Klausur Aerodynamik I 26. 08. 2014 MUSTERL¨OSUNG

AERODYNAMISCHES INSTITUT
der Rheinisch - Westfälischen
Technischen Hochschule Aachen
Univ.-Prof. Dr.-Ing. W. Schröder
Klausur
Aerodynamik I
26. 08. 2014
M U S T E R L Ö S U N G
E I N S IC H T N A H M E
Hinweis:
Achten Sie darauf, ob Sie alle Aufgaben erhalten haben:
Klausur Aerodynamik I
Fragenteil, Biot-Savart, Tropfentheorie
1
Integrale und Additionstheoreme
Additionstheoreme
• cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x)
r
x
1 − cos x
• tan( ) =
2
1 + cos x
x
• tan( ) · sin(x) = 1 − cos(x)
2
• sin(x ± y) = sin(x) · cos(y) ± sin(y) · cos(x)
• cos(x ± y) = cos(x) · cos(y) ∓ sin(x) · sin(y)
• sin2 (x) + cos2 (x) = 1
• sin(2x) = 2 · sin(x) · cos(x)
• sin(x) = 2 · sin(x/2) · cos(x/2)
1
• sin(x)·sin(nx) = − (cos[(n+1)x]−cos[(n−1)x])
2
1
• sin2 (x) = (1 − cos(2x))
2
• sin[(n + 1)x] − sin[(n − 1)x] = 2 · cos(nx) · sin(x)
1
• cos2 (x) = (1 + cos(2x))
2
•
∞
X
1 1 − cos(ϕp + ϕ) 1
sin(nϕp )·sin(nϕ) = ln
n
4
1 − cos(ϕp − ϕ)
n=1
Integrale
•
Z
1
1
dx = · ln(ax + b)
ax + b
a
Z
x
x
b
dx = − 2 · ln(ax + b)
ax + b
a a
Z 2
i
x
1 h1
dx = 3 (X) − 2b(X) + b2 ln(X)
•
X
a 2
•
•
•
•
•
•
•
mit X = ax + b
Z
cos(ax)
sin(ax)dx = −
a
Z
sin(ax)
cos(ax)dx = +
a
Z
x
1
sin2 (ax)dx = −
sin(2ax)
2 4a
Z
x
1
cos2 (ax)dx = +
sin(2ax)
2 4a
Z
cos3 (ax) cos(ax)
sin3 (ax)dx =
−
3a
a
Z
sin3 (ax) sin(ax)
+
cos3 (ax)dx = −
3a
a
•
Z
cos4 (ax)dx =
•
Z
sin(ax) cos(ax)dx =
•
Z
•
Z
•
Z
sin(2ax) sin(4ax)
3
x+
+
8
4a
32a
sin2 (ax)
2a
sin(n · ϕ) · cos(p · ϕ)dϕ =
π/2 n = p
0 n=
6 p
cos(n · ϕ) · cos(p · ϕ)dϕ =
π/2 n = p
0 n=
6 p
sin(n · ϕ) · sin(p · ϕ)dϕ =
π/2 n = p
0 n=
6 p
π
0
π
0
π
0
• Glauert-Integral
Z π
sin(n · ϕ)
cos(n · ϕ′ )
dϕ′ = −π ·
′
sin(ϕ)
0 cos(ϕ) − cos(ϕ )
•
2
Z
cos(ax) · cos(bx)dx =
sin[(a − b)x] sin[(a + b)x]
+
2(a − b)
2(a + b)
∀ |a| =
6 |b|
1. Aufgabe: Fragenteil (17 Punkte)
1. Sie wollen die Aerodynamik eines Formel-1 Boliden bei maximaler Fahrgeschwindigkeit in einem Windkanal untersuchen. Erläutern Sie, wie sich dabei der Bodeneffekt modellieren lässt. Begründen Sie kurz
Ihre Antwort.
2. Nennen Sie zwei Methoden zur Messung des statischen Druckes an einem Flügel im Windkanal. Geben
Sie jeweils einen Vorteil der jeweiligen Methode an.
3. (a) Wie ist die Grundgeometrie in der komplexen z-Ebene zu wählen, um durch die Transformation
2
mittels der konformen Zhukhovski-Abbildungsfunktion ζ = z + az in der komplexen ζ-Ebene ein
Parabelskelett zu bekommen?
(b) Wie lautet die Bedingung in der kompexen z-Ebene, damit die Kuttasche Abflussbedingung in
der ζ-Ebene erfüllt ist?
4. (a) Sie wollen die Druckverteilung an einem symmetrisch angeströmten NACA 0015 Profil bei M a∞ = 0.6
mit Hilfe der Göthertschen Formulierung des Kompressibilitätsgesetzes bestimmen. Wählen Sie
für ein Wasserschleppversuch aus der NACA 4er-Reihe ein geeignetes Vergleichsprofil und begründen Sie Ihre Antwort.
(b) Zur Bestimmung des Auftriebsbeiwertes können Sie für den Wasserschleppversuch auch das Originalprofil NACA 0015 nehmen. Wie groß ist der Auftriebsbeiwert des NACA 0015 Profils bei
