Formelsammlung: Physik II für Naturwissenschaftler

Formelsammlung:
Physik II für Naturwissenschaftler
Stand: 16. Juli 2015
4 Elektrizität und Magnetismus
4.1 Ladung und Ladungserhaltung
• Ladung q = n(±e) mit Elementarladung
e = 1,6 · 10−19 C = 1,6 · 10−19 As
4.2 Coulomb-Gesetz
• Kraft auf die Ladung q1 bei ~x1 durch die Ladung q2 bei ~x2 (Fernwirkungsprinzip)
q1 q2 ~x1 − ~x2
F~12 =
4πε0 |~x1 − ~x2 |3
mit Permittivität des Vakuums
ε0 = 8,85 · 10−12
C2
Nm2
• Gesamtkraft auf q1 ausgeübt durch viele Ladungen q2 , q3 , . . .
F~1 = F~12 + F~13 + . . .
(lineare Superposition)
~ (Nahwirkungsprinzip) der Ladungen q1 , q2 . . . qN wirkend auf q bei ~x
• Elektrisches Feld E
N
~
X
qi ~x − ~xi
~ x) = F =
E(~
q
x − ~xi |3
i=1 4πε0 |~
• Feldlinien:
~
– Dichte = Maß für E = |E|
~ (von + nach -)
– Tangenten = Richtung von E
– Feldlinien stehen senkrecht auf Leitern und verschwinden darin
• Elektrischer Dipol: Ladungen ±q im Abstand l
– Dipolmoment p = ql
– Fernfeld (Betrag) im Abstand r l
+
+q
1 p
E=
4πε0 r3
1
l
−
−q
4.3 Elektrisches Potential
• Definition des Potentials φ im Punkt ~x
φ(~x) = −
Z~x
~ x 0 )·d~x 0
E(~
∞
~ von ∞ nach ~x zu bringen
Interpretation: q φ(~x) = Arbeit, um Ladung q im Feld E
– Einheit [φ] = 1 J/C = 1 V (Volt)
– Energien werden jetzt oft in Elektronenvolt angegeben:
1 eV = e · 1 V
= 1, 6 · 10−19 C · 1 V
= 1, 6 · 10−19 J
• Potential einer Punktladung Q (Quelle) bei ~x1
φ(~x) =
1
Q
4πε0 |~x − ~x1 |
• Potential von N Punktladungen Qi bei ~xi (Superposition)
φ(~x) =
N
1 X
Qi
4πε0 i=1 |~x − ~xi |
• Energieerhaltungssatz für eine Ladung q im Potential φ an zwei Punkten ~x1 und ~x2 :
Eges = Ekin,1 + q φ(~x1 )
= Ekin,2 + q φ(~x2 ) = const.
• Elektrische Spannung zwischen den Punkten ~x1 und ~x2 :
U = φ(~x2 ) − φ(~x1 )
~ und Potential φ = φ(x, y, z)
• Elektrisches Feld E

∂φ/∂x




~ = −
E
 ∂φ/∂y  = − grad φ


∂φ/∂z
⇒ Feldlinien stehen senkrecht auf Äquipotentialflächen φ = const.
2
4.4 Kapazitäten – Kondensatoren
• Kondensator speichert Ladung Q auf Elektroden mit Potentialdifferenz U
– Kapazität („Fassungsvermögen“ für Ladung)
Q
U
C=
– Einheit [C] = 1 C/V = 1 F (Farad)
• Beispiel: Kondensator aus Platten der Fläche A im Abstand d hat Kapazität
C = ε0 εr
A
d
εr : relative Dielektrizitätszahl (Vakuum: εr = 1)
• Zusammenschalten von Kondensatoren (Zweipole)
– Serienschaltung
1
1
1
=
+
Cges
C1 C2
C1
C2
– Parallelschaltung
C1
Cges = C1 + C2
C2
• Elektrische Energie im Kondensator
We =
1 Q2
1
1
= CU 2 = QU
2 C
2
2
4.5 Bewegte Ladungen – Ströme
• Elektrischer Strom
I=
dQ
dt
– Einheit [I] = 1 C/s = 1 A (Ampère)
• Ohm’sches Gesetz (I ∼ U )
I=
– Ohm’scher Widerstand R
– Einheit [R] = 1 V/A = 1 Ω (Ohm)
