Donsker-Klassen - Ruhr

Donsker-Klassen
D. Jarczyk ([email protected])
10./24. Mai 2016
Definition. Sei (X, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und F ⊂ L2 (P ). Dann heißt
F Donsker-Klasse für P bzw. P -Donsker, falls F prägauß ist für P und νn ⇒ GP in
l∞ (F ).
Definition. Sei (S, d) ein metrischer Raum und f eine reellwertige Funktion auf S.
Dann ist die Lipschitz-Seminorm von f definiert durch
||f ||L := sup{|f (x) − f (y)|/d(x, y) : x 6= y}.
f heißt Lipschitz-Funktion, falls ||f ||L < ∞.
Die beschränkte Lipschitz-Norm ist definiert durch ||f ||BL := ||f ||L + ||f ||∞ . Dann
heißt f eine beschränkte Lipschitz-Funktion, falls ||f ||BL < ∞.
Theorem (3.6.1, Portmanteau für ∗ ). Sei (S, d) ein metrischer Raum. Für n =
0, 1, 2, . . . seien (Xn , An , Qn ) Wahrscheinlichkeitsräume und fn Funktionen von Xn
nach S. Darüber hinaus liege das Bild von f0 in einer separablen, messbaren Teilmenge
von S und sei P := Q0 ◦ f0−1 . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) fn ⇒ f0 ;
(a0 ) lim supn→∞ E∗ G(fn ) ≤ EG(f0 ) für jede beschränkte, stetige, reellwertige Funktion G auf S;
(b) E∗ G(fn ) → EG(f0 ), n → ∞, für jede beschränkte Lipschitz-Funktion G auf S;
(b0 ) lim supn→∞ E∗ G(fn ) ≤ EG(f0 ) für jede beschränkte Lipschitz-Funktion G auf
S;
(c) sup{|E∗ G(fn ) − EG(f0 )| : ||G||BL ≤ 1} → 0 für n → ∞;
(d) für alle abgeschlossenen Teilmengen F ⊂ S gilt:
P (F ) ≥ lim supn→∞ Q∗n (fn ∈ F );
(e) für alle offenen Teilmengen U ⊂ S gilt:
P (U ) ≤ lim inf n→∞ (Qn )∗ (fn ∈ U );
(f ) für alle Teilmengen A ⊂ S mit P (∂A) = 0 gilt:
Q∗n (fn ∈ A) → P (A) und (Qn )∗ (fn ∈ A) → P (A) für n → ∞;
(g) es existiert ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, S, Q) und messbare Funktionen gn
von Ω nach Xn und hn von Ω nach S, so dass gn perfekt sind, Q ◦ gn−1 = Qn
und Q ◦ h−1
n = P für alle n und d(fn ◦ gn , hn ) → 0 fast uniform gilt.
Außerdem bleibt (g) korrekt, falls die fast uniforme Konvergenz durch Konvergenz in
äußerer Wahrscheinlichkeit ersetzt wird.
Definition. Sei (S, d) ein metrischer Raum. Für m = 0, 1 seien (Xm , Am , Qm ) Wahrscheinlichkeitsräume und fm Funktionen von Xm nach S. Darüber hinaus liege das
Bild von f0 in einer separablen, messbaren Teilmenge von S und sei P := Q0 ◦ f0−1 .
Dann definieren wir
β(f1 , f0 ) := sup{|E∗ G(f1 ) − EG(f0 )| : ||G||BL ≤ 1},
und für nichtleere, abgeschlossene Teilmengen F ⊂ S
ρ(f1 , f0 ) := inf{ε > 0 : sup[P (F ) − (Q1 )∗ (f1 ∈ F ε )] ≤ ε}.
F
Satz (3.6.4). Sei (S, d) ein metrischer Raum. Für m = 0, 1, 2, . . . seien (Xm , Am , Qm )
Wahrscheinlichkeitsräume und fm Funktionen von Xm nach S. Darüber hinaus liege
das Bild von f0 in einer separablen, messbaren Teilmenge von S. Dann sind äquivalent:
(i) fm ⇒ f0 ;
(ii) β(fm , f0 ) → 0 für m → ∞;
(iii) ρ(fm , f0 ) → 0 für m → ∞.
Definition. Eine Klasse von Funktionen F genügt der asymptotischen gleichgradigen
Stetigkeitsbedingung bzgl. P und einer Pseudometrik τ auf F (Not.: F ∈ AEC(P, τ )),
falls für jedes ε > 0 ein δ > 0 und ein n0 ∈ N existiert, so dass für alle n ≥ n0 gilt:
Pr∗ [sup{|νn (f − g)| : f, g ∈ F, τ (f, g) < δ} > ε] < ε.
Theorem (3.7.2). Sei F ⊂ L2 (X, A, P ). Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) F ist eine Donsker-Klasse bzgl. P ;
(ii) F ist totalbeschränkt bzgl. ρP und F ∈ AEC(P, ρP );
(iii) Es existiert eine Pseudometrik τ auf F, so dass F totalbeschränkt ist bzgl. τ und
F ∈ AEC(P, τ ).
Satz (3.8.1). Sei (X, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und F1 und F2 seien DonskerKlassen bzgl. P . Dann ist F := F1 ∪ F2 ebenfalls eine Donsker-Klasse bzgl P .
Satz (3.9.1). Sei (X, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei {Cm }m≥1 eine Folge
messbarer Mengen. Falls
∞
X
(P (Cm )(1 − P (Cm )))r < ∞
für ein
r<∞
(1)
m=1
gilt, dann ist {Cm }m≥1 eine Donsker Klasse bzgl. P . Sind umgekehrt die Mengen Cm
unabhängig bzgl. P , dann ist die Folge {Cm }m≥1 nur dann eine Donsker Klasse, falls
(1) gilt.
Satz (3.9.8). Sei {fm }m≥1 ⊂ L2 (X, A, P ) und
eine Donsker-Klasse bzgl. P.
P∞
m=1
Var(fm ) < ∞. Dann ist {fm }m≥1
Proposition (3.9.9). Sei X := [0, 1] und sei P das Lebesgue-Maß
P∞ auf X. Für m =
0, 1, 2, . . . sei am > 0, so dass am & 0 gilt und die Reihe
m=1 am = +∞ nicht
endlich ist. Dann existiert eine Folge {fm }m≥1 ⊂ L2 (P ) mit Var(fm ) ≤ am für alle
m, so dass {fm }m≥1 keine Donsker-Klasse ist.
Satz (3.40, 2. Auflage). Sei (X, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und F ⊂ L2 (X, A, P )
eine Donsker-Klasse bzgl P . Ferner existiere eine Einhüllende F ∈ L2 (X, A, P ) für F,
d.h. für alle x ∈ X und f ∈ F gilt |f (x)| ≤ F (x). Sei G diejenige Klasse von Funktionen g : X → R, so dass gm ∈ F existieren mit gm (x) → g(x) für alle x ∈ X. Dann ist
G ebenfalls P -Donsker.