläche muss der Öffnungswinkel γ klein sein γ < 90◦ − ϑT mit dem
Grenzwinkel der Totalreflexion ϑT , der sich aus
sin ϑT =
1.45
n2
=
n1
1.46
zu 90◦ − ϑT = 6.7◦
ergibt. Für die verschiedenen Neigungswinkel eines eintretenden Strahles ergeben sich jedoch unterschiedliche Laufzeiten über eine feste Strecke, was auch als Modenlaufzeitdispersion bezeichnet wird.
n1
n2
Die Durchmesser 2a des inneren Teils der Faser reichen von 3 µm bis 50 µm bei einem Außenradius
von 80 µm, und die Wellenlängen des Lichtes an den Minima des Absorptionskoeffizienten betragen
λ = 1.3 µm oder λ = 1.55 µm.
Ist λ nicht mehr klein gegen a, müssen die optischen Randbedingungen der Lösungen der Wellengleichung berücksichtigt werden. Löst man die Wellengleichung für die elektrische Feldstärke E(r, t)
mit einem orts- und frequenzabhängigen Brechungsindex n(r, ω)
n2 (r, ω) ∂ 2
E(r, t) = 0
∆−
c2
∂t2
bzw. in Zylinderkoordinaten


2
x = r cos ϕ
∂
n2 (r, ω) ∂ 2
1 ∂2
1 ∂
∂2
+ 2
+
+ 2 E−
E = 0 mit r =  y = r sin ϕ 
2
2
2
2
∂r
r ∂r r ∂ϕ
∂z
c
∂t
z
mit dem Ansatz ebener Wellen in z- oder Faserrichtung und der Wellenzahl k = 2π/λ
< ∞ für r = 0;
E(r, t) = Rm (r) exp {imϕ} exp {ikz} exp {−iωt} mit Rm (r) =
0
für r = ∞,
mit der Randbedingung, so erhält man eine Eigenwertgleichung für die Radialfunktionen Rm (r) mit
den von m abhängigen Eigenwerten k 2 (siehe Besselsche Differenzialgleichung und Zylinderfunktionen
bzw. Bessel-Funktionen)
2
∂
m2
1 ∂
n2 (r, ω) 2
− 2 +
+
ω Rm (r) = k 2 Rm (r).
2
2
∂r
r ∂r
r
c
Die diskreten Eigenwerte kνm mit ν = 0, 1, 2, . . . hängen von n2 (r, ω) ab, hier also vom Radius a des
Innenbereiches. Ist k kleiner als der tiefste Eigenwert k < k00 gibt es keine solchen ungedämpften
Wellen.
• Ist bei kleinem Durchmesser des Innenbereiches bei a = 2.5 µm und λ = 1.5 µm nur die tiefste
Mode mit k00 möglich, spricht man von Einmodenfasern.
• Bei größeren Durchmessern a = 25µm sind dagegen mehrere Moden kνm möglich, und man spricht
von Vielmodenfasern.
4.2 Gradientenfasern
Bei Gradientenfasern nimmt der Brechungsindex im Kernbereich quadratisch mit dem Radius ab.
n(r)
In Zylinderkoordinaten mit z in Faserrichtung


n0
x = r cos ϕ
r :  y = r sin ϕ 
z
hat der Brechungsindex n(r) für r ≤ a die Gestalt
n(a)
2
r
n0 − n(a)
mit b =
n(r) = n0 1 − b 2
.
a
n0
r
a
R
In der Praxis hat man z.B. mit einem Kernradius von a = 25 µm die Werte n0 = 1.475, n(a) = 1.457
und b = 0.0122. Hängt der Brechungsindex auf diese Weise vom Radius ab, haben die gekrümmten
Strahlen weiter außen eine höhere Geschwindigkeit und die Laufzeit hängt nicht mehr davon ab, wie
groß der Eintrittswinkel des Strahles zur Faserachse ist.
Die bei ortsabhängigem Brechungsindex n(r) gekrümmten Strahlen lassen sich in Abhängigkeit vom
Eintrittswinkel γ mit Hilfe der Strahlendifferenzialgleichung berechnen
d
ds
dr
n(r)
= ∇n(r),
ds
wobei r(s) die Strahlenkurve und s die Bogenlänge bezeichnen.
Zur Berechnung betrachten
wir achsennahe Strahlen mit kleinem Eintrittswinkel und ϕ = 0 in
p
dx der x-z-Ebene, sodass = | tan γ| ≪ 1 und ds =
dx2 + dz 2 ≈ dz gesetzt werden kann. Der
dz
Brechungsindex n(r) = n(r) ist unabhängig von z, und aus der Strahlendifferenzialgleichung folgt
dn ∂r
r x
x
d2 x
∂n
d2 r
=
= −2n0 b 2 = −2n0 b 2 .
n(r) 2 = ∇n bzw. n(r) 2 =
dz
dz
∂x
dr ∂x
a r
a
Setzt man auf der linken Seite n(r) ≈ n0 ein, erhält man die Differenzialgleichung
2
d x 2b
+ 2 x = 0 mit der Lösung x(z) = x0 sin
dz 2
a
√
2b
z
a
z
= x0 sin 2π ,
p
2πa
wobei p = √ die Periode der Sinusfunktion bezeichnet. Sie beträgt p = 1 mm bei a = 25 µm und
2b
2π
dx(z)
b = 0.0122. Verschiedene Eintrittswinkel γ ergeben dann wegen tan γ =
= x0
die
dz
p
z=0
gleiche Periode für unterschiedliche Amplituden x0 .
Zwei gekrümmte Bahnkurven mit verschiedenen Entrittswinkeln γ haben dann genähert die Form
a
Da alle Kurven mögliche Lichtstrahlen sind, benötigen sie nach dem Prinzip von Fermat die gleiche
Laufzeit, sodass in dieser Näherung keine Laufzeitdispersion entsteht. Dies liegt daran, dass in den
Außenbereichen die Lichtgeschwindigkeit größer ist als in den Nähe der Achse.
1.457
n(a)
= 0.0122
=1−
Der maximale Eintrittswinkel γmax berechnet sich aus x0 = a und b = 1 −
n0
1.475
tan γmax
a √
= 2π = 2b zu γmax = 8.9◦ .
p
Zum Vergleich beträgt der Öffnungswinkel ϑ eines Strahles vom Durchmesser d mit der Wellenlänge λ
λ 3.8
1
.
sin 2 ϑ =
d 2π
Für λ = 1 µm und dem Durchmesser der Glasfaser d = 2a = 50 µm ergibt das ϑ = 1.4◦ .
Zur Datenübertragung kann man die Phasenmodulation bzw. Frequenzmodulation verwenden, die mit
Lithiumniobat Kristallen Li3 NbO4 erreicht wird, bei denen eine Spannungsänderung von einigen Volt
zur Änderung der Dispersion führt.
4.3 Solitonen
Stufenprofilfasern mit einem konstanten isotropen Brechungsindex im Innern können als Einmodenfasern für einen engen Frequenzbereich ausgelegt werden, indem der innere Durchmesser z.B. a = 2.5µm
und die Wellenlänge des Lichtstrahls z.B. λ = 1.5 µm betragen, sodass keine anderen Moden hindurchtreten können. In solchen Fasern gibt es neben der besprochenen Wellenausbreitung mit einer
Pulsverbreiterung durch Laufzeitdispersion bei hohen Lichtintensitäten noch eine andere Ausbreitungsform durch Solitonen, wobei nichtlineare optische Effekte die dispersive Pulsverbreiterung kompensieren, was größere Übertragungsstrecken ermöglicht. Die Entstehung der Solitonen hängt mit dem
elektro-optischen Kerr-Effekt zusammen, wonach elektrische Felder auch in isotropen dispersiven Medien eine Doppelbrechung verursachen können, was auf nichtlinearen optischen Effekten beruht.
Ein Soliton ist ein stabiler, nichtlinearer optischer Puls, der nahezu unverändert die Faser durchwandert, falls die Eingangsintensität des Lichtes über einer gewissen Mindestintensität liegt.
Zur Herleitung in isotropen Medien ohne Ladungen ρ = 0 und Ströme j = 0 und ohne Magnetisierung M = 0 und B = µ0 H, geht man von der nichtlinearen dielektrischen Verschiebung
Z ∞
D = ε0
ε1 (t′ )E(r, t − t′ ) dt′ + PNL (r, t) mit PNL (r, t) = ε0 χ(3) :̇EEE = ε0 ε2 |E|2 E
0
aus, vergl. Abschn. 3.1. Mit ∇ · PNL ≈ 0 folgt aus ∇ · D = 0 auch ∇ · E = 0 und damit ergibt sich aus
den Feldgleichungen ∇ × E = −Ḃ und ∇ × H = Ḋ
Z ∞
ε2 ∂ 2
1 ∂2
′
′
′
ε1 (t )E(r, t − t ) dt − 2 2 |E|2 E.
∇ × (∇ × E) = −∆E = −µ0 ∇ × Ḣ = −µ0 D̈ = − 2 2
c ∂t 0
c ∂t
Die nichtlineare Wellengleichung ist die Ausgangsgleichung der nichtlinearen Optik in isotropen Medien
1 ∂2
∆E − 2 2
c ∂t
Z
0
∞
ε2 ∂ 2
ε1 (t )E(r, t − t ) dt = 2 2 |E|2 E.
c ∂t
′
′
′
Wir verwenden einen Lösungsansatz in Zylinderkoordinaten r : ρ, ϕ, z mit |E0 | = 1 unabhängig von ϕ
E(ρ, z, t) = E0 R(ρ)A(z, t) exp i(kz − ωt)


x = ρ cos ϕ
mit r =  y = ρ sin ϕ 
z
mit nur schwacher zeitlicher und örtlicher Abhängigkeit der Solitonenamplitude A(z, t) innerhalb einer
Schwingungsdauer T = 2π/ω bzw. Wellenlänge λ = 2π/k
2 2 2π
∂ A ≪ 2π ∂A ≪ |A| und
∂t2 ω
ω ∂t A(z, t)
2 2 2π
∂ A ≪ 2π ∂A ≪ |A|.
