¨Ubungen zu Theoretischer Physik II (Quantenmechanik1) SS 2004

Übungen zu Theoretischer Physik II (Quantenmechanik1 )
Dr. U. Wulf
SS 2004
Blatt 6
Do. 10.06.2004
Aufgabe 17 : Weiter geht’s mit ... Potentialtopf
a) Stellen Sie den Orts-Operator x̂ und den Impuls-Operator p̂ in der Basis der Eigenzustände
|un i des Hamilton-Operators des unendlichen Potentialtopfes (V = 0 für −a ≤ x ≤ a und 0
sonst) dar. Diese sahen in der Ortsdarstellung wie folgt aus:
r
πn
1
un (x) =
sin
(x − a) .
a
2a
Zeigen Sie, dass x̂ und p̂ als Matrizen selbstadjungiert sind! Überprüfen Sie außerdem, ob der
Hamilton-Operator diagonal und selbstadjungiert ist.
4 Punkte
b) Ein allgemeines dreidimensionales Potential V (~r) kann fast beliebig von ~r abhängen. Zeigen
Sie, unter der Annahme, dass ~r selbstadjungiert ist, mit Hilfe der Taylor-Reihen-Entwicklung,
dass V (~r) selbstadjungiert ist! Zeigen Sie für ein beschränktes Volumen, auf dessen Rand und
außerhalb welchem die Wellenfunktionen verschwinden (wo das Potential ∞ groß ist), dass der
Hamilton-Operator
~2
∆ + V (~r)
Hop = −
2m
selbstadjungiert ist.
Hinweis: Greenscher Integralsatz.
3 Punkte
c) Der Kommutator zweier Operatoren  und B̂ ist definiert durch [Â, B̂] = ÂB̂ − B̂ Â. Analog
ist er für Matrizen definiert - hier bzgl. der Matrixverknüpfung [A, B] = A ◦ B − B ◦ A.
Berechnen Sie mit den Matrizen aus a)
[x̂, p̂].
3 Punkte
1
http://hbar.physik.uni-oldenburg.de/vlqm/VLqm/VLqm.html
Aufgabe 18 : Nichtlokalität
Die stationäre Schrödinger-Gleichung wird normalerweise in der lokalen Form
~2
∆ + V (~r) ψ(~r ) = E ψ(~r)
Hop (~r) ψ(~r ) = −
2m
formuliert. Einen allgemeinen Operator definiert man in lokaler Form durch
ϕ(~r) = Oop (~r) ψ(~r).
Ein allgemeiner Operator im Hilbertraum wird jedoch durch die Abbildungsvorschrift
|ϕi = Ô |ψi.
(1)
definiert, die von jeglicher Darstellung unabhängig ist. Verifzieren Sie, dass man diesen Operator
aber immer in der Ortsdarstellung lokal darstellen kann, wenn man den Kern dieses Operators
wie folgt wählt:
h~r | Ô | ~r 0 i = δ(~r − ~r 0 ) Oop (~r).
Hinweis: Gehen Sie von (1) aus und fügen Sie den Einheits-Operator 1I (für die Ortsdarstellung)
ein. Gehen Sie dann in die Ortsdarstellung über.
3 Punkte
Aufgabe 19 : Ehrenfest-Theorem
Das Ehrenfest-Theorem besagt, dass die Erwartungswerte der Quantenmechanik den klassischen
mechanischen Gestzen gehorchen. Der Erwartungswert eines Operators  ist definiert durch
hÂi = hψ | Â | ψi.
Zeigen Sie, dass folgende Aussagen gelten:
d
hx̂i
dt
d
d2
hp̂i = m 2 hx̂i
dt
dt
∂
= −h V̂ i
∂x
Hinweis: Zeigen Sie zunächst mit Hilfe der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung, dass gilt:
hp̂i = m
i
∂
d
hÂi = h[Ĥ, Â]i + h Âi.
dt
~
∂t
2
p̂
[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂  ist der Kommutator der Operatoren  und B̂, Ĥ = − 2m
+ V̂ (x̂) ist der
Hamilton-Operator, p̂ und x̂ sind Impuls- bzw. Orts-Operator. Benutzen Sie Vertauschungsrelation von Impuls- und Ortsoperator [x̂, p̂] = i~.
4 Punkte
Zusatzaufgabe : Impuls-Operator
a) Zeigen Sie in der Ortsdarstellung (durch partielle Integration und auf einem beschränkten Volumen, außerhalb welchem die Wellenfunktionen Null sind), dass der Impulsoperator hermitesch
ist, d.h. dass gilt
hψ | p̂ | φi = hp̂ψ | φi
2 Punkte
b) Zeigen Sie ebenfalls in der Ortsdarstellung die Kommutatorrelation
[x̂, p̂] = i~,
unter Verwendung von pop = ~i ∇.
2 Punkte