Von der zahlentheoretischen Kongruenzrelation durch

Von der zahlentheoretischen Kongruenzrelation durch Verallgemeinerung zur
Faktorgruppe.
Wir gehen aus vom Spezialfall der unendlichen Gruppe (Z,+) der ganzen Zahlen.
Diese enthält neben den trivialen Untergruppen genau alle Vielfachenmengen als
Untergruppen: Vielfachenmenge von m = mZ = {..., – 2m, – m, 0, m, 2m, 3m, ... }.
Spezialfall
Allgemeinfall
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Gruppe (Z,+) mit Untergruppe V = mZ Gruppe (G,*) mit Untergruppe U.
Zahlentheoretische Kongruenz
a ≡ b mod m
gdw a+(-b) in V
Rechtskongruenz bezgl. einer Untergruppe
a ≡ b mod U
gdw a*b-1 in U
Die so definierten Relationen sind jeweils Äquivalenzrelationen (RST). Nachweis!
Die Äquivalenzklassen dieser Relation sind genau die
Restklassen mod m
Rechtsnebenklassen (-restklassen) mod U
Es gilt nämlich:
a ≡ b gdw a+(-b) in V gdw b-a in V
a ≡ b gdw a*b-1 in U gdw b*a-1 in U
gdw a = km+b gdw a in V+b
gdw a = u1*b gdw a in U*b
gdw b = tm+a gdw b in V+a
gdw b = u2*a gdw b in U*a
gdw V+b = V+(tm +a) = (V+tm)+a = V+a gdw U*b = U*(u2*a) = (U*u2)*a = U*a
Man kann nun folgende Eigenschaften dieser Klassen beweisen:
1. Jede Klasse ist zur Untergruppe U gleichmächtig.
2. Zwei Klassen sind entweder zueinander elementefremd oder gleich.
3. Jedes Element von G kommt in mindestens einer Klasse („seiner“) vor.
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Mit den oben definierten Klassen (Nebenklassen, Restklassen) läßt sich in der üblichen
Weise rechnen wie mit Restklassen, wenn U ein Normalteiler ist, wenn also jede
Rechtsnebenklasse U*a von U gleichzeitig auch Linksnebenklasse ist, also U*a = a*U
gilt:
Das Komplexprodukt zweier Rechtsnebenklassen Ua und Ub ist genau dann wieder
eine solche, wenn U ein Normalteiler ist:
(U*a) # (U*b) = U*(a*U)*b = U*(U*a)*b = (U*U)*a*b = U*(a*b) sofern U Normalteiler ist.
Daher kann in der Menge G/U der Nebenklassen von U in G in der angegebenen Weise
eine Verknüpfung # definiert werden und die Menge G/U wird zum Verknüpfungsgebilde:
Faktorgruppe ( G/U, # ) oder Restklassengruppe ( G/U, # ).
Die Abbildung f: a ----> U*a von G auf die Menge G/U der Nebenklassen von U ist
selbstverständlich surjektiv und außerdem ein Homomorphismus, denn es gilt:
1. f(a*b) = U*(a*b) da jedem Element seine Nebenklasse zugeordnet wird.
2. In der Faktorgruppe G/U gilt f(a) # f(b) = U*a # U*b = U*(a*b) wie oben gezeigt.
Daher ist die Faktorgruppe G/U ein homomorphes Bild der Gruppe G und daher ebenfalls
eine Gruppe. Der Homomorphismus f heißt der natürliche oder kanonische
Homomorphismus von G auf G/U.