6 Quantenoptik

6 Quantenoptik
Die dielektrische Verschiebung sei gegeben durch D = εE mit ε = εr ε0 , wobei E die elektrische
Feldstärke, ε0 die elektrische Feldkonstante und εr eine Konstante bezeichnen. Die magnetische Induktion sei gegeben durch B = µH mit µ = µr µ0 , wobei H die magnetische Feldstärke, µ0 die
magnetische Feldkonstante und µr eine Konstante bezeichnen. Ist dann ρ die Ladungsdichte und j die
elektrische Stromdichte, so lassen sich die Feldgleichungen
∇ × E = −Ḃ ;
∇ × H = Ḋ + j
; ∇·D=ρ
; ∇·B=0
mit Hilfe des Vektorpotenzials A und des skalaren Potenzials φ mit der Lorentz-Konvention
B = ∇ × A ; E = −Ȧ − ∇φ mit εµφ̇ + ∇ · A = 0
wegen ε0 µ0 = 1/c2 mit der Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum und der Brechzahl n
1 ∂φ
= 0 mit
∇·A+ 2
v ∂t
1
n2
= εµ = εr µr ε0 µ0 = 2
v2
c
und n =
c √
= εr µr
v
auf vier inhomogene Wellengleichungen zurückführen
A=
1 ∂2
− ∆ A = µj
v 2 ∂t2
und
φ=
1
1 ∂2
ρ.
−
∆
φ
=
v 2 ∂t2
ε
Die Potenzialgleichungen ergeben sich mit Hilfe der Lagrange-Dichte
1 1
L = εE2 − B2 + j · A − ρφ
2
µ
2
2
2
ε ∂A
∂A
ε
1
=
· ∇φ + ∇φ −
∇ × A + j · A − ρφ
+ε
2 ∂t
∂t
2
2µ
und den Euler-Lagrange-Gleichungen mit r = (x1 , x2 , x3 ), ψν|k =
∂ψν
∂ψν
und ψ̇ν =
∂xk
∂t
3
X ∂ ∂L
∂L
∂ ∂L
= 0,
−
−
∂ψν
∂xk ∂ψν|k
∂t ∂ ψ̇ν
k=1
indem ψk = Ak , für k = 1, 2, 3 und ψ4 = φ gesetzt, und die Lorentz-Konvention beachtet wird.
Zum Beweise beachten wir mit A(r, t) = (A1 , A2 , A3 )
2 2 2
∂A
∂A
∂A
∂A
∂A
∂A
2
3
1
1
2
3
−
+
−
+
−
(∇ × A)2 =
∂x2
∂x3
∂x3
∂x1
∂x1
∂x2
und berechnen zunächst den mittleren Term der Euler-Lagrange-Gleichungen mit ψ1 = A1
3
3
X
∂ ∂L
1 X ∂
∂
−
=
(∇ × A)2
∂xk ∂A1|k
2µ
∂xk ∂A1|k
k=1
k=2
∂A2 ∂ ∂A1
∂A3 ∂ ∂A1
∂ ∂A1
1 ∂ ∂A1
−
+
−
+
−
=
µ ∂x2 ∂x2
∂x1
∂x3 ∂x3
∂x1
∂x1 ∂x1
∂x1 ∂x1
i
∂
1h
∆A1 −
∇·A .
=
µ
∂x1
Damit erhält man aus den Euler-Lagrange-Gleichungen
3
X ∂ ∂L
∂L
∂ ∂L
−
= 0,
−
∂ψν
∂xk ∂ψν|k
∂t ∂ ψ̇ν
k=1
und der Lagrange-Funktion
L=
ε
2
∂A
∂t
2
+ε
2
2
ε
1
∂A
· ∇φ + ∇φ −
∇ × A + j · A − ρφ
∂t
2
2µ
für ψ1 = A1 mit j = (j1 , j2 , j3 )
i
∂
∂ 2 A1
∂φ
1h
∆A1 −
∇·A −ε 2 −ε
= 0,
j1 +
µ
∂x1
∂t
∂t∂x1
und wegen der Lorentz-Konvention
∂φ
1
∇·A+ε
=0
µ
∂t
addieren sich der dritte und fünfte Term zu Null, so dass die inhomogene Wellengleichung
∂ 2 A1 µj1 + ∆A1 − εµ 2 = 0 oder
∂t
A1 = µj1
für A1 resultiert. Entsprechend erhält man mit ψν = φ aus der Euler-Lagrange-Gleichung ebenfalls
die inhomogene Wellengleichung für φ.