∂z 2 k
k ∂z z
exp i(kz − ωt)
Unter der Voraussetzung eines nur geringen Gedächtniseffektes der Dispersion wird die Solitonenamplitude in eine Potenzreihe nach der Vergangenheit t′ entwickelt, wobei t′ = 0 keinen Gedächtniseffekt
bedeuten würde
1
A(z, t − t′ ) = A(z, t) − t′ Ȧ(z, t) + t′2 Ä(z, t).
2
Wir verwenden die Abkürzungen
∂2A
; A =
,
∂z 2
und erhalten für den Solitonenansatz E(ρ, z, t) = E0 R(ρ)A(z, t) exp i(kz − ωt) wegen
∂A
Ȧ =
∂t
∂2A
; Ä =
∂t2
∂A
; A =
∂z
′
′′
1 ∂2
∂2
1 ∂
∂2
+
∆=
+
+ 2
∂ρ2
ρ ∂ρ ρ2 ∂ϕ2
∂z
für die Ortsableitung
∂2
1 ∂
′′
2
′
mit ∆ρ = 2 +
∆E = E0 exp i(kz − ωt) A∆ρ R + RA − k RA + i2kRA
.
∂ρ
ρ ∂ρ
Für den nichtlinearen Term in der Wellengleichung findet man unter Vernachlässigung von
2
ε2 ∂ 2
ε2 2
2
2
|E| E = 2 E0 R(ρ) R(ρ) exp i(kz − ωt) − ω |A| A .
c2 ∂t2
c
∂
|A|2 A
∂t
Zur Berechnung des linearen Integralterms benützen wir die Abkürzungen
Z ∞
∂ε(ω)
=i
t′ ε1 (t′ ) exp {iωt′ } dt′
ε′ (ω) =
Z ∞
∂ω
0
ε(ω) =
ε1 (t′ ) exp {iωt′ } dt′ ;
Z ∞
2
∂
ε(ω)
0
′2
′
′
′
ε′′ (ω) =
=
−
t
ε
(t
)
exp
{iωt
}
dt
1
∂ω 2
0
′
′
und erhalten mit A(z, t − t ) = A − t Ȧ +
∂2
∂t2
Z
∞
0
1 ′2
2 t Ä
∂3A
∂4A
bei Vernachlässigung von Termen mit
und
∂t3
∂t4
ε1 (t′ )E(r, t − t′ ) dt′ =
i
h
1 ′′
∂2
′
= 2 E0 R(ρ) exp i(kz − ωt) ε(ω)A + iε (ω)Ȧ − ε (ω)Ä)
∂t
2
h
i
ω 2 ′′
2
2 ′
′
= E0 R(ρ) exp i(kz − ωt) − ω εA − iω ε Ȧ +
ε Ä − i2ωεȦ + 2ωε Ä + εÄ .
2
Zusammen erhält man aus der nichtlinearen Wellengleichung mit dem Solitonenansatz
ω2
ω
1
1 2 ′′ ′
′
A∆ρ R + RA − k RA + i2kRA + 2 εRA + i 2 (2ε + ωε )RȦ − 2 ε + 2ωε + ω ε RÄ
c
c
c
2
ε2
= − 2 ω 2 |R|2 R|A|2 A,
c
′′
2
′
wobei sich die in A linearen Terme in der linearen Näherung zu Null addieren, vergl. Abschn. 4.1
ω2 A ∆ρ − k + 2 ε R = 0.
c
2
Also erhält man aus dem Ansatz die von der linearen Lösung unabhängige Solitonenlösung der nichtlinearen Optik der restlichen Terme
ε2
1
1 2 ′′ ω
′
′
RA + i2kRA + i 2 (2ε + ωε )RȦ − 2 ε + 2ωε + ω ε RÄ = − 2 ω 2 |R|2 R|A|2 A.
c
c
2
c
′′
′
Wir eliminieren die Radialfunktion R(ρ) durch Mittelung über den Faserquerschnitt und verwenden
die Abkürzungen
Z 2π
Z ρmax
Z ρmax
4
|R(ρ)| ρ
2
2
2 2
α= |R(ρ)|
ρ dρ
dϕ
mit
|R(ρ)|
|R(ρ)|
d
ρ
=
=
ρ
|R(ρ)|2 ρ
0
0
0
und erhalten
A′′ + i2kA′ + i
ε2 2
1
1 2 ′′
ω
′
′
2
ω
ε
)
Ä
=
−
(2ε
+
ωε
)
Ȧ
−
(ε
+
2ωε
+
ω
α|A|
A.
c2
c2
2
c2
Im Falle der tiefsten Mode der linearen Lösung, d.h. der Besselschen Differenzialgleichung, erhält man
die Dispersionsbeziehung mit der Gruppengeschwindigkeit v
1
dk
ω2
=
k = 2 ε(ω) und k ′ =
c
dω
v
2
c2
mit ε = 2
v
und ω = vk,
und man findet
ω
dk 2
= 2kk ′ = 2 (2ε + ωε′ ) und
dω
c
1
d
1
(kk ′ ) = k ′2 + kk ′′ = 2 (ε + 2ωε′ + ω 2 ε′′ ).
dω
c
2
Die Differenzialgleichung lautet dann bei schwach veränderlicher Solitonenamplitude A(z, t)
1 ε2 ω 2
1 ′′
1 1 ′′
′
α|A|2 A ≈ 0,
A − 2 Ä = k Ä − i A + Ȧ − 2
2k
v
2
v
c 2k
denn es ist aufgrund der eingeführten Näherungsannahmen
Ȧ 1 ∂ Ȧ 1 ∂ Ȧ 1 ∂A′ ′
≪ |A | und
=
≪ .
2k ∂z
2vk ∂t v
2ω ∂t v
v
Bei Einführung dimensionsloser Variabler A(z, t) = |A0 |B(ζ, τ ), sowie
τ=
t
z
−
t0
vt0
und ζ =
z
z0
mit t20 = −k ′′ z0
und
ε2
1
= kα|A0 |2
z0
2ε
erhält man für die rechte Seite eine Differenzialgleichung ähnlich der Schrödinger-Gleichung
∂B
1 ∂2B
i
+
+ |B|2 B = 0.
2
∂ζ
2 ∂τ
Die Lösung lautet mit einer dimensionslosen Amplitude q0 und sech x =
2
1
=
cosh x
exp {x} + exp {−x}
1
B(ζ, τ ) = q0 sech q0 (τ − ϑ) exp i q02 ζ + δ
,
2
mit den dimensionslosen freien Parametern ϑ und δ.
Also erhält man die Solitonenlösung
E(r, t) = E0 R(ρ)|A0 |q0 sech
2
q0 q0
z
t − − t0 ϑ
z+δ
exp i
exp i(kz − ωt) .
t0
v
2z0
z
q0
= φ einen festen Wert und
t−
Die Solitonenlösung hat an den Stellen gleicher Phase q0 τ =
t0
v
n q2
o
0
ist im Ortsraum periodisch cos
z + δ , aber ungedämpft, und q0 bestimmt die Amplitude der
2z0
Solitonenlösung. Die Halbwertsbreite der Pulskurve sech x beträgt 2.63 und bestimmt die Pulsdauer
t0
tPD = 2.63 an einem festen Ort. Die Pulsdauer ist umso kleiner, je größer die Amplitude q0 ist, was
q0
verursacht.
die Selbstphasenmodulation der Solitonen bei hohennIntensitäten
o
q0
t
sech
t0
q0
t
t0
Das Soliton bewegt sich also ungedämpft mit der Gruppengeschwindigkeit v durch das nichtlineare
isotrope Medium, ist im Ortsraum periodisch, und hat an einem festen Ort den zeitlichen Verlauf
q0 t exp {−iωt}, und entsteht erst bei einer Mindestintensität der in die Faser
eines Pulses sech
t0
eintretenden Strahlung. Die Wellenlänge im Ortsraum wird durch q02 /2z0 und die Phase durch δ
bestimmt.
2π
= 1.5 µm, z0 = 1 km, t0 = 3 ps und
Die Messung der Solitonen in Quarzglas SiO2 ergab λ =
k
|A0 |q0 = 2 · 106 Vm−1 .
5 Quantenfeldtheorie
5.1 Quantisierung von Feldern
Zum Verständnis vieler optischer Eigenschaften gebundener Atome wird es nötig, auch die optischen Strahlungsfelder zu quantisieren. Die Vorgehensweise ist dabei die gleiche wie bei der Quantisierung der Punktmechanik, indem neben der Lagrange-Funktion eine Hamilton-Funktion gebildet
wird, und zu den kanonisch konjugierten Koordinaten selbstadjungierte Operatoren eingeführt werden, die bestimmten Vertauschungsrelationen gehorchen. Dieser Weg sei deshalb hier kurz skizziert.
