Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik - Formelsammlung
1
1.1
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Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeit
Kombinatorik
Sachs S. 66
Art der Auswahl bzw. Zusammenstellung von k aus n Elementen
Anzahl der Möglichkeiten
ohne Wiederholungen
(k ≤ n)
Pn = n!(n = k)
Permutationen
(k)
Kombinationen
Cn =
n
k
mit Wiederholungen
(k ≤ n)
(k)
Pn = n!
k!
(k)
Cn =
n+k−1
k
n
k
mit TR: nCr(n,k)
En
Kombinat(n,k) De
(k)
(k)
Variationen
Vn = k! nk
V n = nk
• Permutationen: Gegeben seien n verschiedene Objekte. Dann gibt es n! verschiedene Reihenfolgen in denen man
diese Objekte anordnen kann.
z.B.: x, y, z; x, z, y; z, y, x; . . .
• Kombination: Gegeben seien n verschiedene Objekte. Dann gibt es nk Möglichkeiten, daraus k Objekte auszuwählen,
wenn es nicht auf die Reihenfolge ankommt.
z.B.: Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat man beim Lotto, 6 Zahlen aus 49 auszuwählen?
• Variation nennt man eine Auswahl von k Elementen aus n verschiedenen Elementen unter Beachtung der Reihenfolge
1.2
1.2.1
Wahrscheinlichkeit
Rechenregeln
Wertebereich:
0 ≤ P (A) ≤ 1
komplementär Ereignis:
P (Ā) = P (Ω \ A) = 1 − P (A)
Sicheres Ereignis:
P (Ω) = 1
Differenz der Ereignisse A und B:
P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B)
unmögliches Ereignis:
P (∅) = 0
Vereinigung zweier Ereignisse:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
1.3
Laplace-Ereignisse
Skript S. 29 Sachs S. 79
In einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum Ω haben alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit.
P (A) =
1.4
Unabhängige Ereignise
|A|
|Ω|
Skript S. 21 Sachs S. 83
Unabhängige Ereignisse A und B liegen vor, wenn:
P (A | B) = P (A)
und
P (B | A) = P (B)
erfüllt ist. Für sie gilt
P (A ∩ B) = P (A)P (B)
Die Tatsache, dass A eingetreten ist, hat keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit von B.
1.5
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Skript S. 19 Sachs S. 85
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A unter der Bedingung, dass das Ereignis B bereits eingetreten ist.
P (A | B) =
P (A ∩ B)
P (A) · P (B)
=
= P (A)
P (B)
P (B)
|
{z
}
nur wenn unabhängig
1.6
Satz von Bayes
P (B | A) = P (A | B) ·
1.7
Skript S. 26 Sachs S. 89
P (B)
P (A)
Totale Wahrscheinlichkeit
P (A) =
N
P
Skript S. 26 Sachs S. 88
P (A | Gi ) · P (Gi )
i=1
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2
2.1
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Erwartungswert und Varianz
Erwartungswert
Skript S. 45 Sachs S. 101
Sei X eine Funktion auf Ω, und lasse sich Ω in endlich viele Ereignisse, auf denen X(ω) konstant ist, Ai zerlegen, dann ist
der Erwartungswert von X
P
Erwartungswert =
W ert · W ahrscheinlichkeit
n
P
E(X) =
X(Ai ) · P (Ai )
i=0 | {z } | {z }
Wert
2.1.1
Rechenregeln
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
E(λX + µ) = λ · E(X) + µ
E(XY ) = E(X) · E(Y )
2.2
Varianz
λ, µ ∈ R
wenn X,Y unabhängig sind
2.2.2
Skript S. 53 Sachs S. 106
2
2
2
var(x) = σ = E[(X − E(X)) ] = E(X ) − E(X)
2.2.1
2
Kovarianz Sachs S. 49
cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) =
0
|{z}
falls X,Y unabhängig
2.3
W’keit
Rechenregeln
var(λX) = λ2 var(X)
λ, µ ∈ R
var(X1 + X2 +(. . . + Xn ) 6= var(nX)
var(X) + var(Y )
(X,Y unabh.)
var(X + Y ) =
var(X) + var(Y ) + 2 · cov(X, Y ) (X,Y abhängig)
var(XY ) = var(Y )var(X) + var(Y )E(X)2 + var(X)E(Y )2
Erwartungswert und Varianz des arithmetischen Mittels
Skript S. 58
Es sei eine folge von unabhängigen Zufallsvariablen X1 , X2 , . . . , Xn mit gleichem Erwartungswert µ und gleicher Varianz σ 2
gegeben.
