Anfängerpraktikum IV Adiabatenexponent / Freiheitsgrade von CO

Anfängerpraktikum IV
Adiabatenexponent / Freiheitsgrade
von CO2
Praktikumsbericht
René Sedlak, Simon Hönl, Philipp Landgraf
Tutor: Yves Patrick Botchak Mouafi
Durchgeführt am 6.5./13.5.2013
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
3
2 Grundlagen
2.1 1. Hauptsatz der Thermodynamik . . . . .
2.2 Zustandsgrößen . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Reales Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Zustandsänderungen . . . . . . . . . . . .
2.5 Spezifische Wärmekapazität Cp und CV . .
2.6 Poisson-Gleichung und Adiabatenexponent
2.7 Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Ungedämpfte Schwingungen . . . . . . . .
2.9 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Schallgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
3
4
4
6
6
8
8
9
9
3 Versuchsaufbau und Durchführung
3.1 Freiheitsgrade von CO2 . . . . .
3.1.1 Aufbau . . . . . . . . . .
3.1.2 Durchführung . . . . . .
3.2 Adiabatenexponent . . . . . . .
3.2.1 Aufbau . . . . . . . . . .
3.2.2 Durchführung . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
10
10
10
11
11
12
4 Auswertung
4.1 Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Adiabatenexponent . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Verfahren nach Rüchardt und Flammersfeld
4.2.2 Verfahren nach Clément und Desormes . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
17
22
24
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Messunsicherheitsanalyse
25
5.1 Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2 Adiabatenexponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6 Fragen und Aufgaben
27
7 Quellen
28
2
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
1 Einleitung
1 Einleitung
Das Ziel des Experiments ist es, adiabatische Prozesse besser kennenzulernen, wobei im
einen Teil der Adiabatenexponent verschiedener Gase und im zweiten Teil die Temperaturabhängigkeit der Freiheitsgrade von CO2 ebenfalls durch Bestimmung des Adiabatenexponenten gemessen werden.
2 Grundlagen
Im folgenden Kapitel sollen die wichtigsten Grundlagen für den Versuch hergeleitet werden.
2.1 1. Hauptsatz der Thermodynamik
Der erste Hauptsatz der Thermodynamik lautet in einer Formulierung:
Die Summe der einem System von außen zugeführten Wärme und der zugeführten Arbeit
ist gleich der Zunahme der inneren Energie
(Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme (2006))
Es gilt also:
∆U = ∆Q + ∆W
(1)
Wobei ∆U die innere Energie des Systems und ∆Q bzw. ∆W die zugeführte Wärme
bzw. die zugeführte Arbeit ist.
Bei einem idealen Gas manifestiert sich die verrichtete Arbeit durch Volumenarbeit, die
an einem Gasvolumen dV gegen einen Außendruck p verrichtet werden muss. Es gilt:
dW = −p · dV
(2)
Setzt man dies in (1) ein, so erhält man:
dU = dQ − p · dV
(3)
Die Gesamtenergie eines thermischen Systems bleibt also immer konstant.
2.2 Zustandsgrößen
Das folgende Kapitel wird aus unserem Protokoll zu dem Versuch ”Heißluftmotor/Kritischer
Punkt” (3.12.2012) übernommen
In der Thermodynamik wird vor allem die Umwandlung von verschiedenen Energieformen ineinander beschrieben; insbesondere der Übergang von mechanischer in thermische Energie und umgekehrt. Um solche thermodynamischen Prozesse beschreiben zu
können, leitet man sich Zustandsgleichungen her, welche den Zusammenhang zwischen
3
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
2 Grundlagen
Zustandsgrößen wie Druck, Volumen oder Temperatur eines Stoffes beschreiben.. Die
Zustandsgleichung des idealen Gases ist die allgemeine Gasgleichung, die den Zusammenhang zwischen dem Druck p, dem Molvolumen VM , der Temperatur T ([K]) und
der Stoffmenge n des idealen Gases (eines Gases, bei dem zwischen den punktförmigen
Gasteilchen keine Wechselwirkung angenommen wird) beschreibt:
p · V̇M = R · T
(4)
J
die molare Gaskonstante ist. Aus diesen Größen lässt sich die
Wobei R = 8, 314472 molK
innere Energie des Stoffes berechnen. Diese beschreibt die kinetische Energie aller sich
im Stoff bewegenden Teilchen. Für die innere Energie Ui gilt:
Ui = Ekin =
n·R·f ·T
2
(5)
Dabei ist f die Anzahl der Freiheitsgrade des Stoffes (im Falle eines einatomigen Gases
gilt f = 3) und n die Stoffmenge.
Oberhalb des Siedepunktes können Gase über diese Zustandsgleichungen meistens hinreichend gut beschrieben werden, betrachtet man jedoch einen Phasenwechsel, so muss
ein reales Gas betrachtet werden.
2.3 Reales Gas
Im Gegensatz zu einem idealen Gas wechselwirken in einem realen Gas die Teilchen miteinander, so dass sie in verschiedenen Phasen (fest, flüssig, gasförmig) vorliegen können.
