Konstruktion normaler Zahlen mittels Funktionen

Konstruktion normaler Zahlen
mittels Funktionen
Manfred G. Madritsch
[email protected]
1 Institut
für Analysis und Computational Number Theory (Math A)
Technische Universität Graz
Privatissimumsvortrag
Madritsch (TU Graz)
Konstruktion normaler Zahlen
PV
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Inhalt
1
Motivation
2
Definitionen
Was ist eine normale Zahl?
Gleichverteilung
3
Die Konstruktion normaler Zahlen
Erste Konstruktionen
Generierende Funktionen
4
Unsere Verbesserung
Das Resultat
Beweisidee
5
Andere Ziffernsysteme
Algebraische Zahlkörper
Polynomring über Fq
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Typische reelle Zahlen
Im 19. Jahrhunder konnte Cantor beweisen, dass das Continuum
überabzählbar ist. Darauf aufbauend gründeten Borel und Lebesgue
die moderne Maßtheorie. Dabei waren sie auf der Suche nach
typischen reellen Zahlen. Darunter verstanden sie Zahlen, die anders
als die rationalen waren und damit zu der Überabzählbarkeit beitrugen.
Ein Beispiel sind irrationale Zahlen, ein anderes die normalen Zahlen.
Dies ist der eine Zugang zu normalen Zahlen. Ein anderer beschäftigt
sich mit der Frage, ob z.B. in der Zahl π jeder mögliche Ziffernblock
gleich oft vorkommt. Weiter noch, ob diese Eigenschaft von der
gewählten Basis abhängt oder nicht. Diese Probleme sind noch
ungelöst und auch fern einer möglichen Lösung.
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Definition normaler Zahlen
Definition
Eine normale Zahl ist eine Zahl in deren q-adischer Ziffernentwicklung
ein jeder Block asymptotisch gleich oft vorkommt.
Mathematisch gesagt:
Definition
Sei q ≥ 2 und 0 < θ < 1. Sei weiters θ = 0.a1 a2 . . . die q-adische
Darstellung von θ. Dann sagen wir θ ist eine normale Zahl zur Basis q,
wenn für alle ` ≥ 0 und alle möglichen Ziffernblöcke
d1 . . . d` ∈ {0, . . . , q − 1}` gilt
|{n ≤ N : an an+1 . . . an+`−1 = d1 . . . d` }|
= q −` .
N
N→∞
lim
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Definition normaler Zahlen
Nachdem wir öfters die Anzahl der gleichen Ziffernblöcke im
Anfangsabschnitt einer q-adischen Zahl benötigen, definieren wir uns
N (θ; N, d1 . . . d` ) = |{n ≤ N : an an+1 . . . an+`−1 = d1 . . . d` }|
Definition
Sei 0 < θ < 1. θ ist absolut normal, wenn es normal zu jeder Basis q
ist.
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Gleichverteilung
Sei (an )n≥1 eine Folge reeller Zahlen im `-dimensionalen
Einheitswürfel R` .
Definition
Wir nennen (an )n≥1 gleichverteilt modulo 1, wenn für jedes Intervall
I ⊂ R` /Z` gilt
lim
N→∞
|{n ≤ N : an ∈ I}|
= λ` (I)
N
wobei mit λ` das `-dimensionale Lebesgue-Maß gemeint ist.
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Verbindung zwischen normalen Zahlen und
gleichmäßiger Verteilung
Die folgende Verbindung wird ein essenzieller Bestandteil in der Idee
des Beweises sein.
Theorem
Eine Zahl θ ist normal zu einer Basis q
dann und nur dann, wenn
die Folge an = q n θ gleichverteilt modulo 1 ist.
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Wie viele normale Zahlen gibt es?
Eine der ersten Fragen, die bei der Definition normaler Zahlen auftritt,
ist jene nach deren Anzahl.
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Wie viele normale Zahlen gibt es?
Eine der ersten Fragen, die bei der Definition normaler Zahlen auftritt,
ist jene nach deren Anzahl.
Theorem
Fast alle Zahlen sind normal.
√
Wir wissen aber nicht ob π, 2 oder e absolut normal sind.