n
Mittelwert: Mn = X1 +...+X
Erwartungswert: E(X) = E(Mn )
Varianz: var(Mn ) = n1 var(X)
n
2.4
Regression
Skript S. 60 Sachs S. 60, 141
Vorgehen: mit Fehlerberechnung
1. Tabelle mit bekannten Werten aufstellen:
X,Y Zufallsvariable
k
x
x2
y
y2
xy
Regressionsgerade y = ax + b mit min. Fehler
2
2
1
x1
x1
y1
y1
x1 y1
E(Y − (aX + b)) = 0
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
Regressionskoeffizient r
2
2
n
x
y
y
y
xn yn
n
n
r ist ein Mass für die Qualität der Regression (standardin
n
P P
P
P
P
P
2
2
siert)
xk P xk
yk P yk
xk yk
P
P
P
2
2
x2k
yk
xk
yk
xk yk
cov(X,
Y
)
E
r2 =
n
n
n
n
n
var(X)var(Y )
2. Varianzen, Kovarianz berechnen:
Mittlerer quadratischer Fehler
var(X) = E(X 2 ) − E 2 (X)
2
cov(X, Y )
2
2
var(Y ) = E(Y 2 ) − E 2 (Y )
∆ = var(Y )(1 − r ) = var(Y ) 1 −
var(X)var(Y )
cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y )
Berechnung mit Taschenrechner (TI-89, V-200)
3. Koeffizienten und Fehler der Gerade
berechnen: 2 • Vorbereitung:
cov(X, Y )
cov(X, Y )
2
a=
∆ = var(Y ) 1 −
{x1 , . . . , xn } Il1; {y1 , . . . , yn } I l2; LinReg l1,l2
var(X)
var(X)var(Y )
• Anzeige von Werten mit
b = E(Y ) − aE(X)
ShowStat
• Anzeige des Graphs mit
4. Gerade:
reqeq(x)Iy1(x); NewPlot 1,1,l1,l2
y = ax + b
Allgemein:
Gesucht:
Fehler:
2.5
Satz von Tschebyscheff
P (|X − E(X)| > ε) ≤
var(X)
ε2
Skript S. 57
Wahrscheinlichkeit, dass X um mehr als ε vom Erwartungswert E(X) abweicht.
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3
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Wahrscheinlichkeitsverteilung
3.1
Verteilungsfunktion
Skript S. 69 Sachs S. 93 (diskret), 97 (kontinuierlich)
diskret
kontinuierlich
x
P
P (X ≤ x) = F (x) =
P (X ≤ x) = F (x) =
pk
Rx
ϕ(x̃)dx̃
−∞
k=−∞
P (X > x) = 1 − P (X ≤ x)
P (X > x) = 1 − P (X ≤ x)
P (a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a) =
b
P
pk
P (a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a) =
k=a
3.1.1
ϕ(x̃)dx̃
a
Eigenschaften
W(F ) ∈ [0, 1]
D(F ) = R
3.2
Rb
Wahrscheinlichkeitsdichte
0
ϕ(x) = F (x)
F (−∞) = 0
F (∞) = 1
Sachs S. 97
3.2.1
Erwartungswert
R
E(X) = Rx · ϕ(x)dx
E(X 2 ) = Rx2 · ϕ(x)dx
E(X N ) = xN · ϕ(x)dx
Dichtefunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichte
Bei Sprungstellen von F(x):
ϕ(x) = Dirac mit Gewichtung der Sprunghöhe
3.3
Rechenregeln für ϕ und F
Skript S. 82
3.3.1
X, Y Zufallsvariablen
ϕX , ϕY bekannt
Verteilungsfunktion:
FX+a (x) = FX (x − a)
FλX (x) = FX ( λx )
FX+Y (x) = FX ∗ ϕY (y) = FY ∗ ϕX (x)
F√X (x) = FX (x2 )
√
FX 2 (x) = FX ( x)
Gegeben:
3.3.2
F (x) ist monoton steigend
Dichte:
ϕX+a (x) = ϕX (x − a)
ϕλX (x) = ϕX ( λx ) λ1
ϕX+Y (x) = ϕX ∗ ϕY (x)
ϕ√X (x) = 2xϕX (x2 )
√
1
ϕX 2 (x) = 12 x− 2 ϕX ( x)
Algorithmus Bsp.
