7.2 Poynting

Felder und Komponenten I
Christian Schluchter
15. Juli 2008
Zusammenfassung
(Abgeändert von der Zusammenfassung von Andreas Müller)
Inhaltsverzeichnis
1
Elektrostatik
1.1 Kräfte zwischen Ladungen .
1.2 Das elektrische Feld . . . . .
1.3 Energie und Potential . . . .
1.4 Spannung . . . . . . . . . .
1.5 Kapazität . . . . . . . . . . .
1.6 Materialeinfluss . . . . . . .
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2
2
2
3
4
4
4
2
Gleichstrom
2.1 Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Energie und Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
6
3
Magnetostatik
3.1 Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Das magnetische Feld . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Magnetische Pole als Materialeigenschaft . . . .
3.4 Die magnetische Wirkung von elektr. Strom . . .
3.5 Äquivalenz von Magnet und Strom . . . . . . . .
3.6 Analogie zwischen Magnet- und Strömungsfeld
3.7 Der magnetische Widerstand . . . . . . . . . . .
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7
7
7
7
8
8
9
9
4
Die Wirkung zeitvariabler Magnetfelder
4.1 Elektrische Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Induktivität und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
11
5
Die Maxwell-Gleichungen
5.1 Maxwell-Gleichungen in Integralform . . . . . . . . .
5.2 Maxwell-Gleichungen in Differentialform . . . . . . .
5.3 Physikalische Bedeutung der Maxwellschen Gesetze .
5.4 Maxwell-Gleichungen in Elektro- und Magnetostatik
.
.
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.
11
11
11
11
12
6
Das Lösen der Maxwell-Gleichungen
6.1 Grenzbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Ebene Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
13
13
7
Die Energie im elektromagnetischen Feld
7.1 Das Poynting’sche Energiekonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Poynting-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
13
14
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A Einheiten
15
B Konstanten
15
1
Zur Erinnerung
Lineares Material µ und sind unabhängig vom Betrag der Feldstärken und es folgt
~ = µH
~
B
~ = e ~ ~J = σE
~
D
Homogenes, zeitlich konstantes Material Die Materialparameter (µ, , σ) sind keine Funktionen von
Ort und Zeit.
~ (bzw H)
~ ab.
Isotropes Material Polarisation (bzw. Magnetisierung) hängt nicht von der Richtung von E
Anisotropes Material Aus (bzw µ) wird eine 3 × 3-Matrix.
Verlustlose Medien
1
1.1
σ=0
Elektrostatik
Kräfte zwischen Ladungen
Kraft zwischen zwei Ladungen Zwei Ladungen Qi und Q j üben eine Kraft auseinander aus:
~i =
F
Qi · Q j
1
· ~e ji
·
4πε0
r2
(1)
~=
F
N
X
q
Qi
·
· ~e0i
4πε0
r2
i=1
(2)
Kraft auf Probeladung
Kraft mehrerer Ladungen Wenn mehrere Ladungen vorhanden sind, addieren sich die Kräfte nach
den bekannten Gesetzen der Vektoraddition, dies nennt man das Superpositionsprinzip. Die Kraft auf
eine Ladung Q0 ist
N
X
~r0 − ~r j
~0 = Q0
F
(3)
Qj
4πε0
|~r0 − ~r j |3
j=1
Kraft kontinuierlicher Ladungsverteilung Wenn man sich eine kontinuierliche Ladungsverteilung
%(~r) mit vielen kleinen Ladungspartikeln vorstellt, so wird aus der Summe ein Integral:
~=
F
1.2
Q
4πε0
$
%(~r0 )(~r − ~r0 ) 0
dV
|~r − ~r0 |3
V0
(4)
Das elektrische Feld
Elektrisches Feld Wenn man sich eine Probeladung vorstellt, die so klein ist, dass sie keinen Einfluss
auf die vorhandenen Ladungen hat, so kann man die potentielle Wirkung dieser Ladungen beschreiben,
die Kraft, die auf eine Probeladung wirken würde:
N
X
~
~r − ~r j
~ r) = F = 1
Qj
E(~
q
4πε0
|~r − ~r j |3
j=1
(5)
Elektrisches Feld bei kontinuierlicher Ladungsverteilung Wiederum kann man sich auch eine
kontinuierliche Ladungsverteilung %(~r) vorstellen:
~ r) =
E(~
1
4πε0
$
V0
2
%(~r0 )(~r − ~r0 ) 0
dV
|~r − ~r0 |3
(6)
Elektrischer Fluss Betrachtet man das Feld, das durch eine Fläche F fliesst, so erhält man den Fluss:
"
~ · dF
~
E
ΨF =
(7)
F
Satz von Gauss in der Elektrostatik Der Fluss durch eine geschlossene Fläche (Oberfläche eines
~ nach aussen orientiert):
Volumens) ist proportional zur darin eingeschlossenen Ladung (dF
$
1
~
~
E dF =
%dV
ε0
∂V
(8)
V
Substitutionsprinzip (Äquivalenzprinzip) Die Ladung eines Leiters kann durch eine geeignete
Oberflächenladungsdichte ersetzt werden und das Material im Inneren kann entfernt werden. Dies folgt
aus dem Satz von Gauss, denn weil es im Inneren des Leiters kein Feld hat (sonst würden sich die
Ladungen verschieben), kann es auch keine Ladung haben.