Hat man in der klassischen Mechanik ein System von Massenpunkten, welches durch generalisierte
Lagekoordinaten qk und Geschwindigkeitskoordinaten q̇k gegeben ist, so ergibt sich die Bewegungsgleichung nach dem Variationsprinzip aus der Variation des Wirkungsintegrals mit der Lagrange-Funktion
L(qk , q̇k , t) = T (qk , q̇k , t) − V (qk , t) aus kinetischer Energie T und potenzieller Energie V
δ
Z
t2
L(qk , q̇k , t′ ) dt′ = 0,
t1
wobei die qk (t) mit den Nebenbedingungen δqk (t1 ) = 0 = δqk (t2 ) zu variieren sind. Die Variationsableitung oder Funktionalableitung dieses Funktionals ergibt dann die Euler-Lagrange-Gleichungen:
δ
δqk (t)
Z
t2
L(qk , q̇k , t′ ) dt′ = 0
t1
=⇒
∂L
d ∂L
−
= 0.
∂qk
dt ∂ q̇k
Funktionalableitung oder Variationsableitung
F
Sei r ∈ R3 , ϕ(r) ∈ RN , F ∈ C, dann heißt ϕ(r)−→C bzw. F[ϕ] ein Funktional von ϕ.
Wenn für η(r) ∈ RN und α ∈ R für ein gegebenes Funktional F[ϕ + αη]
die Ableitung nach α existiert und sich in der Form
Z X
N
d
δF[ϕ]
F[ϕ + αη]
ηk (r) d3r
=
dα
δϕk (r)
α=0
V
k=1
schreiben läßt, dann heißt
δF[ϕ]
Funktionalableitung des Funktionals F[ϕ].
δϕk (r)
Definiert man die kanonisch konjugierten Impulskoordinaten pk =
Hamilton-Funktion mithilfe einer Legendre-Transformation
H(qk , pk , t) =
X
k
und den Hamilton-Gleichungen
q̇k =
∂H
∂pk
die Bewegungsgleichung ebenfalls bestimmen.
pk q̇k − L(qk , q̇k , t)
und ṗk = −
∂H
∂qk
∂L
, so kann man aus der
∂ q̇k
Der Übergang zur Quantenmechanik besteht nun darin, zu den kanonisch konjugierten Koordianten qk ,
pk selbstadjungierte Operatoren in einem Hilbert-Raum einzuführen, die den Vertauschungsrelationen
[pk , ql ] =
h̄
δkl 1
i
; [qk , ql ] = 0 = [pk , pl ]
genügen. Die Zeitabhängigkeit der Operatoren A(qk , pk , t), die Observablen zugeordnet sind, ist dann
gegeben durch
−
h̄ dA
h̄ ∂A
= [A, H] −
.
i dt
i ∂t
Zur Quantisierung von Feldern gehen wir von einem System von endlich vielen Feldern ψν (r, t)
mit ν = 1, 2, . . . n aus, mit den unabhängigen Variablen des Ortsraumes r = (x1 , x2 , x3 ) und der
Zeit t. Diese Felder mögen die Lösungen eines Systems von Differenzialgleichungen sein, die sich
aus einem Funktional der Lagrange-Funktion mit einem Variationsprinzip ergeben. Die Variation des
Wirkungsintegrals muss hier bezüglich der Felder ψν (r, t) mit vier unabhängigen Variablen geschehen,
so dass die Lagrange-Funktion L aus einer Lagrange-Dichte L gemäß
δ
Z
t2
L dt = 0
t1
mit L =
Z
L d3r
und L = L(ψν , ψν|k , ψ̇ν , t)
zu bestimmen ist, die von den ψν , den ψ̇ν und außerdem noch von den partiellen Ableitungen nach
∂ψν
den Ortskoordinaten ψν|k =
abhängen kann.
∂xk
Die Variation der ψν (r, t) soll dabei an den Integrationsgrenzen |r| → ∞ und t = t1 , t2 verschwinden.
Dann ergibt die Variation des Wirkungsintegrals
δ
δψν (r, t)
Z
t2
dt′
t1
Z
d3r′ L(ψν , ψν|k , ψ̇ν , t′ ) = 0
die Euler-Lagrange-Gleichungen für Felder ψν (r, t) für ν = 1, 2, . . . n
3
X ∂ ∂L
∂L
∂ ∂L
−
= 0,
−
∂ψν
∂xk ∂ψν|k
∂t ∂ ψ̇ν
k=1
die zu den Ausgangsgleichungen führen.
Zur Quantisierung werden zunächst kanonisch konjugierte Impulsfelder πν (r, t) und eine von den
ψ̇ν unabhängige Energiedichte D mithilfe einer Legendre-Transformation eingeführt
∂L
πν (r, t) =
∂ ψ̇ν
und D(ψν , ψν|k , πν , πν|k , t) =
n
X
ν=1
πν ψ̇ν − L
und das von den ψ̇ν unabhängige Energiefunktional
Z
H = D(ψν , ψν|k , πν , πν|k , t) d3r.
mit
∂D
= 0,
∂ ψ̇ν
Aus der Variation des Energiefunktionals H(ψν , πν ) =
Z hX
ν
X
n δL
δH
−
δψν +
δπν =
δψν + ψ̇ν δπν
δψν
δπν
δψ
ν
ν=1
n X
δH
ν=1
erhält man wegen −
i
πν ψ̇ν − L(ψν , ψν|k , ψ̇ν , t) d3r
3
und
X ∂ ∂L
δL
∂ ∂L
∂L
=
=
−
δψν
∂ψν
∂xk ψν|k
∂t ∂ ψ̇ν
k=1
δL
∂ δL
δH
∂
=
=
= πν die Hamiltonschen Gleichungen für Felder
δψν
δψν
∂t δ ψ̇ν
∂t
3
X ∂ ∂D
∂ψν
δH
∂D
=
=
−
∂t
δπν
∂πν
∂xk ∂πν|k
3
X ∂ ∂D
δH
∂πν
∂D
=
−
=
−
.
∂t
δψν
∂ψν
∂xk ∂ψν|k
und
k=1
k=1
Der Übergang von der klassischen Feldtheorie zu einer Quantenfeldtheorie wird dadurch vorgenommen,
dass die kanonisch konjugierten Felder zu Feldoperatoren
ψν (r, t) −→ ψ̂ν (r, t) und πν (r, t) −→ π̂ν (r, t) und H −→ Ĥ
werden, die den Vertauschungsrelationen für Bosonen
h̄
π̂ν (r, t), ψ̂µ (r , t) = δνµ δ(r − r′ )1
i
′
und
′
′
π̂ν (r, t), π̂µ (r , t) = 0 = ψ̂ν (r, t), ψ̂µ (r , t)
genügen sollen. Die zeitliche Änderung der Feldoperatoren ist wie bei Heisenberg-Operatoren
−
h̄ ∂ ψ̂ν
= [ψ̂ν , Ĥ] und
i ∂t
−
h̄ ∂ π̂ν
= [π̂ν , Ĥ].
i ∂t
5.2 Feldtheorie elektromagnetischer Felder
Die dielektrische Verschiebung sei gegeben durch D = εE mit ε = εr ε0 , wobei E die elektrische
Feldstärke, ε0 die elektrische Feldkonstante und εr eine Konstante bezeichnen. Die magnetische Induktion sei gegeben durch B = µH mit µ = µr µ0 , wobei H die magnetische Feldstärke, µ0 die
magnetische Feldkonstante und µr eine Konstante bezeichnen. Ist dann ρ die Ladungsdichte und j die
elektrische Stromdichte, so lassen sich die Feldgleichungen
∇ × E = −Ḃ ;
∇ × H = Ḋ + j
; ∇·D=ρ
; ∇·B=0
mit Hilfe des Vektorpotenzials A und des skalaren Potenzials φ mit der Lorentz-Konvention
B = ∇ × A ; E = −Ȧ − ∇φ mit εµφ̇ + ∇ · A = 0
wegen ε0 µ0 = 1/c2 mit der Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum und der Brechzahl n
1 ∂φ
∇·A+ 2
= 0 mit
v ∂t
1
n2
= εµ = εr µr ε0 µ0 = 2
v2
c
und n =
c √
= εr µr
v
auf vier inhomogene Wellengleichungen zurückführen
A=
1 ∂2
− ∆ A = µj
v 2 ∂t2
und
φ=
1
1 ∂2
ρ.
−
∆
φ
=
v 2 ∂t2
ε
Die Potenzialgleichungen ergeben sich mit Hilfe der Lagrange-Dichte
1
1 L = εE2 − B2 + j · A − ρφ
2
µ
2
2
2
ε ∂A
∂A
ε
1
=
+ε
· ∇φ + ∇φ −
∇ × A + j · A − ρφ
2 ∂t
∂t
2
2µ
und den Euler-Lagrange-Gleichungen mit r = (x1 , x2 , x3 ), ψν|k =
∂ψν
∂ψν
und ψ̇ν =
∂xk
∂t
3
X ∂ ∂L
∂L
∂ ∂L
= 0,
−
−
∂ψν
∂xk ∂ψν|k
∂t ∂ ψ̇ν
k=1
indem ψk = Ak , für k = 1, 2, 3 und ψ4 = φ gesetzt, und die Lorentz-Konvention beachtet wird.
