Temporale Logik 1 Syntax 2 Semantik

Temporale Logik
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Syntax
Definition 1 Formeln sind induktiv wie folgt aufgebaut:
1) Jedes Atom ist eine Formel.
2) Seien A und B Formeln. Dann sind ¬A, (A ∨ B), (A ∧ B), (A → B), ◦A, A
und (A at-next B) Formeln.
Für die Formel ¬¬A schreiben wir auch ♦A.
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Semantik
Definition 2 Eine temporale Strukur K, sie wird auch Kripke-Struktur genannt, ist
eine unendliche Folge von Interpretationen {η0 , . . . , ηi , ηi+1 , . . .} mit ηi : V → {f, t},
wobei V die Menge der Variablen ist und f für falsch und t für true steht.
ηi wird auch als Zustand bezeichnet. ηo ist dann der Anfangszustand.
Definition 3 (Bedeutung der Operatoren)
1. Ki (v) := ηi (v) für alle v ∈ V
2. Ki (¬A) = t gdw. Ki (A) = f
3. Ki (A → B) = t gdw Ki (A) = f oder Ki (B) = t
4. K( A ∨ B) = t gdw. Ki (A) = t oder Ki (B) = t
5. Ki (A ∧ B) = t gdw. Ki (A) = t und Ki (B) = t
6. Ki (◦A) = t gdw. Ki+1 (A) = t
7. Ki (A) = t gdw. ∀j ≥ i : Kj (A) = t
8. Ki (A at-next B) = t gdw.
(∀j > i Kj (B) = f ) oder (Kk (A) = t für das kleinste k > i mit Kk (B) = t)
Beispiel: Es gilt
1
Ki (♦A) = t
gdw.
Ki (¬¬A) = t
gdw.
Ki (¬A) = f
gdw.
es gilt nicht ∀j ≥ i : Kj (¬A) = t
gdw.
es gilt nicht ∀j ≥ i : Kj (A) = f
gdw.
∃j ≥ i : Kj (A) = t
Definition 4 (Folgerung etc.)
1) Eine Formel A ist gültig in der Kripke-Struktur K, `K A, falls
∀i : Ki (A) = t.
2) Eine Formel A ist gültig, |= A, falls `K A für jede Kripke-Struktur K gilt.
3) Seien A und B Formeln. Dann folgt A aus B, B |= A, falls für alle KripkeStrukturen K mit `K B auch `K A gilt.
Definition 5 Erfüllbarkeit)
Eine Formel A ist erfüllbar, falls es eine Kripke-Struktur K und ein i ≥ 0 mit Ki (A) =
t gibt.
(Es gibt einen Zeitpunkt und eine Interpretation für die die Formel A wahr (t) ist.
Man sagt auch: Es gibt einen Zustand, in dem A wahr ist.)
Beispiel:
1)
A |= A
2)
Es gilt nicht |= A → A
2)
(v2 → ◦v1 ) ∨ (◦¬v1 ) ist erfüllbar.
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