Beispiele
Kugel, Kugelflächenladung, Linienladung, Kreiszylinderladung, Flächenladung, Scheibenladung p 41, Lösung p 421-422
1.3
Energie und Potential
Elektrische Arbeit Um eine Ladung in einem Feld zu verschieben, braucht es eine Kraft. Die Verschiebung einer Ladung Q0 entlang eines Weges Γ bringt damit eine Arbeit mit sich:
Z
~ r)d~l
WΓ = Q0 E(~
(9)
Γ
Das Integral hängt nur von den Endpunkten von Γ ab, nicht vom Verlauf.
Das elektrostatische Potential Um die wegunabhängige Integration zu vermeiden, führt man das
Potential ein (Anfangspunkt ~ra ). Das Potential hat die Dimension Energie pro Ladung (wieviel Arbeit
braucht es, eine Probeladung vom Punkt ~ra nach ~r zu bringen?):
ϕ~ra (~r) :=
W~ra (~r)
q
(10)
Das Potential ist eine skalare Ortsfunktion und es gehört zu einer Ladungsverteilung, die Kraft auf eine
Probeladung q ausübt, bzw. zu einem elektrischen Feld.
Wenn man ~ra ins Unendliche verlegt, so kann man zu einer Menge von N Punktladungen Qi direkt das
Potential angeben:
N
1 X Qi
ϕ(~r) =
(11)
4πε0
|~r − ~ri |
i=1
Bei kontinuierlicher Ladungsverteilung ergibt sich wieder ein Integral:
ϕ(~r) =
1
4πε0
$
V
%(~r0 )
dV
|~r − ~r0 |
(12)
Das Volumen erstreckt sich dabei über alle Teile des Raumes, die Ladung enthalten.
Zusammenhang zwischen Feld und Potential Jeder Ladungsverteilung ist ein eindeutiges elektrisches Feld zugeordnet, und damit auch ein Potentialfeld. Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten
entspricht dem Wegintegral über die Feldstärke:
Z
~r
~ra
~ · d~l = ϕ(~ra ) − ϕ(~r)
E
3
(13)
Wenn man das Potential bei ~ra auf 0 normiert, so gilt
Z
~r
~ra
bzw. in Differentialform
~ · d~l = −ϕ(~r)
E
~ = − grad ϕ
E
Aus (13) folgt, dass ein geschlossenes Integral über das elektrische Feld verschwindet:
I
~ · d~l = 0
E
Γ◦
(14)
(15)
(16)
~ die Änderung des Potentials ϕ angibt und
Potentiale auf Elektroden Da die elektrische Feldstärke E
~ in Leitern verschwindet, muss ϕ auf jeder Elektrode (isolierter Leiter) konstant sein. Man kann deshalb
E
vom Potential eines Leiters sprechen.
1.4
Spannung
Wenn man statt eines Potentials eine Potentialdifferenz (Spannung) betrachtet, so wird man vom Normierungspunkt unabhängig:
Z ~r2
~ d~l = ϕ(~r2 ) − ϕ(~r1 )
Ur1 r2 :=
(17)
E
~r1
1.5
Kapazität
Das Potential ist eine Funktion des Ortes und enthält damit für die Praxis zu viele Informationen. Da auf
einer Elektrode die Spannung stets proportional zur Ladung ist, kann man die Proportionalitätskonstante
angeben, die Kapazität:
Q
(18)
C=
U
Energie eines Kondensators Um eine gewisse Spannung bzw. Ladung auf einen Kondensator zu
bringen, braucht es Energie. Je mehr Ladung bereits vorhanden ist, umso mehr Energie braucht es für
Q
zusätzliche Ladung: dW = U(Q) · dQ = C dQ. Die Energie für eine bestimmte Ladung ist damit
W
Z
W=
dW =
0
1
C
Z
Q
Q̃dQ̃ =
0
QU 1
1 Q2
=
= CU2
C 2
2
2
(19)
Kapazitätskoeffizienten Wenn man mehr als zwei Leiter hat, so braucht man um einen Zusammenhang zwischen N Ladungen und Potentialen herzustellen N2 Kapazitätskoeffizienten. Man kann dann
schreiben

 
 

 Q1   c11 c12 · · · c1N   ϕ1 



 Q   c
 2   21 c22 · · · c2N   ϕ2 


 .  =  .