Zum Beweise beachten wir mit A(r, t) = (A1 , A2 , A3 )
2 2 2
∂A2
∂A3
∂A1
∂A1
∂A2
∂A3
−
+
−
+
−
(∇ × A)2 =
∂x2
∂x3
∂x3
∂x1
∂x1
∂x2
und berechnen zunächst den mittleren Term der Euler-Lagrange-Gleichungen mit ψ1 = A1
3
3
X
∂ ∂L
1 X ∂
∂
−
=
(∇ × A)2
∂xk ∂A1|k
2µ
∂xk ∂A1|k
k=1
k=2
1 ∂ ∂A1
∂A2 ∂ ∂A1
∂A3 ∂ ∂A1
∂ ∂A1
=
−
+
−
+
−
µ ∂x2 ∂x2
∂x1
∂x3 ∂x3
∂x1
∂x1 ∂x1
∂x1 ∂x1
i
∂
1h
∆A1 −
∇·A .
=
µ
∂x1
Damit erhält man aus den Euler-Lagrange-Gleichungen
3
X ∂ ∂L
∂L
∂ ∂L
−
= 0,
−
∂ψν
∂xk ∂ψν|k
∂t ∂ ψ̇ν
k=1
und der Lagrange-Dichte
ε
L=
2
∂A
∂t
2
+ε
2
2
ε
1
∂A
· ∇φ + ∇φ −
∇ × A + j · A − ρφ
∂t
2
2µ
für ψ1 = A1 mit j = (j1 , j2 , j3 )
i
1h
∂
∂ 2 A1
∂φ
j1 +
∆A1 −
∇·A −ε 2 −ε
= 0,
µ
∂x1
∂t
∂t∂x1
und wegen der Lorentz-Konvention
∂φ
1
∇·A+ε
=0
µ
∂t
addieren sich der dritte und fünfte Term zu Null, so dass die inhomogene Wellengleichung
∂ 2 A1 µj1 + ∆A1 − εµ 2 = 0 oder
∂t
A1 = µj1
für A1 resultiert. Entsprechend erhält man mit ψ4 = φ aus der Euler-Lagrange-Gleichung ebenfalls die
inhomogene Wellengleichung für φ.
5.3 Quantisierung freier elektromagnetischer Felder
Bei der zu behandelnden Wechselwirkung der elektromagnetischen Strahlung mit Festkörpern befinden
sich die die Strahlungsfelder erzeugenden Ladungen ρ und Ströme j entfernt vom Festkörper und
werden hier zu Null gesetzt, um die Potenziale A und φ der freien elektromagnetischen Strahlung zu
bestimmen. Da beide Potenziale Lösungen der homogenen Wellengleichung A = 0 und φ = 0 sind,
lassen sich die beobachtbaren Felder E und B aus A alleine bestimmen, indem eine Eichtransformation
A′ = A + ∇f , φ′ = φ − f˙ mit f = 0 und f˙ = φ vorgenommen wird, sodass φ′ = 0 wird. Dadurch
erhält man aus der Lorentz-Konvention ∇ · A = 0, was auch als Strahlungseichung bezeichnet wird.
Das zum Vektorpotenzial A(r, t) = (A1 , A2 , A3 ) gehörige kanonisch konjugierte Impulsfeld ist
πk (r, t) =
∂L
= εȦk
∂ Ȧk
mit L(A, A|k , Ȧ) =
ε 2
1
(∇ × A)2 ,
Ȧ −
2
2µ
und die Energiedichte ergibt sich wegen B = ∇ × A und E = −Ȧ sowie D = εE, B = µH zu
D=
3
X
k=1
πk Ȧk − L =
1
1
1
1 2
εȦ +
(∇ × A)2 = E · D + H · B.
2
2µ
2
2
Die Energie der freien elektromagnetischen Strahlung ist damit, vgl. Abschn. 1.1,
H=
Z
1
D d3r =
2
Z Z
1
1
εȦ2 + (∇ × A)2 d3r =
(E · D + H · B) d3r.
µ
2
Zur Quantisierung des elektromagnetischen Strahlungsfeldes werden für die kanonisch konjugierten
Felder Ak (r, t) und πk (r, t) Feldoperatoren Âk bzw. π̂k mit den Vertauschungsrelationen angesetzt:
h̄
π̂k (r, t), Âl (r′ , t) = δkl δ(r − r′ )1
i
und
π̂k (r, t), π̂l (r′ , t) = 0 = Âk (r, t), Âl (r′ , t) .
Wir schreiben die Lösungen der homogenen Wellengleichung A = 0 als Linearkombination von
ebenen Wellen
2
1
1 XX
uj (q) √ exp {iq · r} exp {−i2πνj (q)t} + k.k. .
A(r, t) = √
2 j=1 q
V
Die Basisvektoren des Gitters a1 , a2 , a3 spannen die Elementarzelle bzw. das Periodizitätsgebiet
Ω = (a1 , a2 , a3 ) auf und die Vektoren N a1 , N a2 , N a3 das Grundgebiet V = N 3 Ω mit 1 ≪ N . Die
periodischen Randbedingungen für die ebenen Wellen exp iq · (r + N aj ) = exp {iq · r} erfordern die
Bedingung exp {iq · aj N } = 1, woraus sich die diskreten Ausbreitungsvektoren
m2
m3
m1
b1 +
b2 +
b3 mit ganzen Zahlen m1 , m2 , m3
q=
N
N
N
2π
ergeben. Dabei erfüllen die reziproken Gittervektoren bj =
ak × al mit zyklischen (j, k, l) die
Ω
Bedingungen aj · bk = 2πδjk .
Ferner bezeichnen uj (q) den Polarisationsvektor für zwei verchiedene Polarisationsrichtungen,
νj (q) = v|q|/2π die Frequenz der Welle mit dem Dispersionsgesetz, und k.k.” den konjugiert kom”
plexen Term. Wegen ∇ · A = 0 erfüllen die reellen Polarisationsvektoren die Bedingung q · uj (q) = 0,
so dass es nur die beiden transversalen linear unabhängige Polarisationsrichtungen j = 1, 2 gibt.
Beim Übergang zu den Feldoperatoren A(r, t) −→ Â(r, t) ist die Reihenentwicklung von der Form
P
wie in Abschn. 5.2 ψ̂(x) = ν ψν (x)aν mit dem Vernichtungsoperator aν für ein Teilchen bzw. hier
cj (q, t) und dem Erzeugungsoperator c+
j (q, t)
s
2
1 XX
h̄
1
1
Â(r, t) = √
uj (q) √ exp {iq · r} cj (q, t) + uj (q) √ exp {−iq · r} c+
j (q, t) .
2πενj (q)
2 j=1 q
V
V
Die zeitabhängigen Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren für die Photonen
r
r
2πενj (q)
2πενj (q)
cj (q, t) =
(q,
t)
=
exp − i2πνj (q)t
bzw. c+
exp
i2πν
(q)t
j
j
h̄
h̄
erfüllen die Schwingungsgleichung
2
∂ 2 cj (q, t)
∂cj (q, t)
= −i2πνj (q)cj (q, t) oder
+ 2πνj (q) cj (q, t) = 0.
∂t
∂t2
ˆ (r, t) = (π1 , π2 , π3 ) ist dann
Das zu A(r, t) = (A1 , A2 , A3 ) gehörige Impulsfeld ~π
s
2
XX
∂
Â
1
h̄
1
ˆ (r, t) = ε
~π
= √
− iε2πνj (q)uj (q) √ exp {iq · r} cj (q, t)
∂t
2πενj (q)
2 j=1 q
V
1
+ iε2πνj (q)uj (q) √ exp {−iq · r} c+
j (q, t) .
V
ˆ führen dann zu den Vertauschungsrelationen
Die Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren Â und ~π
für die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren cj (q, t) und c+
j (q, t) für ein Photon der Polarisation
j, der Wellenzahl |q| und der Energie hνj (q) = vh̄|q|
+
+
′
′
′
′
′
′
(q,
t),
c
cj (q, t), c+
(q
,
t)
=
0
=
c
1
;
c
(q,
t),
c
(q
,
t)
.
δ
(q
,
t)
=
δ
j
j
jj qq
j
j′
j′
Zum Beweis sei darauf hingewiesen, dass die Operatoren cj (q, t) und c+
j (q, t) jeweils einem Photon
der beiden unabhängigen Polarisationsrichtungen j = 1, 2 zugeordnet sind, sodass u2j (q) = 1 und
1 X
′
′
′
exp iq·(r−r ) = δ(r−r′ ).
uj ·uj = δjj zu setzen ist. Ferner gilt die Vollständigkeitsbeziehung
V q
Beim Einsetzen der Feldoperatoren Â(r, t) und π̂(r, t) in den Energieoperator
1
Ĥ =
2
Z h Z h
i
2 i 3
∂ Â 2 1
1 ˆ2
1
1
3
2
+ (∇ × Â) d r =
∇ × Â(r, t)
ε
~π (r, t) +
dr
∂t
µ
2
ε
µ
ergibt sich bei Verwendung der Vertauschungsrelationen für die Erzeugungs- und Vernichtungsopera3
toren c+
j (q, t) und cj (q, t) die Form einer Summe aus 2N ungekoppelten harmonischen Oszillatoren,
die durch die beiden Indizes j und q abgezählt werden,
Ĥ =
2 X
X
j=1 q
1 +
hνj (q) cj (q, t)cj (q, t) + 1 .
2
1
2
mit den BesetJeder einzelne Oszillator hat die äquidistanten Energieeigenwerte hνj (q) nj (q) +
zungszahlen nj (q) = 0, 1, 2, . . . die angeben, wieviele Photonen der Energie hνj (q) = vh̄|q| und mit
dem Impuls h̄q im Grundgebiet V vorhanden sind.
