Fakultät Statistik (TU Dortmund)

TU DORTMUND
Wintersemester 2012/2013
Fakultät Statistik
30. Oktober 2012
Prof. Dr. R. Fried
Dipl.–Stat. O. Morell
Übungen zur Vorlesung Statistik III (Schätzen und Testen): Blatt 4
Präsenzübung
Aufgabe P08:
Gegeben seien X1 , X2 unabhängig identisch Exp(λ)–verteilt, λ > 0, sowie Y mit der Dichte
fY (y) =
λ
· exp(−λ · |y|).
2
Die Verteilung von Y heißt auch zentrierte Laplace-Verteilung. In der Literatur wird die Dichte
einer Laplace–verteilten Zufallsvariablen oft durch einen Parameter µ erweitert:
fZ (z) =
λ
· exp(−λ· | z − µ |)
2
Die Verteilung von Z heißt nicht–zentrierte Laplace–Verteilung.
(a) Zeigen Sie, dass D = X1 − X2 und Y identisch verteilt sind. Wie groß ist die Varianz von Y ?
(b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Transformationssatzes 2.2.13 die Dichte der Zufallsvariablen
(Z − µ) · λ
√
.
2
(c) Sei (Zi : i ∈ N) eine Folge unabhängig identisch nicht–zentrierter Laplace–verteilter ZufallsPn
variablen mit λ = µ = 1 und sei Z n = n1 i=1 Zi . Bestimmen Sie einen Näherungswert für die
Wahrscheinlichkeit P Z n ≤ 1.3 für n = 200) mit Hilfe eines geeigneten Satzes. Überprüfen
U =
Sie dabei, ob die Voraussetzungen Ihres Satzes erfüllt sind.
1
(d) Sei (Yi : i ∈ N) eine Folge unabhängig zentral Laplace–verteilter Zufallsvariablen mit λi =
i
Pn
und sei Y n = n1 i=1 Yi . Bestimmen Sie für n = 200 einen Näherungswert für die Wahr
p
scheinlichkeit P |Y n | < (n + 1) mit Hilfe eines geeigneten Satzes. Überprüfen Sie dabei,
ob die Voraussetzungen Ihres Satzes erfüllt sind.
Hinweis 1: Nutzen Sie aus, dass für k ∈ N0 gilt:
Z∞
xk exp(−(λ + n)x)dx =
k!
(λ + n)k+1
0
Hinweis 2:
n
X
i=1
i3 =
n · (n + 1)
2
2
TU DORTMUND
Wintersemester 2012/2013
Fakultät Statistik
30. Oktober 2012
Prof. Dr. R. Fried
Dipl.–Stat. O. Morell
Übungen zur Vorlesung Statistik III (Schätzen und Testen): Blatt 4
Hausübung
Aufgabe H07:
Gegeben sei X1 ∼ Exp(λ)–verteilt, λ > 0, sowie Y mit der Dichte
fY (y) =
λ · βλ
· 1[β,∞) (y), β > 0.
y λ+1
Die Verteilung von Y heißt auch Pareto-Verteilung.
(a) Zeigen Sie, dass Z = β · exp(X1 ) und Y identisch verteilt sind.
(b) Berechnen Sie die Varianz einer Pareto–verteilten Zufallsvariablen. Für welche Parameter
λ > 0, β > 0 existiert die Varianz?
(c) Sei (Zi : i ∈ N) eine Folge unabhängig identisch Pareto–verteilter Zufallsvariablen mit λ = 3
Pn
und β = 1. Ferner sei Z n = n1 i=1 Zi .
Zeigen Sie, dass für diese Situation Satz 2.2.21 anwendbar ist, Satz 2.2.22 dagegen nicht.
Berechnen Sie für n ∈ {300, 1200, 2700} jeweils einen Näherungswert für die Wahrschein
lichkeit P (Z n − E(Z n )) ≤ 1/20 . Wegen welchem Satz aus der Vorlesung gilt, dass diese
Wahrscheinlichkeit für n → ∞ gegen 1 konvergiert?
Aufgabe H08:
Gegeben seien X1 , . . . , Xn unabhängig identisch Exp(λ)–verteilt, λ > 0.
Bestimmen Sie die Dichten der Zufallsvariablen N = max(X1 , . . . , Xn ) und M = min(X1 , . . . , Xn ).
Hinweis:
Bestimmen Sie zunächst jeweils die Verteilungsfunktion von M und N .
Nutzen Sie dabei für N aus, dass gilt:
max(X1 , X2 , . . . , Xn ) ≤ x ⇐⇒ X1 ≤ x, X2 ≤ x, . . . , Xn ≤ x
Abgabe bis Montag, den 5.11.2012, 14.00 Uhr