·
(20)


..
..   .. 
..
 .   .
.
  . 
 .   .
.
.

 
 

QN
cN1 cN2 · · · cNN
ϕN
1.6
Materialeinfluss
Polarisierung Wenn sich die Elektronen und Protonen eines Atoms ungleich verteilen, so ensteht ein
elektrisches Feld – das Material ist polar. Wenn die Ladungen eines Materials statistisch gleich verteilt
sind, ist das Material gegen aussen neutral. Die Ladungen können sich aber unter Einfluss eines äusseren
Feldes so verschieben, dass das Material polarisiert wird. Ein Mass für die Stärke der Polarisation ist die
Dipoldichte:
X
~ = lim 1
~
pj
(21)
P
∆V→0 ∆V
j
4
Eine dreidimensionale Polarisation kann als <berlagerung von drei Polarisationen in jede Raumrichtung
aufgefasst werden:
∂Px ∂P y ∂Pz
~
−
−
= −div P
(22)
% geb = −
∂x
∂y
∂z
#
~ kann man auch schreiben
Mit dem Gauss’schen Satz der Vektoranalysis [ V div ~
vdV = ∂V ~
vdF],
−
∂V
~ · dF
~=
P
$
% geb dV
(23)
V
Elektrische Suszeptibilität Je nach Material kann ein äusseres elektrisches Feld eine mehr oder
weniger grosse Polarisation hervorrufen. In einem isotropen Material, wo die Stärke der Polarisation
nicht von der Richtung des äusseren Feldes abhängt, kann die Stärke der Polarisation mit der elektrischen
Suszeptibilität χe beschrieben werden:
~ = ε0 χe E
~
P
(24)
~ Obwohl der Materieleinfluss vollständig mit der PolarisaDas dielektrische Verschiebungsfeld D
~
tion beschrieben werden kann, führt man noch die dielektrische Verschiebungsdichte ein, da das P-Feld
~
nicht ohne das E-Feld
bestimmt werden kann. Man definiert das durch die gegebenen Ladungen % f rei
verursachte Feld und schreibt
$
~ · dF
~=
D
% f rei dV
(25)
∂V
V
Mit dem Satz von Gauss (8) ergibt sich für das Vakuum
~ = ε0 E
~
D
(26)
Wenn zusätzlich Material vorhanden ist, kommt noch die Polarisation (23) dazu. Die totale Ladungsdichte
ist dann %tot = % f rei + % geb und mit dem Satz von Gauss (8) ergibt sich
~ = ε0 E
~+P
~
D
(27)
Für den isotropen Spezialfall gilt (24) und es ist
~ = ε0 E
~ + ε0 χe E
~ = ε0 (1 + χe )E
~ = ε0 εr E
~ = εE
~
D
(28)
wobei die relative Dielektrizitätskonstante εr = 1 + χe stets grösser als eins ist. Die Grösse ε = ε0 εr heisst
Permittivität oder Dielektrizitätskonstante des betreffenden Materials.
Homogen linear isotropes Material Falls das Material linear, isotrop und zusätzlich homogen ist
(d.h. εr bzw. χe ist überall im Material gleich gross), können die Gleichungen für das elektrische Feld (6)
und das Potential (12) einfach angepasst werden:
~ r) = 1
E(~
4πε
$
V0
1
ϕ(~r) =
4πε
2
2.1
%(~r0 )(~r − ~r0 ) 0
dV
|~r − ~r0 |3
(29)
%(~r0 )
dV 0
|~r − ~r0 |
(30)
$
V0
Gleichstrom
Strom
Die Frage, wieviel Ladung pro Zeit durch einen Leiter fliesst, führt zum Begriff des elektrischen Stromes:
I=
∆Q
∆t
(31)
Die Einheit des Stromes war wegen der historischen Definition über Elektrochemie früher ’Milligramm
Quecksilber pro Sekunde’, heute wird aber Ampere verwendet.
5
Elektrische Stromdichte Da es im inneren eines Leiters keine Ladung hat, muss die Summe der
Ladungsdichten von positiver und negativer Ladung an jedem Punkt Null sein:
%+ = −%−
(32)
Wenn sich die Ladungen bewegen, ergibt sich aber trotz der Neutralität des Leiters ein Stromdichtefeld:
~J = %+ ~
v+ + %− ~
v− = %+ (~
v+ − ~
v− )
(33)
Die Stromdichte ist ein Mass für die Ladung pro Fläche und pro Zeit in jedem Punkt des Leiters.
Da sich innerhalb vom Leiter keine Ladung sammeln kann, ergibt sich für ein geschlossenes Volumen V
~J · dF
~=0
(34)
I=
∂V
was bedeutet, dass gleich viel Strom in V hineinfliesst, wie aus V heraus. Daraus lässt sich direkt die
Kirchhoff’sche Knotenregel ableiten.
