Serie 0

D-HEST,
Prof. Dr. E. W. Farkas
M. Nitzschner
Mathematik III
HS 2017
Serie 0
In der Vorlesung Mathematik III spielen Differentialgleichungen eine zentrale Rolle.
Wir werden deren Theorie, welche im FS17 nur in Teilen diskutiert wurde, vertiefen
und ausbauen.
Zur Auffrischung bearbeiten Sie bitte folgende Fragen aus Mathematik II bis Dienstag, den 26.09.2017.
1. Betrachten Sie die Differentialgleichung y 0 (x) =
y
x ln(x)
+ (ln(x))2 für x > 1.
a) Bestimmen Sie mittels Trennung der Variablen die allgemeine Lösung der zugehrigen homogenen Differentialgleichung.
b) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung durch
Variation der Konstanten.
c) Lösen Sie das Anfangswertproblem y 0 (x) =
y
x ln(x)
+ (ln(x))2 , y(e) = 3.
2. Das Wachstum einer Bakterienpopulation sei beschrieben durch das Anfangswertproblem
d
P (t) = λP (t)(G − P (t)),
P (0) = P0 .
dt
mit reellen Parametern λ, G, P0 > 0.
a) Welche anschauliche Bedeutung haben die Parameter λ und G?
b) Lösen Sie das Anfangswertproblem zunächst für allgemeine λ, G > 0. Für λ =
10−7 und G = 3 · 106 , skizzieren Sie die Lösungen für die verschiedenen Anfangs(1)
(2)
bedingungen P0 = 0.5 · 106 und P0 = 4 · 106 in ein Koordinatensystem.
Bitte wenden!
3. In einer wässriger Lösung von D-Glucose bildet sich ein Gleichgewicht der Anomere α-D-Glucose und β-D-Glucose (’Mutarotation’), entsprechend der Gleichung:
α-D-Glucose *
) β-D-Glucose.
Die Konzentrationen der einzelnen Anomere bezeichnen wir mit cα und cβ . Wir
gehen davon aus, dass zum Zeitpunkt t = 0 nur α-D-Glucose in der Lösung vorliegt,
cα (0) = c0,α > 0 und cβ (0) = 0. Für die Reaktion gilt:
−
d
cα (t) = λ+ cα (t) − λ− cβ (t),
dt
c0,α = cα (t) + cβ (t).
a) Ermitteln Sie cα (t) und cβ (t) unter den gegebenen Anfangsbedingungen.
b) Finden Sie die Gleichgewichtskonzentrationen cα,GG = limt→∞ cα (t) und cβ,GG =
limt→∞ cβ (t), sowie die Halbwertszeit TH mit cβ (TH ) = 12 cβ,GG .
c) Bei Raumtemperatur liegen im Gleichgewicht etwa 63.5% β-D-Glucose und 36.5%
α-D-Glucose vor. Weiterhin kann man durch polarimetrische Messungen bestimmen, dass TH ' 150 min ist. Bestimmen Sie daraus die Werte von λ− und λ+ .
Siehe nächstes Blatt!
4. Wir betrachten die folgende Differentialgleichung, die einen getriebenen harmonischen Oszillator beschreibt:
x00 (t) + 2µx0 (t) + ω02 x(t) = f0 cos(ωt),
(1)
wobei µ, ω0 , ω, f0 > 0.
a) Geben Sie die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung in den Fällen ω02 − µ2 > 0 und ω02 − µ2 < 0 an.
Für eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung betrachten wir die
komplexe Differentialgleichung
z 00 (t) + 2µz 0 (t) + ω02 z(t) = f0 eiωt .
(2)
Falls z(t) eine Lösung von (2) ist, so löst x(t) = Re z(t) die Gleichung (1).
b) Zeigen Sie, dass der Ansatz z(t) = Aeiωt die Gleichung für ein bestimmtes A löst
und geben Sie |A| in Abhängigkeit von f0 , µ, ω0 und ω an.
c) Begründen Sie, dass für t → ∞ nur die spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung von Bedeutung ist. Wie verhält sich |A| für µ → 0, falls ω = ω0
und falls ω 6= ω0 ?
Bitte wenden!
5. Das erste neue Thema werden Fourierreihen sein. Hier eine Aufgabe zum Einstieg.
a) Bei der Berechnung von Integralen von trigonometrischen Funktionen spielen
Additionstheoreme und andere trigonometrische Identitäten eine entscheidende
Rolle. Zeigen Sie die folgenden Identitäten
1
1
cos((m − n)x) − cos((m + n)x) für ganze Zahlen m, n
2
2
sin2 (x) = 1 − cos2 (x)
1
sin(x) cos(x) =
sin(2x)
2
4 sin3 (x) = 3 sin(x) − sin(3x).
sin(mx) sin(nx) =
Hinweis: Benutzen Sie: sin(α) =
1
(eiα
2i
− e−iα ) und cos(α) = 12 (eiα + e−iα ).
b) Berechnen Sie folgende Integrale
Rπ
• −π sin(3x) sin(x)dx
Rπ
• −π sin2 (x)dx
Rπ
• −π sin4 (x)dx
Rπ
• −π x2017 cos(x)dx
Rπ
• −π ex cos(x)dx
Abgabe der schriftlichen Aufgaben
Dienstag, den 26.09.2017 in den Übungsstunden und ausserhalb der Zeiten in den
Fächern im Flur vor Raum HG E 65.2.
Präsenz der Assistenzgruppe
Zweimal in der Woche beantworten Assistierende in einer Präsenz Fragen: Montag
und Donnerstag von 12 bis 13 Uhr im HG G 32.6.