M a∞ = 0.6, wenn es im Wasser einen Auftriebsbeiwert von cl = 1.2 besitzt? Begründen Sie Ihre
Antwort.
5. (a) Skizzieren Sie in einem Diagramm den Verlauf des Widerstandbeiwertes über der Machzahl der
freien Anströmung für ein konventionelles Profil und ein superkritisches Profil.
(b) Stellen Sie den maßgebenden Unterschied zwischen diesen zwei Profilarten mittels einer Skizze
der Druckbeiwertverteilung entlang der Saugseite dar.
Hinweis:
Falls nötig, übertragen Sie die Skizzen in Ihre Lösungsblätter und zeichnen Sie die Lösung dort ein!
3
2. Aufgabe: Biot-Savart (15 Punkte)
Zur Vorauslegung eines Flugzeuges mit einem ”Channel Wing” (siehe linkes Bild) soll das entstehende Wirbelsystem eines Halbflügels in einem Windkanalversuch untersucht werden. Dafür ist der Halbflügel einseitig
bei y = 0 an der Windkanalwand eingespannt. Das vereinfachte System der gebundenen Wirbel des Flügels
sei idealerweise gegeben (siehe rechtes Bild).
V∞
Γ
3Γ
R=b/6
b/3
Γ
3Γ
b/3
Windkanalwand
1. Erläutern Sie den dritten Helmholtzschen Wirbelsatz und für welche Strömungen er gültig ist.
2. Übertragen Sie die Skizze des gebundenen Wirbelsystems des Channel-Flügels in ihren Lösungsbogen
und vervollständigen Sie diese durch alle freien Wirbel entsprechend dem dritten Helmholtzschen
Wirbelsatz. Geben Sie dabei den Wert und die Drehrichtung der Zirkulation jedes freien Wirbels
explizit an.
Zur Vereinfachung wird im folgenden Aufgabenteil nur das untere Halbkreissegment des Flügels betrachtet
(siehe Skizze weiter unten)
V∞
z
x
y
3Γ
P
3. Leiten Sie allgemein aus dem Biot-Savartschen Gesetz, die durch den gebundenen Wirbel des Halbkreissegments induzierte Geschwindigkeit im Punkt P(L, 2b ,0) her und geben Sie explizit ihre x, y und
z-Komponenten an.
d~
vi = −
Γf ~a × ds~f
·
4π
|a|3
Gegeben: Γ, b, L
Falls nötig, übertragen Sie die Skizzen in Ihre Lösungsblätter und zeichnen Sie die Lösung dort ein!
4
3. Aufgabe: Tropfentheorie (18 Punkte)
Die Bedeutung der Korrektur nach Riegels im Rahmen der Tropfentheorie soll am Beispiel der Umströmung
eines schlanken elliptischen Profils
p mit dem Achsenverhältnis δ = d/l und der zugehörigen Konturgeometrie
(t)
für die Oberseite Z (X) = δ X(1 − X) demonstriert werden.
(t)
Z =z/l
δ=d/l
U∞
X=x/l
0.5
1.0
dZ
1. Leiten Sie die Bestimmungsgleichung für die Quellendichte q(X) = 2U∞ dX
her.
2. Zeigen Sie, dass der elliptische Profiltropfen durch den Reihenansatz nach Riegels mit b1 = δ und
bn = 0 (n > 2) beschrieben wird.
3. Bestimmen Sie die Quellendichteverteilung q(ϕ) des elliptischen Profils. Skizzieren Sie ohne weitere
Rechnung sorgfältig den Verlauf von q(X) entlang der Profilsehne.
4. Bestimmen Sie die axiale Störgeschwindigkeit us (ϕ).
5. Bestimmen Sie die nach Riegels korrigierte Geschwindigkeitsverteilung Vk (ϕ) auf der Kontur des Profiltropfens.
6. Zeigen Sie, dass die Verwendung des Korrekturfaktors nach Riegels für Profile mit einer abgerundeten
Nase notwendig ist, indem Sie den Wert der Geschwindigkeit an der Nase des gegebenen elliptischen
Profiltropfens diskutieren.
Gegeben: δ, U∞
Hinweise:
N