Das Ohmsche Gesetz Da ausser Supraleiter jedes Material die Bewegung der Ladung hemmt, muss
es auch eine treibende Kraft geben – ein elektrisches Feld. In einem stark vereinfachten Spezialfall, kann
der Zusammenhang zwischen Stromdichte und elektrischem Feld durch
~J = σE
~
(35)
beschreiben werden. Dies nennt man das Ohm’sche Gesetz. Dabei ist σ die vom Material abhängige
~ auf ~J übertragen. Es gilt also bei konstantem σ für
Leitfähigkeit. Damit lassen sich Eigenschaften von E
einen geschlossenen Weg Γ◦
I
Γ◦
2.2
~J · d~l = 0
(36)
Energie und Leistung
Die Wärmemenge, die ein Strom I während einer Zeit ∆t in einem Draht erzeigt, ist
∆W = U · I · ∆t
(37)
Betrachtet man die Leistung in einzelnen Volumenelementen, so ergibt sich die Leistungsdichte:
pj =
∆W ~ ~ 1 ~ 2
~2
= E · J = | J| = σ|E|
V∆t
σ
(38)
Dies ist eine punktuelle Form der Leistungsformel aus der Elektrotechnik,
P = U · I = RI2 =
1 2
U
R
ber die Leistungsdichte kommt man mit einem Volumenintegral zur Gesamtleistung:
$
$
~J · E
~ dV
P=
p j dV =
(39)
<
V
2.3
(40)
V
Widerstand
ber die Leistungsdichte kann der elektrische Widerstand
<
R=
U
I
auch ohne die Spannung definiert werden, als
$
$
P
1
1
~J · E
~ dV
R= 2 = 2
p j dV = 2
I
I
I
V
V
6
(41)
(42)
3
3.1
Magnetostatik
Kraft
Einen Magneten kann man sich aus vielen kleinen Elementarmagneten aufgebaut denken. Wenn man
sich idealisierte Magnetpole denkt (in der Realität nicht vorhanden), so ist die Kraft zwischen zwei Polen
pi und p j
pi p j
~i = 1
~e ji
(43)
F
4πµ0 r2
Wie bei der Elektrostatik gilt das Superpositionsprinzip. Die Kraft von N Monopolen auf einen hypothetischen Probepol p ist dann
N
p X pi · (~r − ~r j )
~=
F
(44)
4πµ0
|~r − ~r j |3
j=1
In der Realität ist die Angelegenheit allerdings komplizierter, da keine Monoploe existieren und auf
jeden Bipol nicht nur eine Kraft, sondern auch ein Drehmoment wirkt.
3.2
Das magnetische Feld
Analog zum elektrischen Feld kann unabhängig vom Probepol p die magnetische Feldstärke definiert
werden:
~
~ r) := F
(45)
H(~
p
Das Feld von N Polen ist also
~ r) =
H(~
N
1 X p j · (~r − ~r j )
4πµ0
|~r − ~r j |3
j=1
(46)
Praktisch ist diese Formel wegen der Nichtexistenz von Monopolen allerdings selten nützlich.
3.3
Magnetische Pole als Materialeigenschaft
Magnetisierung M Durch die Annahme, dass die Atome selbst Elementarmagnete sind, kann man
sowohl permanentmagnetische Stoffe (mit strukturierten Atomen) wie auch weichmagnetische Stoffe
(nur temporär strukturierte Atome) erklären. Analog zum elektrischen Dipolmoment ~
p = Qd~ lässt sich
~
~ = pd (p ist die magnetische Monopolstärke) definieren. Dann ist die
das magnetische Dipolmoment m
magnetische Dipoldichte oder auch Magnetisierung
1 X
~j
m
∆V→0 ∆V
~ = lim
M
~ j in ∆V)
(m
(47)
j
Bei nicht homogener Magnetisierung kommt noch eine gebundene magnetische Ladungsdichte hinzu:
~
%m = −µ0 div M
(48)
~ nur die freien und E
~ die freien und gebundenen
Induktion B Genau wie im elektrischen Fall, wo D
~ dass wegen der Inexistenz von freien Ladungen für
Ladungen als Quelle haben, gibt es hier ein Feld B,
ein beliebiges Volumen V die Eigenschaft
~ · dF
~=0
B
(49)
∂V
~ heisst magnetische Induktion (oder magnetische Flussdichte) und ist mittels
hat. B
~ = µ0 (H
~ + M)
~
B
~ und der Magnetisierung M
~ verknüpft.