1. Definition von F anwenden: FλX (x) = P (λX ≤ x)
| {z }
2. Bedingung * umformen: P (X ≤ λx ) = FX ( λx )
d
3. für Dichte: dx
d
d
ϕλX (x) = dx FλX (x) = dx
FX ( λx ) = ϕX ( λx ) λ1
∗
Maximalwert eines Intervalls Skript S. 125
X1 , . . . Xi sind auf dem Intervall [0, l] mit FX (x) verteilt
M=max{X1 , . . . , Xi }
FM (x) = FX (x)n
3.4
Normalverteilung
Skript S. 93 Sachs S. 120
Viele kleine, unabhängige Zufallsvariable sammeln sich zu einer
normalverteilten Zufallsvariable.
(x−µ)2
1
ϕ(x) = √2πσ
· e− 2σ2 = N (µ; σ 2 )
Rx − (x̃−µ)2
1
F (x) = √2πσ
·
e 2σ2
−∞
Standardisierung
Erwartungswert: E(X) = µ (=0 bei Standardnormalver.)
Varianz
: var(X) = σ 2 (=1 bei Standardnormalver.)
x=
X −µ
σ
x aus Tabelle
Dichtefunktion (oben) und Verteilungsfunktion (unten) der Normalverteilung.
68% der Werte liegen im Intervall [µ − σ, µ + σ], 95% in [µ − 2σ, µ + 2σ], 99.7% in [µ − 3σ, µ + 3σ]
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3.5
Zentraler Grenzwertsatz
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Skript S. 99 Sachs S. 127
X1 , X2 , . . . , Xn sind lauter identisch verteilte (nicht notwendig normalverteilt!) unabhängige Zufallsvariablen mit demselben
2
Erwartungswert µ und derselben
Pn Varianz σ .
Dann hat die Summe (Sn = i=1 Xi ) den Erwartungswert nµ und die Varianz nσ 2 .
Die damit verbundene standardisierte (E(X) = 0, var(X) = 1) Variable Zn ist somit wie folgt definiert:
X −µ
Sn − nµ
√
Zn = √
=
nσ
σ/ n
Für n → ∞ strebt die Verteilung von Zn gegen die Standardnormalverteilung.
3.6
Exponentialverteilung
Skript S. 88
Zur Ermittlung der Dauer von zufälligen Zeitintervallen ohne
Gedächnis (W’keit, dass X in der nächsten Minute defekt geht
= const.). Beispiele :
• Lebensdauer von Atomen beim radioaktiven Zerfall
• Lebensdauer von Bauteilen, Maschinen & Geräten
(MTBF - Mean Time Before Failure = λ1 )
Dichtefunktion und Verteilungsfunktion
(
λe−λx x ≥ 0
ϕ(x) =
0
x<0
(
−λx
1−e
x≥0
F (x) =
0
x<0
Dichtefunktion (oben) und Verteilungsfunktion (unten) der Exponentialverteilung.
Erwartungswert und Varianz
E(X) = λ1
var(X) = λ12
3.7
Hypergeometrische Verteilung
Skript S. 112 Sachs S. 117
Ist die Wahrscheinlichkeit dass in einer m Elemente umfassenden Stichprobe aus einer
Grundgesamtheit von n Elementen, von denen r eine spezielle Eigenschaft besitzen,
k Elemente mit der Eigenschaft
zu finden sind.
p(k) = P (X = k) =
Erwartungswert:
Varianz:
r
k
n−r
m−k
n
m
für 0 ≤ k ≤ r und k ≤ n
r
n
r(n − r)(n − m)
var(X) = m
n2 (n − 1)
E(X) = m
Beispiel: Lotto, n = 45 Zahlen, r = 6 (die gezogenen Zahlen), m = 6 (meine Zahlen)
6 39
P (X = 4) = P (EinV ierer) =
4
2
45
6
= 0.001364
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3.8
Poissonverteilung
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Skript S. 113 Sachs S. 115
k
Pλ (k) = λk! e−λ
Erwartungswert:
Varianz:
E(X) = λ
var(X) = λ
Anwendung der Poisson-Verteilung: für die Häufigkeiten seltener Ereignisse. Anzahl Anrufe bei einer Telefonzentrale
in einer gewissen Periode. Anzahl grosse Versicherungsschäden in einer gewissen Periode. Anzahl Jobs, die bei einem Server
ankommen. Anzahl Ereignisse in einem Zeitintervall. Anzahl Lokomotiven der SBB, die in der nächsten Woche einen Defekt
haben. Anzahl der Gewinner mit 4 Richtigen im Lotto.