Der Energieoperator Ĥ besteht aus Summanden mit den Operatoren c+ c + 21 1 für die einzelnen
Photonen mit dem Photonenzahloperator N̂ = c+ c und den Besetzungszahlen n, oder ausgeschrieben
N̂ =
2 X
X
j=1 q
c+
j (q, t)cj (q, t) mit N̂ | . . . nj (q) . . .i =
2 X
X
nj (q)| . . . nj (q) . . .i.
j=1 q
ˆ und magnetische Induktion B̂ = ∇× Â
Die Operatoren der Observablen elektrische Feldstärke Ê = −Ȧ
haben wie Â die Form einer Summe von Termen mit c und einer Summe von Termen mit c+ , während
die Operatoren Ĥ und N̂ nur die Kombination c+ c enthalten. Deshalb sind Ê und B̂ nicht mit dem
Energieoperator Ĥ oder dem Teilchenzahloperator N̂ vertauschbar, denn es gilt wegen cc+ = c+ c + 1
[c+ c, c] = c+ cc − cc+ c = c+ cc − c+ cc − c = −c
[c+ c, c+ ] = c+ cc+ − c+ c+ c = c+ c+ c + c+ − c+ c+ c = c+ .
In der Teilchenzahldarstellung sind die Observablen der Operatoren Ĥ und N̂ wegen [Ĥ, N̂ ] = 0
gleichzeitig scharf messbar und haben die Teilchenzahlzustände als Eigenfunktionen. Jedoch sind die
Operatoren der Observablen Ê und B̂ nicht mit Ĥ oder N̂ vertauschbar, sodass ihre Messwerte in
der Teilchenzahldarstellung streuen. Umgekehrt streuen die Messungen der Photonenzahl N̂ und der
Photonenenergie Ĥ, wenn die elektrische Feldstärke Ê streuungsfrei gemessen wird.
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
Der Operator c und der adjungierte c+ mögen die Vertauschungsrelation [c, c+ ] = 1 bzw. cc+ = c+ c+1
erfüllen. Nun hat der selbstadjungierte Operator c+ c mit der Eigenwertgleichung c+ c|αi = α|αi
reelle Eigenwerte α. Dann gilt c+ cc|αi = (cc+ − 1 )c|αi = (α − 1)c|αi und α − 1 ist mit α auch
Eigenwert von c+ c zur Eigenfunktion c|αi. Ferner sind α − 2, α − 3 usw. auch Eigenwerte, und c
+
heißt Vernichtungsoperator. Aus hα|c c|αi = αhα|αi = c|αicα folgt andererseits 0 ≤ α. Der
Widerspruch löst sich, wenn zu jedem α eine natürliche Zahl n = 0, 1, 2 . . . existiert mit der Eigenschaft
cn |αi 6= 0|αi und cn+1 |αi = 0|αi. Dann findet man c+ ccn |αi = (α − n)cn |αi = 0|αi, sodass α = n ∈ N
sein muss, und die Eigenwertgleichung lautet mit dem Vakuumzustand |0i
c+ c|ni = n|ni mit n = 0, 1, 2, . . .
und h0|0i = 1
sowie c|0i = 0|0i.
Bei der Anwendung des Erzeugungsoperators c+ findet man c+ cc+ |ni = c+ (c+ c+ 1 )|ni = (n+ 1)c+ |ni,
und c+ |ni ist eine Eigenfunktion von c+ c zum Eigenwert n + 1. Daher lassen sich die Eigenfunktionen
|ni von c+ c mithilfe der Erzeugungsoperatoren c+ und dem Vakuumvektor |0i konstruieren und man
findet
1
n
|ni = √ c+ |0i mit hn|n′ i = δnn′ .
n!
Das Spektrum von c+ c ist nicht entartet, wenn die Gleichung c|0i = 0|0i nur eine Lösung |0i besitzt. Die Eigenfunktionen |ni sind bei verschiedenen Eigenwerten orthogonal zueinander, weil c+ c
selbstadjungiert ist.
Den Beweis der Normierung erbringen wir durch vollständige Induktion indem wir |0i = φ0 schreiben
+ n+1 + n + + n φ0 = c φ0 cc c φ0
φ0 c
(n + 1)!hn + 1|n + 1i = c
+n +n +
+n
+n
= c φ0 (c c + 1 )c φ0 = c φ0 (n + 1)c φ0 = (n + 1)n!hn|ni;
+ n+1
und mit hn|ni = 1 ist dann auch hn + 1|n + 1i = 1. Ferner ergibt sich
c|ni =
√
√
n |n − 1i und c |ni = n + 1 |n + 1i.
+
Zum Beweise setzt man |ni = φn und findet wegen c+ cφn = nφn
c+ c E D c
c
E
1 = φn φn = √ φn √ φn ,
n
n
n
D
c
und weil cφn eine Eigenfunktion zu Eigenwert n − 1 ist, muss √ φn = φn−1 gelten. Außerdem findet
n
man
√
√
1 + (n+1)
1
1 +n
+ n+1
c φn = c √ c φ0 = √ c
φ0 = n + 1 p
φ0 = n + 1 φn+1 .
c
n!
n!
(n + 1)!
+
+
6 Quantenoptik
Aufgrund des Welle-Teilchen-Dualismus lässt sich Licht mit der Frequenz ν und der Wellenlänge λ
mit νλ = c als elektromagnetische Welle beschreiben, oder auch als Teilchen bzw. Photon interpretieren. Dies geschieht nach Max Planck durch die Zuordnung der Energie E = hν und des Impulses
p = h/λ mit E = pc. Welche Beschreibungsform im Einzelfall die geeignete ist, hängt vom beobachteten
Wechselwirkungsprozess zwischen Licht und Materie ab.
Die Beugungsfigur an einem Spalt z.B. ergibt sich im Wellenbild aus dem Verhältnis zwischen der
Spaltbreite und der Wellenlänge des Lichtes, das in der Größenordnung von eins liegen muss.
Bei der Registrierung des Lichtes im Detektor, dessen Durchmesser der Eintrittsöffnung groß ist
im Vergleich zur Wellenlänge, ist dagegen das Teilchenbild anzuwenden, denn es werden die Energie E
und der Impuls p gemessen.
Trifft eine elektromagnetische Welle mit dem elektrischen Feld E z.B. auf einen Kristall, so wirkt
auf jedes einzelne Kristallelektron die Kraft −e0 E. Da die elektronischen Energieniveaus nach der
Quantenmechanik gebundener Atome gequantelt sind, muss die elektromagnetische Welle wie auch bei
isolierten Atomen in quantisierter Form behandelt werden, wie sich das aus dem Kombinationsprinzip
von Ritz bei den atomaren Spektren ergibt.
Energieband bei Metallen
Die elektronischen Energieniveaus in periodischen
Kristallen liegen aber beliebig dicht beieinander, d.h.
E(k)
sie sind praktisch kontinuierlich in Energiebändern angeordnet. Beträgt nun die Frequenz der elektromagnetischen Welle z.B. ν = 50Hz, so ist E = hν = 2·10−13 eV
und λ = c/ν = 6 · 106 m. Im sogenannten elektrotechnischen Bereich liegt das außerhalb der Messgenauigkeit,
EF
sodass Intrabandübergänge entstehen und die elektromagnetische Welle als klassisches, nicht quantisiertes
Feld beschrieben werden kann.
Die Elektronen können aus besetzten Niveaus dicht
unterhalb der Fermi-Energie EF durch das elektrische
∆k
k
Feld der Welle in dicht darüber liegende unbesetzte
gelangen. Nach der klassischen Mechanik ist die Impulsänderung h̄∆k = −e0 E∆t in der Zeit ∆t, und man
erhält im Rahmen der klassischen Mechanik
d
h̄k = −e0 E.
dt
Das elektronische Spektrum der Kristalle enthält auch Energielücken im optischen Bereich wie bei
Atomen und Molekülen, die zur Interpretation auch die Quantennatur des Lichtes erfordern. Diese
Interbandübergänge gehorchen in erster Näherung der k-Auswahlregel. Liegt ein solcher Übergang im
sichtbaren Bereich, führt das bei Metallen zur Einfärbung der glänzenden Oberfläche.
E(k)
E(k)
EF
Eg
EF
0
k
Γ
Interbandübergang
bei Halbleitern
X
Interbandübergang
bei Kupfer
K
k
Außerdem kann Licht bei der Photoemission ein Elektron vom Valenzband aus dem Kristall hinausbefördern. Die Energie des Photons entspricht dabei der Energie E(k) eines Valenzbandes plus der
Austrittsarbeit an der Oberfläche und der kinetischen Energie des Elektrons außerhalb. Ferner können
durch Licht auch Exzitonen erzeugt werden, also Anregungen in Mehrelektronenniveaus aufgrund von
Elektron-Loch-Wechselwirkungen in Halbleitern.
E(k)
E(k)
b
N
k
Eg
Ex
EF
bc
Photoemission
N: Nullpunkt der mikroskopischen Energie
0
k
Die Exziton-Anregungsenergie Ex
ist kleiner als die Bandlücke Eg
6.1 Elektron-Photon-Wechselwirkung
Bei der Wechselwirkung der quantisierten elektromagnetischen Wellen, also der Photonen, mit freien
oder gebundenen Atomen geht man von der Lorentz-Kraft aus, die die elektromagnetischen Felder E
und B auf die als geladene Massenpunkte idealisierten Elektronen ausüben.
Im Rahmen der klassischen Mechanik bewegt sich eine Punktladung der Masse m und der Ladung
e auf einer Bahnkurve r(t), die bei gegebenen E und B durch die Lorentz-Kraft mr̈ = e(E + ṙ × B)
bestimmt ist. Die Ladungen und Ströme, die die Felder E und B erzeugen, seien vom Ort der untersuchten Materie weit entfernt, sodass hier nur die Ladungen und Ströme der betrachteten Punktladungen eine Rolle spielen. Wir verwenden die elektrodynamischen Potenziale A und φ mit B = ∇ × A
und E = −Ȧ − ∇φ in Strahlungseichung mit φ = 0 und ∇ · A = 0 also B = ∇ × A und E = −Ȧ.
