Formelsammlung Einführung in die theoretische Physik

Formelsammlung
Einführung in die theoretische Physik
<[email protected]>
Stand: 21.10.2005 - Version: 1.0.0
Erhältlich unter http://privat.macrolab.de
Diese Formelsammlung basiert auf der Vorlesung “Einführung in die theoretische Physik” von Prof. Dr. Jochen Wambach an der Technischen Universität Darmstadt im Sommersemester 2005.
1.8
Kontinuierliche Systeme . . . . . . . . .
5
1.9
Nicht Inertialsysteme . . . . . . . . . . .
5
1.9.1
Transformation von Bezugssystemen . . . . . . . . . . . . . . .
Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen
1.9.2 Drehungen . . . . . . . . . . . .
Download zur Verfügung. Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser,
der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständig- 2 Spezielle Relativitätstheorie
keit der Inhalte übernehmen kann.
2.1 Lorentz-Transformation . . . . . . . . .
1.3
6
6
Spezielle Lorentztransformation .
6
2.1.2
Lorentz-γ-Faktor . . . . . . . . .
7
2
2.1.3
allgemeine Lorentztransformation
7
Der Newtonsche Raum-Zeit-Begriff . . .
2
2.1.4
Addition der Geschwindigkeiten .
7
1.1.1
Allgemeines . . . . . . . . . . . .
2
Minkowski Raum . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.2
Raumbegriff . . . . . . . . . . . .
2
2.2.1
Weltraum . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.3
Zeitbegriff . . . . . . . . . . . . .
2
2.2.2
Kontra- und Kovariante Vektoren
7
Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2.3
Lorentztransformation . . . . . .
7
1.2.1
Bahn . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2.4
Eigenschaften des Längenquadrats
8
1.2.2
Ereigniss . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.3
Bewegungsgesetz . . . . . . . . .
2
Newtonsche Gesetze . . . . . . . . . . .
3
1.3.1
Arten von Kräften . . . . . . . .
3
1.3.2
Inertialsysteme . . . . . . . . . .
3
1.3.3
Die Newtonschen Gesetze . . . .
1.3.4
1 Grundlagen der Klassischen Mechanik
1.2
5
2.1.1
Inhaltsverzeichnis
1.1
5
2.2
2.3
Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3.1
Kinematik . . . . . . . . . . . . .
8
2.3.2
Dynamik . . . . . . . . . . . . .
8
3 Thermodynamik
3.1
8
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3
3.1.1
Begriffe . . . . . . . . . . . . . .
8
Kräfteaddition . . . . . . . . . .
3
3.1.2
Hauptsätze . . . . . . . . . . . .
9
1.4
Arbeit und potentielle Energie . . . . .
3
Themperaturegriff . . . . . . . . . . . .
9
1.5
Kinetische Energie . . . . . . . . . . . .
4
3.2.1
Eigenschaften . . . . . . . . . . .
9
1.6
Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . .
4
Ideales Gas . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.7
Mehrteilchensysteme . . . . . . . . . . .
4
3.3.1
Eigenschaften . . . . . . . . . . .
9
1.7.1
Allgemein . . . . . . . . . . . . .
4
3.3.2
Zustandsgleichung . . . . . . . .
9
1.7.2
Translation . . . . . . . . . . . .
4
3.3.3
Celsius Skala . . . . . . . . . . .
9
1.7.3
Rotation . . . . . . . . . . . . . .
4
3.3.4
Kelvin Skala . . . . . . . . . . .
10
1.7.4
Energie . . . . . . . . . . . . . .
5
Reale Gase . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.7.5
Erhaltungssätze . . . . . . . . . .
5
3.4.1
10
3.2
3.3
3.4
1
Van der Waalsgleichung . . . . .
2
1 GRUNDLAGEN DER KLASSISCHEN MECHANIK
3.5
3.6
3.7
3.4.2
Kritische Punkte . . . . . . . . .
10 1.1.2
3.4.3
Reduzierte Größen . . . . . . . .
10
3.4.4
Maxwell Konstruktion . . . . . .
10
• der Raum ist 3-Dimensional (z.B. Höhe, Breite,
Tiefe)
3.4.5
Viralentwicklung . . . . . . . . .
10
• der Raum ist unbegrenzt
Thermodynamische Arbeit . . . . . . . .
11
3.5.1
Begriffe . . . . . . . . . . . . . .
11
3.5.2
Arbeit . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.5.3
Differentialform . . . . . . . . . .
11
3.5.4
Zustandsfunktion . . . . . . . . .
11
3.5.5
Hinzufügen von Teilchen . . . . .
11
Erster Hauptsatz - Energieerhaltung . .
11
3.6.1
Einleitung . . . . . . . . . . . . .
11 1.1.3
3.6.2
innere Energie . . . . . . . . . .
11
3.6.3
kalorische Zustandsgleichung . .
12
Wärmekapazitäten . . . . . . . . . . . .
12
3.7.1
Einleitung . . . . . . . . . . . . .
12
3.7.2
Innere Energie allgemein . . . . .
12
3.7.3
Konstante qi . . . . . . . . . . .
12
3.7.4
Konstante Fi . . . . . . . . . . .
12
3.7.5
Wärmekapazitäten bei Gas . . .
12
3.7.6
Ideales Gas . . . . . . . . . . . .
12
• materielle Körper füllen begrenzte Gebiete des
Raumes aus
• der Raum ist Euklidisch (z.B. ist die Winkelsumme im Dreieck= 180◦
• Körper bewegen sich im Raum. Körper sind also