6.1 Quantisierung freier elektromagnetischer Felder
Bei der zu behandelnden Wechselwirkung der elektromagnetischen Strahlung mit Festkörpern befinden
sich die die Strahlungsfelder erzeugenden Ladungen ρ und Ströme j entfernt vom Festkörper und
werden hier zu Null gesetzt, um die Potenziale A und φ der freien elektromagnetischen Strahlung zu
bestimmen. Da beide Potenziale Lösungen der homogenen Wellengleichung A = 0 und φ = 0 sind,
lassen sich die beobachtbaren Felder E und B aus A alleine bestimmen, indem eine Eichtransformation
A′ = A + ∇f , φ′ = φ − f˙ mit f = 0 und f˙ = φ vorgenommen wird, sodass φ′ = 0 wird. Dadurch
erhält man aus der Lorentz-Konvention ∇ · A = 0, was auch als Strahlungseichung bezeichnet wird.
Das zum Vektorpotenzial A(r, t) = (A1 , A2 , A3 ) gehörige kanonisch konjugierte Impulsfeld ist
πk (r, t) =
∂L
= εȦk
∂ Ȧk
mit L(A, A|k , Ȧ) =
1
ε 2
(∇ × A)2 ,
Ȧ −
2
2µ
und die Energiedichte ergibt sich wegen B = ∇ × A und E = −Ȧ sowie D = εE, B = µH zu
D=
3
X
k=1
πk Ȧk − L =
1 2
1
1
1
εȦ +
(∇ × A)2 = E · D + H · B.
2
2µ
2
2
Die Energie der freien elektromagnetischen Strahlung ist damit, vgl. Abschn. 1.1,
H=
Z
1
D d3r =
2
Z Z
1
1
εȦ2 + (∇ × A)2 d3r =
(E · D + H · B) d3r.
µ
2
Zur Quantisierung des elektromagnetischen Strahlungsfeldes werden für die kanonisch konjugierten
Felder Ak (r, t) und πk (r, t) Feldoperatoren Âk bzw. π̂k mit den Vertauschungsrelationen angesetzt:
h̄
π̂k (r, t), Âl (r′ , t) = δkl δ(r − r′ )1
i
und
π̂k (r, t), π̂l (r′ , t) = 0 = Âk (r, t), Âl (r′ , t) .
Wir schreiben die Lösungen der homogenen Wellengleichung A = 0 als Linearkombination von
ebenen Wellen
2
1
1 XX
uj (q) √ exp {iq · r} exp {−i2πνj (q)t} + k.k. .
A(r, t) = √
2 j=1 q
V
Die Basisvektoren des Gitters a1 , a2 , a3 spannen die Elementarzelle bzw. das Periodizitätsgebiet
Ω = (a1 , a2 , a3 ) auf und die Vektoren N a1 , N a2 , N a3 das Grundgebiet V = N 3 Ω mit 1 ≪ N . Die
periodischen Randbedingungen für die ebenen Wellen exp iq · (r + N aj ) = exp {iq · r} erfordern die
Bedingung exp {iq · aj N } = 1, woraus sich die diskreten Ausbreitungsvektoren
m1
m2
m3
q=
b1 +
b2 +
b3 mit ganzen Zahlen m1 , m2 , m3
N
N
N
2π
ak × al mit zyklischen (j, k, l) die
ergeben. Dabei erfüllen die reziproken Gittervektoren bj =
Ω
Bedingungen aj · bk = 2πδjk .