3.9
Binomialverteilung
Skript S. 109 Sachs S. 112
Wird angewendet bei einem Experiment mit nur zwei Ausgängen (Ereignis mit W’keit p tritt ein, Ereignis tritt nicht
ein).
Eine Zufallsvariable mit diskreten Werten k ∈ {0, . . . , n} heisst binomialverteilt zum Parameter p, wenn die Wahrscheinlichkeit des Wertes k wie folgt ist:
n k
X = Bi(n; p) =
p (1 − p)n−k
µ = E(X) = p · n
σ 2 = var(X) = n · p(1 − p)
k
n: Versuche
k: k-mal erfolgreich
p: Wahrscheinlichkeit
Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 350 Leuten genau k (k ≤ 350) heute Geburtstag haben?
1 k 364 350−k
P (k) = 350
365
365
k
3.10
Gleichverteilung
Stetig Skript S. 85
Erwartungswert: E(X) =
2
Varianz: var(X) = (b−a)
12
4
4.1
Schätzen
Diskret Skript S. 108
Erwartungswert: E(X) =
2
Varianz: var(X) = n 12−1
a+b
2
n+1
2
Sachs S. 134
Konsistente Schätzer
Skript S. 121 Sachs S. 136
Ein Schätzer ist konsistent, wenn lim = E(X) ergibt
n→∞
Der Mittelwert der Stichprobe ist ein konsistenter Schätzer.
Der Schätzer X̄ =
X1 +...+Xn
n
Mit Taschenrechner:
4.2
lim =
n→∞
X1 +...+Xn
n
= E(X)
heisst der Stichprobenmittelwert der Stichprobe X1 , . . . , Xn .
X̄: mean({X1 , . . . , Xi })
Erwartungstreue Schätzer
Skript S. 121 Sachs S. 136
Ein Schätzer ist erwartungstreu, wenn E(Schätzer) = E(realer Wert)
n)
Ist der Stichprobenmittelwert ein konsistenter E(µ(X1 , . . . , Xn )) = E(X1 )+...+E(X
= E(X)
n
Schätzer, aber er ist sogar erwartungstreu:
Erwartungstreue
Schätzer
P
P für var(x) ist:
1
S 2 = n−1
( Xi2 − n1 ( Xi )2 )
Stichprobenvarianz, empirische Varianz
n
P
1
S 2 = n−1
(Xi − X̄)2
X̄ = Mn heisst Stichprobenmittelwert
i=1
Mit Taschenrechner
S 2 : variance({X1 , . . . , Xi })
4.2.1
S: stdDev({X1 , . . . , Xi })
Kleinstmöglicher Fehler
E((E(X) −
x1 +...+xn 2
) )
n
= minimal
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4.3
Maximum Likelihood Schätzer
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Skript S. 123
Sinn des Likelihoodschäzers ist einen unbekannten Parameter ϑ einer Dichtefunktion f (x, ϑ) zu schätzen.
L(x1 , . . . , xn ; ϑ) = p(x1 , ϑ) . . . p(xn , ϑ)
=⇒
d
L(x1 , . . . , xn ; ϑ) = 0
dϑ
=⇒
ϑ =? (Maximum-Likelihood-Schätzer)
√1
e
( 2π)n
− 2σ12
n
P
(xi −ϑ)2
Für eine normalverteilte Grösse lautet die Likelihood Funktion: L(x1 , . . . , xn ; ϑ) =
Der unbekannte Parameter ϑ kann nun durch suchen des Maximums der Funktion ermittelt werden (ϑ wird variert). Die
Funktion wird maximal, wenn die Summe im Exponent minimal wird. Das ϑ, das die Summe minimiert, kann durch ableiten nach ϑ und null setzen ermittelt werden. Es können auch Stichprobenvarianz S 2 oder Ähnliches ermittelt werden.
4.4
t-Verteilung
i=1
Skript S. 132 Sachs S. 150
n
( x1 +...+x
)
n
Der Mittelwert
normalverteilter Daten ist t-Verteilt, wenn die Varianz mit der Stichprobenvarianz geschätzt
wurde.
Ab einer gewissen Anzahl Messungen (n ≥ 30) kann näherungsweise auch wieder mit der Normalverteilung gerechnet werden.