Relativ zum Raum in Bewegung oder in Ruhe
• alle Bewegungsvorgänge durch “absolute Zeit” beschreibbar
• gleichzeitige Ereignisse werden von allen Beobachtern (Ruhe oder Bewegung) als gleichzeitig erfahren
1.2
12 1.2.1
3.8.1
Abiabatische Zustandsänderung .
12
3.8.2
Abiabaten beim idealen Gas . . .
13
3.8.3
Isotherme Zustandsänderung . .
13
Zweiter Hauptsatz . . . . . . . . . . . .
13
3.10 Carnot Kreisprozess . . . . . . . . . . .
13
3.11 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.11.1 Clausiussche Ungleichung . . . .
13
3.11.2 Entropie für reversible prozesse .
13
3.11.3 Entropie in beliebigen Prozessen
13
3.9
3.12 Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1
1.1.1
Der Newtonsche Raum-Zeit-Begriff
Allgemeines
• abgeschlossenes Gedankengebäude
• für v ≪ c gültig
• Beschreibung der Bewegung von materiellen Körpern
• Raum-Zeit-Begriff
Kinematik
Bahn
• Alle materiellen Körper sind als “Massenpunkte”
oder als eine Ansammlung von N Massenpunkten
darstellbar
• Bahnen sind eine Schaar von Vektoren mit Bahnparameter: z.B. mit Bahnparameter Zeit: ~x (t)
1.2.2
Ereigniss
• Ein Ereignis ist durch 4 Zahlen beschreibbar. 3 Koordinaten des Raumes, und eine der Zeit. E (~x, t)
13 1.2.3
Grundlagen der Klassischen
Mechanik
Zeitbegriff
• das Dahinströmen der Zeit ist unabhängig von
physikalischen Vorgängen
Abiabaten und Isothermen . . . . . . . .
3.8
Raumbegriff
Bewegungsgesetz
• Im allgemeinen lässt sich (mit Hilfe der Taylor
Entwicklung) eine Gleichung mit Hilfe ihrer Ableitungen vollständig beschreiben.
∞
n
X
1
x (t) n d ~
~x (t) =
(t − t0 )
n!
dtn t=t0
n=0
• Diese unendliche Summe lässt sich verkürzen, falls
ein Bewegungsgesetz existiert. In einem Bewegungsgesetz lässt sich die n-te Ableitung aus der
Funktion, dem Parameter und den vorhergehenden Ableitungen rekonstruieren:
n−1
~x
dn ~x (t)
~ ~x, d~x , . . . , d
=
f
,
t
dtn
dt
dtn−1
3
1.4 Arbeit und potentielle Energie
• In der Newton’schen Mechanik ist n = 2
¨ = f~ ~x, ~x˙ , t
~x
¨ = F~ ~x, ~x˙ , t
m~x
1.3
Newtonsche Gesetze
1.3.3
Die Newtonschen Gesetze
Rahmenbedingungen Diese sind in Inertialsystemen Formuliert für ein System von N Massenpunkten.
Bahnen ~x(1) (t) , . . . , ~x(N ) (t)
Massen m1 , . . . , mN
Dynamik Kräfte als Ursache der Bewegungsänderung Kräfte F~ (1) (t) , . . . , F~ (N ) (t)
¨ = F~
Physikalisch Realisiert mit m~x
Impulse p~(i) (t) = mi ~x˙ (N ) (t) für alle i
1.3.1
Arten von Kräften
fundamentale Kräfte
sten Seite.
Siehe Tabelle 1 auf der näch-
• Die Gravitation hat hier eine Sonderrolle. Im Gegensatz zu den anderen Kräften ist sie immer anziehend.
abgeleitete Kräfte Diese haben einen im allgemeinen einen komplizierten Ursprung in den Fundamentalkräften.
• elastische Kraft, Federkraft F~ = −k~x
Gesetze
1. Es existieren Inertialsysteme, d.h. ein kräftefreier
Massenpunkt ist in Ruhe oder geradlinig & gleichförmig bewegt.
⇒ lineare Impulserhaltung
2.
d~
p(i)
dt
= ~p˙ (i) = F~ (i)
3. actio = reactio
F~ (i,j) = −F~ (j,i)
4. Superpositionsprinzip
Jede Kraft bewirkt an einem Probekörper dir
ihr zukommende Bewegungsänderung, unabhängig davon, ob noch andere Kräfte wirken.
• Reibungskräfte, Stokesches Gesetz F~R = −v~v
• chemische Bindung, Van der Waals Kraft
1.3.4
• Zwangskräfte, Aufgrund von eingeschränkten Bewegungen
F~ (i)
• Scheinkräfte, nicht-Inertialsysteme
1.3.2
Inertialsysteme
Definition
• Raum und Zeit sind isotrop, d.h. keine Richtung
ist ausgezeichnet.
Kräfteaddition
=
˙ (1) (t),...,~
˙ (N ) (t),t
~ (i) ~
F
x(i) (t),...,~
x(N ) (t),~
x
x
=
˙ (i) (t),t
~ (i)
F
x(i) ,~
x
extern ~
(
)
(
+
)
(
)
PN
˙ (j) (t),~
˙ (i) (t),t
~ (i,j) ~
x(j) (t),~
x(i) (t),~
x
x
j6=i F
• In der unteren Gleichung werden die Kräfte in äußere, und in eine Summe von inneren Kräften zerlegt.
1.4
Arbeit und potentielle Energie
R2
~
• Raum ist Homogen. d.h in jedem Punkt im Raum Arbeit Wc = 1 d~xF (~x)
H
sind die Newtonschen Gesetze gleich.
Zirkulation Γc = d~xF~ (~x)
Eigenschaften
• In Inertialsystemen herscht kräftefreie Situation
(abgesehen von inneren Kräften)
• Eine Klasse von Inertialsystemen umfasst genau
diejenigen freifallenden Systeme von denen aus gesehen sich ein Probekörper geradlinig und gleichförmig bewegt.
• Inertialsysteme bewegen sich gegeneiander geradlinig und gleichförmig. Relativgeschwindigkeit ist
also konstant und sie rotieren nicht gegeneinander.
Konservative Kraft Γc = 0
• Integral ist wegunabhängig, es kommt also nur auf
die Endpunkte der Integrationsstrecke an
• Es ist äquivalent zu zeigen, dass