Ferner bezeichnen uj (q) den Polarisationsvektor für zwei verchiedene Polarisationsrichtungen,
νj (q) = v|q|/2π die Frequenz der Welle mit dem Dispersionsgesetz, und k.k.” den konjugiert kom”
plexen Term. Wegen ∇ · A = 0 erfüllen die reellen Polarisationsvektoren die Bedingung q · uj (q) = 0,
so dass es nur die beiden transversalen linear unabhängige Polarisationsrichtungen j = 1, 2 gibt.
Beim Übergang zu den Feldoperatoren A(r, t) −→ Â(r, t) ist die Reihenentwicklung von der Form
P
wie in Abschn. 5.2 ψ̂(x) = ν ψν (x)aν mit dem Vernichtungsoperator aν für ein Teilchen bzw. hier
cj (q, t) und dem Erzeugungsoperator c+
j (q, t)
s
2
1 XX
h̄
1
1
Â(r, t) = √
uj (q) √ exp {iq · r} cj (q, t) + uj (q) √ exp {−iq · r} c+
j (q, t) .
2πενj (q)
2 j=1 q
V
V
Die zeitabhängigen Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren für die Photonen
r
r
2πενj (q)
2πενj (q)
(q,
t)
=
exp − i2πνj (q)t
bzw. c+
exp
i2πν
(q)t
cj (q, t) =
j
j
h̄
h̄
erfüllen die Schwingungsgleichung
2
∂cj (q, t)
∂ 2 cj (q, t)
= −i2πνj (q)cj (q, t) oder
+ 2πνj (q) cj (q, t) = 0.
∂t
∂t2
ˆ (r, t) = (π1 , π2 , π3 ) ist dann
Das zu A(r, t) = (A1 , A2 , A3 ) gehörige Impulsfeld ~π
s
2
XX
1
1
∂
Â
h̄
ˆ (r, t) = ε
= √
− iε2πνj (q)uj (q) √ exp {iq · r} cj (q, t)
~π
∂t
2πενj (q)
2 j=1 q
V
1
+ iε2πνj (q)uj (q) √ exp {−iq · r} c+
j (q, t) .
V
ˆ führen dann zu den Vertauschungsrelationen
Die Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren  und ~π
für die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren cj (q, t) und c+
j (q, t) für ein Photon der Polarisation
j, der Wellenzahl |q| und der Energie hνj (q) = vh̄|q|
+
+
′
′
′
′
′
′
cj (q, t), c+
(q,
t),
c
(q
,
t)
=
0
=
c
1
;
c
(q,
t),
c
δ
(q
,
t)
=
δ
(q
,
t)
.
j
j
jj qq
j
j′
j′
Zum Beweis sei darauf hingewiesen, dass die Operatoren cj (q, t) und c+
j (q, t) jeweils einem Photon
der beiden unabhängigen Polarisationsrichtungen j = 1, 2 zugeordnet sind, sodass u2j (q) = 1 und
1 X
′
′
′
uj ·uj = δjj zu setzen ist. Ferner gilt die Vollständigkeitsbeziehung
exp iq·(r−r ) = δ(r−r′ ).
V q
Beim Einsetzen der Feldoperatoren Â(r, t) und π̂(r, t) in den Energieoperator
1
Ĥ =
2
Z h Z h
i
2 i 3
∂ Â 2 1
1 ˆ2
1
1
3
2
+ (∇ × Â) d r =
∇ × Â(r, t)
ε
~π (r, t) +
dr
∂t
µ
2
ε
µ
ergibt sich bei Verwendung der Vertauschungsrelationen für die Erzeugungs- und Vernichtungsopera3
toren c+
j (q, t) und cj (q, t) die Form einer Summe aus 2N ungekoppelten harmonischen Oszillatoren,
die durch die beiden Indizes j und q abgezählt werden,
Ĥ =
2 X
X
j=1 q
1 +
hνj (q) cj (q, t)cj (q, t) + 1 .
2
1
2
Jeder einzelne Oszillator hat die äquidistanten Energieeigenwerte hνj (q) nj (q) +
mit den Besetzungszahlen nj (q) = 0, 1, 2, . . . die angeben, wieviele Photonen der Energie hνj (q) = vh̄|q| und mit
dem Impuls h̄q im Grundgebiet V vorhanden sind.