Im nichtrelativistischen Fall ergibt sich dann die Bahnkurve r(t) aus der Lagrange-Funktion
L(r, ṙ) =
m 2
ṙ + eṙ · A und den Euler-Lagrange-Gleichungen
2
Der zu r kanonisch konjugierte Impuls ist p =
d ∂L ∂L
−
= 0.
dt ∂ ṙ
∂r
∂L
= mṙ + eA und die Hamilton-Funktion ist
∂ ṙ
H(r, p) = ṙ · p − L(r, ṙ) = mṙ2 + eṙ · A −
2
m
1
m 2
p − eA .
ṙ − eṙ · A = ṙ2 =
2
2
2m
Geht man davon aus, dass sich die Elektronen bzw. die Atomkerne in einem effektiven Einteilchenpotenzial v(r) bewegen, das von der umgebenden Materie verursacht wird, so lautet die EinelektronenEnergiefunktion mit der Elektronenmasse me
2
1
p − eA + v(r).
H=
2me
h̄
Beim Übergang zur Quantenmechanik ist der Impulsoperator p = ∇ einzusetzen und die Energie der
i
freien elektromagnetischen Felder hinzuzufügen. Der Energie-Operator beschreibt dann das Elektron,
die elektromagnetische Strahlung und die Wechselwirkung zwischen beiden
Z
2
1 h̄
1 1 2 3
2
H=
∇ − eA + v(r) +
ε0 E +
B dr
2me i
2
µ0
Z
2
i
1 h
1
1 h̄
2
2
∇ − eA + v(r) +
ε0 Ȧ +
(∇ × A) d3r.
=
2me i
2
µ0
Vernachlässigt man den kleinen Term mit A2 , so erhält man wegen ∇ · A = 0 für den gemischten Term
↓
1 h̄ eh̄
1 h̄ − e (∇ · A + A · ∇) =
− e (A · ∇ + ∇· A +A · ∇) = −
A · ∇,
2me
i
2me
i
ime
wobei der Pfeil auf dem Term ∇ · A anzeigt, dass der Operator ∇ nur das A differenziert, und es folgt
h̄2
H =−
∆ + v(r)
2me
{z
}
|
Kristallelektron
−
eh̄
A·∇
ime
| {z }
Elektron-Licht-WW
+
1
2
|
Z h
i
1
2
ε0 Ȧ +
(∇ × A) d3r
µ0
{z
}
2
freies Strahlungsfeld
ein Einelektronen-Energieoperator aus drei Teilen, mit einem Teil HKE des Kristallelektrons, einem
Teil HEL der Elektron-Licht-Wechselwirkung und einem Teil HL des freien Strahlungsfeldes.
Der Übergang zu dem Vielelektronensystem und einem quantisierten Strahlungsfeld ist nun mit
dem Teilchenzahlformalismus einfach. Wir schreiben den Operator im Fock-Raum der Elektronen und
Photonen
Ĥ = ĤKE + ĤEL + ĤL
mit dem Operator der Kristallelektronen und den Teilchenzahloperatoren a+
nk , ank der Bloch-Zustände
ĤKE =
BZ
XX
n
En (k)a+
nk ank
k
1
mit |nki = ψn (k, r) = √
exp {ik · r} un (k, r),
3
N
dem Operator des freien Strahlungsfeldes mit den Teilchenzahloperatoren der Photonen c+
j (q), cj (q)
ĤL =
2 X
X
j=1 q
1 +
hνj (q) cj (q, t)cj (q, t) + 1
2
und dem Operator der Elektron-Photon-Wechselwirkung mit dem Operator Â des Vektorpotenzials
s
2 X
h 1
X
h̄
eh̄ 1
√
√ exp {iq · r} uj (q) · ∇cj (q, t)
HEL = −
ime 2 j=1 q
2πε0 νj (q)
V
i
1
+
+ √ exp {−iq · r} uj (q) · ∇cj (q, t) .
V
Dieser Operator ist zunächst nur für die Photonen ein Teilchenzahloperator, in Bezug auf die Elektronen
aber ein Einelektronenoperator. Er lässt sich jedoch nach Abschn. 1.2 direkt in einen Fock-Operator
mit den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der Bloch-Zustände a+
nk , ank umschreiben
XX
Elekt
Ĥ
=
hnk|H Elekt |n′ k′ ia+
nk an′ k′ ,
n,k n′ ,k′
und man erhält für den Fock-Operator
ĤEL
i
X X Xh
+
+
+
′
′
′
′
=
M (n, k; n , k ; j, q)ank an′ k′ cj (q, t) + M (n, k; n , k ; j, −q)ank an′ k′ cj (q, t)
n,k n′ ,k′ j,q
mit dem Übergangsmatrixelement zwischen den Bloch-Zuständen |nki = ψn (k, r)
eh̄ 1
√
M (n, k; n , k ; j, q) = −
ime 2
′
′
s
′ ′
1
h̄
nk √ exp {iq · r} uj (q) · ∇n k .
2πε0 νj (q)
V
Hier bezeichnen also a+
nk und ank die Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren für ein Elektron im
Bloch-Zustand ψn (k, r) mit der Energie En (k) und c+
j (q, t) bzw. cj (q, t) die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für ein Photon der Energie hνj (q) mit dem Impuls h̄q und der Dispersionsbeziehung
2πνj (q) = v|q|, wobei v die Lichtgeschwindigleit im Medium bezeichnet. Die Vektoren uj (q) mit
q · uj (q) = 0 geben die Amplituden und die Polarisation senkrecht zum Wellenvektor q an.
Zur Veranschaulichung betrachten wir einen Laserstrahl, der von einem Resonator erzeugt wird, und der
aus einzelnen diskreten Linien, den sogenannten Moden besteht. Seien n1 , n2 , . . . die Besetzungszahlen
der Bloch-Zustände und l1 , l2 . . . die der Photonenzustände, so sind die Teilchenzahlzustände für den
Operator
Ĥ = ĤKE + ĤEL + ĤL
durch |nli = |n1 n2 . . . l1 l2 . . .i
˙
ˆ zu
gegeben. Der Erwartungswert der elektrischen Feldstärke berechnet sich wegen Ê = −Â = − 1ε ~π
ˆ nli = 0,
hÊi = hnl|Ê|nli = hnl − 1ε ~π
ˆ nur einzelne Photonenzahloperatoren mit hnl|c (q, t)|nli = 0 = hnl|c+ (q, t)|nli
weil der Operator ~π
j
j
enthält. Jedoch ergibt sich für die Streuung bei der Messung der elektrischen Feldstärke
(∆Ê)2 = nl(Ê − hÊi1 )2 nl = nlhÊ2 i − hÊi2 nl = nlhÊ2 inl .
Der Ausdruck ist für jede einzelne Mode proportional zu 2lν + 1 mit lν = 0, 1, 2, . . ., also von Null
verschieden, wie auch beim eindimensionalen harmonischen Oszillator.
Wir setzen voraus, dass der Operator der Wechselwirkung zwischen Elektronen und dem Licht
ĤEL nur eine kleine Störung des durch den Operator Ĥ0 = ĤKE + ĤL beschriebenen ungestörten
Systems verursacht. Er kann dann mit der zeitabhängigen Störungsthoerie berücksichtigt werden, und
die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit für einen Übergang vom Anfangszustand |ai in einen
Endzustand |ei von Ĥ0 lässt sich mit der Goldenen Regel der Quantenmechanik berechnen
Wae
2
2π ′
′
=
. . . Nnk . . . ; . . . Mjq . . . ĤEL . . . Nnk . . . ; . . . Mjq . . . δ |Ea − Ee | ,
h̄
wobei Ea den Energieeigenwert zum Anfangszustand |ai = | . . . Nnk . . . ; . . . Mjq . . .i von Ĥ0 und Ee
′
′
den Energieeigenwert zum Endzustand von Ĥ0 |ei = | . . . Nnk
. . . ; . . . Mjq
. . .i bezeichnen, mit den
Besetzungszahlen Nnk für die Bloch-Zustände und Mjq für die Photonen. Wir gehen davon aus, dass
reichlich Licht eingestrahlt wird, so dass sich das Photonenreservoir durch einen Absorptions- oder
Emissionsprozess praktisch nicht verändert.
Setzt man den Elektron-Licht-Wechselwirkungsoperator
ĤEL
i
X X Xh
+
+
+
′
′
′
′
=
M (n, k; n , k ; j, q)ank an′ k′ cj (q, t) + M (n, k; n , k ; j, −q)ank an′ k′ cj (q, t)
n,k n′ ,k′ j,q
ein, so zeigt sich, dass die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit Wae nur im Falle k′ = k nicht
verschwindet. Im Bändermodell der Kristalle sind dadurch nur senkrechte Übergänge möglich, was
auch als k-Auswahlregel bezeichnet wird.
Der Operator ĤEL ist eine Linearkombination zweier Elementarprozesse die durch die Operatoren
+
+
a+
nk an′ k′ cj (q, t) und ank an′ k′ cj (q, t) beschrieben werden, und deren Übergangswahrscheinlichkeiten
aus Wae zu bestimmen sind.