~ × F~ = 0
rotF~ = ∇
Potential VR (~x) =
RR
~
x
d~x′ F~ (~x′ )
• Der Referenzpunkt R wir oft auf Unendlich ∞ gesetzt
4
1 GRUNDLAGEN DER KLASSISCHEN MECHANIK
Tabelle 1: fundamentale Kräfte
Kraft
Beispiel für Wirkung
Gravitation
Planetenbewegung
Schwache Wechselwirkung β-Zerfall von Kernen
elektromagnetische Kraft
Coulomb-Kraft
starke Wechselwirkung
Kernkraft
relative Stärke
10−40
10−5
10−2
1
• Der Referenzpunkt kann meistens Weggelassen 1.7.2 Translation
werden, da er V lediglich um eine additive Konstante ändert, die bei Differenzbildung von V oh- Massenschwerpunkt
PN
PN
nehinn wieder herausfällt
(i)
(i)
mi ~xi (t)
xi (t)
i=1 mi ~
~ (t) = i=1
R
=
PN
M
~ (~x) = −gradV (~x)
i=1 mi
Kraft F~ = −∇V
Gleichgewichtspunkt F~ (~x0 ) = 0
M=
N
X
mi
i=1
• Diese Punkte bilden eine Äquipotentialfläche
Gesamtimpuls
1.5
Kinetische Energie
Kinetische Energie T =
1.6
P~ (t)
1
v2
2 m~
• für Konservative F~
~(i) (t) = mi ~x˙ (t)
p
Kraft
• für Konservative Kräfte ist die Gesamtenergie
während des Bewegungsablaufs konstant (erhalten).
1.7
1.7.1
=
d
dt
p~(i) (t)
~˙ (t) M
= R
Energieerhaltung E = T + V = konst
dW
dt
N
X
i=1
Energieerhaltung
Leistung
=
i=1
1.7.3
F~ ~x ≈ F~ · ~v
N
X
˙
(i)
~¨ (t) =
F~ex
F~ = P~ (t) = M R
Rotation
Drehimpuls
~l(i) (t) = ~x(i) (t) × p~(i) (t)
Mehrteilchensysteme
Allgemein
~ (t) =
L
abgeschlossen Ein System von N Teilchen heißt ab(i)
geschlossen falls F~ex = 0 für alle i
• In einem solchen System kann man durch Kentniss
von allen ~x(i) (t0 ) , ~x˙ (i) (t0 ) alle ~x(i) (t) für jedes i
und jedes t bestimmen. Laplace’scher Dämon ⇒
aufgrund von Messfehlern werden die Bahnen in
vielen Fällen unvorhersagbar! (Chaos)
N
X
~l(i) (t)
i=1
Drehmoment
N
X
~ (i) (t)
~ (t) = L
~˙ (t) =
N
N
i=1
~ (i) (t) = ~x(i) × F~ (i)
N
ex
Schwerpunkt als Referenzpunkt
Bewegungsgesetz
d~
p(i)
= F~ ~x(1) , . . . , ~x(N ) , ~x˙ (1) , . . . , ~x˙ (N ) , t
dt
~ (t) + ~x′(i)
~x(i) (t) = R
~ (t) = R
~ (t) × P~ (t) + L
~ in (t)
L
~ in (t) =
L
Zentralkräfte
N
X
~x′(i) (t) × p~(i) (t)
i=1
~ (ij)
F
= F~ (|~xi − ~xj |) = F
(ij)
~r
(|~r|)
|~r|
~ (t) =konstant gilt L
~ =L
~ in
• Für R
5
1.9 Nicht Inertialsysteme
1.7.4
Energie
Transformation des Ortsvektors
N
N
N
d X 1 ¨(i) 2 d X ij X ~ (i) ˙ (i)
+
Fex · ~x
V =
m ~x
dt i=1 2
dt i<j
i=1
{z
}
|
| {z }
T
V
~x =
′
~x
=
A~x′ + ~a
A′ ~x + ~a′
• A und A′ sind reelle orthoginale 3 × 3−Matrizen.
Das heißt es gilt: A−1 = AT
• T gesamte kinetische Energie
• A′ = AT
• V gesamte potentielle Energie
• ~a′ = −AT ~a
• E = T + V Gesamtenergie
• ~a bzw. ~a′ sind die Abstände der Koordinatenursprünge
Ė =
N
X
(i) ˙ (i)
F~ex
· ~x
i=1
1.7.5
Erhaltungssätze
• Es sind in der Summe 6 Parameter die die Transformation bestimmen. 3 Winkel und 3 stück für
den Offset Vektor.
Transformation der Zeitableitung
d′
d
= ′ + ~ω ′ ×
dt
dt
(i)
Bedingung F~ex = 0 Es wirken keine externen Kräfte
˙
Impulserhaltung P~ = 0 ⇒ P~ =konstant
~˙ = 0 ⇒ L
~ =konstant
Drehimpulserhaltung L
~˙ = 0 ⇒ E
~ =konstant
Energieerhaltung E
n
o
~ ~ ~
Bewegungskonstanten R
0 , P , L, E = 10
1.8
Kontinuierliche Systeme
Dichte ̺ (~x) =
dM
dV
ist ein Skalares Feld
Gebiet G hierüber ersteckt sich das System
R
Masse M = G dV ̺ (~x)
~ =
Schwerpunkt R
1.9
1.9.1
R
dV ̺(~
x)·~
x
G
R
dV ̺(~
x)
G
Nicht Inertialsysteme
Transformation von Bezugssystemen
Transformation der Geschwindigkeit
~˙ + ω
~v = ~v ′ + R
~ ′ × ~x′
• die Strichgrössen (v ′ , x′ ) sind in den Koordinaten
des urspünglichen Systems einzugeben
Transformation der Beschleunigung / Kraft
~¨ + ~ω˙ × ~x′ + ~ω × (~
~a = R
ω × ~x′ ) + 2 (~ω × ~v ′ ) + ~a′
m~a′ = F~ ′ = F~ + m (~a′ − ~a) = F~ + F~s
Scheinkräfte
F~s = F~col + F~zen + F~1 + F~tr
~¨ = mR
~¨ ′
Translative Kraft F~tr = −mR
Zentrifugalkraft F~zen = −m~
ω × (~ω × ~x′ )
Coreoliskraft F~col = −2m~
ω × ~v ′
Sachverhalt Sei ein Punkt bezüglich dem System K
′
˙
~
mit dem Vektor ~x = (x1 , x2 , x3 ) und bezüglich Namenslos F1 = −m~ω × ~x
dem System K ′ mit dem Vektor ~x′ = (x′1 , x′2 , x′3 )
gegeben.
1.9.2 Drehungen
Abstandserhaltend ist eine Abbildung dann, wenn Drehmatrix D (ψ, θ, ϕ) = D3 (ϕ) · D1 (θ) · D3 (ψ)
für zwei Punkte in beiden Systemen der gleiche
Abstand gilt, also
• Gesamtmatix siehe Abbildung 1 auf der nächsten
Seite.
d = ~x − ~x̃ = ~x′ − ~x̃′ • Drehung 
um die 1-Achse mit dem
 Winkel θ
1
0
0
• Eine Transformation zwischen Bezugssystemen
D1 (θ) =  0 cos θ − sin θ 
muss Abstandserhalten geschehen
0 sin θ cos θ
6
2 SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE
Abbildung 1: Komplette Drehmatrize