Der Energieoperator ist mit dem Feldoperator Â(r, t) und damit ebenfalls mit der elektrischen
Feldstärke und der magnetischen Induktion nicht vertauschbar. Die elektromagnetischen Felder und
die Anzahl der Photonen
2 X
2 X
X
X
+
n̂j (q)
cj (q, t)cj (q, t) =
j=1 q
j=1 q
sind wegen [c+ c, c] = −c und [c+ c, c+ ] = c+ nicht gleichzeitig scharf meßbar.
Der Beweis für den Feldoperator Ĥ, wie er sich aus der Form der Operatoren Ȧ und ∇ × A ergibt,
wird einfach, wenn man die folgendenZ Zusammenhänge
berücksichtigt.
Z
1
1 ˆ2 3
(∇ × A)2 d3r.
~π d r =
⊲ Die beiden Integrale sind gleich
ε
µ
1
⊲ Für die ebenen Wellen ϕq (r) = √ exp {iq · r}
V
gelten die Orthonormalitäts- und Vollständigkeitsbeziehungen
Z
X
′
3
1
ϕq (r)ϕ∗q (r′ ) = δ(r − r′ ).
exp i(q − q) · r d r = δqq′ und
hϕq |ϕq′ i =
V V
q
⊲
q2
Es gilt die Dispersionsbeziehung 2πνj (q) = v|q| bzw.
= v 2 q2 = 4π 2 νj2 (q).
εµ
⊲ Zu berücksichtigen sind nur Terme mit der gleichen Anzahl von Erzeugungsoperatoren c+
j (q, t)
⊲
und Vernichtungsoperatoren cj (q, t).
Wegen ∇ · A = 0 handelt es sich um Transversalwellen mit q · uj (q) = 0 mit der Folge
q × uj (q) · q × uj (q) = q2 u2j (q) = q2 .
6.2 Elektron-Photon-Wechselwirkung
Bei der Wechselwirkung der quantisierten elektromagnetischen Wellen, also der Photonen, mit freien
oder gebundenen Atomen geht man von der Lorentz-Kraft aus, die die elektromagnetischen Felder E
und B auf die als geladene Massenpunkte idealisierten Elektronen ausüben.
Im Rahmen der klassischen Mechanik bewegt sich eine Punktladung der Masse m und der Ladung
e auf einer Bahnkurve r(t), die bei gegebenen E und B durch die Lorentz-Kraft
mr̈ = e(E + ṙ × B)
bestimmt ist. Die Ladungen und Ströme, die die Felder E und B erzeugen, seien vom Ort der untersuchten Materie weit entfernt, sodass hier nur die Ladungen und Ströme der betrachteten Punktladungen eine Rolle spielen. Wir verwenden die elektrodynamischen Potenziale A und φ mit B = ∇ × A
und E = −Ȧ − ∇φ in Strahlungseichung mit φ = 0 und ∇ · A = 0, vergl. Abschn. 6.1, also
B = ∇ × A und E = −Ȧ.
Im nichtrelativistischen Fall ergibt sich die Bahnkurve r(t) freier Teilchen aus der Lagrange-Funktion
L(r, ṙ) =
m 2
ṙ + eṙ · A und den Euler-Lagrange-Gleichungen
2
d ∂L
∂L
−
= 0.
∂r
dt ∂ ṙ
∂L
= mṙ + eA und die Hamilton-Funktion ist
∂ ṙ
2
m
1
m
p − eA .
H(r, p) = ṙ · p − L(r, ṙ) = mṙ2 + eṙ · A − ṙ2 − eṙ · A = ṙ2 =
2
2
2m
Geht man davon aus, dass sich das Elektron in einem effektiven Einteilchenpotenzial v(r) bewegt,
welches von den gebundenen Atomen verursacht wird, so lautet die Einelektronenenergie mit der Elektronenmasse me
2
1
H=
p − eA + v(r).