Die Zustandsgleichungen oben gelten für ideale Gase, also Gase, bei denen die Teilchen keine Ausdehnung haben und keine Kräfte zwischen ihnen wirken. In der Natur
kommt ein solches Gas nicht vor, weshalb abhängig von der Art des Gases eine sog. Vander-Waals Korrektur durchgeführt werden muss, in der mit den empirisch bestimmten
Konstanten a und b die Kräfte zwischen den Teilchen bzw. das Eigenvolumen der Gasteilchen charakterisiert wird. Es gilt:
n 2 · a · (V − n · b) = n · R · T
(6)
p+
V
Auch die Van-der-Waals Gleichung ist eine Näherung, die nur in einem bestimmten Rahmen gilt.
2.4 Zustandsänderungen
Als Zustandsänderung bezeichnet man in der Thermodynamik einen Vorgang, in dem
sich der Wert der Gasgleichung bzw. der thermodynamischen Potentiale ändert. Man
unterscheidet hierbei zwischen verschiedenen Prozessarten abhängig von den bei dem
Vorgang konstant gehaltenen Größen.
4
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
2 Grundlagen
• Isotherm
Bei einem isothermen Prozess bleiben die Temperatur und die innere Energie des
Gases konstant.
T = const
pV = const
(7)
(8)
• Isobar
Bei diesem Prozess bleibt der Druck des Gases konstant, so dass eine Enthalpiezunahme der zugeführten Wärme entspricht.
p = const
V
= const
T
dH = dQ
(9)
(10)
(11)
• Isochor
Hierbei bleibt das Volumen des Gases konstant, so dass eine Änderung der inneren
Energie der zugeführten Wärme entspricht.
V = const
p
= const
T
(12)
(13)
• Adiabatisch
In einem adiabatischen Prozess findet kein Wärmeaustausch des Systems mit der
Umgebung statt. Technisch sind solche Prozesse sehr schwer zu realisieren, da in
thermodynamischen Prozessen fast immer ein Temperaturgradient entsteht. Näherungsweise kann ein Prozess als adiabatisch angesehn werden, wenn die Temperaturänderung sehr schnell erfolgt. Es gilt dann:
dQ = const
T ·V
= const
κ−1
5
(14)
(15)
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
2 Grundlagen
Abbildung 1: Angestrebte Zustandsänderung im Experiment Quelle: Runge, Bernd-Uwe:
Skript zum AP (2012)
2.5 Spezifische Wärmekapazität Cp und CV
Erhitzt man einen Stoff, so verhält sich die zugeführte Wärme proportional zur Temperaturerhöhung mit dem Faktor c · m, wobei c die spezifische Wärme und m die Masse
des erhitzten Stoffes ist.
∆Q = c · m · ∆T
(16)
c · m wird auch Wärmekapazität genannt, sie charakterisiert, wie viel Wärme einem
Stoff zugeführt werden muss, um ihn um 1K zu erhitzen. Man unterscheidet, ob man
die Temperatur bei konstantem Druck oder bei konstantem Volumen erhöht. Der Index
der Wärmekapazität C gibt an, welche Größe konstant gehalten wird:
CV =
f
·R
2
(17)
f +2
·R
(18)
2
Mit der Gaskonstante R und der Anzahl der Freiheitsgrade f .
Man sieht sofort aus den Gleichungen (17) und (18), dass für die selbe Temperaturdifferenz weniger Wärme zugeführt werden muss, wenn das Volumen konstant gehalten
wird.
Cp = CV + R =
2.6 Poisson-Gleichung und Adiabatenexponent
Die Poisson-Gleichung beschreibt das Verhalten eines Gases bei einer adiabatischen Zustandsänderung.
6
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
2 Grundlagen
Betrachten wir (3) in einer adiabatischen Zustandsänderung (dQ = 0) und dU mit:
dU = CV · dT
(19)
−p · dV = CV · dT
(20)
Dann erhält man:
Die ideale Gaslgeichung nach p aufgelöst und in (20) liefert:
dT
dV
= CV ·
V
T
Integration auf beiden Seiten liefert dann:
−R ·
−R · ln V + const = CV · ln T
ln(T CV · V R ) = const
T
CV
·V
R
= const
√
Schreibt man nun für R = Cp − CV , so ergibt sich die n ?
T CV · V Cp −CV = const
T ·V
Dabei ist
Cp
CV
Cp
CV
−1
= const
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
=: κ der Adiabatenkoeffizient. Es gilt:
κ=
Cp
=
CV
f +2
R
2
f
R
2
=
f +2
f
(27)
Es ergeben sich die Poisson-Gleichungen:
1
T · V κ−1 = const
(28)
eingesetzt in (4) umgeformt nach T :
2
p · V κ = const
(29)
eingesetzt in (4) umgeformt nach V :
3
p1−κ · T κ = const
(30)
In der Natur treten Adiabatische Prozesse meistens dann auf, wenn der Prozess sehr
schnell abläuft, wie beispielsweise Zustandsänderungen in einer Schallwelle.
