¨Ubungsblatt 1

Prof. Dr. Angela Kunoth
Stephan Gerster, Stefan Krupp
Numerik I
WS 2015/2016
Übungsblatt 1
Ausgabe: 21.10.2015
Abgabe: Mittwoch, 04.11.2015 bis 16:00 Uhr vor der Vorlesung
Aufgabe 1: (3 Punkte)
Gegeben seien jeweils für x → ∞ die Funktionen f (x) = O(x2 ), g(x) = O(x3 ) und g̃(x) = O(x3 ). Beweisen oder
widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
a) f (x) = o(x)
d) f (x) + g(x) = O(x3 )
b) f (x) = o(x2 )
e) g(x) − g̃(x) = 0
c) f (x)g(x) = O(x5 )
f)
g̃(x)
g(x)
= O(1)
Aufgabe 2: (3 Punkte)
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
a) x5 + x3 + x = O(|x|),
für x → 0
b) x5 + x3 + x = O(|x|5 ), für x → ∞
Sei x > 0. Untersuchen Sie, für welche Exponenten α, β ∈ R gilt:
c) xα = O(xβ ) für x → 1,
xα = o(xβ ) für x → 1
d) xα = O(xβ ) für x → ∞,
xα = o(xβ ) für x → ∞
Aufgabe 3: (4 Punkte)
Bestimmen Sie die absolute und relative Kondition des Problems der Bestimmung der kleineren Lösung
q
y∗ := f (a1 , a2 ) := a1 − a21 − a2
der quadratischen Gleichung y2 − 2a1 y + a2 = 0 für a1 , a2 ∈ R mit a1 , a2 > 0. Begründen Sie, wieso es für a2 ≈ a21
schlecht konditioniert ist.
Aufgabe 4: (3 Punkte)
Seien i ≥ 0 und b ≥ 2 natürliche Zahlen. Die Zahl i hat eine eindeutige b-adische Darstellung, das heißt i lässt
sich in folgender Art darstellen:
i=
∞
X
ia ba ,
a=0
mit Koeffizienten ia ∈ {0, . . . , b − 1}. Wir definieren mit Hilfe dieser Darstellung nun eine Funktion φ : N0 → R
durch
∞
X
ia
.
φb (i) :=
a+1
b
a=0
Die Folge φb (i)
wird Van der Corput-Folge genannt. Berechnen Sie jeweils die ersten 6 Folgenglieder
i∈N0
der Van der Corput-Folge für b = 2, 3. Tragen Sie die Paare φ2 (i), φ3 (i)
in ein 2-dimensionales
i=0,...,5
Koordinatensystem ein.
Aufgabe 5: (3 Punkte)
Bearbeiten Sie diese Aufgabe, indem Sie sich eigenständig in die benötigten Begriffe mit Hilfe des Skriptes
und anderen Quellen einarbeiten.
a) Stellen Sie die Zahlen 13, 26, 52, 104 als 8-Bit-Binärzahlen dar. Was fällt dabei auf und wie lässt sich
diese Beobachtung erklären?
b) Gegeben sind die Zahlen 00002025, 00020250, 00202500, 02025000, 20250000 im Oktalsystem. Übersetzen Sie die Zahlen in das Dezimalsystem.
Tipp: Nutzen Sie den Bitshift aus.
Aufgabe 6: (4 Punkte)
Wir betrachten eine Kanone mit Abschusswinkel α ∈ (0, π/2) und Abschussgeschwindigkeit v0 ∈ R+ , mit der
wir ein Ziel in Entfernung D > 0 treffen wollen, siehe Skizze. Zeigen Sie, dass für die Abschussgeschwindigkeit
in Abhängigkeit der Entfernung und des Abschusswinkels gilt
s
!
2D
g
, α ∈ (0, π/2).
v0 (D, α) =
sin(2α) 2
Dabei bezeichnet g die Gravitationskonstante. Sie können wie folgt vorgehen:
1. Man teile die Abschussgeschwindigkeit in eine vertikale vy := v0 sin(α) und horizontale
Komponente v x := v0 cos(α) auf, siehe Skizze. Unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes muss
die Bewegungsenergie erhalten bleiben. Diese ist proportional zur Geschwindigkeit des Geschosses. Die
euklidische Norm k·k2 beschreibt die Energie. Es bleibt zu zeigen, dass die Zerlegung in eine vertikale
und horizontale Komponente die Energie erhält. Dies ist folglich äquivalent zu
v
t n
X
T
mit kxk :=
kv k = (v , v ) x2 für x ∈ Rn .
0 2
x
y
2
2
i
i=1
2. Unter der Annahme, dass sich das Geschoss zum Zeitpunkt t ≥ 0 im Punkt
!
2
!
d(t), h(t)
mit d(t) := v x t und h(t) := vy (t) − t2 g befindet, muss im Ziel der Ansatz d(t) = D, h(t) = 0 erfüllt sein.
y
Flugbahn
sin(α)
α
x
cos(α)
D