3
1
U
R
• Elektrische Leistung
P =
dW
=UI
dt
• Kirchhoff’sche Regeln
– Knotenregel
Ikin =
X
k
X
Ikout
k
– Maschenregel
X
Uk = 0
k
• Anwendung der Kirchhoff’schen Regeln
I1
b
RA
I2
+
I3
Ua
RB
b
I2
+
Ub
1. Identifiziere alle Knoten und wähle die Richtungen (beliebig) der Ströme Ik .
2. Bilanziere die Ströme für jeden Knoten. Für den oben gewählten Knoten bedeutet
dies:
I1 = I| 2 +
I .
{z 3}
|{z}
in
out
3. Wähle genügend Maschen (jedes Bauteil muss mindestens in einer Masche vorkommen) und einen Umlaufsinn (beliebig) für jede Masche.
4. Bilanziere die Potentialdifferenzen Uk im Umlaufsinn. Im obigen Beispiel wäre die
Maschenregel:
X
Uk = Ua − Ub + I3 RB − I2 RA = 0 .
k
Ergebnis: Aus Knoten- und Maschenregel folgen mindestens n Gleichungen für n
Unbekannte.
• Beispiel: RC-Kreis (Ladevorgang)
– Maschenregel:
R
dQ Q
+ = U0
dt
C
4
(DGL 1. Ordnung)
C
I
R
+
+
U0
– Lösung:
Q(t) = U0 C 1 − e−t/RC
I(t) = Q̇(t) =
U0 −t/RC
e
R
mit typischer Zeitkonstante τ = RC (Ladezeit).
• Zusammenschalten von Widerständen (Zweipole)
– Serienschaltung
Rges = R1 + R2
R1
R2
– Parallelschaltung
R1
1
1
1
=
+
Rges
R1 R2
R2
4.6 Magnetfelder
~
• Kraft auf Probestrom I im Magnetfeld B
~
F~ = I~s × B
(„Drei-Finger-Regel“ wegen Kreuzprodukt)
mit ~s als stromdurchflossene Leiterlänge im Magnetfeld
~ = 1 N = 1 T (Tesla)
– Einheit [B]
Am
~ und B-Feld
~
• Lorentz-Kraft auf Punktladung q im E
~ + ~v × B
~
F~L = q E
• Magnetfeld bei ~x1 durch einen Stromfaden Id~x2 bei ~x2 (Biot-Savart-Gesetz):
~ =
dB
µ0
~x1 − ~x2
Id~x2 ×
4π
|~x1 − ~x2 |3
5
mit Permeabilität des Vakuums
µ0 = 4π · 10−7 Tm/A
(vgl. dazu Coulomb-Gesetz)
• Magnetfeld (Betrag) im Inneren einer langen Spule mit N Windungen auf der Länge l,
gefüllt mit Materie und durchflossen vom Strom I:
N
I
l
B = µ0 µr
µr : relative Permeabilität des Materials
4.7 Elektromagnetische Induktion
~
~ = ~nA
• Magnetischer Fluss eines homogenen B-Felds
durch ebene Fläche A
~ ·A
~
Φmag = B
– Einheit [Φmag ] = 1 Tm2 = 1 Wb (Weber)
• Induktionsgesetz (Faraday)
Uind = −
d
Φmag
dt
• Lenz’sche Regel: Induktionsspannung wirkt Flussänderung entgegen
• Magnetischer Fluss durch lange Spule
Φmag = LI
mit Induktivität (Geometriegröße, „Fassungsvermögen“ für magnet. Fluss)
L = µ0 µr
N2
V
l2
– Windungsdichte N/l
– Volumen der Spule V
– Einheit [L] = 1 Wb/A = 1 H (Henry)
• Induktionsspannung an der Spule (in Stromrichtung über Spule)
UL = −L
dI
dt
• Magnetische Energie im Feld der Spule
Wm =
1 2 1
LI = LQ̇2
2
2
• Zusammenschalten von Spulen (Zweipole)
6
– Serienschaltung
Lges = L1 + L2
L1
L2