mit der magnetischen Feldstärke H
7
(50)
~ und M
~ Die Magnetisierung eines Materials hängt vom einwirkenDer Zusammenhang zwischen H
~ ab. Der Zusammenhang kann unter Umständen kompliziert sein (M
~ kann auch
den magnetischen Feld H
~ abhängen), aber für spezielle Fälle, z.B. für Eisen bei kleinen Feldstärken,
vom zeitlichen Verlauf von H
~
ist die Magnetisierung proportional zu H:
~ = χm H
~
M
(51)
Dabei ist χm die magnetische Suszeptibilität. Wenn man die Gleichung in (50) einsetzt, ergibt sich
~ = µ0 (1 + χm )H
~ = µ0 µr H
~ = µH
~
B
(52)
wobei analog zur Elektrostatik µr die relative Permeabilität und µ die Permeabilität des jeweiligen
Materials ist. Neben den ferromagnetischen Stoffen (µr ≈ 102 . . . 106 ) gibt es die paramagnetischen Stoffe
(µr > 1) und die diamagnetischen Stoffe (µr < 1), wobei bei den letzten beiden Stoffen µr nur sehr wenig
(< 1%) von 1 abweicht.
3.4
Die magnetische Wirkung von elektr. Strom
~ die tangential zu einem Kreis um die
Zu einem Strom I gehört stets eine magnetische Feldstärke H,
Stromachse ist. Das dazugehörige Gesetz, das die Magnetfeldstärke einer Stromschleife S beschreibt,
haben Jean-Baptiste Biot und Felix Savart entdeckt:
I ~0
dl × (~r − ~r0 )
~ r) = I
(53)
H(~
4π S |~r − ~r0 |3
Für eine ’dicke’ Stromverteilung gilt
~ r) = 1
H(~
4π
$
~J(~r0 ) × (~r − ~r0 )
dV 0
|~r − ~r0 |3
V0
(54)
wobei auch dieses Integral nur für eine statische (also geschlossene) Stromverteilung ~J gilt. Für einen
langen geraden Fadenstrom ergibt sich
~ = H(ρ)~eφ =
H
I
~eφ
2πρ
(55)
~ = α0~eφ (Spule) gilt (Zylinderkoordinaten):
Für einen kreisförmigen Flächenstrom α
~ = µ0 H
~ = µ0 α0~ez
B
(also:
B0
= H0 = α 0 )
µ0
(56)
Durchflutungsgesetz Den Zusammenhang zwischen Strom und Magnetfeld kann man auch aus der
~
Sicht des H-Feldes
betrachten, welches sich um den Strom herum windet. Der Strom innerhalb eines
~
H-Feldes
wird durch das Durchflutungsgesetz oder AmpËre’sche Verkettungsgesetz beschrieben:
I
~ · d~l
I=
H
(57)
Γ
Dabei muss Γ den stromführenden Draht umfassen. Für mehrere gerade Ströme kann man wegen des
Superpositionsprinzips auch verallgemeinernd schreiben
I
"
~
~
~J · dF
~
H · dl =
(58)
∂F
F
3.5 Äquivalenz von Magnet und Strom
Kräfte auf Ströme Da Ströme Magnetfelder haben, üben zwei Ströme auch eine Kraft aufeinander
aus. Die Ströme Ii und I j üben in zwei Leitern der Länge l im Abstand d die Kraft
~i =
F
µ0 lIi I j
~ei j
2πd
aufeinander aus. Für die Kraft auf ein Stromelement gilt
~ = µ0 Id~l × H
~ 0 = Id~l × B
~0
dF
(59)
(60)
Wenn man statt einem Strom bewegte Ladung betrachtet, so gilt das Gesetz für die Lorentz–Kraft:
~ = q(~
~
F
v × B)
8
(61)
Äquivalenz zwischen Feldern von Kreisstrom und magnetischem Dipol Ein Magnetfeld kann
verschiedene Ursachen haben – elektrische Ströme oder magnetisches Material – aber das gleiche Feld hat
auch stets die gleiche Wirkung, was die Frage berechtigt, ob auch zwischen den Ursachen Äquivalenzen
bestehen. Tatsächlich ist es möglich, den Magnetismus eines Materials, bestehend aus vielen kleinen
Elementarmagneten (Dipole), als Feld vieler kleiner Kreisströme aufzufassen. Die Dipole sind also nichts
anderes als atomare Kreisströme.
3.6
Analogie zwischen Magnet- und Strömungsfeld
Betrachtet man die zentralen Gleichungen von Magnetfeld und Strömungsfeld, so sind Analogien sichtbar:
∂V
I
Γ
~J · dF
~=0
∂V
~J = σE
~
I
~ · d~l = 0
E
Γ
~ · dF
~=0
B
~ = µH
~
B
~ · d~l = 0
H
Die letzte Gleichung gilt aber nur, wenn Γ eine Fläche berandet, die nicht von Strom durchflossen ist. Die
Analogie zeigt, dass es einen formalen Zusammenhang zwischen den Grössen gibt:
~J ↔ B
~
~↔H
~
E
σ↔µ
Es herrscht also Analogie zwischen dem Magnetismus und dem elektrischen Strömungsfeld. Da zwischen Leitern und Isolatoren bei der elektrischen Leitfähigkeit Unterschiede von mehr als zwanzig
Zehnerpotenzen vorhanden sein können, kann der Strom fast nicht aus dem Leiter austreten. Bei den
magnetischen Materialien sind für die Permeabilität µ nur Unterschiede von etwa sechs Zehnerpotenzen
~ fast nicht aus dem Material austreten kann.
möglich, aber auch hier gilt beschränkt die Aussage, dass B
~ senkrecht auf der Materialgrenze steht.