cos ψ · cos ϕ − sin ϕ · cos θ · sin ϕ − cos ψ · sin ϕ − sin ψ · cos θ · cos ϕ sin ψ · cos θ
D (ψ, θ, ϕ) =  cos ψ · sin ϕ cos θ + sin ψ · cos ϕ − sin ψ · sin ϕ + cos ψ · cos ϕ · cos θ − cos ψ · sin θ 
sin ϕ · sin θ
sin θ · sin ϕ
cos θ
• Drehung um
 die 3-Achse mit dem
 Winkel ϕ
cos ϕ − sin ϕ 0
D3 (ϕ) =  sin ϕ cos ϕ 0 
0
0
1
∆~a
=
=

−a2 (∆ϕ + ∆ψ)
 a1 (∆ϕ + ∆ψ) − a3 ∆θ 
a2 ∆θ
∆~
α × ~a
=
∆~
α×α
~⊥
=
• Dies mit den 3 Parametern lassen sich alle möglichen Drehungen im R3 beschreiben.
• Dies sind die eulerschen Winkel
• Drehmatizen sind identisch mit Orthogonalmatizen. Charakteristika:
∆A~a

• ~a = ~a|| + ~a⊥ bezogen auf ∆~
α
– A−1 = AT
• ~a|| =
– det A = 1
(~
a·∆~
α)∆~
α
|∆~
α|2
• ∆~
α~a|| = 0
• Di (x) Di (y) = Di (y) Di (x)
• Drehvektor ∆~
α = ∆γ~e∆α
• Di (x) bilden eine kommutative Gruppe
– ∆γ = |∆~
α| =
• Diese Matrizen sind abstandserhaltend
ha, bi = hAa, Abi
2
q
(∆θ)2 + (∆ψ + ∆ϕ)2
Spezielle Relativitätstheorie
Intifesimale Drehungen
Drehmatrix
A (∆ψ, ∆θ, ∆ϕ) =

1
−∆ϕ − ∆ψ
0
 ∆ϕ + ∆ψ
1
−∆θ 
0
∆θ
1

∆A
∆A
=
=

0
 ∆ϕ + ∆ψ
0
−∆ϕ − ∆ψ
0
∆θ
T
−∆A

0
−∆θ 
0
Geltungsbereich In der speziellen Relativitätstheorie werden nur Inertialsysteme betrachtet. Das
heißt, Systeme die gegeneinander nicht beschleunigt sind, und frei fallen.
Eingenschaften In der Newtonschen Mechanik werden Geschwindigkeiten einfach addiert und die
Zeit verläuft in allen Systemen gleich. In der Speziellen Relativitätstheorie wird der Bedingung Rechnung getragen, dass die Lichtgeschwindigkeit in jedem Inertialsystem konstant ist und also den gleichen Wert hat, nämlich
Lichtgeschwindigkeit c = 2, 99792458 · 108 m
s
2.1
Lorentz-Transformation
Drehvektor Eine Drehung des Vektors ∆~a um den
Winkel α um die Achse α
~ lässt sich durch das KreuzBedingung in allen Inertialsystemen K und K ′ muss
produkt ∆~a × α
~ beschreiben
gelten
∆~
α
~ω
=
=