Γ( k+1
2 )
√
πkΓ( k
2)
t2
k
− k+1
2
Die Wahrscheinlichkeitdichte der t-Verteilung ist:
ϕt (t) =
Falls Verteilung bekannt ist, finde t so dass
X̄−µ
√ ≤t =1−α
P S/
n
1+
h
i
µ ∈ X̄ − t √Sn , X̄ + t √Sn
4.4.1
Checkliste
1) X̄, S als Schätzungen von µ, σ ermitteln
2) t aus t-Tabelle
(k = n − 1) füri α = Fehlerw’keit
h
3) Intervall X̄ − t √Sn , X̄ + t √Sn , (1 − α) Konfidenzintervall
4.4.2
Anwendung
X̄−µ
√
S/ n
t-Verteilt
lim = 0 aber langsamer wie bei Gaussverteilung
x→∞
Beispiel:
Finde t:
10 Messungen ergeben Durchschnittswert 4,7 und eine Standardabweichung 0,1. Finde ein 99% Konfidenzintervall für µ.
k = n − 1 ...
0,995
..
..
..
.
.
.
9
. . . 3,2498
i
h
i
h
0,1
√
,
4,7
+
3,2498
X̄ − 3, 2498 √Sn , X̄ + 3, 2498 √Sn ⇒ 4,7 − 3,2498 √0,1
10
10
µ ∈ [4,5072, 4,8028] mit Wahrscheinlichkeit 99%
4.5
Konfidenzintervall
Skript S. 131 Sachs S. 146
Ein Intervall [L(X1 , . . . , Xn ), R(X1 , . . . , Xn )] heisst ein 1 − α- Konfidenzintervall für den Parameter ϑ, wenn der wahre
Wert des Parameters ϑ höchstens mit Wahrscheinlichkeit α ausserhalb des Intervalls liegt.
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5
Hypothesentest
5.1
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Sachs S. 162
Grundsätze
- “Man braucht Aussagen, die man widerlegen könnte.”
- Irrtum ist möglich (Irrtumsw’keit α)
- Beweis durch Widerlegen des Gegenbeweises
5.2
Vorgehen
1. Hypothese, die der Test Widerlegen soll
2. Irrtumsw’keit α = 0.05, 0.01, . . . (Niveau=1-α)
3. Testgrösse T, W’keitsverteilung
4. Bestimmung der Schranken t für: P (|T − E(T )| > t) = α
5. Falls Messungen ergeben |T − E(T )| > t =⇒ Hypothese falsch mit W’keit 1- α
5.3
2
χ =
χ2 -Test - Testen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
Z12
+ ... +
Zr2
Skript S. 139 Sachs S. 174
2
(Zr sind standardnormalverteilt) =⇒ χ -Verteilung mit r-Freiheitsgraden
Teilintervalle: Ii , i = 1, . . . , k
Wahrscheinlichkeit: P (X ∈ Ii ) = pi
P
n Beobachtungen, davon jeweils ni im Intervall i (n = ni )
P (ni −npi )2
ist χ2k−1 , mit k − 1 Freiheitsgrade
D=
npi
i 
r
−1 − x

 x 2 e 2 x > 0
r
2 2 Γ 2r
ϕn (x) =

0
x≤0
E(X) = r; var(X) = 2r
5.3.1
Durchführung des χ2 -Tests
1. Klasse bilden:
2. Diskrepanz D berechnen
Gross genug, dass mehrere Beobachtungen in jede
Klasse fallen.
(erste und letzte Klasse können breiter sein)
Faustregel: ni ≥ 5; k: Anzahle der Klassen
i
1
2
3
4
5
Intervall
pi
ni
(ni − npi )2 /npi
D=
P
aus χ2k−1 -Tabelle lesen.
(Anzahl Freiheitsgrade)= Anzahl Klassen −1 = k−1
p=1−α
α =Irrtumswahrscheinlichkeit
D ≥ D1−α Hypothese ist unwahrscheinlich!
D < D1−α Hypothese nicht wiederlegbar!
D ≤ Dα Daten möglicherweise ”fabriziert”!
-Grob verpixeltes Bild der Verteilung
-wenn wenig Messwerte =⇒ geringe Aussagekraft
3. Schwellenwert für D
Nachteile:
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5.4
Kolmogorov-Smirnov Test
Idee:
Daten:
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Skript S. 141
Vergleiche Verteilungsfunktionen (statt der Dichtefunktionen)
X Zufallsvariable, Verteilungsfunktion Fx , n Messungen ergeben Stichprobe xi
Fx theoretische Verteilungsfunktion
empirische Verteilungsfunktion
Anzahl{xi ≤x}
n
K+ = max Fx (x) - Femp (x)
K− = max Femp (x)-Fx (x)
Sei X1, . . . , Xn sei eine Stichprobe einer Zufallsvariable X . Der Kolmogorov- Smirnov-Test auf dem Niveau α für die
Hypothese, dass X die Verteilungsfunktion F hat wird wie folgt durchgeführt:
1. Berechne Kn+ =
√
n max (Fn (x) − F (x))