Die Aussage ist nur dann komplett falsch, wenn B
3.7
Der magnetische Widerstand
Wie beim elektrischen Stromkreis kann man auch für das Magnetfeld die Begriffe Strom, Spannung und
Widerstand definieren:
"
~J · dF
~
I=
"
⇔ magn. Fluss
F
Z
U=
R=
Γ
U
I
~ · d~l
E
~ · dF
~
B
Φ=
(62)
F
Z
⇔ magn. Spannung
Θ=
⇔ magn. Widerstand
RM =
Γ
~ · d~l
H
Θ
Φ
(63)
(64)
Der gesamte magnetische Fluss kann als Zusammensetzung aus Nutzfluss und Streufluss betrachtet
werden:
Φ ges = Φ + Φs
(65)
Wenn der Leiterquerschnitt gross genug und die magnetische Permeabilität des Eisens hoch genug ist,
kann der Streufluss Φs vernachlässigt werden. Bei homogenen Verhältnissen kann damit ein Magnetfeld
analog zu einem Stromkreis berechnet werden.
Mit den Gleichungen [57] und [63] ergibt sich für die magnetische Spannung einer Spule mit N
Windungen
Θ = NI
Zusammenhang zwischen Feldstärke H und Fluss Φ:
B j = µ jH j =
Φ
Φ
⇒ Hj =
Aj
µ jA j
9
Magnetischer Widerstand:
RM j =
4
4.1
Θj
=
Φ
H jl j
Φ
=
lj
µ jA j
Die Wirkung zeitvariabler Magnetfelder
Elektrische Induktion
Elektromotorische Kraft Betrachtet man eine Strom- oder Spannungsquelle, so stellt man fest, dass
es in ihrem Inneren eine nichtelektrische antreibende Kraft geben muss (z.B. mechanisch oder chemisch).
~ ne dargestellt werden. Diese gehorcht
Diese Kraft kann durch eine äquivalente Feldstärkeverteilung E
H
~
~ · d~l = 0 nicht. Man kann aber
nicht den gleichen Gesetzen wie ein normales E-Feld,
insbesondere gilt E
~ ne längs Γ integrieren und erhält eine Spannung – die elektromotorische Kraft:
trotzdem E
Z
~ ne · d~l
EMK =
E
(66)
Γ
~ ne kompensiert wird (sonst
Die EMK erzeugt ein äusseres Feld, das immer genau so gross ist, dass E
würden innerhalb der Quelle weitere Ladungen verschoben). Die EMK ist der äusseren Spannung genau
entgegengesetzt:
U = −EMK
(67)
Das Induktionsgesetz Im Jahre 1831 entdeckte Michael Faraday den Zusammenhang zwischen Magnetismus und Elektrizität, das Induktionsgesetz. Eine zeitliche Änderung des magnetischen Flusses
durch eine Leiterschleife bewirkt einen elektrischen Strom in dieser Schleife:
"
d
~ · dF
~ = − dΦ
(68)
B
EMK = −
dt
dt
F
Oder wenn man die EMK als nichtelektrostatische Feldstärke betrachtet:
I
"
~ · d~l = − d
~ · dF
~
E
B
dt
∂F
F
(69)
Selbstinduktion Ein Strom durch eine Leiterschleife erzeugt einen magnetischen Fluss, welcher in
der Schleife wieder einen Strom induziert. Dies nennt man Selbstinduktion. Nach der Regel von Lenz ist
der induzierte Strom immer gegen die Änderung des ursprünglichen Stroms gerichtet, er verzögert sie
also. Dies muss auch so sein, da sonst das System instabil wäre.