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Die erste Konstruktion normaler Zahlen
Die normalen Zahlen waren schon länger bekannt. Dennoch konnte
niemand eine konstruieren, bis Chambernowne bewies, dass
0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . .
normal zur Basis 10 ist. Auf dieselbe Art und Weise können wir zu
jeder ganzzahligen Basis eine Zahl konstruieren die normal ist.
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Konstruktion normaler Zahlen
Champernowne vermutete, dass auch die Zahl
0.2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 . . .
normal zur Basis 10 ist.
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Konstruktion normaler Zahlen
Champernowne vermutete, dass auch die Zahl
0.2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 . . .
normal zur Basis 10 ist.
Dies wurde von Copeland und Erdös in folgendem Satz bewiesen
Theorem
Wenn a1 , a2 , . . . eine monoton steigende Folge natürlicher Zahlen ist,
sodass für jedes θ < 1 die Anzahl der a’s bis N größer als N θ ist, für N
groß genug, dann ist die Zahl
0.a1 a2 a3 . . .
normal zu Basis q in welcher die a’s dargestellt sind.
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Konstruktion normaler Zahlen
Der nächste Schritt ist die Verallgemeinerung der obringen Vorschrift
auf Funktionen. Dabei werden wir zuerst voraussetzen, dass alle
Funktionswerte ganz sind und später dann selbst darauf verzichten.
Dazu definieren wir uns
θf = 0.[f (1)][f (2)][f (3)][f (4)][f (5)][f (6)][f (7)] . . .
wobei [f (n)] die q-adische Entwicklung des ganzzahligen Anteils von
f (n) darstellt.
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Konstruktion normaler Zahlen
Davenport und Erdös haben gezeigt, dass, wenn f ein Polynom ist, die
für alle n ∈ N als Funktionswert f (n) eine ganze Zahl ergibt, die Zahl θf
normal ist.
Schiffer konnte dies auf Polynome mit rationalen Koeffizienten
verallgemeinern. Schließlich haben Nakai und Shiokawa bewiesen,
dass
Theorem
Sei q ≥ 2 eine natürliche Zahl und f ein Polynom mit reellen
Koeffizienten, sodass f (x) > 0 für alle x > 0, dann ist
θf = 0.[f (1)][f (2)][f (3)][f (4)][f (5)][f (6)][f (7)] . . .
normal zur Basis q.
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Konstruktionen über Primzahlen
Parallel dazu wurden normalen Zahlen, die mittels Funktionen über
den Primzahlen erzeugt wurden, betrachtet. Dazu definieren wir
τf = 0.[f (2)][f (3)][f (5)][f (7)][f (11)][f (13)][f (17)][f (19)] . . .
wobei die Funktion über den Primzahlen ausgewertet wird. In diesem
Fall konnten Nakai and Shiokawa zeigen, dass
Theorem
Sei f (x) ein Polynom, das ganzahlige Werte auf den natürlichen
Zahlen annimmt. Dann ist τf normal.
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Logarithmische Ordnung
Wir definieren, was wir unter logarithmischem Wachstum verstehen:
Definition
Sei f eine Funktion. Dann nennen wir
M(r , f ) := max|f (z)|
|z|≤r
den Maximum-Modulus. Wir definieren die logarithmische Ordnung
von f als
λ = λ(f ) := lim sup
r →∞
log log M(r , f )
.
log log r
Für λ < ∞ sagen wir, dass f endliche logarithmische Ordnung λ hat.
Wie wir später sehen werden, interessieren uns nur Funktionen mit
logarithmischer Ordnung 1 < λ < 2. Diese Beschränkung ist von
Arbeiten von Karatsuba und Baker motiviert.
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Die Verfeinerung
M., Thuswaldner und Tichy verallgemeinerten obige Konstruktionen
auf den Fall ganzer Funktionen mit kleinem logarithmischen
Wachstum.
Theorem (M., Thuswaldner, Tichy)
Sei q ≥ 2 die Basis. Sei f eine transitive ganze Funktion die reelle
Werte auf den reellen Zahlen annimmt. Sei λ = λ(f ) die logarithmische
Ordnung von f . Wenn λ < 34 , dann sind die Zahlen
0.[f (1)][f (2)][f (3)][f (4)][f (5)][f (6)] . . .
und
0.[f (2)][f (3)][f (5)][f (7)][f (11)][f (13)] . . .
normal zur Basis q.