Der erste Term beschreibt den Absorptionsvorgang eines Photons mit der Energie hν mit der Anregung
eines Elektrons vom Valenzband EV (k) ins Leitungsband EL (k)
EL (k′ )
hνj (q)
EV (k)
e−
e−
a+
Lk′ aV k cj (q, t)
EL (k′ )
oder
hν
EV (k)
Aus der Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit Wae ergeben sich dann die Erhaltungssätze
Energiesatz
EV (k) + hνj (q) = EL (k′ )
und Impulssatz
h̄k + h̄q = h̄k′ ≈ h̄k.
Der andere Term beschreibt entsprechend den Emissionsvorgang eines Photons der Energie hν
durch Übergang eines Elektrons aus dem Leitungsband EL (k) in das Valenzband EV (k)
hνj (q)
EL (k)
e
EL (k)
+
a+
a
c
′
V k Lk j (q, t)
−
e
−
oder
EV (k′ )
hν
EV (k′ )
mit den Erhaltungssätzen
Energiesatz
EL (k) = EV (k′ ) + hνj (q)
und Impulssatz
h̄k = h̄k′ + h̄q ≈ h̄k′ .
6.2 Phonon-Photon-Wechselwirkung
In einem einfachen Modell des Festkörpers geht man davon aus, dass die thermischen Gitterschwingungen die Atome aus ihren Ruhelagen auslenken. Die dadurch entstehenden Abweichungen im periodischen Elektronenpotenzial führen zu der in Festkörpern wirksamen Elektron-Phonon-Kopplung, die die
Ursache ist für die Umwandlung elektrischer Energie in Wärme nach dem Ohmschen Gesetz. Andererseits bilden sich durch die Auslenkungen auch atomare elektrische Dipole, sodass eine Dipoldichte oder
Polarisation entsteht. Diese Dipolmomente sind bei gegeneinander schwingenden Nachbaratomen, also
bei optischen Phononen, und bei polaren Halbleitern besonders groß und in einfacher Näherung proportional zu Auslenkung des Atoms aus seiner Ruhelage. Im elektrischen Feld der elektromagnetischen
Strahlung E = −Ȧ ist dann als Polarisationsarbeit die Energie
Z
E = − P(r, t) · E(r, t) d3r
von der Strahlung aufzuwenden, die dem Energie-Operator des Lichtes hinzuzufügen ist, und die
Phonon-Photon-Wechselwirkung beschreibt. Dazu wird die Polaristion P durch die
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren b+
l (p) bzw. bl (p) der Phononen,
mit der Energie h̄ωl (p) und dem Impuls h̄p, ausgedrückt, und die elektrische Feldstärke E durch die
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren c+
j (q) bzw. cj (q) der Photonen.
In dem Ausdruck der Phonon-Photon-Wechselwirkung treten dann Terme der Art c+
j (q)bl (p) und
b+
l (p)cj (q) mit
hνj (q) = h̄ωl (p) (Energiesatz) und h̄q = h̄p
(Impulssatz)
auf, die die Emission eines Photons bzw. die Absorption eines Photons beschreiben. Hierbei wird die
Energie des Photons unmittelbar in die Energie eines Phonons umgewandelt, und der Impulssatz kann
nur mit einem optischen Phonon mit p am Γ-Punkt, also bei h̄p ≈ 0 erfüllt werden.
Außerdem gibt es Terme, die Zweiphononenprozesse mit akustischen Phononen darstellen
hνj (q) = h̄ωl1 (p1 ) + h̄ωl2 (p2 ) mit h̄q = h̄p1 + h̄p2 ≈ 0
+
mit b+
l1 (p1 )bl2 (p2 )cl (q), bei denen die Impulse der beiden Phononen entgegengesetzt gleich sein müssen.
Die Absorption bzw. Emission eines Photons beschreiben dann die Diagramme:
hνj (q)
h̄ωl1 (p1 )
h̄ωl1 (p1 )
h̄ωl2 (p2 )
h̄ωl2 (p2 )
hνj (q)
b
Die optischen Eigenschaften von Halbleitern und Metallen werden hauptsächlich durch die ElektronPhoton-Phonon-Kopplung bestimmt.
6.3 Kohärente Zustände
A) Zeitliche Kohärenz
Betrachtet man die Emission eines Lichtquantes durch ein Atom, so beträgt eine typische Lebensdauer
eines angeregten Zustandes etwa τc = 10−8 s, sodass die Länge des Wellenpaketes lc = cτc = 3 m und
1
die Streuung der Kreisfrequenz aufgrund der Energie-Zeit-Unschärferelation ∆ω =
= 5 · 107 s−1
2τc
15 −1
betragen (zum Vergleich: bei grünem Licht der Wellenlänge λ = 500nm ist ω = 4·10 s ). Bei gebundenen Atomen sind Kohärenzzeit τc und Kohärenzlänge lc deutlich kleiner. Teilt man ein Wellenpaket
in zwei Strahlen und überlagert sie, nachdem sie unterschiedliche Wegstrecken zurückgelegt haben, so kann man
Interferenzerscheinungen nur beobachten, wenn der Wegunterschied nicht größer ist als die Länge des Wellenpaketes lc , d.h. wenn zeitliche Kohäherenz besteht.
B) Räumliche Kohärenz
Betrachtet man gewöhnliche Lichtquellen, bei denen eine Vielzahl von Atomen unabhängig voneinander
emittieren, so weisen die einzelnen Wellenpakete im Detektor keine Phasenkorrelation auf.
Räumliche Kohärenz ist gegeben, wenn der Wegunterschied zwischen verschiedenen Stellen der
Lichtquelle zu verschiedenen Stellen der Eintrittsöffnung der Messapparatur klein ist im Vergleich zur
Wellenlänge der Strahlung.
Bei der Beugung am Spalt wie in der Abbildung kann das Beugungsmuster nicht mehr beobachtet werden. Licht ausgedehnter Körper in hinreichender Entfernung, etwa eines Sternes, ist aber meist kohärent. Sei D
der Durchmesser des Strahlers und d der der Eintrittsöffnung der Messapparatur im Abstand R, so ist die für Interferenzexperimente erforderliche räumliche Kohärenz gegeben, falls |∆1 − ∆2 | < λ oder Dd < λR
ist, mit ∆1 = |R1 − r1 | − |R2 − r2 | und ∆2 = |R2 − r1 | − |R1 − r2 |,
wobei λ = 2πc/ω die Wellenlänge des Lichtes bezeichnet.
r1
R1
D
Messapparatur
d
R2
Stern
r2
R
Führt man den Winkel α = D/R ein, unter dem der Strahler vom Beobachter aus erscheint, so ist
die räumliche Kohäherenz für d < λ/α gegeben, und bei Flächenstrahlern beträgt die Kohärenzlänge
senkrecht zur Beobachtungsrichtung l⊥ = λ/α und in Beobachtungsrichtung lc = cτc . Für den hellsten
Fixstern Beteigeuze z.B. ist α = 2 · 10−7 und bei Beobachtung mit grünem Licht der Wellenlänge
λ = 500 nm ergibt sich l⊥ = 2 m.
C) Kohärenter Laserstrahl
Bei Experimenten mit monochromatischem Licht hat man es bei gewöhnlichen Lichtquellen in der
Regel mit vielen Photonen unterschiedlicher Phasen zu tun, die durch Teilchenzahlzustände |ni mit
n = 0, 1, 2, . . . beschrieben werden, und die inkohärentes Licht genannt werden. Im Unterschied dazu
emittieren Laser monochromatisches und kohärentes Licht, wobei die einzelnen Photonen als ebene
Wellen E = E0 sin i(q · r − ωt + ϕ) am Ort r0 und zur Zeit t0 die gleiche Phase φ = q · r0 − ωt0 + ϕ
besitzen. Dies wird im Laser mithilfe zweier Spiegel durch induzierte Emission erreicht, wenn das
Medium bis zur Inversion angeregt ist.
Der Operator des Vektorpotenzials der Photonen lautet nach Abschn. 5.3
1
Â = √
2
2 X
X
j=1 q
s
h̄
1
1
uj (q) √ exp {iq · r} cj (q, t) + uj (q) √ exp {−iq · r} c+
j (q, t)
2πενj (q)
V
V
mit den Kreisfrequenzen 2πνj (q), den Polarisationsvektoren uj (q) und den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für ein Photon c+
j (q, t) bzw. cj (q, t), die nach Abschn. 5.3 durch j und q abgezählt
werden. Zur Beschreibung einer Mode des Laserlichtes betrachten wir eine ebene Welle mit einer festen
√
Kreisfrequenz ω und dem Ausbreitungsvektor |q| = ω/v, wobei v = c/ ε die Lichtgeschwindigkeit im
Medium bezeichnet, in das das Laserlicht eingestrahlt wird. Wir setzen dazu
2πνj (q) = ω
; uj (q) = u
; cj (q, t) = c exp {−iωt}
+
; c+
j (q, t) = c exp {iωt}
mit zeitunabhängigen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren c+ bzw. c für ein Photon.
Mit den Photonenzahlzuständen |ni gilt nach Abschn. 5.3
√
√
c |ni = n + 1 |n + 1i ; c|ni = n |n − 1i ; [c, c+ ] = 1
+
und hn|mi = δnm .
Der zugehörige Operator des Vektorpotenzials lautet also
r
+i
h̄
1 h
1
u√
exp i(q · r − ωt) c + exp − i(q · r − ωt) c
Â = √
εω
2
V
und der Operator der elektrischen Feldstärke ist
r
+i
h̄ω h
i
ˆ
u exp i(q · r − ωt) c − exp − i(q · r − ωt) c .