Die Leiterschleife als Zweipol Zur einfacheren Rechnung mit Induktion wird eine Grösse definiert,
die vom Strom und von der Zeit unabhängig ist und lediglich die geometrischen Daten einer Leiterschleife
enthält, die Induktivität:
"
1
~ · dF
~= Φ
L :=
B
(70)
I
I
F
Nun kann man mit dem bekannten Gesetz rechnen:
U(t) =
dΦ
dI
=L
dt
dt
(71)
Gegeninduktivität Da das Magnetfeld einer Leiterschleife auch eine andere Leiterschleife beeinflussen kann, findet zwischen zwei unabhängigen Leiterschleifen eine gegenseitige Induktion statt. Betrachten wir zwei Schleifen mit den Ströme Ii , I j , Magnetfeldern Bi , B j und von den Schleifen umrandeten
Flächen Fi , F j , dann ist die Gegeninduktivität
"
"
1
1
~ j · dF,
~
~ i · dF
~
Mi j :=
B
M ji :=
B
(72)
Ij
Ii
Fi
Fj
Es gelten die Gleichungen
Ui j =
dΦi j
dt
= Mi j
dI j
dt
,
U ji =
10
dΦ ji
dt
= M ji
dIi
dt
(73)
Dies ist aber nur die gegenseitige Induktion. Berücksichtigt man auch die Selbstinduktion, so ergiebt sich
Ui = Li
dI j
dIi
+ Mi j
,
dt
dt
U j = Li
dI j
dt
+ M ji
dIi
dt
(74)
Unter allgemeinen Voraussetzungen ist die Gegeninduktivität in beide Richtungen gleich, d.h. es gilt
Mi j = M ji
4.2
(75)
Induktivität und Energie
Um ein Magnetfeld in einer Induktivität aufzubauen, braucht es Leistung während einer gewissen Zeit,
also Energie. Die Leistung ist
dI(t)
· I(t)
(76)
P(t) = U(t) · I(t) = L
dt
Die in der Zeitperiode t0 bis t1 hineingesteckte oder erhaltene Leistung ist damit
Z
W=
t2
Z
P(t)dt =
t1
t2
Lİ(t)I(t)dt
(77)
t1
Für einen linearen Anstieg des Stroms von I = 0 bis I = I1 während einer beliebigen Zeitspanne ist die
Energie
1
(78)
W = LI12
2
5
5.1
Die Maxwell-Gleichungen
Maxwell-Gleichungen in Integralform
"
~ · d~l = − ∂
~ · dF
~
E
B
∂t
∂F
F
!
I
"
∂~ ~ ~
~ · d~l =
D + J dF
H
F ∂t
∂F
$
~ · dF
~ =
D
% dV
∂V
V
~ · dF
~ = 0
B
I
(79)
(80)
(81)
(82)
∂V
5.2
Maxwell-Gleichungen in Differentialform
∂~
B(~r, t)
∂t
~ r, t) = ~J(~r, t) + ∂ D(~
~ r, t)
rot H(~
∂t
~ r, t) = %(~r, t)
div D(~
~ r, t) = 0
div B(~
~ r, t) = −
rot E(~
(83)
(84)
(85)
(86)
(87)
5.3
Physikalische Bedeutung der Maxwellschen Gesetze
Induktionsgesetz
I
~ · d~l = − ∂
E
∂t
∂F
"
~ · dF
~
B
~=−
rot E
F
∂~
B
∂t
~
~
Eine zeitliche Änderung des B-Feldes
führt zu einem E-Feld;
die Wirbel des elektrischen Feldes sind von
der zeitlichen Änderung der magnetischen Induktion abhängig.
11
Durchflutungsgesetz (AmpËre’sches Gesetz)
I
∂F
~ · d~l =
H
"
F
!
∂~ ~ ~
D + J dF
∂t
~ = ~J +
rot H
∂~
D
∂t
Die Wirbel des Magnetfeldes hängen von der elektrischen Stromdichte und von der Veränderung der
Verschiebungsstromdichte ab.
Gauss’sches Gesetz
∂V
~ · dF
~=
D
$
~ =%
div D
% dV
V
Ladung ist die Quelle des elektrischen Feldes. Der elektrische Fluss durch die Oberfläche eines Volumens
entspricht der darin eingeschlossenen Ladung.
Magnetischer Fluss
~ · dF
~=0
B
~=0
div B
∂V
Der magnetische Fluss durch die Oberfläche eines Volumens entspricht der darin eingeschlossenen
Ladung. Da es keine magnetische Ladung (keine Monopole) gibt, ist keine Flussquelle vorhanden.
5.4
Maxwell-Gleichungen in Elektro- und Magnetostatik
∂
≡0
∂t
Entkoppelung der Gleichungen:
Keine zeitlichen Änderungen:
I
~ · d~l = 0
E
I
"
~ · d~l =
~JdF
~
H
∂F
F
$
~ · dF
~ =
D
% dV
∂V
V
~ · dF
~ = 0
B
∂F
(88)
(89)
(90)
(91)
∂V
In der Differenzialform heisst das für das elektrische Feld
~=0
rot E
~= %
div E
ε
⇒
~ = − grad ϕ
E
(92)
(93)
Mit div grad s = ∆s ergibt sich die Poisson-Gleichung
∆ϕ = −
%
ε
Für einen ungeladenen Bereich gilt also im statischen Fall (auch bei Stromfluss) die Laplacegleichung
∆ϕ = 0
12
6
6.1
Das Lösen der Maxwell-Gleichungen
Grenzbedingungen
Allgemeiner Fall, Normalkomponente bzgl. ~en (weist von Gk nach Gi ):
~ iT − E
~ kT = ~0
E
~ iT − H
~ kT = ~0
H
Din − Dkn = ς
Jin − Jkn = −
Bin − Bkn = 0
!