∆θ

0
∆ϕ + ∆ψ


θ̇


0
ϕ̇ + ψ̇

x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 = x′2 + y ′2 + z ′2 − c2 t′2
2.1.1
Spezielle Lorentztransformation
Sei das Inertialsystem K ′ gegenüber dem Inertialsystem K entlang der x-Achse mit der Geschwindigkeit
7
2.2 Minkowski Raum
2.2
v bewegt.
2.1.2
x − vt
q
= γ (x − βct)
2
1 − vc2
x′
=
y′
= y
z
′
= z
t
′
=
t − vx
β
c2
q
=γ t− x
2
c
1 − vc2
2.2.1
Minkowski Raum
Weltraum
Weltraum wird die Menge M aller Ereignisse genannt, die aus 4-Tupeln (x, y, z, t) bestehen. D.h.
E (~x, t) ∈ M .
Weltlinie ist eine Kurve im 4 Dimeanionalen Raum
und beschreib die Reise eines Teilchens durch
Raum und Zeit.
Lorentz-γ-Faktor
γ
β
=
=
1
q
1−
v
c
v2
c2
1
=p
1 − β2
2.2.2
Kontra- und Kovariante Vektoren
xµ = x0 , x1 , x2 , x3 = (ct, x, y, z)
mit µ = 0, 1, 2, 3 ist ein Kontravarianter Vektor.
• β kann als eine art Geschwindigkeit aufgefasst werxµ = (x0 , x1 , x2 , x3 ) = (ct, −x, −y, −z)
den. Wobei c dabei 1 und damit das Maximum
darstellt.
mit µ = 0, 1, 2, 3 ist ein Kovarianter Vektor.
Das Längenquadrat von xµ ist mit
2.1.3
allgemeine Lorentztransformation
s2E = c2 t2 − x2 − y 2 − z 2
′
Sei das Inertialsystem K gegenüber dem Inertialsystem K entlang der Geschwindigkeit ~v (gemessen im bezeichnet. Es gilt:
System K) bewegt.
3
X
Hierfür werden die Formeln aus der Speziellen Lors2 = xµ xµ =
xµ xµ = c2 t2 − x2 − y 2 − z 2
entztransformation genutzt, allerdings der Vektor ~x =
µ=0
(x, y, z) wird in zwei Komponenten zerlegt
~x = ~x|| + ~x⊥
s2 ist also Invariant unter der Lorentztransvormation.
Dabei ist ~x|| die Komponente von ~x in Richtung ~v , und
• s2 kann auch negativ werden!
~x⊥ die senkrecht dazu. Nun könnte man einfach ~x||
wie in der speziellen Lorenztransformation verändern,
und ~x⊥ gleich belassen unter der Transformation. Dies 2.2.3 Lorentztransformation
eingesetzt ergibt:
Es gilt
~x′
t′
2.1.4
~v~x
= ~x + (γ − 1) 2 ~v − γ~vt
v
~v~x
= γ t− 2
c
Addition der Geschwindigkeiten
Sei K ′ relativ zu K entlang der x-Achse mit
~v = (v, 0, 0) bewegt. Eine Geschwindigkeit w
~ =
(wx , wy , wz ) im System K sieht aus dem System K ′
betrachtet wie folgt aus
p
p
1
1 − β 2 , wz 1 − β 2
w
~′ =
wx v wx − v, wy
1 − c2
• vges =
v1 +v2
v v
1+ 1c2 2
• Grenzfall keiner Geschwindigkeiten v ≪ c gilt:
w
~′ = w
~ − ~v
x′µ =
X
Lνµ xν = Lµν xν
ν
mit L als 4 × 4-Matrix.
Für den Fall einer Bewegung

γ
0
 0
1
L=
 0
0
−βγ 0
in z-Richtung mit v gilt:

0 −βγ
0
0 

1
0 
0
γ
• det L = 1
• LT = L
• L beschreibt eine Drehung im Minkowski Raum
• L ist keine Orthogonalmatrix, d.h. L−1 6= LT
• L−1 (β) = L (−β)
8
3 THERMODYNAMIK
2.2.4
Eigenschaften des Längenquadrats
Zeit dt = γdτ > dτ