Z t (ϕ) =
Reihenansatz nach Riegels:
1X
bn · sin(n · ϕ)
2
n=1
axiale Störgeschwindigkeit: us (X) =
1
2π
Z
0
1
q(X ′ )
dX ′
X − X′
vertikale Störgeschwindigkeit: vs (X) = ±
Korrigierte Konturgeschwindigkeit nach Riegels:
q(X)
2
Vk (X) = q
Trigonometrische Substitution: X =
1
dZ 2
1 + ( dX
)
(U∞ + us (X))
1
(1 + cos(ϕ))
2
Falls nötig, übertragen Sie die Skizzen in Ihre Lösungsblätter und zeichnen Sie die Lösung dort ein!
5
1. Aufgabe: (LÖSUNG) Fragenteil (17 Punkte)
1
1. Der Bodeneffekt wird durch eine mit der Fahrzeuggeschwindigkeit bewegte untere Windkanalwand
modelliert (sog. ”moving belt”). Ohne die Wandbewegung würde sich nicht nur auf dem Fahrzeugboden,
1 sondern auch auf der unteren Kanalwand eine Grenzschicht ausbilden (Anströmen eines auf der Ebene
feststehenden Fahrzeugs), was nicht dem realen Fall entspricht.
1
2
2. Manometer (U-Rohr). Vorteil: Einfachheit.
Piezzo-Element. Vorteil: hohe zeitliche Auflösung.
3
Drucksensitive Farbe (PSP). Vorteile: Nicht invasiv, hohe räumliche Auflösung.
1
1
4
3. (a) In der komplexen z-Ebene ist ein Zylinderpmit dem Zentrum im Punkt (0; iy0 ) (vertikale Verschiebung um y0 ) und dem Radius R = a2 + y02 (Durchgang durch den Punkt x = ±a) zu
5 definieren.
1
(b) w(x = a) = 0 (Staupunkt am Zylinder in der komplexen z-Ebene)
1
7
4. (a) Göthertsche Formulierung des Kompressibilitätsgesetzes
erfordert
p
√
√ eine Geometrietransformation
in y-Richtung mit dem Faktor t1 = 1 − M a2∞ = 1 − 0.62 = 0.64 = 0.8.
1
1
8
Das NACA 0015 Profil besitzt die relative Dicke von 15%.9Die relative Dicke des transformierten
Profils für den Wasserschleppversuch soll deshalb (d/l)|ink = 0.8 · 0.15 = 0.12 betragen. Es soll
somit ein NACA 0012 Profil genommen werden.
1
10
(b) Mit Hilfe der Prandtl-Glauert-Ackeret-Regel kann die Kompressibilitätskorrektur direkt ohne
Geometrietransformation durchgeführt werden. Der Auftriebsbeiwert bei M a∞ = 0.6 ergibt sich
somit zu cl |M a∞ =0.6 = √ cl ink 2 = 1.2
0.8 = 1.5
1
1
1−M a∞
11
6
12
1
6
5. (a) Beachten: Näherungsweise konstanter Verlauf von cd bis hin zur kritischen Machzahl und eine
Verschiebung der Divergenzmachzahl zu höheren Werten.
1
1
cd
13
konventionelles
Profil
14
Überkritisches
Profil
1
15
M∞
(b) Beachten: Kleinere Druckspitzen durch moderate Strömungsbeschleunigung. Als Folge wird eine isentrope Rückkehr vom lokalen Überschallbereich in die subsonische Strömung, d.h. ohne
Verdichtungsstoß, erreicht).
-cp
-cp
1
16
cp,krit
1
17
cp,krit
7
2. Aufgabe: (LÖSUNG) Biot-Savart (15 Punkte)
1. Der 3. Helmholtzwsche Wirbelsatz :
In einer reibungsfreien barotropen Strömung mit konservativen Volumenkräften und einem nichtrotierenden Koordinatensystem ist die Zirkulation bzw. Der Wirbelfluß einer Wirbelröhre konstant. Die
Wirbelröhre endet auf fester Wand oder ist geschlossen.
1
1
2. Skizze mit Wirbelsystem
3
1
2
Γ
3Γ
4
Γ
3Γ
Windkanalwand
5Γ
5Γ
1
5
Γ
1
1
6
3. Lösungsvariante 1:
7
Die allgemeine Gleichung für die durch eine Wirbelröhre im Raum induzierte Geschwindigkeit lautet:
z
z
Γ1
dsf
y
ra
φ
1
φ
P-ra
P
8
ra
y
φ
x
l
Γf ~a × d~s
d~
vi = −
4π |~a|3
 