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Die drei Zutaten
Wir fixieren den Block, dessen Häufigkeit wir bestimmen wollen.
Außerdem bezeichnen wir mit N die von den ersten N
Funktionswerten konstruierte Zahl.
Wir benötigen
eine Indikatorfunktion für den Ziffernblock (Vinogradov),
eine Abschätzung für die Anzahl der Nullstellen in einem Kreis um
Null (Chern),
ein Gleichverteilungsresultat für (f (n))n≥1 (Baker).
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Vorbereitungen
Wir zeigen hier nur den Fall θf . Für τf geht alles analog.
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Vorbereitungen
Wir zeigen hier nur den Fall θf . Für τf geht alles analog.
Der größte Unterschied gegenüber einem Polynom ist, dass bei
diesem, wenn wir nur genügend weit vom Ursprung weggehen, nur
mehr noch die höchste Potenz dominant wird. Hingegen bei einer
transitiven ganzen Funktion gibt es keine höchste Potenz.
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Vorbereitungen
Wir zeigen hier nur den Fall θf . Für τf geht alles analog.
Der größte Unterschied gegenüber einem Polynom ist, dass bei
diesem, wenn wir nur genügend weit vom Ursprung weggehen, nur
mehr noch die höchste Potenz dominant wird. Hingegen bei einer
transitiven ganzen Funktion gibt es keine höchste Potenz.
Es ist unmittelbar einsichtig, dass nachdem f (z) unbeschränkt ist, nur
die Funktionswerte von Interesse sind und wir die Zwischenräume
vernachlässigen können.
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Zählweise
Da die Indikatorfunktionen nur im Intervall [0, 1) arbeiten, müssen wir
den Dezimalpunkt der Funktionswerte durch Division durch eine
Potenz von q geeignet verschieben.
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Zählweise
Da die Indikatorfunktionen nur im Intervall [0, 1) arbeiten, müssen wir
den Dezimalpunkt der Funktionswerte durch Division durch eine
Potenz von q geeignet verschieben.
Damit wir nicht zuweit verschieben und somit zuviele Blöcke zählen,
teilen wir die Menge {1, . . . , N} in Teilmengen passend zur q-adischen
Länge von f (n).
n ∈ Ij :⇔ f (n) ≥ q j .
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Die Indikatorfunktion
Die Indikatorfunktion hat folgende Gestalt:
(
P`
P`
−i ≤ t − [t] <
−i + q −`
1 if
i=1 di q
i=1 di q
I(t) =
0 sonst.
Wir können sie mittels eines Lemmas von Vinogradov durch zwei
Funktionen von oben und unten abschätzen, die eine gute
Fourier-Entwicklung besitzen. Wir definieren I− (t) ≤ I(t) ≤ I+ (t).
Dann haben diese beiden die Fourier-Entwicklung:
I± (t) = q −` ± δ −1 +
∞
X
A± (ν)e(νt)
ν=−∞
ν6=0
Dabei ist δ ein Parameter, den wir in Abhängigkeit vom betrachteten
Intervall Ij wählen.
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Die Indikatorfunktion
Abbildung: I− (t)(blau) , I(t)(rot) und I+ (t)(grün)
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Anzahl der Nullstellen einer ganzen Funktion
Wir wollen nun die Teilmengen Ij in Intervalle aufteilen. Dazu müssen
wir sicherstellen, dass diese immer länger werden für N → ∞. Da jede
Intervallgrenze einer Nullstelle von f − q j gleichkommt, wollen wir
wissen, wieviele Nullstellen ganze Funktionen in einem Kreis um Null
haben. Mit dieser Fragestellung beschäftigt sich die
Nevanlinna-Theorie. Dabei werden Integrale der Form
Z r
n(t, f ) − n(0, f )
dt − n(0, f ) log r
(1)
N(r , f ) =
t
1
betrachtet, wobei mit n(r , f ) die Anzahl der Nullstellen von f in einem
Kreis mit Radius r um Null gemeint sind. Diese Integrale sind durch die
Formel von Jensen motiviert.