2me
Der zu r kanonisch konjugierte Impuls ist p =
h̄
Beim Übergang zur Quantenmechanik ist der Impulsoperator p = ∇ einzusetzen und die Energie
i
der freien elektromagnetischen Felder nach Abschn. 6.1 hinzuzufügen. Der Energieoperator beschreibt
dann das Elektron, die elektromagnetische Strahlung und die Wechselwirkung zwischen beiden
2
1 h̄
∇ − eA + v(r) +
H=
2me i
2
1 h̄
∇ − eA + v(r) +
=
2me i
Z
1 ε0 E2 +
2
Z
1 h
ε0 Ȧ2 +
2
1 2 3
B dr
µ0
i
1
2
(∇ × A) d3r.
µ0
Vernachlässigt man den kleinen Term mit A2 , so erhält man wegen ∇ · A = 0 für den gemischten Term
↓
1 h̄ eh̄
1 h̄ − e (∇ · A + A · ∇) =
− e (A · ∇ + ∇· A +A · ∇) = −
A · ∇,
2me
i
2me
i
ime
wobei der Pfeil auf dem Term ∇ · A anzeigt, dass der Operator ∇ nur das A differenziert, und es folgt
Z
i
1
eh̄
1 h
h̄2
2
2
ε0 Ȧ +
∆ + v(r) −
A·∇
(∇ × A) d3r
+
H =−
2me
im
2
µ0
|
| e{z }
{z
}
{z
}
|
Kristallelektron
Elektron-Licht-WW
freies Strahlungsfeld
ein Einelektronen-Energieoperator aus drei Teilen, mit einem Teil HKE des Kristallelektrons, einem
Teil HEL der Elektron-Licht-Wechselwirkung und einem Teil HL des freien Strahlungsfeldes.
Der Übergang zu dem Vielelektronensystem und einem quantisierten Strahlungsfeld ist nun mit
dem Teilchenzahlformalismus einfach. Wir schreiben den Operator im Fock-Raum der Elektronen und
Photonen
Ĥ = ĤKE + ĤEL + ĤL
mit dem Operator der Kristallelektronen und den Teilchenzahloperatoren a+
nk , ank der Bloch-Zustände
ĤKE =
BZ
XX
n
En (k)a+
nk ank
k
1
exp {ik · r} un (k, r),
mit |nki = ψn (k, r) = √
3
N
dem Operator des freien Strahlungsfeldes mit den Teilchenzahloperatoren der Photonen c+
j (q), cj (q)
ĤL =
2 X
X
j=1 q
1 +
hνj (q) cj (q, t)cj (q, t) + 1
2
und dem Operator der Elektron-Photon-Wechselwirkung und dem Operator  des Vektorpotenzials
HEL
2
eh̄ 1 X X
√
=−
ime 2 j=1 q
s
h 1
h̄
√ exp {iq · r} uj (q) · ∇cj (q, t)
2πε0 νj (q)
V
i
1
+
+ √ exp {−iq · r} uj (q) · ∇cj (q, t) .
V
Dieser Operator ist zunächst nur für die Photonen ein Teilchenzahloperator, in Bezug auf die Elektronen
aber ein Einelektronenoperator. Er lässt sich jedoch nach Abschn. 5.1 direkt in einen Fock-Operator
mit den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der Bloch-Zustände a+
nk , ank umschreiben
XX
Elekt
Ĥ
=
hnk|H Elekt |n′ k′ ia+
nk an′ k′ ,
n,k n′ ,k′
und man erhält
ĤEL
i
X X Xh
+
+
+
′
′
′
′
=
M (n, k; n , k ; j, q)ank an′ k′ cj (q, t) + M (n, k; n , k ; j, −q)ank an′ k′ cj (q, t)
n,k n′ ,k′ j,q
mit dem Übergangsmatrixelement zwischen den Bloch-Zuständen |nki = ψn (k, r)
eh̄ 1
√
M (n, k; n , k ; j, q) = −
ime 2
′
′
s
′ ′
1
h̄
nk √ exp {iq · r} uj (q) · ∇n k .
