¨Uberlagerung von Bewegungen

Überlagerung von Bewegungen - Vektoren
In der Experimentalphysik-Vorlesung haben Sie sich eingehend mit
dem Wurf beschäftigt. Anhand dieser Bewegung haben Sie ein
wesentliches Prinzip der Mechanik kennengelernt: Eine Bewegung
lässt sich in voneinander unabhängige Abläufe zerlegen.
Beispiel: Waagerechter Wurf
Eine Kugel verlässt eine Abschussvorrichtung in der Höhe h mit der
Horizontalgeschwindigkeit vh und fällt unter dem Einfluss der
Erdbeschleunigung g . Ihre Bewegung lässt sich dann in die
Horizontalbewegung und die Fallbewegung zerlegen:
Horizontalbewegung: geradlinig und gleichförmig, d.h.
vx (t) = vh = const
Z
x(t) =
t
vh dt 0 = vh t.
0
Vertikalbewegung: gleichmäßig beschleunigte Bewegung, d.h.
ay (t) = −g = const
Z t
vy (t) =
(−g )dt 0 = −gt
0
Z
y (t) = h +
t
0
0
Z
t
vy (t )dt = h +
0
0
1
(−gt 0 )dt 0 = h − gt 2 .
2
Die unabhängige Überlagerung der beiden Bewegungen führt dann
zur bekannten Wurfparabel:
1
y (x) = h − g
2
x
vh
2
.
Im obigen Beispiel haben wir die Bahn der Kugel durch die Angabe
zweier Koordinaten x(t) und y (t) charakterisiert.
12
x(t), y(t)
10
y(t 1)
y [m]
8
6
4
y(t 2)
2
0
0
2
4
x(t1 )
6
8
10
x [m]
12
x(t 2)
14
16
Diese messen in einem orthogonalen Koordinatensystem den
Abstand eines Punktes vom Koordinatenurprung relativ zu den
Koordinatenachsen.
Entsprechend zerlegt man die Geschwindigkeit der Kugel in eine
Geschwindigkeitskomponente entlang der x-Richtung
(Horizontalgeschwindigkeit) und eine Geschwindigkeitskomponente
entlang der y -Richtung (Vertikalgeschwindigkeit)
Für die (kartesischen) Geschwindigkeitskomponenten gilt dann:
vx (t) = lim∆t→0
vy (t) =
x(t+∆t)−x(t)
∆t
dx
= ẋ(t)
dt
dy
=
= ẏ (t)
dt
=
(1)
(2)
In der Experimentalphysik-Vorlesung wurden die verschiedenen
Komponenten der Bewegung in einer abkürzenden Schreibweise
zusammengefasst:
x(t)
y (t)
vx (t)
vy (t)
ax (t)
ay (t)
~r (t) =
~v (t) =
~a(t) =
=
ẋ(t)
ẏ (t)
v̇x (t)
v̇y (t)
=
(3)
=
ẍ(t)
ÿ (t)
Die Grundgleichungen der Kinematik lassen sich mit dieser
Schreibweise in kompakter Form zusammenfassen:
d
d~r
~v = ~r˙ = ~r =
dt
dt
d
d 2~r
˙
~a = ~v = ~v = 2 .
dt
dt
(4)
Die Umkehrung der Gleichungen lautet entsprechend:
Z t
~r (t) = ~r0 +
~v (t 0 )dt 0
t
Z 0t
~v (t) = ~v0 +
(5)
~a(t 0 )dt 0
t0
bzw.
Z
t
~r (t) = ~r0 + ~v0 (t − t0 ) +
t0
dt 0
Z
t0
t0
~a(t 00 )dt 00 .
Beispiel: Kreisbewegung
Ein Massepunkt bewegt sich auf einer Kreisbahn um den
Koordinatenursprung. Seine Bahn hat dann die
Koordinatendarstellung
x(t), y(t)
1
y
0.5
0
ϕ=ω t
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
x(t) = R cos(ωt)
y (t) = R sin(ωt)
(6)
Dann gilt für die Geschwindigkeitskomponenten:
vx (t) = ẋ(t) = −Rω sin(ωt)
vy (t) = ẏ (t) = Rω cos(ωt)
(7)
und für die Komponenten der Beschleunigung:
ax (t) = v̇x = ẍ = −Rω 2 cos(ωt) = −ω 2 x(t)
ay (t) = v̇y = ÿ = −Rω 2 sin(ωt) = −ω 2 y (t).
Für die Kreisbewegung gilt also:
~a(t) = −ω 2~r (t)
(8)
Beispiel: Wurfmaschine
In einer Wurfmaschine wird ein Ball mit der Beschleunigung
a(t) = bt 2 , unter einem Winkel α gegen die Horizontale während
einer Zeit T aus der Ruhe beschleunigt. Wie groß sind seine
vertikale und horizontale Geschwindigkeitskomponente, wenn er die
Wurfmaschine verlässt?
ax = a ∗ cos(α)
ay = a ∗ sin(α)
Z
T
⇒ vx (T ) =
0
Z
vy (T ) =
0
T
1
cos(α)b (t 0 )2 dt 0 = cos(α)b T 3
3
1
sin(α)b (t 0 )2 dt 0 = sin(α)b T 3
3
(9)