Logik und Beweisbarkeit - Wintersemester 2014/15, Teil 3b

Unvollständigkeitssätze von Gödel
Komplexität arithmetischer Formelmengen
Zunächst definieren wir die uns interessierenden Formelmengen formal.
α ist die Kodierung einer arithmetischen Formel als natürliche Zahl.
e
Definition 4.10 (Mengen arithmetischer Formeln)
Q-Arith := {α | α ist arithmetische Formel mit Q Nat α}
PA-Arith := e{α | α ist arithmetische Formel mit PA Nat α}
N-Arith := {α e| α ist arithmetische Formel mit N α}
e
Die Frage: PA-Arith = N-Arith ??
4.2.23
Beweisprüfung ist nicht schwieriger als
Axiomprüfung
Entsprechend Formeln lassen sich auch Folgen von Sequenten (s1 , . . . , sm )
durch Zahlen kodieren.
Folgendes Programm zeigt, dass die Menge
BewT := {((s1 , . . . , sm ), α) | (s1 , . . . , sm ) ist eine Herleitung, die T
^
semi-entscheidbar
ist, falls T semi-entscheidbar ist.
Nat
α bezeugt}
Eingabe n
sei n die Kodierung einer Sequentenfolge (s1 , . . . , sm ) und einer Formel α
für i = 1, . . . , m wiederhole
überprüfe, ob si mittels einer Regel aus vorhergehenden sj entsteht
oder ob si ein Axiom in T ist
falls alle Überprüfungen positiv waren
und sm ein Sequent T 0 I α für ein T 0 ⊆ T ist
dann Ausgabe 1
sonst Ausgabe 0 (bzw. Endlosschleife)
4.2.24
Lemma 4.11 (aus RE-Axiomen beweisbare Formeln sind in RE)
Sei T semi-entscheidbar und T-Arith := {α | T
e
Dann ist T-Arith semi-entscheidbar.
Nat
α}
Beweis:
Folgendes Programm berechnet eine Funktion mit Wertebereich T-Arith.
Gemäß der These von Church und Turing ist die Funktion URM-berechenbar.
Nach Satz 3.37 ist T-Arith dann semi-entscheidbar.
Eingabe n
falls n ∈ BewT und als
Kodierung von ((s1 , . . . , s` ), α) aufgefasst werden kann
dann Ausgabe α
e
sonst “undefiniert”
X
Folgerung 4.12
Q-Arith und PA-Arith sind semi-entscheidbar.
4.2.25
Sei LΣ1 die Menge aller Σ1 -Formeln,
und Q-Σ1 -Arith := Q-Arith ∩ LΣ1 das Σ1 -Fragment von Q-Arith.
Lemma 4.13 (Q-Arith ist RE-hart)
K ≤ Q-Σ1 -Arith
Beweis:
K ist semi-entscheidbar.
Nach Satz 4.9 gibt es eine Σ1 -Formel ψK (x), die K arithmetisch
beschreibt. D.h. für alle n ∈ N gilt:
n ∈ K gdw. N ψK (n)
gdw. Q Nat ψK (n)
gdw. ψK (n) ∈ Q-Arith
(K ist arithmetisch)
(Satz 2.41)
(Definition von Q-Arith)
Da die Funktion n 7→ ψK (n) total und berechenbar ist,
^ für K ≤ Q-Σ1 -Arith.
ist sie die Reduktionsfunktion
X
4.2.26
Jedes T-Arith mit T-Arith ∩ Σ1 = Q-Σ1 -Arith
ebenfalls RE-hart.
ist also
Satz 4.14 (Q-Arith ist RE-vollständig)
Sei T eine semi-entscheidbare Menge mit
T-Arith ∩ Σ1 = Q-Σ1 -Arith.
Dann ist T-Arith vollständig für RE.
Insbesondere ist also Q-Arith vollständig für RE.
4.2.27
Satz 4.15
N-Arith ist produktiv.
Beweis:
K ist semi-entscheidbar.
Nach Satz 4.9 gibt es eine Σ1 -Formel ψK (x), die K arithmetisch
beschreibt. D.h. für alle n ∈ N gilt: n ∈ K gdw. N ψK (n). Folglich
gilt für alle n ∈ N:
n ∈ K gdw. N 6 ψK (n)
gdw. N ¬ψK (n)
gdw. ¬ψK (n) ∈ N-Arith
(K ist arithmetisch)
(Semantik von ¬)
(Definition von N-Arith)
Da n 7→ ¬ψK (n) total und berechenbar ist,
folgt K ≤^
N-Arith.
Mit Lemma 3.44 und Satz 3.46 folgt die Produktivität von N-Arith.
X
4.2.28
Da keine semi-entscheidbare Menge produktiv ist,
folgt aus Lemma 4.11 und den Sätzen 4.14 und 4.15
Folgerung 4.16
Q-Arith ( N-Arith.
und noch allgemeiner
Folgerung 4.17
Sei T eine semi-entscheidbare Menge mit T-Arith ⊆ N-Arith.
Dann ist T-Arith ( N-Arith.
Also gibt es keine semi-entscheidbare Menge von Axiomen,
aus denen man genau die von N erfüllten Formeln herleiten kann.
4.2.29