2πε0 νj (q)
V
Hier bezeichnen also a+
nk und ank die Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren für ein Elektron im
Bloch-Zustand ψn (k, r) mit der Energie En (k) und c+
j (q, t) bzw. cj (q, t) die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für ein Photon der Energie hνj (q) mit dem Impuls h̄q und der Dispersionsbeziehung
νj (q) = c|q|/2π, wobei c die Lichtgeschwindigleit bezeichnet. Die Vektoren uj (q) mit q · uj (q) = 0
geben die Amplituden und die Polarisation senkrecht zum Wellenvektor q an.
Zur Veranschaulichung betrachten wir einen Laserstrahl, der von einem Resonator erzeugt wird,
und der aus einzelnen diskreten Linien, den sogenannten Moden besteht. Seien n1 , n2 , . . . die Besetzungszahlen der Bloch-Zustände und l1 , l2 . . . die der Photonenzustände, so sind die Teilchenzahlzustände für den Operator Ĥ = ĤKE + ĤEL + ĤL durch |nli = |n1 n2 . . . l1 l2 . . .i gegeben mit
P +
P
a
|nli
=
Anzahl
der
Elektronen
und
hnl|
hnl| n a+
n n
l cl cl |nli = Anzahl der Photonen.
˙
ˆ zu
Der Erwartungswert der elektrischen Feldstärke berechnet sich wegen Ê = −Â = − 1ε ~π
1 ˆ nli = 0,
hÊi = hnl|Ê|nli = hnl − ε ~π
ˆ nur einzelne Photonenzahloperatoren mit hnl|c (q, t)|nli = 0 = hnl|c+ (q, t)|nli
weil der Operator ~π
j
j
enthält. Jedoch ergibt sich für die Streuung bei der Messung der elektrischen Feldstärke
(∆Ê)
2
2 2
= nl (Ê − hÊi1 ) nl = nlÊ nl .
Der Ausdruck ist für jede einzelne Mode proportional zu 2lν + 1 mit lν = 0, 1, 2, . . ., also von Null
verschieden.
Anwendungsbeispiel: Elektronische Interbandübergänge
Bei der Interpretation der Energiebänder En (k) der Kristalle als Einelektronenenergieniveaus muss
man verschiedene Anregungsprozesse unterscheiden. Bei quasistatischen elektrischen Feldern E, die
zur Beschleunigung von Elektronen und zur elektrischen Leitung führen, ändert sich der Bloch-Zustand
quasistetig von ψn (k, r) nach ψn (k′ , r). Bei der Absorption eines Photons hinreichender Energie, wird
aber ein Elektron im Zustand ψV (k, r) aus dem Valenzband entfernt und in einen Zustand ψL (k, r) im
Leitungsband angeregt, wobei ein Loch im Valenzband zurückbleibt.
Bei der Photoemission wird andererseits ein Elektron aus einem Zustand ψV (k, r) im Valenzband
entfernt und befindet sich anschließend außerhalb des Kristalles. Die drei Vorgänge haben unterschiedliche Endzustände und entsprechende Experimente zur Bestimmung der Energiebänder sind nicht
unmittelbar vergleichbar.
So gibt es z.B. bei der elektrischen Leitfähigkeit auch Streuprozesse der Leitungselektronen untereinander, und bei der Absorption eines Photons entsteht ein Elektron-Loch-Paar, wobei zwischen
Elektron und Loch eine anziehende Wechselwirkung existiert. Beides hängt mit dem KoopmansTheorem zusammen, wonach die Energiebänder zwar die Photoemission bis auf die Austrittsarbeit an
der Oberfläche beschreiben, für die inneren Anregungen im Festkörper aber Korrekturen erforderlich
sind.
Wir setzen voraus, dass der Operator der Wechselwirkung zwischen Elektronen und dem Licht ĤEL nur
eine kleine Störung des durch den Operator Ĥ0 = ĤKE + ĤL beschriebenen ungestörten Systems verursacht. Die elektromagnetische Welle kann dann mit der zeitabhängigen Störungsthoerie berücksichtigt
werden, und die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit für einen Übergang vom Anfangszustand
|ai in einen Endzustand |ei von Ĥ0 lässt sich mit der Goldenen Regel der Quantenmechanik berechnen
Wae
2
2π ′
′
=
. . . Nnk . . . ; . . . Mjq . . . ĤEL . . . Nnk . . . ; . . . Mjq . . . δ |Ea − Ee | ,
h̄
′
′
. . . ; . . . Mjq
. . .i den
wobei Ea den Anfangszustand |ai = | . . . Nnk . . . ; . . . Mjq . . .i und |ei = | . . . Nnk
Endzustand von Ĥ0 bezeichnen, mit den Besetzungszahlen Nnk für die Bloch-Zustände und Mjq für
die Photonen. Wir gehen davon aus, dass reichlich Licht eingestrahlt wird, so dass sich das Photonenreservoir durch einen Absorptions- oder Emissionsprozess praktisch nicht verändert.