7
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
2 Grundlagen
2.7 Freiheitsgrade
Die Freiheitsgrade eines thermodynamischen Systems, insbesondere von Gasen, charakterisieren die Möglichkeit eines Teilchens Energie in Form von potentieller und kinetischer Energie zu speichern. Da jedes Teilchen diese Freiheitsgrade besitzt und ein Gas in
der Regel aus sehr vielen Teilchen besteht, besitzt es entsprechend sehr viele Freiheitsgrade; da man jedoch davon ausgehen kann, dass bei einem Gas, welches beispielsweise nur
aus CO2 Molekülen besteht, für jedes Teilchen Teilchen die selbe Zahl an Freiheitsgraden vorliegt, kann man mit einem statistischen Ansatz die Freiheitsgrade des gesamten
Systems durch die sog. effektiven Freiheitsgrade eines einzigen Teilchens beschreiben.
Diese unterscheidet man in folgende Typen:
1 Translation: In einem dreidimensionalen Raum kann ein Teilchen maximal drei
Translationsfreiheitsgrade besitzen. Da wir in unserem Versuch von einem idealen
Gas ausgehen, gehen wir entsprechend auch von drei Translationsfreiheitsgraden
aus.
2 Rotation: Mehratomige Gase können abhängig von ihrer Komplexität zusätzlich
bis zu drei Rotationsfreiheitsgraden um die drei Raumachsen verfügen.
3 Schwingung: In mehratomigen Gasen können zusätzlich noch die Atome gegeneinander schwingen, wie beispielsweise CO2 entlang der kovalenten Doppelbindungen; da eine Schwingung sowohl kinetische wie auch potentielle Energie birgt,
werden Schwingungsfreiheitsgrade bei der Berechnung der inneren Energie doppelt
gewertet.
Diese Freiheitsgrade gelten im Rahmen unseres Messaufbaus.
2.8 Ungedämpfte Schwingungen
Als Schwingung bezeichnet man einen Vorgang, bei dem ein Körper um eine Ruhelage
schwingt oder oszilliert. Diese Schwingung entsteht durch eine rücktreibende Kraft zur
Ruhelage des Systems, die von einem Potential erzeugt wird (beispielsweise durch eine
Feder). Verhält sich die Kraft proportional zu der Auslenkung aus der Ruhelage, so
spricht man von einem harmonischen Oszillator.
Bei einer ungedämpften Schwingung treten keine äußeren Kräfte und Reibungsverluste
auf; es ist also ein idealisierter Vorgang, der in der Natur nur näherungsweise vorkommt.
Betrachtet man nun die Auslenkung aus der Ruhelage ϕ als generalisierte Koordinate,
so ergibt sich eine homogene Differenzialgleichung zweiter Ordnung:
ϕ̈(t) + ω02 · ϕ(t) = 0
(31)
dabei ist ω0 die Eigenkreisfrequenz des Oszillators, die abhängig von dessen Art ist.
Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung ergibt sich durch:
ϕ(t) = A · cos(ω0 t) + B · sin(ω0 t)
8
(32)
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
2 Grundlagen
Wobei die Amplituden der Oszillation A und B abhängig von den Anfangsbedingungen
sind.
Wird dem Oszillator durch eine äußere Quelle genau so viel Energie zugeführt wie durch
Reibung verloren geht, dann bezeichnet man das als erzwungene ungedämpfte Schwingung.
2.9 Stehende Wellen
Interferieren zwei gegenläufige Wellen gleicher Amplitude und Wellenlänge miteinander,
wie es beispielsweise in dem mit CO2 gefüllten Rohr im Versuch der Fall ist, so bildet
sich eine stehende Welle aus. Nach dem Superpositionsprinzip können für so einen Fall
die beiden Wellenfunktionen ψ1 , ψ2 addiert werden, so dass gilt:
ψ1 (x, t) = ψ(x, t) = A sin(kx − ωt)
ψ1 (x, t) = ψ(x, t) = A sin(kx − ωt)
⇒ ψr (x, t) = A sin(kx − ωt) + A sin(kx + ωt)
= 2A cos(ωt) sin(kx)
(33)
(34)
(35)
(36)
Die stehende Welle besteht also aus einem ortsfesten zeitlich oszillierenden Term, der
von einem zeitlich festen entlang der x-Achse oszillierendem Term moduliert wird. Es
befinden sich also immer in einem Abstand von λ2 feste Punkte auf der Welle, die als
Knoten bezeichnet werden, außerdem dazu um λ4 Phasenverschobene Punkte maximaler
Amplitude, die als Wellenbäuche bezeichnet werden. Abhängig davon ob die Endpunkte
der Welle feste oder offene Enden sind, sprich ob die Ableitung Wellenfunktion am Ende
der des Wellenträgers 0 sein muss oder nicht, sind an diesen Enden Knoten, bzw. Bäuche
vorhanden. Die Länge des Trägers L entspricht also immer L = k λ2 bei zwei geschlossenen bzw. zwei offenen Enden und L = (k + 12 ) λ2 bei einem geschlossenen und einem
geöffneten Ende. Aus diesem Umstand lässt sich ableiten, dass bei der Reflexion einer
Welle an einem geschlossenen Ende ein Phasensprung von π auftritt und entsprechend
kein Phasensprung bei der Reflexion am offenen Ende.