– Parallelschaltung
L1
1
1
1
=
+
Lges
L1 L2
L2
4.8 Elektromagnetische Schwingungen
• RLC-Schwingkreis
C
R
L
– Maschenregel:
Q̈ + 2κQ̇ + ω02 Q = 0
√
– Eigenfrequenz ω0 = 1/ LC
– Dämpfungskonstante κ = R/(2L)
– Lösung: gedämpfte Oszillation (κ < ω0 , Kondensator anfangs geladen)
Q(t) = Q0 e−κt cos(ωt)
mit Frequenz ω =
q
ω02 − κ2
4.9 Elektromagnetische Wellen (Fernfelder)
• Ebene, harmonische Welle
~ = E0 ~e cos(kx − ωt)
E
~ = B0 ~e 0 cos(kx − ωt)
B
– Wellenlänge λ = 2π/k mit Wellenzahl k
– Kreisfrequenz ω = 2π/T mit Periodendauer T
– Dispersionrelation ω = ck
7
• Ausbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum: Lichtgeschwindigkeit
c= √
1
≈ 3·108 m/s
0 µ0
• Polarisation: ~e ⊥ ~e 0 ⊥ x-Achse (Ausbreitungsrichtung)
• Licht: elektromagnetische Wellen im Spektralbereich
λ = 400 nm . . . 750 nm
(violett) . . . (rot)
5 Wellenoptik
• Beobachtbar: Mittlere Intensität
T
1Z
~2
I∼
dt E
T
0
• Superposition zweier harmonischer Wellen (j = 1, 2)
~ j = E0 ~ej cos(krj − ωt)
E
liefert mittlere Intensität
T
1Z
~1 + E
~2 2
dt E
I∼
T
0
• Sich ergebendes Zweistrahl-Interferenzmuster
I = I0 [1 + (~e1 ·~e2 ) cos(k∆r)]
mit Gangunterschied ∆r = r1 − r2
– Maxima bei ∆r = ±nλ
– Minima bei ∆r = ± n +
1
2
λ
I
• Beugung am Gitter mit Spalten im Abstand s
−3
−2
−1
0
1
2
3
– Hauptmaximum ±m-ter Ordnung
bei
s sin θ±m = ±mλ
m = 0, 1, 2, . . .
sin θ
– Achtung: Einzelne Hauptmaxima eventuell unterdrückt durch Minima der Einzelspalte mit endlicher Breite b an den Stellen b sin θ±j = ±jλ; j = 0, 1, 2, . . .
6 Quantenphysik
• Planck’sches Wirkungsquantum
h̄ =
h
6,63 · 10−34
=
Js = 1,05 · 10−34 Js
2π
2π
8
6.1 De-Broglie-Hypothesen
• Wellencharakter eines freien Teilchens mit Impuls p und Energie E = p2 /(2m)
p = h̄k
E = h̄ω =
h̄2 k 2
2m
• De-Broglie-Welle
ψ(x, t) = ψ0 exp[i(kx − ωt)]
6.2 Quantenphysik und Wellenfunktionen
• Wahrscheinlichkeit ein Teilchen zwischen a und b zu finden
W (a, b) =
Zb
|ψ|2 dx
a
• Normierung
Z∞
|ψ|2 dx = 1
−∞
A Anhang: Physikalische Konstanten in SI Einheiten
(gerundet für unsere Zwecke)
A.1 Mechanik
• Gravitationskonstante G = 6,67 · 10−11
Nm2
kg2
A.2 Wärmelehre
1
• Avogadro-Konstante NA = 6,022 · 1023 mol
• Boltzmann-Konstante kB = 1,38 · 10−23
J
K
• allg. Gaskonstante R = NA kB = 8,314 molJ K
A.3 Elektrizität und Magnetismus
• Elementarladung e = 1,6 · 10−19 C
• Elektronenmasse me = 9,11 · 10−31 kg
• Protonenmasse mp = 1,67 · 10−27 kg
• Permittivität des Vakuums ε0 = 8,85 · 10−12
C2
Nm2
• Permeabilität des Vakuums µ0 = 4π · 10−7 Tm/A
• Elektronenvolt 1 eV = 1,6 · 10−19 J
9