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Meromorphe Funktionen mit logarithmischer Ordnung
In einer sehr aktuellen Arbeit beschäftigte sich P. T.-Y. Chern mit der
Frage des Zusammenhangs von Ordnung und n(r , f ). Dabei konnte er
zeigen, dass
Theorem (Chern)
Sei f (x) eine nicht-konstante meromphe Funktion in C. Für jedes
a ∈ C ist N(r , f − a) von logarithmischer Ordnung λ + 1, wobei λ die
logarithmische Ordnung von n(r , f − a) ist.
Aus einer Arbeit von Rahman wissen wir, dass
N(r , f − a) ∼ M(r , f ) ∼ (log r )α
und somit
n(r , f − a) ∼ (log r )α−1 .
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Das Weyl’sche Kriterium
Um Gleichverteilung einer Folge zu zeigen, verwendete Baker
folgenden Satz
Theorem (Weyl’sche Kriterium)
Eine Folge (an )n≥1 von Punkten im `-dimensionalen Raum R` ist
gleichverteilt modulo 1 genau dann, wenn
N
1X
lim
e(h · an ) = 0
N→∞ N
n=1
für alle Gitterpunkte h ∈ Z` \ {0, . . . , 0} gilt.
In unserem Fall ist die Folge gleich (f (n))n≥1 .
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Die Exponentialsummen
Baker konnte zeigen, dass
N
1X
e(l · f (n)) = 0
lim
N→∞ N
n=1
für jedes l ≥ 1. Dies verwenden wir um
∞
X
A± (ν)e(νt)
ν=−∞
ν6=0
abzuschätzen.
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Das Ergebnis
Wir setzen nun δ für jedes Intervall geeignet. Dabei können wir die
Teilmengen durch die Anzahl der Nullstellen in immer länger Intervalle
unterteilen. Wir führen eine Fourier-Transformation durch und
schätzen die auftretende Exponentialsumme mit Hilfe des Satzes von
Baker ab. Damit erhalten wir das gewünschte Resultat.
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Die Schranke bei der logarithmischen Ordnung
Wenn wir uns zurückerinnern hatten wir die Schranke 43 bei der
logarithmischen Ordnung von f . Diese kann man mit den bis jetzt
bekannten Mitteln nicht verbessern, da dies einhergeht mit der
Verbesserung des Vinogradov-Integrals. Die Besten, bis heute
bekannten Resultate (selbst numerisch), sind nur gut genug für 43 .
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Andere Ziffernsysteme
Eine einfache Fragestellung wäre, wie es sich für andere
Ziffernsysteme verhält und ob man dann ähnliche Resultate wie oben
gewinnen kann. Dabei ist es natürlich klar, dass man auch den Begriff
der Normalität entsprechend anpassen muss. Dabei ist durch das
Weyl’sche Kriterium klar, dass man etwas Ähnliches wie
Exponentialsummen benötigen wird. Um effektiv mit ihnen rechnen zu
können benötigen wir jedoch einen kompakte additive topologische
Gruppe.
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Algebraischer Zahlkörper
Nachdem wir immer die Erzeugung normaler Zahlen mittels ganzer
Zahlen betrachtet haben, stellt sich die Frage, wie es sich in einem
Ring der ganzen Zahlen eines algebraischen Zahlkörpers verhält.
Einfachstes Beispiel sind die Gauß’schen ganzen Zahlen Z[i]. Doch
bevor wir beginnen, benötigen wir einen äquivalenten Begriff für
Gleichverteilung und somit auch für normale Zahlen und außerdem
noch ein Ziffernsystem.
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Kanonische Ziffernsysteme
Definition
Sei b ∈ Z[i] und A ein Repräsentantensystem aller Restklassen
modulo b. Wir nennen (b, A) ein kanonisches Ziffernsystem, wenn es
für jede Zahl γ ∈ Z[i] eine eindeutige Darstellung wie folgt gibt:
γ = a0 + a1 b + a2 b2 + · · · + ak bk
mit ai ∈ A und ak 6= 0.
Katai konnte die möglichen Ziffernsystem für Z[i] charakterisieren und
zeigen, dass nur b = −n ± i in Frage kommt.
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Normalität in Z[i]
Nachdem die Mächtigkeit von A durch die Norm von b beschränkt ist
und wir ohne Einschränkungen annehmen können, dass
A = {0, . . . , N(b) − 1} ist, erhalten wir einen äquivalenten Begriff für
Normalität in C. Wir bezeichnen mit N (γ; d1 . . . dl , N) analog zu oben,
die Anzahl der Blöcke d1 . . . dl in den ersten N Ziffern von γ.