> 0 zeitartig
s2 = xµ xµ = = 0 lichtartig


< 0 raumartig
• Das heißt die Eigenzeit geht immer nach!
Geschwindigkeit uµ =
dxµ
dτ
µ
= γ dx
v)
dt = γ (c, ~
• es gilt uµ uµ = c2
Lichtkegel In einem Raum / Zeitdiagramm (Räumli che Ausdehnung auf der Achse x und y Achse und
•
Im
mitgeführten
Inertialsystem
c, ~0
2
ct auf der z Achse) bildet s = 0 einen Kegeloberfläche die die z und x bzw. y Achsen genau Winkelhalbiert. Innerhalb ist der zeitartige Berech, au2.3.2 Dynamik
ßerhalb der raumartige.
relativisitsche Masse m (v) = γ (v) m
Raumartig Falls das Abstandsquadrat zwischen zwei
µ 2
µ
µ
~~
Ereignissen (E1 − E2 ) < 0 ist bedeutet dies, das
F
v
Minkowski-Kraft K µ = m du
=
γ
,
F
,
F
,
F
x
y
z
dτ
c
sie nicht Kausal voneinander abhängen können, da
nichts schneller ist als das Licht und sie somit keine
• K µ uµ = 0
Informationen austauschen könnten. Desweiteren
existert ein Inertialsystem, in dem die Ereignisse
d
• F~ ~v = dt
γmc2
zum gleichen Zeitpunkt allerdings an unterschied
lichen Orten geschehen sind. Desweiteren lässt sich
~
•
Im
mitgeführten
Inertialsystem
0,
F
sogar durch passende Transfromation vertauschen.
Zeitartig Falls das Abstandsquadrat zwischen zwei Kinetische Energie identisch mit relativistischer
2
Ereignissen (E1µ − E2µ ) > 0 ist bedeutet dies, das
Energie
sie Kausal voneinander abhängen können, da z.B.
p
das Licht genug zeit gehabt hätte um Informatio- Relativiteische Energie E = T = c2 ~p2 + m2 c4 =
nen auszutauschen. Desweiteren existert ein Inγmc2
ertialsystem, in dem die Ereignisse am gleichen
Ort allerdings zu unterschiedlichen zeiten gesche• Für v ≪ c gilt T = mc2 + 21 mv 2
hen sind.
• ist Erhaltungsgröße und Lorenzinvariant
Lichtartig Mit dem Abstandsquadrat zwischen zwei
2
• Impulserhaltung ⇔ Energieerhaltung
Ereignissen (E1µ − E2µ ) = 0. Dies ist der Grenzfall.
Ruheenergie mc2
• Dies ist eine Lorentzinvariante. Die Eingenschaft, Vierer-Impuls
raum- licht- oder zeitartig zu sein bleibt also bei
T
T
der Lorenztransformation erhalten.
pµ = muµ =
, γmvx , γmvy , γmvz =
, ~p
c
c
2.3
Mechanik
• p 2 = m 2 c2
• p~ = m (v) ~v
Das Ziel ist es die Grundgesetze der klassischen Mechanik so umzuschreiben, das forminvariant sind gegenüber der Lorenztransformation (behalten Form bei).
• ist Erhaltungsgröße und Lorenzinvariant
• Impulserhaltung ⇔ Energieerhaltung
2.3.1
Kinematik
Alle hier aufgeführten Größen sind Lorentzinvariant
3
Differential dxµ = (c · dt, dx, dy, dz)
3.1
Bogenelement (ds)2 = dxµ dxµ = c2 (dt)2 − (d~x)2
3.1.1
2
Eigenzeit (dτ ) =
1
c2
2
2
2
(ds) = (dt) − c12 (d~x) = (dt′ )
2
Thermodynamik
Einleitung
Begriffe
thermodynamisches System System mit ∼ 1023
Teilchen
• dt′ ist im mitgeführten Inertialsystem mit Relativ- Wände die Abgrenzung des Systems zur Umgebung
geschwindigkeit v
geschieht durch Wände
9
3.3 Ideales Gas
abgeschlossenes System kein Austausch mit Umgebung (isoliert)
geschlossenes System Kontakt mit Umgebung
Wärmeaustausch die Umgebung ist ein Wärmebad mit “unendlicher” Kapazität
Arbeitsaustausch System verrichtet in der Umgebung Arbeit
3. A und B Systeme mit Temperaturen es gilt:
Anordnungsaxiom:
TA > TB bzw. TA < TB bzw. TA = TB
4. A, B und C Systeme mit Temperaturen es gilt:
TA > TB ∧ TB > TC ⇒ TA > TC
5. A und B Systeme mit Temperaturen es gilt:
TA = TB = TA+B
offenes System auch Austausch von Teilchen
6. A und B Systeme mit Temperaturen es gilt:
(1)
(2)
(1)
(1)
(1)
TA < TB → TA < TA+B < TB
Zustandsgrößen Aus den gemeinsamen Eigenschaften der Körper im Vielteilchensystem lassen sich
gemeinsamkeiten “extrahieren”.
Gas: V, p, T, N, S, U, . . .
7. 0.te Hauptsatz:
jedem thermodynamischen System kann eine Temperatur zugeordnet werden
Zustandsfunktionen setzt zustandsgrößen in Beziehung
extensive Zustandsgrößen sind (Stoff-) Mengenabhängig, d.h. sie verändern sich beim Zusammenführen sonst gleicher Systeme
intensive Zustandsgrößen sind nicht (Stoff-)
Mengenabhängig
8. Meßvorschrift
Thermometer: jede Physikalische Eigenschaft die
streng monoton von T abhängt kann zur konstruktion eines Thermometers verwendet werden.
3.3
3.3.1
Ideales Gas
Eigenschaften
Zustandsraum gebildet aus allen möglichen Zustandsgrößen
• Punktteilchen: kein Eigenvolumen
Zustand Punkt im Zustandsraum
• keine Wechselwirkung
Gleichgewicht Werte der Zustandsgrößen sind zeitlich konstant
• entsprechen Realen Gasen unter extremer Verdünnung ̺ = N
V → 0
thermodynamischer Prozess Folge von Gleichgewichtszuständen
3.3.2
3.1.2
Hauptsätze
Zustandsgleichung
Nach Boyle-Mariott gilt
pV
=k
N
0. Hauptsatz Existenz einer Temperatur
1. Hauptsatz “Wärme”: es gilt Energieerhaltung
2. Hauptsatz “Wärme” lässt sich nicht vollständig in
andere Energieformen umsätzen
gemäß der Erfahrung gilt:
k (θ) = k0 (1 + αθ)
3. Hauptsatz Temperaturnullpunkt nie erreichbar
• p Druck, Kraft pro Fläche
• Mikroskopische Begründung in der statistischen
Physik
• V Volumen
• N Anzahl Teilchen im Volumen
3.2
3.2.1
Themperaturegriff
Eigenschaften
3.3.3
Celsius Skala
θ (0◦ ) : Gefrierpunkt von Wasser bei p = 1atm