2.10 Schallgeschwindigkeit
Die Ausbreitung einer Schallwelle in einem Medium ist eine longitudinale Welle, bei der
sich Zonen mit hohem Druck und Zonen mit niedrigem Druck im Medium ausbreiten.
Logischerweise braucht eine Longitudinalwelle deshalb immer ein Medium, um sich ausbreiten zu können. Abgesehen von Reibungsverlusten innerhalb des Mediums kommt es
daher wegen der großen Geschwindigkeit, mit der der Prozess abläuft nicht zu einem
Wärmeübertrag, weshalb die Ausbreitung einer Longitudinalwelle näherungsweise als
adiabatischer Prozess beschrieben werden kann.
9
Adiabatenexp-Freiheitsgr.3 Versuchsaufbau und Durchführung
Für die Schallgeschwindigkeit c0 gilt:
r
r
p
RT
c0 = κ · = κ ·
%
M
(37)
Mit dem Adiabatenkoeffizient κ, dem Druck p, der Dichte des Mediums %, der Gaskonstante R, der Temperatur T und der molaren Masse M .
Da bei diesem Versuch die Schallausbreitung in einem engen Rohr betrachtet wird, muss
zu der Gleichung von c0 noch ein Korrekturfaktor hinzugefügt werden, der die Wärmeleitfähigkeit des Rohrs und dessen Ausdehnung berücksichtigt. Es gilt dann:
a
√
(38)
c = c0 1 −
2r · π · ν
Dabei ist r der Radius des Rohres, ν die Frequenz des Schalls und a die KirchhoffKonstante.
3 Versuchsaufbau und Durchführung
3.1 Freiheitsgrade von CO2
3.1.1 Aufbau
Zur Messung des Adiabatenkoeffizients wird hier ein mit CO2 gefülltes Messingrohr
verwendet, das sich in einem wasserdichten Styroporbehälter befindet, durch den sich
die Temperatur des Versuchsaufbaus kontrollieren lässt. Das Messingrohr besitzt eine
Einlassöffnung, durch die das CO2 einströmen kann und eine Auslassöffnung, an der
sich ein Mikrofon zur Abnahme der Resonanzsignale befindet.
Die Abmessungen des Messingrohres sind wie folgt gegeben:
Länge des Rohres: L = 1m
Außendurchmesser: daußen = 18.5mm
Wandstärke: dW and = 1.5mm
Innendurchmesser: dinnen = 15.5mm
(39)
(40)
(41)
(42)
(43)
Über das LabView Programm SpectrumGUI.vi kann nun mit den in der Versuchsanleitung vorgegebenen Einstellungen das Mikrofonsignal aus dem Messingrohr ausgewertet
werden.
3.1.2 Durchführung
Um zu gewährleisten, dass sich möglichst nur CO2 im Rohr befindet, wird dieses zunächst
für ca. fünf Minuten mit dem Gas durchgespült. Anschließend wird mithilfe des Druckminderers an der Gasflasche die Durchflussrate des CO2 auf einen möglichst geringen
10
Adiabatenexp-Freiheitsgr.3 Versuchsaufbau und Durchführung
Abbildung 2: Versuchsaufbau nach Rüchardt und Flammersfeld Quelle: Runge, BerndUwe: Skript zum AP (2012)
Wert gesetzt, so dass am Ende des Rohrs nur noch ein leises Zischen zu hören ist.
Nun wird in den Styroporbehälter heißes Wasser gegossen, so dass während des Abkühlvorgangs die Resonanzfreuqenzen bestimmt werden können, dafür werden die Messwerte
über 200 Messungen gemittelt, damit die Nebengeräusche im Mittel wegfallen, und anschließend die drei niedrigsten Resonanzpeaks herausgesucht.
Bei einer Näherung der Temperatur an die Raumtemperatur, muss zum Wasserbad
zusätzlich Eis hinzugegeben werden, so dass die Messung bis ≈ 0◦ C fortgesetzt werden kann.
3.2 Adiabatenexponent
3.2.1 Aufbau
In diesem Versuch wird der Adiabatenexponent von Argon, Stickstoff und Kohlenstoffdioxid mit den beiden unten dargestellten Versuchsaufbauten von Rüchardt und Flammersfeld bzw. Clément und Desormes gemessen.
• Aufbau nach Rüchardt und Flammersfeld
Wie oben dargestellt besteht de Versuchsaufbau aus einem Kolben und einem
Rohr, in dem sich ein Schwingkörper befindet. Eine erzwungene entdämpfte Schwingung wird hier durch ein permanentes Zuführen von Gas realisiert, das durch die
11
Adiabatenexp-Freiheitsgr.3 Versuchsaufbau und Durchführung
Abbildung 3: Versuchsaufbau nach Clément und Desormes Quelle: Runge, Bernd-Uwe:
Skript zum AP (2012)
Ausströmöffnung im Rohr wieder entweichen kann. Bei einer richtigen Kalibrierung
kann so der Schwingkörper solange schwingen, bis kein Gas mehr nachströmt.