l
0
P~ = 0 , ~ra = r cos(ϕ) ,
0
r sin(ϕ)
(1)
d~sf 1
1
9


0
= −r sin(ϕ)dϕ
r cos(ϕ)dϕ
(2)
1
Das Kreuzprodukt ~a × d~sf 1 = (P~ − ~ra ) × d~sf 1 ergibt somit:


1

 

z
}|
{
0
l
2
2
 2

−r cos(ϕ) × −r sin(ϕ)dϕ = −r (cos (ϕ) + sin (ϕ))dϕ


−rl cos(ϕ)dϕ
r cos(ϕ)dϕ
−r sin(ϕ)
−rl sin(ϕ)dϕ
8
10
1
(3)
11
1
1
Der Betrag |~a| = |P~ − ~ra | ist:
Mit Γf = 3Γ, r =
b
6


p
l
−r cos(ϕ) = l2 + r 2
−r sin(ϕ) 1
(4)
12
und l = L ergeben sich die induzierten Geschwindigkeitskomponenten zu:
 
v1x
Γf
~

V1 = v1y  = √
3
4π l2 + r 2
v1z

2π
R
r 2 dϕ



b2
Γ


3


π
48 b 2
 2π
 
(( 6 ) +L2 ) 2 

R
 

0
 lr cos(ϕ)dϕ = 
π
  Γ

bL
 2π

− 4π
3
b 2
R

2
2
(( 6 ) +L )
lr sin(ϕ)dϕ
π
Lösungsvariante 2:
1
13
1
1
(5)
14
15
Die allgemeine Gleichung für einen Wirbel im Raum lautet:
d~
vi = −
Γf ~a × ds~f
4π |a|3
|~a × ds~f | = |~a| · |ds~f | · sin
b
⇒ |~a × ds~f | = |~a| · dϕ
s 6 b 2
+ L2
|~a| =
6
|d~vind | =
π 2
3Γ ( 6b )dϕ
4π |~a|2
Aufgrund der Symmetrie entlang der (x, y = b/2, z = 0)-Achse ist die induzierte Geschwindigkeit
vy,ind = 0
Für die restlichen Komponenten der Geschwindigkeit gilt:
dvx,ind = |d~vind | sin β
dvz,ind = |d~vind | cos βsinϕ
z
z
l
L
y
P
φ
a
ra
y
x
ra
φ
dvi
3Γ
l
9
φ
dsf
φ
Mit
sin β = q
b
6
b 2
6
und
cos β = q
+ L2
L
b 2
6
+ L2
Es ergibt sich somit:
vx,ind =
Z
π
vz,ind =
Z
2π
π
3Γ
4π (
2π
3Γ
4π (
b
b
6
·q
b
2
6 +L )
6
·q
b
2
6 +L )
L
b 2
6
10
b
6
b 2
6
+ L2
+ L2
· dϕ =
· sinϕdϕ = −
Γ
b2
48 ( b )2 + L2 23
6
Γ
bL
4π ( b )2 + L2 23
6
3. Aufgabe: (LÖSUNG) Tropfentheorie (18 Punkte)
1. Alternative 1:
Aus der kinematischen Randbedingung:
uk
U∞
Z(t)
wk
dZ(t)/dX
folgt:
wk
dZ (t)
=
dX
U∞ + uk
Für dünne Profille gilt: wk ≈ ws = q(X)
2 und uk << U∞ (nicht im Staupunkt!!!).
Somit ergibt sich für die Quellendichte q(x):
q(X) = 2U∞
dZ
.
dX
Alternative 2:
Aus der Kontinuitätsbeziehung:
Z=z/l
(U∞+u)Z
(U∞+u+du)(Z+dZ)
+
Zt (X)
1
U∞
X=x/l
1
1.0
1/2q(X)dX
1
(U∞ + u) · Z + qdX = (U∞ + u + du)(Z + dZ)
2
1
U∞ Z + uZ + qdX = U∞ Z + uZ + Zdu + U∞ dZ + udZ + dudZ
2
Nach der Linearisierung (keine Terme 2. Ordnung) ergibt sich:
1
2
1
3
du
dZ
dZ
d(U∞ + u)
dZ
1
d
1
q=Z
+ U∞
+u
=
Z + (U∞ + u)
= q=
[(U∞ + u)Z] (Produktregel)
2
dX
dX
dX
dX
dX
2
dX
Mit U∞ >> u (nicht im Staupunkt) folgt:
1
5
1
d[U∞ Z]
dZ
q=
= U∞
2
dX
dX
⇒
q(X) = 2U∞
dZ
.
dX
1
2. Mit der trigonometrischen Substitution X = 21 (1 + cos(ϕ)) folgt:
6
r
p
1
1
(1 + cosϕ)(1 − (1 + cosϕ))
Z (t) (X) = δ X(1 − X) ⇛ Z (t) (ϕ) = δ
2
2
δp
δ
δp
(1 + cosϕ)(1 − cosϕ)) =
(1 − cos2 ϕ) = sinϕ
=
2
2
2
11
1
7
1
4
Der Koeffizientenvergleich mit dem Reihenansatz nach Riegels Z t (ϕ) =
b1 = δ
1
2
PN
1
und bn = 0, n > 2
q(ϕ) = 2U∞
Mit
10
δ
dZ
= cosϕ und
dϕ
2
q(ϕ) = 2U∞
1
δ
2 cosϕ
− 12 sinϕ
= −2U∞ δcotϕ
9
1
0
0.5
π
π/2
1.0
11
0
X=x/l
φ
4. Axiale Störgeschwindigkeit:
Z 1
Z
Z
1
q(X ′ )
U∞ 1 dZ dX ′
U∞ 1 dZ dϕ′ dX ′
′
us (ϕ) =
dX =
=
2π 0 X − X ′
π 0 dX ′ X − X ′
π 0 dϕ′ dX ′ X − X ′
Z 0
Z
U∞ δ 0 cosϕ′ dϕ′
U∞
δ
dϕ′
=
=
cosϕ′ 1
= U∞ δ
′
′
π π 2
π
π cosϕ − cosϕ
2 (cosϕ − cosϕ )
1
1
13
q(X)
12
dZ dϕ
dZ
= 2U∞
dX
dϕ dX
dX
1
= − sinϕ folgt:
dϕ
2
Skizze (Schließungsbedingung beachten):
1
· sin(n · ϕ) liefert:
8
3. Quellendichtenverteilung q(ϕ):
1
n=1 bn
14
5. Korrigierte Konturgeschwindigkeit nach Riegels
1
1
(U∞ + us (X)) = q
(U∞ + us (ϕ))
Vk (ϕ) = q
dϕ 2
dZ 2
1 + ( dZ
)
1 + ( dX
)
dϕ dX
=p
1
1 + (−δcotϕ)2
(U∞ + U∞ δ) = U∞ p
1+δ
1
15
1
1 + δ2 cot2 ϕ
16
6. Bei Profilen mit abgerundeter Nase besitzt die Strömung bei X = 0 einen Staupunkt, d.h.:
!
(Ohne den Korrekturfaktor) V (X = 0) = U∞ + us = 0
⇒
!
Mit dem unter 4. erhaltenen Ergebnis (us = U∞ δ) kann diese Bedingung (us = U∞ δ = −U∞ ) für kein
physikalisch sinnvolles δ erfüllt werden, was zu einem Fehler in der Nähe des Staupunktes führt.
Mit dem Riegelsfaktor κ =
q 1
dZ 2
1+( dX
)
1
erfüllt die Konturgeschwindigkeit die Bedingung Vk (X = 0)
dZ
→ ∞ selbst zu 0 wird. In weiterer
für gerundete Nasenformen automatisch, da der Faktor für dX
dZ
Entfernung vom Staupunkt ist dX für schmale Profile klein, so dass der Riegelsfaktor dort effektiv
verschwindet (κ = q 1 dZ → 1).
1+( dX )2
12
17
1
18