−∞<x<∞
2. Finde tn,1−α in der Tabelle
3. Falls Kn+ > tn,1−α , verwerfe die Hypothese, dass X die Verteilungsfunktion F hat.
6
6.1
Wichtige Formeln
Reihenentwicklungen
Geometrische Reihe
∞
P
=
k xk
=x
n=0
∞
P
k=0
Binominalreihe
∞
P
n=0
E-Funktion
1
1−x
xn
∞
P
k xk−1 =
k=1
α
n
∞ xk
P
k=0 k!
xn
= (1 + x)α
|x| < 1
x
(1 − x)2
x 6= 1
x ∈ (−1, 1)
= ex
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik - Formelsammlung
7
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Übungsverzeichnis
Titel
χ2 -Test
Akkubrand
Auto-Ziegen-Problem
Betrag verdoppeln bei Kopf
Black Jack
Blutgruppe
Brenndauer Verzögerungselement
Düngemittel (Ertragssteigerung)
Erwartungstreuer Schätzer
Erwartungswert berechnen
Exponentialverteilung
Fairnesstest
Faltung von Verteilungen
Glücksrad
Google-Matrix
Herstellerwerke
Hypergeometrische Verteilung
Hypothesentest
Kondensatoren & Toleranzen
Konfidenzintervall
Konsistenter Schätzer
Lebensdauer v. Bauteilen
Marsmännchen mit Pusteln
Maximum Likelihood-Methode
Monte Carlo Methode
MTBF (Mean Time Before Failure)
Multiple Choice Test
Münze (Fairness)
Münze werfen bis Kopf kommt
Nachkommastellen mit Münze ermitteln
Normalverteilung
Poissonverteilung
Rauschen
Regressionsgerade
Roulettetisch bis 1. Null kommt
Satz von Bayes
Schätzer
Standardnormalverteilung
Studentenbefragung
t-Verteilung
Test ob Gleichverteilung
Test ob Normalverteilung
Totale Wahrscheinlichkeit
Tschebyscheff
Unabhängigkeit von Ereignissen
Varianz berechnen
Verteilungsfunktion bestimmen
Wahrscheinlichkeitsdichte
Webseitenstatistik
Wetterdaten
Widerstände & Toleranzen
Widerstandsrauschen
Würfel (Fairness)
Würfeln bis eine 6 gewürfelt wird
Ziegen-Auto-Problem
F. Braun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, S. Arnold, S. Ferretti
Übungsnummer
14.1
3.3
4.2
5.4, 6.2
4.4
14.3
7.3
13.2
12.1
5.2, 5.3, 5.4, 6.3, 6.4, 7.1, 7.2
8.3, 11.2
9.1, 13.3
10.4
2.1
4.1
4.3
5.1
13, 14.3
10.3
13.1
12.1
9.2
3.1
12.2, 12.3
2.3
9.2
2.4
9.1
6.3, 8.1
8.2
11.1, 13.2
6.4
11.3
7.3
6.3
3.1
12.1
10.2, 11.1
5.1
13.1
14.5
14.4
3.3, 4.3
7.1, 7.2
3.2
6.1, 6.4, 7.1, 7.2
8.1, 8.2, 8.4, 10.1
10.1
13.4
13.1, 14.4
10.2
11.3
13.3
6.3
4.2
20. Januar 2009
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik - Formelsammlung
8
Seite 10 von 11
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Tabellen
c Prof. Dr. Andreas Müller
8.1
Quantilen der Normalverteilung
p
0.75
0.8
0.9
0.95
0.975
0.99
0.995
0.999
0.9995
8.2
Verteilungsfunktion der Normalverteilung
x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
8.3
x
0.6745
0.8416
1.2816
1.6449
1.9600
2.3263
2.5758
3.0902
3.2905
+0.00
0.5000
0.5398
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0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9987
+0.01
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291
0.7611
0.7910
0.8186
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9987
+0.02
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
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0.7939
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0.8888
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0.9222
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0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
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0.9987
+0.03
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0.5517
0.5910
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0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9988
+0.04
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.7389
0.7704
0.7995
0.8264
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9945
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.9988
+0.05
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.8749
0.8944
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
0.9989
+0.06
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.8770