• Aufbau nach Clément und Desormes
Der Aufbau besteht aus einer großen Glasflasche, in der nach Bedarf durch einen
Hahn der Druck erhöht werden kann bzw. durch einen zweiten Hahn wieder Druck
abgelassen werden kann. Ferner ist an der Flasche ein U-Rohr-Manometer angeschlossen, mit dem der Druck in der Flasche gemessen werden kann.
3.2.2 Durchführung
• Aufbau nach Rüchardt und Flammersfeld
Vor der Durchführung des Versuchs werden die Umgebungsbedingungen gemessen
mit:
zu Beginn des Versuchs: p = 961, 3hP a
T = 23, 1◦ C
nach Abschluss des Versuchs: P = 960, 0hP a
T = 23, 9◦ C
12
(44)
(45)
(46)
(47)
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
4 Auswertung
Die technischen Daten des Aufbaus sind im AP-Skript gegeben durch:
V = 2182cm3 ± 0, 1cm3
L = 60cm
r = 4, 96mm ± 0, 01mm
m = 9, 75g ± 0, 15g
(48)
(49)
(50)
(51)
Wobei V das effektive Volumen des Glaskolbens, L die Länge des Rohrs bis zur
Ausströmöffnung, r der Radius des Schwingkörpers und m dessen Masse sind.
Für die Messung wird nun der Aufbau mit einem der drei Gase durchgespült
und anschließend der Druckminderer an der Gasflasche so eingestellt, dass der
Schwingkörper eine harmonische Schwingung durchführt. Nach dem Einpendeln
der Schwingung wird nun die Periodendauer bestimmt, indem mit der angebrachten Lichtschranke 700 Durchgänge, also 350 Perioden gemessen werden. Der Vorgang wird für jedes der drei Gase durchgeführt.
• Aufbau von Clément und Desormes
Auch hier wird der Aufbau zunächst mit einem beliebigen der drei Gase durchgespült; anschließend wird der Auslasshahn der Flasche verschlossen und der Druck
erhöht, bis sich dem Manometer eine deutliche Druckerhöhung abzeichnet. Danach
wird der Einlasshahn geschlossen und gewartet, bis das eingefüllte Gas die Umgebungstemperatur angenommen hat. Nachdem das Gas im Kolben die Temperatur
der Umgebung angenommen hat, wird die Höhe h1 der Wassersäule im Manometer
abgelesen. Anschließend der Überdruck über den Auslasshahn aus der Flasche abgelassen, welcher direkt im Anschluss wieder geschlossen wird. Nachdem das Gas
abermals die Umgebungstemperatur angenommen hat, wird erneut die Höhe h2
der Wassersäule notiert.
4 Auswertung
4.1 Freiheitsgrade
Zur Bestimmung der effektiven Freiheitsgrade f und des Adiabatenkoeffizients κ machen
wir uns der im Grundlagenteil hergeleiteten Zusammenhänge zwischen der Schallgeschwindigkeit c und dem Adiabatenkoeffizient κ zunutze. In der Tabelle oben sind die
Ergibnisse der Messung aus dem Versuch Freiheitsgrade dargestellt, die Temperatur ist
dabei ein Mittelwert aus jeweils sechs gemssenen Werten.
Aus der Resonanzbedingung im Rohr folgt für die Wellenlänge λ:
L=n
2L
λ
⇒λ=
2
n
13
(52)
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
4 Auswertung
Abbildung 4: Exemplarische Darstellung des aufgezeichneten Frequenzspektrums
Tabelle 1: Messergebnisse aus dem Versuch Freiheitsgrade mit gemittelten Werten für T
14
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
4 Auswertung
Tabelle 2: Ergebnisse für cn abhängig von der Temperatur T
und damit gilt für die Schallgeschwindigkeit im Rohr:
c = λ · νn
2L
c=
· νn
n
(53)
(54)
Dabei gilt für den Fehler von c:
∂c · δνn = 2L δνn
δc = ∂νn n
(55)
Dabei wird davon ausgegangen, dass L nicht fehlerbehaftet ist.
Es ergeben sich somit die Werte für cn aus Tabelle 2. Es fällt auf, dass sich in der Messung
von T2 für c1 und c2 sehr große Fehler ergeben, die nicht innerhalb der Fehlertoleranz
liegen; Dies liegt wahrscheinlich an einem Messfehler, da dies erst die zweite Messreihe
war ist es möglich, dass hier aus dem Programm die falschen Daten übertragen wurden. Im Sinne der Genauigkeit des Ergebnisses werden diese beiden Werte deshalb im
Folgenden vernachlässigt.
cn,0 kann nun durch die im Grundlagenteil angegebene Korrektur bestimmt werden.
cn,0 = cn ·
1
1−
√a
2r· πνn
mit der Kirchhoff-Konstante a = 0, 004 √ms und dem Fehler:
∂c0 ∂c0 δνn
δc0 = δc + ∂c ∂νn (56)
(57)
Es ergeben sich also somit die Werte für c0,n aus Tabelle 3.