∂
∂
Jin + Din − Jkn + Dkn = 0
∂t
∂t
∂ς
∂t
Grenze zum idealen Leiter (~en vom idealen Leiter ins i-te Feldgebiet):
~ iT = ~0
E
~ iT = α
~ iT
~ × ~en ⇒ α
~ = ~en × H
H
Din = ς
~−
Jin − Jkn = −div F α
Bin = 0
∂ς
∂t
∂
~
Jin + Din = −div F α
∂t
6.2
Ebene Welle
Das elektromagnetische Feld
~ r, t) = Re E
~ 0 e j(ωt−~k·~r)
E(~
~ r, t) = Re H
~ 0 e j(ωt−~k·~r)
H(~
mit den Bedingungen
~0 =
H
1 ~ ~
(k × E0 ),
ωµ0
~ 0 · ~k = 0,
E
~k · ~k = ω2 µ0 ε0 = k2
0
genügt im Vakuum den Maxwell-Gleichungen und heisst linear polarisierte, harmonische Ebene Welle
mit Kreisfrequenz ω, Wellenvektor ~k (beschreibt die Ausbreitungsrichtung) und vektorieller Amplitude
~0.
E
7
7.1
Die Energie im elektromagnetischen Feld
Das Poynting’sche Energiekonzept
Elektrische Energiedichte:
1
1~ ~
Dn E = D
·E
2
2
Für einen Kondensator (Fläche F, Plattenabstand d) ist die Gesamtenergie:
$
1
1
1
We = CU2 = QU =
we dV = FDn · Ed
2
2
2
V
we =
13
Magnetische Energiedichte:
1~ ~
B·H
2
Die Gesamtenergie eines homogenen Spulenabschnitts (Länge l, Fläche F) ist:
"
$
1 ~ ~
1
1 2 1
~
~
BdF =
wm dV = (B
· H)lF = Θφ
W = LI = I
2
2
2
2
F
V
wm =
Energieflussdichte (Poynting-Vektor):
~=E
~×H
~
S
7.2
Poynting-Theorem
Das Poynting-Theorem besagt, dass der Energiefluss durch die Oberfläche ∂V in das Volumen V hinein
der zeitlichen Änderung des elektromagnetischen Energieinhalts in V plus der dort in andere Energieformen umgesetzten Leistung entspricht:
!
$
I
∂w
~
~
S · dF =
−
+ p j + pelek + pmag dV
V ∂t
∂V
Im linearen Fall (Material ist in jedem Punkt durch die Konstanten ε, µ, σ beschrieben) verschwinden pelek
und pmag einzeln und es ergibt sich

$ 
~
~


∂
E
∂
H
~ =
~ · dF
εE
~
~
~ ~ 
−
S
 · ∂t + µH · ∂t + σE · E dV
∂V
V
I
14
A
Einheiten
Grösse
Einheit
~
Elektrische Feldstärke E
~
Magnetische Feldstärke H
Elektrische Stromdichte ~J
~
Magnetische Induktion, Flussdichte B
Elektrische Leitfähigkeit σ
Magnetische Leitfähigkiet µ
~
Dipoldichte, Polarisation P
~
magnetische Dipoldichte, Magnetisierung M
elektrische Suszeptibilität χe
magnetische Suszeptibilität χm
~
Dielektrische Verschiebungsdichte D
~
Magnetische Induktion, Flussdichte B
Strom I
Magnetischer Fluss Φ
Spannung U
Magnetische Spannung Θ
Widerstand R
Magnetischer Widerstand RM
Kapazität C
Induktivität L
Ladung Q
Linienladungsdichte λ
Flächenladungsdichte ς
Ladungsdichte ρ
Flächenstromdichte α
V
m
A
m
A
m2
B
= T (Tesla)
Vs
m2
1
Ωm
Vs
Am
As
m2
A
m
As
m2
= T (Tesla)
Ampere, A = Cs
[Vs]
Volt, V
[A]
Ohm, Ω
1
[ Ωs
]
Farad, F = Ωs
Henry, H = Ωs
Coulomb, C = As
Vs
m2
As
m
As
m2
As
m3
A
m
Konstanten
Konstante
ε0
µ0
Name
el. Feldkonstante, Permittivitität
magn. Feldkonstante, Permeabilität
c
Lichtgeschwindigkeit
e
Elementarladung
Betrag und Einheit
As
8.85418782 · 10−12 Vm
Vs
−
q 4π · 10 7 Am
1
µ0 ε0
= 299792458 ms
1.602176462 · 10−19 C
15