Beim Einsetzen des Elektron-Licht Wechselwirkungsoperators ĤEL betrachten wir nur den einen
Summanden mit a+
n′ k′ ank cj (q), der die Absorption eines Photons der Energie hνj (q) beschreibt, und erhalten für die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit für ein Elektron vom Bloch-Zustand ψn (k, r)
in einen Zustand ψn′ (k′ , r) mit dem Übergangsmatrixelement
Wnk,n′ k′
2
h̄
2π X e2 h̄2
′ ′ 1
=
n k √ exp {iq · r} uj (q) · ∇nk 2
h̄ j,q 2me 2πε0 νj (q)
V
× δ |En′ (k ) − En (k)| − hνj (q) .
′
Setzt man in das Integral die Bloch-Funktionen |nki = ψn (k, r) ein,
I=
Z
V
1
ψn∗ ′ (k′ , r) √ exp {iq · r} uj (q) · ∇ψn (k, r) d3r,
V
so kann man die Integration über das Grundgebiet V = N 3 Ω zerlegen in eine Integration r1 über die
Elementarzelle Ω und in eine Summe über die durch einen Gittervektor R abgezählten Elementarzellen,
indem man r = R + r1 setzt und die Bloch-Bedingung
ψn (k, r) = ψn (k, r1 + R) = exp {ik · R} ψn (k, r1 )
beachtet. Dann lässt sich die Summe über die N 3 Gittervektoren R in V separat ausführen
I=
V Z
X
R
∗ ′
1
exp i(k − k + q) · R ψn′ (k , r1 ) √ exp {iq · r1 } uj (q) · ∇ψn (k, r1 ) d3r1 ,
V
Ω
′
die wegen
V
1 X
′
exp
i(k
−
k
+
q)
·
R
= δk′ −k,q
N3
R
nur für k′ − k = q + G nicht verschwindet, wobei G einen reziproken Gittervektor bezeichnet.
Nun sind die Ausbreitungsvektoren der Elektronen am Rande der Brillouin-Zone etwa |k| = 2π/a,
mit der Gitterkonstanten a in der Größenordnung einiger Å, z.B. a = 5, 43 Å bei Silicium. Photonen
haben bei Energien von weniger als 10 eV viel größere Wellenlängen λ > 1 µm = 104 Å ≫ a und
Wellenvektoren |q| = 2π/λ ≪ |k| außer in einer kleinen Umgebung des Γ-Punktex bei k = 0. Deshalb
finden optische Übergänge zwischen verschiedenen Bändern in erster Näherung der Störungstheorie
nur bei k′ = k statt, was auch als k-Auswahlregel bezeichnet wird. Intrabandübergänge innerhalb
eines Energiebandes sind in dieser Näherung verboten. Betrachtet man den zweiten Term von ĤEL , so
findet man die gleiche Auswahlregel auch für Emissionsvorgänge.
Die Elementarprozesse der Absorption bzw. Emission eines Photons sind also
hνj (q)
′
EV (k)
e−
e−
EL (k )
hνj (q)
EL (k)
e−
e
−
Energiesatz
Impulssatz
EV (k) + hνj (q) = EL (k′ )
h̄k + h̄q = h̄k′ ≈ h̄k
Energiesatz
Impulssatz
EL (k) = EV (k′ ) + hνj (q)
h̄k = h̄k′ + h̄q ≈ h̄k′ ,
EV (k′ )
und es gelten die Erhaltungssätze von Energie und Impuls.