Es ergeben sich für den Mittelwert der Schallgeschwindigkeit in CO2 die Werte aus
15
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
4 Auswertung
Tabelle 3: Mittelwerte für c0 abhängig von der Temperatur T
Tabelle 4: Mittelwerte für c0 abhängig von der Temperatur T
16
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
4 Auswertung
Abbildung 5: Adiabatenkoeffizient κCO2 abhängig von der Temperatur T
Tabelle 4. Aus c0 kann nun κ über folgende Formel berechnet werden:
κ = c20 ·
MCO2
RT
(58)
g
Mit der molaren Masse MCO2 = 44, 009 mol
, der Gaskonstante R und der Temperatur T .
Die Unsicherheit von κ kann berechnet werden mit:
∂κ δc0 + ∂κ δT
δκ = ∂T ∂c0 Die Anzahl der Freiheitsgrade f ergibt sich nun aus der Gleichung
f=
2
κ−1
mit der Unsicherheit
∂f δf = δκ
∂κ
In Abbildung 6-9 sind die Messergebnisse in einem Diagramm in Abhängigkeit von T
dargestellt.
4.2 Adiabatenexponent
Die Auswertung zu den beiden verwendeten Methoden zur Messung des Adiabatenexponents werden hier nacheinander abgehandelt.
17
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
4 Auswertung
Tabelle 5: Die Anzahl der Freiheitsgrade f abhängig von der Temperatur T
Abbildung 6: tatsächliche Schallgeschwindigkeit c abhängig von der Temperatur T
18
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
4 Auswertung
Abbildung 7: korrigierte Schallgeschwindigkeit c0 abhängig von der Temperatur T
19
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
4 Auswertung
Abbildung 8: Adiabatenexponent κ abhängig von der Temperatur T
20
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
4 Auswertung
Abbildung 9: Freiheitsgrade f abhängig von der Temperatur T
21
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
4 Auswertung
4.2.1 Verfahren nach Rüchardt und Flammersfeld
Wie auch schon bei der Bestimmung der Freiheitsgrade von CO2 liegt auch bei dieser
Messung eine Schwingung zugrunde, welche so schnell abläuft, dass sie als adiabatischer
Prozess betrachtet werden kann. Wie oben bereits beschrieben handelt es sich hierbei
um eine erzwungen entdämpfte Schwingung, so dass sie als harmonisch ungedämpfter
Oszillator behandelt werden kann.
Zunächst gilt für die Gleichgewichtsbedingung des Oszillators:
p = p0 +
ms · g
π · r2
(59)
Dabei ist p0 der äußere Luftdruck, ms die Masse des Schwingkörpers, r der Innenradius
des Glasrohres und g die Erdbeschleunigung.
Es muss also für ein Kräftegleichgewicht gelten, dass der von unten durch das einströmende Gas wirkende Druck gerade gleich dem von außen wirkenden Druck ist, das
heißt der Summe aus dem äußeren Luftdruck und dem durch die Gewichtskraft des
Schwingkörpers erzeugten Drucks.
Die Volumenänderung des Aufbaus ändert sich bei dem Bewegen des Körpers aus der
Gleichgewichtslage um
dV = π · r2 · x
(60)
Da der Prozess als adiabatisch angenommen wird, gilt für die Druckänderung dp:
p · V κ = const
⇔ p = V −κ · const
1
dp
⇒
= −κ · · V −κ · const
dV
V
dp
1
⇔
= −κ · · p
dV
V
p
⇔ dp = −κ · · π · r2 · x
V
(61)
(62)
(63)
(64)
(65)
Und damit gilt für die Differenzialgleichung des Oszillators mit der rücktreibenden Kraft
dp:
ms · ẍ = −π · r2 · dp
p
⇒ ms · ẍ − πr2 · κ · · πr2 · x = 0
V
κ · p · π 2 r4
⇔ ẍ −
·x=0
ms · V
22
(66)
(67)
(68)
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
4 Auswertung
Es gilt also für das Quadrat der Kreisfrequenz ω 2 und der Periodendauer T 2 :
κ · p · π 2 r4
ms · V
4π 2
4ms · V
⇔ T2 = 2 =
ω
pT 2 r4
ω2 =
(69)
(70)
Es muss außerdem noch die Masse der mit dem Schwingkörper schwingenden Gassäule
mG dem Gewicht des Schwingkörpers hinzuaddiert werden. Mit der Annahme eines
idealen Gases gilt dann:
pV = nRT0
mG
· RT0
pV =
M
pV · M
⇔ mG =
R · T0
p · πr2 · L · M
=
R · T0
(71)
(72)
(73)
(74)
Dabei ist L ≈ 0, 6m die Länge der Schwingenden Gassäule, M die molare Masse des
verwendeten Gases und T0 = 296, 65K ± 0, 4K die mittlere Raumtemperatur.