Definition
Wir nennen γ eine normale Zahl zur Basis (b, A), wenn
N sup N (γ; d1 . . . dl , N) −
= o(1).
|A|l d1 ...dl
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Normalität in Z[i]
Wie in den natürlichen Zahlen ist die Darstellung nicht immer
eindeutig:
1.0000000000000000 · · · ↔ 0.99999999999999999 . . . .
Dabei kommt das Problem hinzu, dass es nicht immer eine endliche
Darstellung gibt, die äquivalent ist. Trotzdem folgt aus einem Satz von
Müller, Thuswaldner und Tichy, dass man diese nicht-eindeutigen
Darstellungen mittels eines endliche Automaten detektieren kann.
Zusammen mit einer Abschätzung für die Länge der Entwicklung in
(b, A) von Grabner, Kirschenhofer und Prodinger gewinnen wir
äquivalente Sätze zu Champernowne und Copland und Erdös.
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Polynomring über Fq
Dabei geht es um den Ring Fq [X ] und den dazugehörigen Körper
Fq (X ). Diesen kann man mittels einer Bewertung (negativer Grad)
vervollständigen und erhält Fq ((X )). Für den Ring der „ganzen Zahlen”
zu Fq ((X )) wurde von Car, Cohen, Hayes und Webb das Waring-,
Goldbach- und Waring-Goldbach-Problem behandelt.
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Polynomring über Fq
Dabei geht es um den Ring Fq [X ] und den dazugehörigen Körper
Fq (X ). Diesen kann man mittels einer Bewertung (negativer Grad)
vervollständigen und erhält Fq ((X )). Für den Ring der „ganzen Zahlen”
zu Fq ((X )) wurde von Car, Cohen, Hayes und Webb das Waring-,
Goldbach- und Waring-Goldbach-Problem behandelt.
Außerdem zeigte Mireille Car in einer Arbeit die „Répartition modulo 1”
1
für (A k )A für A Polynome oder irrationale Polynome.
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Polynomring über Fq
Dabei geht es um den Ring Fq [X ] und den dazugehörigen Körper
Fq (X ). Diesen kann man mittels einer Bewertung (negativer Grad)
vervollständigen und erhält Fq ((X )). Für den Ring der „ganzen Zahlen”
zu Fq ((X )) wurde von Car, Cohen, Hayes und Webb das Waring-,
Goldbach- und Waring-Goldbach-Problem behandelt.
Außerdem zeigte Mireille Car in einer Arbeit die „Répartition modulo 1”
1
für (A k )A für A Polynome oder irrationale Polynome.
In ähnlicher Weise könnte man hier einen Normalitäts-Begriff
definieren und ein Champernowne-Äquivalent zeigen.
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Zusammenfassung
Konstruktion normaler Zahlen mittels ganzer Funktionen.
Champernowe-Äquivalent über den Gauß’schen Zahlen.
Fragestellungen
I
I
Konstruktion normaler Zahlen mittels Funktionen mit komplexen
Koeffizienten.
Definition von normalen Zahlen in Fq ((X )) und beweis eines
Champernowne-Äquivalents.
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Konstruktion normaler Zahlen
D. G. Champernowne,
The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten.
Arthur H. Copeland and Paul Erdös.
Note on normal numbers.
H. Davenport and P. Erdös.
Note on normal decimals.
Johann Schiffer.
Discrepancy of normal numbers.
Yoshinobu Nakai and Iekata Shiokawa.
Discrepancy estimates for a class of normal numbers.
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Beweisidee
E. C. Titchmarsh,
The theory of functions
I. M. Vinogradov,
The method of trigonometrical sums in the theory of numbers
Peter Tien-Yu Chern,
On meromorphic functions with finite logarithmic order
R. C. Baker.
Entire functions and uniform distribution modulo 1.
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Kanonische Ziffernsysteme
Peter J. Grabner, Peter Kirschenhofer, and Helmut Prodinger,
The sum-of-digits function for complex bases.
I. Kátai and J. Szabó,
Canonical number systems for complex integers.
Wolfgang Müller, Jörg M. Thuswaldner, and Robert F. Tichy,
Fractal properties of number systems.
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