1. Jedes makroskopische System besitzt eine Tempeθ (100◦ ): Siedepunkt von Wasser bei p = 1atm
ratur
intensive Zustandsgröße → überall gleich im isolierten System
1
k (100◦ ) − k (0◦ )
=
α=
◦ K (0◦ )
100
273,
2
2. skalare Meßgröße
10
3.3.4
3 THERMODYNAMIK
3.4.2
Kelvin Skala
Kritische Punkte
Dies ist eine Absolute Temperaturskala. D.h. es gibt Die Van der Waalsgleichung lässt sich auch wie folgt
umformen:
keine negativen Temperaturen.
nRT
an2
n3
3
2
1
nb +
V −V
+V
− ab
=0
T = + θ = 273, 2 + θ
p
p
p
α
Diese gleichung hat für V > Vc nur eine reelle Lösung.
k (t) = k0 αT = kB T
mit der Bolzmann Konstante
J
K
kB = 1, 3805 · 10−23
Das Tripel (pc , Vc , Tc ) nennt sich Kritischer Punkt. Es
gilt:
3
(V − V ) = V 3 − 3V 2 Vc + 3V Vc2 = 0
durch Koeffizientenvegleich erhält man:
Vc
Somit gilt für das ideale Gaß
pc
pV = N kB T
RTc
mit der Avogrado-Konstante
Zc
Na = 6, 02252 · 10−23
1
mol
und der Idealen Gaskonstante
R = kB NA = 8, 3146
und der Molanzahl n
n=
N
NA
lässt sich die ideale Gasgleichung auch so schreiben
pV = nRT
• Diese Gleichung kann keine Phasenübergänge beschreiben
3.4
3.4.1
Reale Gase
Van der Waalsgleichung
peff Veff = nRT
Hierbei werden die Eigenvolumina in Veff und die Wechselwirkungskräfte der Teilchen peff .
Veff
=
peff
=
für reale Gase ist Zc < 38 . Beim idealen Gas ist Zc = 1.
3.4.3
J
K mol
V − nb
n2
p+a 2
V
mit a, b Materialkonstanten
n2
p + a 2 (V − nb) = nRT = N kB T
V
= 3bn
a
=
27b2
8a
=
27b
pc Vc
3
=
=
nRTc
8
Reduzierte Größen
Mit Hilfe reduzierter Größen lässt sich die Vanderwaals
Gleichung wie folgt umschreiben:
p
π =
pc
V
v =
Vc
T
t =
Tc
3
π+ 2
3V 2 − 1 = 8t
V
3.4.4
Maxwell Konstruktion
Im Bereich unterhalb von pc wird die Kurve ein Stückweit durch eine Gerade parallel zu V Achse ersetzt, und
zwar so, das die Fläche zwischen den beiden Kurven im
Bereich zwischen den Schnittpunkten gleich 0 ist.
3.4.5
Viralentwicklung
Die Van der Waalsgleichung lässt sich auch schreiben
als
!
2
N
N
nRT
1 + B1
+ ...
+ B2
p=
V
V
V
mit den Viralkoeffizienten Bi diese sind für die Van der
Waalsgleichung
B1
=
Bi
=
a
b
− 2
Na
Na kb T
i
b
für i ≥ 2
Na
11
3.6 Erster Hauptsatz - Energieerhaltung
3.5
3.5.1
Thermodynamische Arbeit
Begriffe
• ∆W Energieform - Zustandsänderungen sind mit
Energieänderungen verknüpft
3.5.5
Das hinzufügen von Teilchen in ein System erfordert
auch Arbeit.
N
δW
• ∆Q Änderung des Wärmeinhalts: Wärmemenge
• ∆W > 0 wenn am System Arbeit geleistet wird
Hinzufügen von Teilchen
→ N + dN
=
µdN
µ ist hierbei das chemische Potential.
• ∆W < 0 wenn vom System Arbeit geleistet wird
Falls das System aus k verschiedenen Teilchen besteht
• ∆Q > 0 wenn in das System Wärme gepumpt mit unterschiedlichen µi gilt
wird
k
X
• ∆Q < 0 wenn aus dem System Wärme gepumpt
µi dNi
δW =
wird
i=1
3.5.2
Arbeit
3.6
δW = −p dV
Erster Hauptsatz - Energieerhaltung
Ist die mechaniche Arbeit die durch eine Veränderung 3.6.1 Einleitung
des Volumens geleistet wird. Dies ist zwar infinitesimal,
aber kein totales Differential, also nicht dW .
Um die Energieerhaltung auch auf Thermodynamische
Systeme auszudehnen, muss man ihnen eine Energie
R
zuordnen. Dies ist die Wärme. Sie besteht aus den mi• c δW ist im allgemeinen Wegabhängig
kroskopischen kinetischen Energien der einzelnen TeilR
RV
chen im System.
• ∆W = δW = − 2 p (V ) dV
V1
• HDie Arbeit kann keine Zustandsgröße sein weil
δW 6= 0
3.5.3
Differentialform
δQ = C · dT
• Q ist extensive Größe T aber nicht. Also ist auch
C eine extensive Größe.
Eine Differentialform
δA =
m
X
• C bezeichnet die Wärmekapazität eines Systems
ai (x1 , . . . , xm ) dxi
i=1
ist nur dann ein totales Differential dA, falls
I
I
δA = 0 = dA
3.5.4
Zustandsfunktion
• Man kann ein C = n · c =
3.6.2
N
Na c
definieren
innere Energie
Für die innere Energie U gilt
dU = δW + δQ
Eine Zustandsgröße (Zustandsfunktion) muss eindeutig
Mit Austasch von Teilchen gilt allgemeiner
sein. Durchläuft ein System im Zustandsraum einen geschlossenen Weg, so müssen alle abhängigen wie unabk
X
hängigen Zustandsgrößen wieder ihre Ausgangsgrößen
µi dNi
dU = δW + δQ +
annehmen. Von einer Zustandsgröße η fordert man dai=1
her
I
H
dη = 0
• U ist eine Zustandsgröße, es gilt also dU = 0
• dη ist totales Differential
• Beim zweifachen partiellen ableiten kann die Reihenfolge bei totalen Differentialen vertauscht werden
• In einem isolierten System (kein Wärmeaustausch
mit der Umgebung) ist U daher eine Erhaltungsgröße und es gilt
dU = 0
12
3 THERMODYNAMIK
3.6.3
3.7.4
kalorische Zustandsgleichung
Seien nun alle Fi konstant, also dF = 0. Da Fj =
Fj (q1 , . . . , qm , T ) ist für alle j. Somit ist das Totale
differential für qi gleich
! n
X
∂qi
∂qi
dqi =
dFi +
dT
∂Fj T,qi 6=qj
∂T F
j=1
∂qi
=
dT
∂T F
Bei einem idealen Gas gilt
=
U
=
U (T, N )
f
N kb T
2
mit f der Anzahl der Freiheitsgerade des Gases.
3.7
Wärmekapazitäten
3.7.1
Somit gilt
δQ
CF =
dT F
!
n
X
∂U
∂U
∂qi
=
+
− Fi
∂T q i=1
∂qi T,qj 6=qi
∂T F
Einleitung
Wie erwähnt gibt es einen Zusammenhang
δQ = Cx dT
