Universität Paderborn 27. November 2003 Institut für Informatik Prof

Universität Paderborn
Institut für Informatik
Prof. Dr. Hans Kleine Büning
27. November 2003
3. Übung zur Vorlesung Logik für die Informatik
Aufgabe 1:
Unifizieren Sie folgende Terme mit dem Verfahren von Robinson.
• f (a, x) und g(y, y)
• f (g(x), z) und f (g(y), g(z))
• f (g(x), y) und f (y, h(x))
• f (x, g(x))) und f (g(y), y))
• f (x, g(y)) und f (g(y), x)
Aufgabe 2:
Betrachten Sie die Terme
sn = h(f (x1 , x1 ), x1 , f (x2 , x2 ), x2 , ..., f (xn , xn ), xn )
und
tn = h(y1 , f (y2 , y2 ), y2 , f (y3 , y3 ), ..., yn , f (yn+1 , yn+1 ))
und deren allgemeinsten Unifikator σn für n > 0. Wie sieht σn aus und wie oft
taucht das Funktionssymbol f in σn (y1 ) auf?
Aufgabe 3:
Bestimmen Sie mittels Resolution, ob die folgenden Formeln erfüllbar sind.
• ∃x ¬(P (f (x)) → Q(f (a))) ∨ ∃y (¬P (y) ∧ ¬Q(f (y)))
• ∀x∀u∃y∃v P (x, y) → P (v, u)
Aufgabe 4:
Gegeben sei folgende Wissensbasis mit den Fakten
E(hans, paul) (hans ist Elternteil von paul)
E(hans, lisa) (hans ist Elternteil von lisa)
M (paul) (paul ist männlich)
¬M (lisa) (lisa ist nicht männlich)
und der Regel
∀x∀y ( (∃z (E(z, x) ∧ E(z, y))) ∧ M (x) → B(x, y) )
(B(x, y) - x ist Bruder von y)
Zeigen Sie per Resolution, dass B(paul, lisa) wahr ist. Führen Sie dazu zuerst zwei
Schritte der Stufensättigungsverfahrens aus.
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Aufgabe 5:
Ein Beweis einer Formel α ist eine Liste von Formeln α1 , α2 , ..., αn wobei gilt: Es
ist αn = α, und für alle i ≤ n gilt:
1. αi ist ein Axiom, oder
2. αi wird durch Anwendung von Schlußregeln aus Formeln gewonnen, die in der
Liste vor αi stehen (d.h. aus Formeln αj mit j < i).
Eine bewiesene Formel heißt Theorem.
Zeigen Sie, dass A → A ein Theorem ist, wobei ausschließlich untenstehende Axiome und Schlußregeln zugrundegelegt werden. Geben Sie dabei alle Zwischenschritte
an.
Axiome:
a) (A → (B → A))
b) (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
Schlußregeln:
1. Modus Ponens
α
α→β
β
2. Substitution
α
B
αP
AB
P bedeutet dabei, dass in A alle Vorkommen von B durch die Formel P ersetzt
werden.
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