Die molaren Massen der Gase sind in der Literatur angegeben mit:
g
mol
g
= 39.95
mol
g
= 44, 01
mol
MN2 = 28.02
(75)
MAr
(76)
MCO2
(77)
Es gilt also für den Adiabatenexponent:
κ=
4mV
4(ms + mG )V
=
T 2 pr2
T 2 pr2
Für die Fehlerfortpflanzung gilt:
∂κ ∂κ ∂κ · δp
δκ = ·
δm
+
·
δT
+
∂T ∂p ∂m (78)
(79)
mit den Fehlern
∂p ∂p · δms
δp = · δp0 + ∂p0 ∂ms ∂mG ∂p ∂mG · δT0
δm = δms + δmG = δms + · δp + · δp0 + ∂p ∂p0 ∂T0 23
(80)
(81)
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
4 Auswertung
Tabelle 6: Adiabatenexponent κ der Gase Argon, CO2 und Stickstoff abhängig T
Für den mittleren Luftdruck am Versuchstag haben wir p0 = 960, 65hP a ± 0, 1hP a
gemessen, also gilt womit sich mit ms = 9, 75g ± 0, 15g und r = 4, 96mm für p folgender
Wert ergibt:
p=
4mV
= 973, 02hP a ± 0, 16hP a
T 2 pr4
(82)
Und damit die Werte aus Tabelle 6.
4.2.2 Verfahren nach Clément und Desormes
Im zweiten Versuchsteil wird der Adiabatenexponent mittels eines Expansionsverfahrens
wie oben beschrieben gemessen.
Bei der Messung wird zunächst ein Überdruck im Volumen V1 erzeugt, welches anschließend der Raumtemperatur T1 = T0 angepasst wird. Nach dieser Anpassung wird die
Druckdifferenz ∆p gemessen wobei gilt:
∆p = p1 − p0 = % · g · h
(83)
Wobei % die Dichte des Wassers im Manometer ist.
Anschließend wird das Auslassventil kurz geöffnet, so dass ein adiabatischer Druckausgleich stattfinden kann. Es gilt also für die Abkühlung:
p1−κ · T κ = const
(84)
Nachdem das Gas nun auf die Temperatur T2 abgekühlt ist gilt:
T2 = T1 ·
p1
p2
1−κ
κ
(85)
Die Temperatur passt sich nun wieder der Raumtemperatur an, so dass gilt T3 = T0
wodurch sich der Druck im Volumen wieder erhöht, dabei gilt:
p
= const
T
24
(86)
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
5 Messunsicherheitsanalyse
Durch eine weitere Druckmessung erhält man p3 = p0 + ∆p3 .
Damit ergibt sich die Druckänderung durch:
p3 = p2 ·
T3
T2
(87)
Mit (85) folgt nun:
p 3 = p2 ·
T1 ·
T3
1−κ
κ
(88)
p1
p2
Mit T1 = T3 = T0 , p2 = p0 und p1 = p0 + ∆p1 folgt nun
p3 = p0 ·
T0
p0 +∆p1
p0
1−κ
κ
T0 ·
1−κ
∆p1 κ
= p0 · 1 +
p0
∆p1 κ − 1
≈ p0 · 1 +
·
p0
κ
κ−1
= p0 + ∆p1 ·
κ
(89)
(90)
(91)
(92)
Mit p3 = p0 + ∆p3 folgt:
κ−1
κ
h1
⇒κ≈
h1 − h3
∆p3 ≈ ∆p1 ·
Für den Fehler gilt bei der Annahme δh1 = δh2 :
∂κ ∂κ · δh1 + · δh3 = h1 + h3 δh
δκ = ∂h1
∂h3 (h1 − h3 )2
(93)
(94)
(95)
Es ergibt sich:
5 Messunsicherheitsanalyse
5.1 Freiheitsgrade
Die Messung der effektiven Freiheitsgrade von CO2 hat ein für den Messaufbau zufriedenstellendes Ergebnis geliefert, denn der Vergleich von dem gemessenen Wert für
25
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
5 Messunsicherheitsanalyse
Tabelle 7: Adiabatenexponent κ der Gase Argon, CO2 und Stickstoff abhängig T
κ(293, 15K) = 1, 32 mit dem Literaturwert κL (293, 15K) = 1, 29 zeigt, dass der Literaturwert gut innerhalb der Messtoleranz von κ (δκ(293, 15K) = 0, 074) liegt. Dennoch ist
die gewünschte Größe f mit einem relativ großen Fehler behaftet. Dies kann beispielsweise an der Tatsache liegen, dass die Temperatur nicht optimal kontrolliert werden
konnte, da die Wärme im Wasserbad nicht gänzlich homogen verteilt war und der Aufbau auch während der Messung seine Temperatur stetig änderte und sich deshalb eine
relativ große Toleranz bei der Temperaturmessung ergab. Außerdem giengen wir in unserer Herleitung davon aus, dass CO2 ein ideales Gas ist, was tatsächlich nicht der Fall
ist.
