Musterlösung zu Blatt 9 Höhere Mathematik IV

Musterlösung zu Blatt 9
Höhere Mathematik IV (P/ET/I-I)
Sommersemester 2017
33 1. Möglichkeit: mit Satz 89.2 b)
Es sei (xn ) eine Folge in D(λI − T ) = D(λI) ∩ D(T ) = D(T ) mit xn → x in X und
(λI − T )xn → y in X. Dann folgt T xn → λx − y, also x ∈ D(T ) = D(λI − T ) und
T x = λx − y nach Satz 89.2 b), also (λI − T )x = y. Nach Satz 89.2 b) ist λI − T
abgeschlossen.
2. Möglichkeit: mit Satz 89.2 c)
Es sei (xn ) eine Cauchy-Folge in DλI−T . Dann gilt
kxn − xm k2T = kxn − xm k2 + kT (xn − xm )k2
= kxn − xm k2 + kT (xn − xm ) − λI(xn − xm ) + λI(xn − xm )k2
≤ kxn − xm k2 + 2k(T − λI)(xn − xm )k2 + 2kλI(xn − xm )k2
= (1 + 2|λ|2 )kxn − xm k2 + 2k(T − λI)(xn − xm )k2
≤ C(kxn − xm k2 + k(T − λI)(xn − xm )k2 )
= Ckxn − xm k2λI−T
mit C := max{1 + 2|λ|2 , 2}. Wegen D(λI − T ) = D(T ) ist (xn ) eine Cauchy-Folge
in DT und somit nach Satz 89.2 c) konvergent mit xn → x ∈ D(T ) = D(λI − T ).
Nach Satz 89.2 c) ist daher λI − T abgeschlossen.
34 i) Ist b = (bj ) eine Folge positiver reeller Zahlen, so lässt sich wie für `2 zeigen, dass
∞
n
o
X
2
`2 (b) := x = (xj ) | kxk`2 (b) :=
b2j |xj |2 < ∞
j=0
ein Hilbertraum mit Orthonormalbasis { b1j ej }j∈N0 ist, wobei das zugehörige Skalarprodukt auf naheliegende
Weise definiert werden kann. Für die gegebene Folge a ist
p
2
also DDa = `2 ( 1 + |a| ) vollständig und somit Da nach Satz 89.2 c) abgeschlossen.
ii) Da ist wegen [ej ]j∈N0 ⊆ D(Da ) dicht definiert. Für x, y ∈ D(Da ) gilt:
hDa x|yi =
∞
X
aj x j y j =
j=0
∞
X
xj aj yj = hx|Da yi
j=0
Somit ist Da ⊆ Da∗ . Da entsprechend auch Da∗ ⊆ Da∗∗ folgt und nach Satz 90.3 c) und
i) Da∗∗ = Da gilt, ergibt sich Da∗ = Da . Insbesondere ist D(Da∗ ) = D(Da ) = D(Da ).
Bemerkung: Im Falle einer reellen Folge a ist Da selbstadjungiert.
1
35 a) f kann als 2π-periodische Funktion auf R betrachtet werden. Wie im Beweis zu Satz
72.13 liefert partielle Integration, die auch auf W 1 -Funktionen angewendet werden
kann, wegen f (−π) = f (π)
Z π
1
fb(k) =
f (x)e−ikx dx
2π −π
π
Z
1 π 0
1
1
−ikx −ikx
− f (x)e
f (x)e
dx
=
+ ik
2π
ik
−π
−π
=
1 b0
f (k)
ik
für k ∈ Z\{0}, und es folgt mit der Parsevalschen Gleichung:
∞
X
|hkifb(k)|2 =
k=−∞
∞
X
(1 + k 2 )|fb(k)|2
k=−∞
=
∞
X
(|fb(k)|2 + |fb0 (k)|2 )
k=−∞
1
=
2π
Z
π
(|f (x)|2 + |f 0 (x)|2 ) dx
−π
= kf k2W 1 < ∞
b) Betrachte die Einbettung als Hintereinanderschaltung der Abbildungen
F
D
F −1
a
W 1 [−π, π] −→ `2 (Z) −→
`2 (Z) −→ L2 [−π, π]
mit F wie im Hinweis, Da dem Diagonaloperator mit der Folge a =
1
hki
und
k∈Z
der Inversen der Fourier-Abbildung F. Nach Teil a) gilt kF (f )k`2 = kf kW 1 , d.h. F
ist eine Isometrie. Bekanntermaßen gilt dies auch für F −1 . Da a eine Nullfolge ist,
ist Da nach Aufgabe 26 a) kompakt und dies gilt dann auch für die Komposition
der drei Abbildungen.
Bemerkung: Es lässt sich zeigen, dass die Einbettung W 1 (R) → L2 (R) nicht kompakt ist (vgl. [K3], Aufgabe 42.9).
d
. Nach Satz 75.8 gilt dann für die Fourier-Trans36 Es ist P = ~Dx mit Dx := −i dx
formation einer Funktion f ∈ L2 (R):
F(Dx f )(ξ) = ξ fb(ξ) , ξ ∈ R
Wie in 90.8 ist P daher (bis auf die Konstante ~) unitär äquivalent zum Multiplikationsoperator Mξ in L2 (R). Da ξ reellwertig ist, ist Mξ und damit auch P
selbstadjungiert mit D(P ) = H 1 (R) = W 1 (R).
sawo
2