Übung 3 - Universität Konstanz

Universität Konstanz
Lehrstuhl für Statistik
SS 2006
Statistik I
Übungsblatt 3
Charakterisierung und Messung von Lage, Streuung und Schiefe
Aufgabe 3.1
a)
Gegeben seien die folgenden 8 Beobachtungswerte:
x1 = 4, x 2 = 3, x3 = 2, x 4 = 5, x5 = 10, x 6 = 7, x7 = 5, x8 = 20 .
Dann gilt:
R F
 
x (3 ) = 1 ,
 
x ( 4 ) = x (5 ) ,
 
x5 hat Tiefe 2.
b)
Welche Aussagen sind richtig?
R F
  Aus dem α -Quantil kann man leicht das ( 1 − α )-Quantil berechnen,
xα = 1 − ~
x1−α .
da allgemein gilt ~
  Bei einer symmetrischen Verteilung stimmen die mittleren Quantilsabstände (vgl. Formelsammlung 6.6) für unterschiedliche α überein.
  Der Quartilsabstand ist kleiner oder gleich dem Quintilsabstand.
c)
R



Eine Befragung von Studenten bezüglich ihrer monatlichen Ausgaben
in Euro ergab:
5%
der Studenten liegen bei
500 bis unter 700 Euro,
50%
bei
700 bis unter 900 Euro,
40%
bei
900 bis unter 1100 Euro,
5%
bei
1100 bis unter 1500 Euro.
F



Die durchschnittlichen monatlichen Ausgaben betragen 895 Euro.
Die Standardabweichung der Ausgaben ist kleiner als 1500 Euro.
Die mittlere absolute Abweichung vom Median beträgt -50.43 Euro.
d)
R



Gegeben seien die folgenden 8 Beobachtungswerte: 4, 3, 2, 5, 10, 7, 5 und 200.
Bei der Angabe des letzten Wertes handelt es sich höchstwahrscheinlich um einen
Übertragungsfehler.
F



e)
Der MAD ist für diesen Datensatz kleiner als 20.
Der MAD ist für diesen Datensatz größer als 5.
Der MAD ist für diesen Datensatz ein geeigneteres Streuungsmaß als die
Standardabweichung.
Gegeben seien n Beobachtungswerte x1 , x 2 ,K, x n , die einer linearen Transformation
der Form y i = 0.1 xi − 2 (i = 1, 2, ..., n) unterzogen werden. Dann gilt:
R F
 
y (n ) − y (1) = 0.1 (x(n ) − x(1) ) ,
 
 
y = 0.1 x − 2 ,
σ y2 = 0.01 σ x2 + 4 .
Aufgabe 3.2
Folgende Punktergebnisse erzielten 20 Studenten in einer Klausur:
50, 63.5, 41, 72.5, 74, 71.5, 98, 61.5, 41.5,
49, 87, 50, 42.5, 81.5, 82, 52, 39, 33, 73, 79.
a) Berechnen Sie
(i) arithmetische Mittel (Kontrolllösung: 62.075),
(ii) Median (62.5) sowie
(iii) 1. und das 3. Quartil (45.75, 76.5).
b) Bilden Sie Klassen der Breite 20 Punkte beginnend bei 20 und berechnen Sie
(i) arithmetisches Mittel (63),
(ii) Median (62.857),
(iii) 1. und 3. Quartil (48.571, 77.143) sowie
(iv) den Modus
für die klassierten Daten.
c) Berechnen Sie die folgenden Streuungsmaße für die Urliste:
(i) Varianz (331.33),
(ii) Standardabweichung (18.2),
(iii) Spannweite (65),
(iv) Quartilsabstand (30.75),
(v) MAD (15) und
(vi) Mittlere absolute Abweichung vom Median (16.125).
Aufgabe 3.3
a) Bestimmen Sie aus dem in Aufgabe 2.3 gezeichneten Summenpolygon Median,
0.1-, 0.25-, 0.5-, 0.75- und 0.9-Quantil ab. Überprüfen Sie durch Rechnung.
(10.05, 23.0, 40.7, 59.33, 83.40)
b) Berechnen Sie den 0.25- und den 0.1-Quantilskoeffizienten der Schiefe.
(0.0256, 0.1643)
Aufgabe 3.4
Folgende Tabelle zeigt die Verteilung der Höhe des Haushaltsnettoeinkommens in DM von
Familien mit Kindern unter 18 Jahren im 1. Halbjahr 1998 für Deutschland (s. Aufgabe 2.4).
Monatliches Haushaltsnettoeinkommen in DM
Haushalte insgesamt in Prozent
[0, 1800)
[1800, 2500)
[2500, 3000)
[3000, 4000)
[4000, 5000)
[5000, 7000)
[7000, 10000)
[10000, 35000]
8.7
11.6
8.3
15.5
13.2
19.7
14.4
8.6
Summe
100
Quelle: Erster Armuts- und Reichtumsbericht der Bundesregierung, S. 87.
Berechnen Sie
(i) den Pearson'schen Schiefekoeffizienten (0.595) und den
(ii) den Quartilskoeffizienten der Schiefe (0.1709).
Aufgabe 3.5
Gegeben seien folgende beiden Datensätze:
Datensatz 1: 1, 1, 2, 1, 3, 5, 9, 1, 14, 200, 2,
Datensatz 2: 1, 3, 8, 10, 5, 13, 200, 15, 16, 11, 18.
Berechnen Sie für beide Datensätze jeweils das 20%-getrimmte Mittel und das
20%-winsorisierte Mittel (3.28, 3.91, 11.14, 10.91).
Bei welchem Datensatz ist die Differenz der beiden Lagemaße größer?
Wie erklären Sie sich diesen Sachverhalt?
Aufgabe 3.6
Folgende Grafik zeigt das jährliche Wirtschaftwachstum in Deutschland von 1992 bis 2004.
Berechnen Sie das durchschnittliche Wirtschaftswachstum von 1992 bis 2004 (1.27%).