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Lehrstuhl für Theoretische Physik II
Prof. Dr. U. Eckern, Dr. M. Dzierzawa
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Σ
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Klausur zur Vorlesung Mathematische Konzepte II – 26. Juli 2010
Aufgabe 1: Vektoranalysis
(1+1+1+2 Punkte)
Gegeben sind das Skalarfeld u(r) = a · r und das Vektorfeld A(r) = b × r, wobei a und
b nicht von r abhängen. Berechnen Sie
(a) ∇u
(b) ∇ · A
(c) ∇ × A
(d) ∇ · (uA)
Aufgabe 2: Bewegung im Kraftfeld
(4 + 3 Punkte)
Ein Körper bewegt sich im Kraftfeld F(r) = (y, −x, z) entlang der vorgegebenen Bahnkurve


cos α


C:
r(α) =  sin α  , 0 ≤ α ≤ π
α2
(a) Berechnen Sie die dabei geleistete Arbeit W =
R
C
dr · F.
(b) Gibt es ein Potential V (r), so dass F(r) = −∇V ? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 3: Gauß’scher Satz
(7 Punkte)
Gegeben ist das Vektorfeld A(r) = (x, y, 0). Verifizieren Sie den Gauß’schen Satz
Z
O
df · A =
Z
dV ∇ · A
V
für den Fall, dass V eine Kugel um den Ursprung mit Radius R ist und O die
Kugeloberfläche. Verwenden Sie für das Oberflächenintegral Kugelkoordinaten mit
df = er R2 sin θ dθdϕ.
Aufgabe 4: Komplexe Zahlen
(6 + 3 Punkte)
(a) Bestimmen Sie sämtliche komplexe Lösungen zn der folgenden Gleichungen
(i) z +
1
=i
z
(ii) eiz = i
(iii) sin z = i
(b) Leiten Sie mit Hilfe der Euler’schen Formel eix = cos x + i sin x die Additionstheoreme
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
her.
Aufgabe 5: Residuensatz
(3 + 4 Punkte)
Gegeben ist die komplexe Funktion f (z) =
z2
(z+i)(z−2i)
.
(a) Bestimmen Sie sämtliche Pole und die zugehörigen Residuen von f (z).
(b) Berechnen Sie mit Hilfe des Residuensatzes das Integral
I(R) =
I
dz f (z)
CR
in Abhängigkeit von R, wobei CR ein Kreis um den Ursprung mit Radius R ist,
der im mathematisch positiven Sinn durchlaufen wird.
Aufgabe 6: Fourier-Transformation
(6 + 4 Punkte)
Berechnen Sie die dreidimensionale Fourier-Transformierte
f˜(k) =
Z
d3 r e−ikr f (r)
der folgenden Funktionen:
(a) f (r) =
(
1
0
für r ≤ a
sonst
(b) f (r) = sin(ax) cos(by)
wobei r = |r| und a, b > 0.
Hinweis:
Z
∞
dx eikx = 2πδ(k)
−∞