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
0.9989
+0.07
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7794
0.8078
0.8340
0.8577
0.8790
0.8980
0.9147
0.9292
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
0.9949
0.9962
0.9972
0.9979
0.9985
0.9989
+0.08
0.5319
0.5714
0.6103
0.6480
0.6844
0.7190
0.7517
0.7823
0.8106
0.8365
0.8599
0.8810
0.8997
0.9162
0.9306
0.9429
0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
0.9963
0.9973
0.9980
0.9986
0.9990
+0.09
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
0.7549
0.7852
0.8133
0.8389
0.8621
0.8830
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9817
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
0.9990
Quantilen für den Kolmogorov-Smirnov-Test
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
30
50
100
200
p = 0.01
0.01000
0.01400
0.01699
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0.03028
0.03137
0.03239
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0.03424
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0.03589
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0.03807
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p = 0.05
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0.10022
0.10479
0.10863
0.11191
0.11473
0.11718
0.11933
0.12123
0.12290
0.12439
0.12573
0.12692
0.12799
0.12895
0.12982
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0.14887
p = 0.1
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0.17385
0.17873
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0.18560
0.18803
0.19000
0.19160
0.19291
0.19396
0.19482
0.19552
0.19607
0.19650
0.19684
0.19709
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p = 0.25
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0.32023
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0.32717
0.32804
0.32802
0.32745
0.32975
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0.33570
0.33789
0.33970
0.34122
0.34250
0.34360
0.34454
0.34535
0.34607
0.35087
0.35713
0.36331
0.36784
F. Braun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, S. Arnold, S. Ferretti
p = 0.5
0.50000
0.51764
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0.51104
0.52449
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0.53635
0.53916
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0.54258
0.54390
0.54527
0.54682
0.54856
0.55002
0.55123
0.55228
0.55319
0.55400
0.55475
0.56047
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0.57725
p = 0.75
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0.79667
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p = 0.95
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1.15859
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1.16885
1.17139
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1.17552
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1.17888
1.18032
1.18162
1.18282
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1.21180
p = 0.99
0.99000
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1.35889
1.37774
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1.41435
1.42457
1.43272
1.43878
1.44397
1.44837
1.45207
1.45527
1.45810
1.46060
1.46283
1.46483
1.46664
1.46830
1.46981
1.48009
1.48969
1.49864
1.50458
20. Januar 2009
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik - Formelsammlung
8.4
Quantilen der t-Verteilung
k =n−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
50
100
500
103
104
105
106
8.5
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0.75
1.0000
0.8165
0.7649
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0.6974
0.6955
0.6938
0.6924
0.6912
0.6901
0.6892
0.6884
0.6876
0.6870
0.6864
0.6858
0.6853
0.6848
0.6844
0.6840
0.6837
0.6834
0.6830
0.6828
0.6794
0.6770
0.6750
0.6747
0.6745
0.6745
0.6745
0.8
1.3764
1.0607
0.9785
0.9410
0.9195
0.9057
0.8960
0.8889
0.8834
0.8791
0.8755
0.8726
0.8702