Ê = −Ȧ = √
2 εV
Die einzelnen Photonen eines n-Photonenzustandes |ni sind nicht korreliert, d.h. haben keine feste
Phasenbeziehung untereinander, sodass der Erwartungswert der elektrischen Feldstärke verschwindet
hn|Ê|ni = 0,
denn es gilt hn|c|ni = 0 = hn|c+ |ni.
Die Operatoren der elektrischen Feldstärke Ê und der der Photonenzahl n̂ = c+ c sind wegen
[n̂, c] = [c+ c, c] = −c und [n̂, c+ ] = [c+ c, c+ ] = c+
nicht vertauschbar, und daher nicht gleichzeitig scharf messbar.
Dazu berechnen wir die Streuung ∆n bei der Messung der Photonenzahl mit dem Erwartungswert
hn|n̂|ni = n
2
2
∆n = n (n̂ − n1 ) n = hn|n̂2 − 2nn̂ + n2 1 |ni = 0.
Für die Streuung ∆E bei der Messung der elektrischen Feldstärke E erhält man
h̄ω
1
2
2
n+
.
∆E = n(Ê − hn|Ê|ni) n = hn|Ê |ni =
εV
2
2
Da n streuungsfrei gemessen wird, streuen die Messwerte für E.
Zur Konstruktion eines Zustandes |αi, mit dem der Erwartungswert der elektrischen Feldstärke
die Form eine ebenen Welle
hα|E|αi = E0 sin i(q · r − ωt + ϕ)
annimmt, sei |αi = D(α)|0i mit α ∈ C, dem Vakuumzustand |0i und dem Operator
D(α) = exp αc
+
∗
exp {−α c} exp
n
n 1
o
1 2o
∗
2
+
+
− |α|
; D (α) = exp −αc exp {α c} exp − |α| .
2
2
Zum Beweis ist zu beachten, dass die Operatoren c und c+ wegen [c, c+ ] = 1 ebenso wie die
Operatoren exp {αc+ } und exp {−α∗ c} nicht miteinander vertauschbar sind. Zuerst wird eine hilfreiche
Formel bewiesen: Seien a, b zwei nicht vertauschbare Operatoren, die aber mit ihrem Kommutator
vertauschbar sind [a, b] = x und [a, x] = 0 = [b, x], dann gilt
exp {b} exp {a} = exp {a} exp {b} exp {−x} .
Für n ∈ N gilt zunächst [a, bn ] = nbn−1 x, was man durch vollständige Induktion beweist: Sie ist
richtig für n = 1 und man findet
[a, bn+1 ] = abn b − bn ba = bn ab + nbn−1 xb − bn ba = bn ba + bn x + nbn x − bn ba = (n + 1)bn x.
Damit findet man
∞
∞
∞
∞
X
X
X
1
bn−1
1 ni X 1
n
n−1
b =
[a, b ] =
nb
x=
x = exp {b} x = x exp {b} ,
[a, exp {b}] = a,
n!
n!
n!
(n
−
1)!
n=1
n=1
n=0
n=0
h
mit der Folge exp {b} a = (a − x) exp {b}. Daraus ergibt sich exp {b} an = (a − x)n exp {b} durch
vollständige Induktion, denn es ist exp {b} an+1 = (a − x)n exp {b} a = (a − x)n (a − x) exp {b} .
P∞ n
Durch Aufsummieren der Exponentialreihe exp {a} = n=0 a /n! ergibt sich schließlich
exp {b} exp {a} = exp {a − x} exp {b} = exp {a} exp {−x} exp {b} = exp {a} exp {b} exp {−x} .
Setzt man nun a = −α∗ c, b = −αc+ mit α ∈ C und x = [a, b] = |α|2 1 , so findet man
D(α)D + (α) = exp αc+ exp {−α∗ c} exp −αc+ exp {α∗ c} exp −|α|2
= exp αc+ exp −αc+ exp {−α∗ c} exp {α∗ c} exp |α|2 exp −|α|2 = 1 .
Also ist der Operator D(α) unitär und der Zustand |αi ist normiert
hα|αi = D(α)|0iD(α)0 = h0|D + (α)D(α)|0i = h0|0i = 1.
Wegen c|0i = 0|0i und exp {−α∗ c} |0i = |0i gilt ferner
|αi = D(α)|0i = exp αc
+
∗
exp {−α c} exp
n
n 1
o
+
1 2o
2
− |α| |0i = exp αc exp − |α| |0i.
2
2
Setzt man nun a = c, b = αc+ mit x = [a, b] = α1 , so erhält man aus exp {b} a = (a − x) exp {b} die
Formel exp {αc+ } c = (c − α1 ) exp {αc+ } und es folgt
exp αc+ c exp −αc+ |αi = (c − α1 ) exp αc+ exp −αc+ |αi = (c − α1 )|αi
n 1
o
o
n 1
+
+
+
2
2
+
= exp αc c exp −αc exp αc exp − |α| |0i = exp αc exp − |α| c|0i = 0|0i.
2
2
Also ist |αi eine Eigenfunktion von c zum Eigenwert α: c|αi = α|αi und c+ |αi = α∗ |αi. Damit findet
man den Erwartungswert der elektrischen Feldstärke E im Zustand |αi mit α = |α| exp {iϕ}
D i r h̄ω h
+ i E
u exp i(q · r − ωt) c − exp − i(q · r − ωt) c α
hα|Ê|αi = α √
2 εV
r
∗i
i
h̄ω h
u exp i(q · r − ωt) α − exp − i(q · r − ωt) α
= √
2 εV
r
h
i
h̄ω
i
= √
u|α| exp i(q · r − ωt + ϕ) − exp − i(q · r − ωt + ϕ)
2 εV
r
√
h̄ω
u|α| sin{q · r − ωt + ϕ}.
=− 2
εV
Der Zustand |αi =
∞
X
n=0
|nihn|αi ist eine Linearkombination verschiedener Photonenzahlzustände, die
sich zu einer einzigen ebenen Welle überlagern, was als kohärenter Zustand bezeichnet wird, und bei
Lasern oberhalb der Anregungsschwelle auftritt.
Zur Veranschaulichung der kohärenten Zustände |αi entwickeln wir sie nach den Basisfunktionen
der Photonenzahlzustände |ni, die wir durch Erzeugungsoperatoren c+ und den Vakuumzustand |0i
ausdrücken
1
|ni = √ c+n |0i mit hn|mi = δnm .
n!
Es ergibt sich wegen exp {−α∗ c} |0i = |0i
o
n 1
2
|αi = D(α)|0i = exp − |α| exp αc+ exp {−α∗ c} |0i
2
n 1
o
= exp − |α|2 exp αc+ |0i
2
∞
∞
n 1
n 1
oX
oX
αn +n
αn
2
2
√ |ni.
= exp − |α|
c |0i = exp − |α|
2
n!
2
n!
n=0
n=0
Aus der Reihenentwicklung nach den Photonenzahlzuständen |αi =
scheinlichkeit dafür, im Zustand |αi n Photonen zu finden
2
|α|2n
exp − |α|2
Wn (α) = hn|αi =
n!
mit
∞
X
n=0
∞
X
n=0
|nihn|αi ergibt sich die Wahr-
Wn (α) = 1.
Diese Wahrscheinlichkeit ist eine Poisson-Verteilung Wn (α) = Pn |α|
xn
exp {−x}
Pn (x) =
n!
4
×10
3
∞
X
mit
Pn (x) = 1
und
n=0
Z
mit
∞
Pn (x) dx = 1.
0
Wn (2)
2
W1 (α)
2
×10
W5 (α)
2
1
W9 (α)
1
0
0
1
2
3
4
5
6α
n
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
Die mittlere Photonenzahl im kohärenten Zustand |αi ist
hα|n̂|αi =
0,1,...∞
X
n,m
hα|nihn|n̂|mihm|αi =
0,1,...∞
X
n,m
∞
∞
X
2 X
hα|nimδnm hm|αi =
nhα|ni =
nWn (α)
n=0
∞
∞
2X
X
|α|2(n−1)
|α|2n
2
= exp − |α| |α|
= |α|2 ,
n
= exp − |α|
n!
(n − 1)!
n=1
n=0
2
n=0
und für die Streuung bei der Messung der Photonenzahl erhält man ∆n = |α|:
0,1,...∞
X
2 2
2
hα|ni n n̂ − |α|2 m hm|αi
∆n = α n̂ − hα|n̂|αi α =
=
=
=
∞
X
n=0
∞
X
n=0
∞
X
n=0
n − |α|
2 2
2
hn|αi =
n2 Wn (α) − 2|α|2
∞
X
n=0
n,m
∞
X
n=0
n − |α|2
2
nWn (α) + |α|4
Wn (α)
∞
X
Wn (α)
n=0
n2 Wn (α) − |α|4 = |α|2 ,
denn es ist
∞
X
∞
X
|α|2n
exp − |α|2
n(n − 1)
n(n − 1)Wn (α) =
n!
n=0
n=0
∞
X
|α|2(n−2)
4
2
= |α|
exp − |α| = |α|4
(n − 2)!
n=2
=
∞
X
n=0
2
n Wn (α) −
∞
X
n=0
nWn (α) =
∞
X
n=0
n2 Wn (α) − |α|2 .

Zugehörige Unterlagen

Ubungsblatt 5 - RISC-Linz

Grundkonzepte der Optik, SS 2014 Übungsserie 7

Taylor-Entwicklung, Endliche Reihen, Eindimensionale Integration

Methoden der theoretischen Optik - Institut für Theoretische Physik

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