5.2 Adiabatenexponent
Es fällt bei den Messergebnissen aus beiden Versuchsteilen auf, dass der Adiabatenexponent grundsätzlich zu hoch ist; diese systematische Abweichung vom Literaturwert kann
einerseits an einem systematischen Messfehler liegen, jedoch sind wir bei der Berechnung
der Exponenten auch von einatomigen idealen Gasen ausgegangen, so dass eine geringere Abweichung plausibel erscheint. Zudem drang bei dem Aufbau nach Clément und
Desormes in unseren Messaufbau Wasser durch das Manometer ein, was wahrscheinlich
zusätzlich zu einer Verfälschung der Messergebnisse führen kann. Leider ist die Abweichung der von uns gemessenen Werte von den Literaturwerten nicht innerhalb der von
uns berechneten Messunsicherheit, was daran liegt, dass wir wahrscheinlich einen zu
optimistischen Fehler angegeben haben. Letztendlich ist jedoch im Versuchsteil qualitativ das Verhalten der Gase bei adiabatischen Prozessen klar geworden und auch wenn
unsere Ergebnisse quantitativ nicht verwertbar sind, so stellen sie qualitativ doch den
erwarteten Effekt dar.
26
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
6 Fragen und Aufgaben
6 Fragen und Aufgaben
Erklären Sie den Zusammenhang zwischen dem Adiabatenexponenten κ und der
Zahl f der Freiheitsgrade eines Gases. Die innere Energie ist U = f2 N kb T = f2 nRT
für n Mol eines Gases der Temperatur T . Damit folgen für isochore Wärmekapazität
cV = ∂U
|
= f2 R. Weiterhin ist der Zusammenhang cp = cV + R = f +2
R bekannt,
∂T V,N
2
cp
f +2
sodass für κ = cV = f folgt.
Altprotokollen erklärt...
Zeigen Sie, dass die drei Poisson-Gleichungen für adiabatische Zustandsänderungen
unter Verwendung der idealen Gasgleichung ineinander umgeformt werden können.
T V κ−1 = const
pV
mit id. Gas-Gl T (p, V ) =
R
κ
pV = const
RT
mit id. Gas-Gl V (p, T ) =
p
1−κ κ
p T = const
1. Poisson-Gleichung
2. Poisson-Gleichung
3. Poisson-Gleichung
Was hat der am Bodensee oft für sonniges Wetter sorgende “Föhn“ mit adiabatischen Zustandsänderungen zu tun? Südwind wird durch die Alpen nach oben
gedrängt und kühlt dadurch zunächst trockenadiabatisch (1◦ C/100m) ab, bis die Sättigungstemperatur unterschritten wird und Luftfeuchtigkeit abgeregnet wird. Mit geringerer Luftfeuchtigkeit geht die Abkühlung feuchtadiabatisch weiter (0.5◦ C/100m), bis die
Luft auf der anderen Seite des Kamms trockenadiabatisch (1◦ C/100m) absinken kann
und sich dabei zu einer insgesamt höheren Temperatur erwärmt. Dieser Fallwind enthält
weniger Feuchtigkeit und ist relativ warm, daher bedeutet er gutes Wetter.
27
Adiabatenexp-Freiheitsgr.
7 Quellen
7 Quellen
• Runge, Bernd-Uwe: Skript zum AP (2012)
• Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme (2006)
• wikipedia.org/wiki/isentropenexponent (27.5.2013)
• Kliebisch; Budweg: Adiabatenexponent und Temperaturabhängigkeit der effektiven
Freiheitsgrade von CO2 (2011)
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Angestrebte Zustandsänderung im Experiment Quelle: Runge, BerndUwe: Skript zum AP (2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Versuchsaufbau nach Rüchardt und Flammersfeld Quelle: Runge, BerndUwe: Skript zum AP (2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Versuchsaufbau nach Clément und Desormes Quelle: Runge, Bernd-Uwe:
Skript zum AP (2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemplarische Darstellung des aufgezeichneten Frequenzspektrums . . .
Adiabatenkoeffizient κCO2 abhängig von der Temperatur T . . . . . . . .
tatsächliche Schallgeschwindigkeit c abhängig von der Temperatur T . . .
korrigierte Schallgeschwindigkeit c0 abhängig von der Temperatur T . . .
Adiabatenexponent κ abhängig von der Temperatur T . . . . . . . . . .
Freiheitsgrade f abhängig von der Temperatur T . . . . . . . . . . . . .
6
11
12
14
17
18
19
20
21
Tabellenverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
Messergebnisse aus dem Versuch Freiheitsgrade mit gemittelten Werten
für T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ergebnisse für cn abhängig von der Temperatur T . . . . . . . . . . . . .
Mittelwerte für c0 abhängig von der Temperatur T . . . . . . . . . . . .
Mittelwerte für c0 abhängig von der Temperatur T . . . . . . . . . . . .
Die Anzahl der Freiheitsgrade f abhängig von der Temperatur T . . . . .
Adiabatenexponent κ der Gase Argon, CO2 und Stickstoff abhängig T . .
Adiabatenexponent κ der Gase Argon, CO2 und Stickstoff abhängig T .
28
14
15
16
16
18
24
26