0.8681
0.8662
0.8647
0.8633
0.8620
0.8610
0.8600
0.8591
0.8583
0.8575
0.8569
0.8562
0.8557
0.8551
0.8546
0.8542
0.8538
0.8489
0.8452
0.8423
0.8420
0.8417
0.8416
0.8416
0.9
3.0777
1.8856
1.6377
1.5332
1.4759
1.4398
1.4149
1.3968
1.3830
1.3722
1.3634
1.3562
1.3502
1.3450
1.3406
1.3368
1.3334
1.3304
1.3277
1.3253
1.3232
1.3212
1.3195
1.3178
1.3163
1.3150
1.3137
1.3125
1.3114
1.3104
1.2987
1.2901
1.2832
1.2824
1.2816
1.2816
1.2816
0.95
6.3138
2.9200
2.3534
2.1318
2.0150
1.9432
1.8946
1.8595
1.8331
1.8125
1.7959
1.7823
1.7709
1.7613
1.7531
1.7459
1.7396
1.7341
1.7291
1.7247
1.7207
1.7171
1.7139
1.7109
1.7081
1.7056
1.7033
1.7011
1.6991
1.6973
1.6759
1.6602
1.6479
1.6464
1.6450
1.6449
1.6449
0.975
12.7062
4.3027
3.1824
2.7764
2.5706
2.4469
2.3646
2.3060
2.2622
2.2281
2.2010
2.1788
2.1604
2.1448
2.1314
2.1199
2.1098
2.1009
2.0930
2.0860
2.0796
2.0739
2.0687
2.0639
2.0595
2.0555
2.0518
2.0484
2.0452
2.0423
2.0086
1.9840
1.9647
1.9623
1.9602
1.9600
1.9600
0.99
31.8205
6.9646
4.5407
3.7469
3.3649
3.1427
2.9980
2.8965
2.8214
2.7638
2.7181
2.6810
2.6503
2.6245
2.6025
2.5835
2.5669
2.5524
2.5395
2.5280
2.5176
2.5083
2.4999
2.4922
2.4851
2.4786
2.4727
2.4671
2.4620
2.4573
2.4033
2.3642
2.3338
2.3301
2.3267
2.3264
2.3264
0.995
63.6567
9.9248
5.8409
4.6041
4.0321
3.7074
3.4995
3.3554
3.2498
3.1693
3.1058
3.0545
3.0123
2.9768
2.9467
2.9208
2.8982
2.8784
2.8609
2.8453
2.8314
2.8188
2.8073
2.7969
2.7874
2.7787
2.7707
2.7633
2.7564
2.7500
2.6778
2.6259
2.5857
2.5808
2.5763
2.5759
2.5758
Quantilen der χ2 -Verteilung
k =n−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
50
100
500
1000
p = 0.01
0.000
0.020
0.115
0.297
0.554
0.872
1.239
1.646
2.088
2.558
3.053
3.571
4.107
4.660
5.229
5.812
6.408
7.015
7.633
8.260
8.897
9.542
10.196
10.856
11.524
12.198
12.879
13.565
14.256
14.953
29.707
70.065
429.388
898.912
p = 0.05
0.004
0.103
0.352
0.711
1.145
1.635
2.167
2.733
3.325
3.940
4.575
5.226
5.892
6.571
7.261
7.962
8.672
9.390
10.117
10.851
11.591
12.338
13.091
13.848
14.611
15.379
16.151
16.928
17.708
18.493
34.764
77.929
449.147
927.594
p = 0.1
0.016
0.211
0.584
1.064
1.610
2.204
2.833
3.490
4.168
4.865
5.578
6.304
7.042
7.790
8.547
9.312
10.085
10.865
11.651
12.443
13.240
14.041
14.848
15.659
16.473
17.292
18.114
18.939
19.768
20.599
37.689
82.358
459.926
943.133
p = 0.25
0.102
0.575
1.213
1.923
2.675
3.455
4.255
5.071
5.899
6.737
7.584
8.438
9.299
10.165
11.037
11.912
12.792
13.675
14.562
15.452
16.344
17.240
18.137
19.037
19.939
20.843
21.749
22.657
23.567
24.478
42.942
90.133
478.323
969.484
F. Braun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, S. Arnold, S. Ferretti
p = 0.5
0.455
1.386
2.366
3.357
4.351
5.348
6.346
7.344
8.343
9.342
10.341
11.340
12.340
13.339
14.339
15.338
16.338
17.338
18.338
19.337
20.337
21.337
22.337
23.337
24.337
25.336
26.336
27.336
28.336
29.336
49.335
99.334
499.333
999.333
p = 0.75
1.323
2.773
4.108
5.385
6.626
7.841
9.037
10.219
11.389
12.549
13.701
14.845
15.984
17.117
18.245
19.369
20.489
21.605
22.718
23.828
24.935
26.039
27.141
28.241
29.339
30.435
31.528
32.620
33.711
34.800
56.334
109.141
520.950
1029.790
p = 0.9
2.706
4.605
6.251
7.779
9.236
10.645
12.017
13.362
14.684
15.987
17.275
18.549
19.812
21.064
22.307
23.542
24.769
25.989
27.204
28.412
29.615
30.813
32.007
33.196
34.382
35.563
36.741
37.916
39.087
40.256
63.167
118.498
540.930
1057.724
p = 0.95
3.841
5.991
7.815
9.488
11.070
12.592
14.067
15.507
16.919
18.307
19.675
21.026
22.362
23.685
24.996
26.296
27.587
28.869
30.144
31.410
32.671
33.924
35.172
36.415
37.652
38.885
40.113
41.337
42.557
43.773
67.505
124.342
553.127
1074.679
p = 0.99
6.635
9.210
11.345
13.277
15.086
16.812
18.475
20.090
21.666
23.209
24.725
26.217
27.688
29.141
30.578
32.000
33.409
34.805
36.191
37.566
38.932
40.289
41.638
42.980
44.314
45.642
46.963
48.278
49.588
50.892
76.154
135.807
576.493
1106.969
20. Januar 2009