allerdings erweitert um x, das beschreibt in welcher
3.7.5
Weise δQ geändert wird.
Cx =
δQ
dT
Wärmekapazitäten bei Gas
Für ein Gas mit q = V und F = −p gilt dann für
• V konstant
x
Dies lässt sich unter Kenntniss von U bestimmen.
3.7.2
Konstante Fi
CV =
δQ
dT
=
V
∂U
∂T
V
• p konstant
δQ
∂U
∂U
∂V
Cp =
=
+
+p
dT p
∂T V
∂V T
∂T p
Innere Energie allgemein
Im Folgenden setzten wir ein geschlossenes System
vorraus, also ohne Teilchenaustausch. Das heißt das die
innere Energie im Allgemeinen von der Temperatur T
Daraus folgt:
und einigen (nicht genauer Spezifizierten) Zustandsva
∂V
∂U
riablen q1 , . . . , qn abhängt, also
+p
Cp − CV =
∂V T
∂T p
U = U (T, q1 , . . . , qn )
Somit können wir die Arbeit verallgemeinert schreiben 3.7.6 Ideales Gas
mit Hilfe passender Fi
Hier ist U = U (T ) also unabhängig von V , also
n
∂U
X
∂V T = 0. Mit folgenden
Fi dqi
δW =
f
i=1
N kb T = U (T, N )
U =
2
somit ist die innere Energie
N kb T
V =
p
δQ = dU − δW
=
dU −
n
X
gilt
Fi dqi
i=1
=
3.7.3
∂U
∂T
dT +
q
n
X
∂U
− Fi
∂qi T,qj 6=qi
i=1
!
dqi
Konstante qi
Seien nun außer T alle Zustandsvariablen von denen U
abhängt, also q1 , . . . , qn konstant. Somit ist dqi = 0 für
jedes i. Dann gilt:
∂U
δQ
=
Cq =
dT q
∂T q
3.8
3.8.1
p
N kb
p
Cp − Cv
= N kb
∂V
∂T
=
Abiabaten und Isothermen
Abiabatische Zustandsänderung
Für eine abiabatische Zustandsänderung (Weg im Zustandsraum) gilt
δQ = 0
• Erhalten bleibt die Entropie S
13
3.12 Folgerungen
3.8.2
3.11.2
Abiabaten beim idealen Gas
CP
CV
Entropie für reversible prozesse
• T V γ−1 = const.
Bei reversiblen Prozessen gilt
I
δQ
=0
T
• pV γ = const.
also ist die Entropie
γ=
• T γ p1−γ = const.
S (A) =
Z
A
A0
3.8.3
δQ
T
wegunabhängig und bis auf eine additive Konstante
festgelegt.
Isotherme Zustandsänderung
Für eine isotherme Zustandsänderung (Weg im Zustandsraum) gilt
dT = 0
• dS =
δQ
T
ist also ein totales Differential
• im idealen Gas gilt
• für ein ideales Gas gilt
∆S = nR ln
V2
V1
(δQ)T = (pdV )T
3.11.3
3.9
Zweiter Hauptsatz
dS
δQ
dS ≥
T
≥
δQ
T
dS ≥ dU − δW − δEc
• Es gibt kein perpetuum mobile zweiter Art
• Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, die
lediglich einem kälteren Wärmebad Wärme entziehen und diese einem wärmeren Wärmebad zuführt.
3.10
Entropie in beliebigen Prozessen
δEc =
n
X
µi dNi
i=1
• Im isolierten System gilt
dS ≥ 0
• Entropie ist immer auf reversiblen Ersatzprozessen
zu berechnen
Carnot Kreisprozess
Bestandteile zwei Abiabaten und zwei Isothermen
Wirktungsgrad η =
geleistete Arbeit
zugeführte Wärme
=1−
T2
T1
• Der Carnot Prozess hat den höchsten Wirkungsgrad von allen zwischen zwei Wärmebädern arbeitenden Maschinen
• Dieser Wirkungsgrad wird von allen reversibel arbeitenden Maschinen erreicht
• Über diesen Wirkungsgrad lässt sich eine absolute Temperaturskala definieren, die nicht mehr von
der Existenz eines idealen Gases ausgeht.
3.11
3.11.1
Entropie
Clausiussche Ungleichung
I
δQ
≤0
T
3.12
Folgerungen
• Im System ohne Teilchenaustausch T dS = dU −
δW
Index
abgeschlossen, 4
abgeschlossenes System, 9
Abiabaten, 12
Abstandserhalten, 5
Abstandserhaltend, 5
Arbeit, 3, 11
Arbeitsaustausch, 9
Avogadro-Konstante, 10
konservative Kraft, 3
Kontinuierliche Systeme, 5
Kontravarianter Vektor, 7
Kovarianter Vektor, 7
Kräfte, 3
Kraft, 4, 8
Kreisprozess, 13
Kritische Punkte, 10
Bahn, 2
Bewegungsgesetz, 2, 4
Bewegungskonstanten, 5
Bogenelement, 8
Bolzmann Konstante, 10
Boyle-Mariott, 9
Laplace’scher Dämon, 4
Lichtartig, 8
Lichtkegel, 8
Lorentz Faktor, 7
Lorentz-Transformation, 6
Carnot, 13
Celsius Skala, 9
Clausiussche Ungleichung, 13
Differential, 8
Differentialform, 11
Drehimpuls, 4
Drehimpulserhaltung, 5
Drehmatrix, 5
Drehmoment, 4
Dynamik, 3, 8
Masse, 8
Massenschwerpunkt, 4
Maxwell Konstruktion, 10
Mechanik, 8
Minkowski Raum, 7
Minkowski-Kraft, 8
Molanzahl, 10
Newtonsche Gesetze, 3
offenes System, 9
Orthogonalmatizen, 6
Eigenzeit, 8
Energie, 5, 8
Energieerhaltung, 5, 11
Entropie, 13
Ereigniss, 2
Erhaltungssätze, 5
extensive Zustandsgrößen, 9
Potential, 3
Gaskonstante, 10
Gesamtimpuls, 4
geschlossenes System, 9
Geschwindigkeit, 8
Gleichgewicht, 9
Gleichgewichtspunkt, 4
Superpositionsprinzip, 3
Hauptsätze, 9
ideale Gaskonstante, 10
Ideales Gas, 9
Impuls, 8
Impulserhaltung, 5
Inertialsysteme, 3
Nicht, 5
intensive Zustandsgrößen, 9
Isotherme, 13
isotrop, 3
kalorische Zustandsgleichung, 12
Kelvin Skala, 10
Kinematik, 2, 8
Kinetische Energie, 4, 8
Raumartig, 8
Raumbegriff, 2
Referenzpunkt, 4
relativistische Masse, 8
Rotation, 4
Ruheenergie, 8
Temperaturskala, 13
Themperaturegriff, 9
thermodynamischer Prozess, 9
thermodynamisches System, 8
Transformation, 5
Translation, 4
Van der Waalsgleichung, 10
Viralentwicklung, 10
Wände, 8
Wärmeaustausch, 9
Wärmekapazität, 12
Wärmemenge, 11
Weltlinie, 7
Weltraum, 7
Wirktungsgrad, 13
Zeit, 8
Zeitartig, 8
Zeitbegriff, 2
14
INDEX
Zentralkräfte, 4
Zirkulation, 3
Zustand, 9
Zustandsfunktion, 11
Zustandsfunktionen, 9
Zustandsgleichung, 12
Zustandsgröße, 11
Zustandsgrößen, 9
Zustandsraum, 9
15