Vorkurs Mathematik ¨Ubungen zur Vektorrechnung

Vorkurs Mathematik
Übungen zur Vektorrechnung
Als bekannt setzen wir die folgenden Rechenregeln voraus:




 
a1 + x1
x1
a1
 a2 + x2 
 a2   x2 




 
=
~a + ~x
=  . + . 

..
.
.


 .   . 
.

< ~a, ~x >


<

=
a n + xn
xn
an
a1
a2
..
.
 
 
 
,
 
an
x1
x2
..
.



 > = a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn

=
k~ak
=

b2 y3 − b3 y2
=  b3 y1 − b1 y3 
b1 y2 − b2 y1

 
b1
y1
 b2  ×  y 2 
y3
b3
√
für a, x ∈ Rn
xn


~b × ~y
für a, x ∈ Rn
< ~a, ~a > =
p
a21 + a22 + · · · + a2n
für b, y ∈ R3
für a ∈ Rn
Zwei Vektoren ~a und ~b stehen senkrecht zueinander, genau dann wenn < ~a, ~b >= 0 gilt.
1
Vektoren
Aufgabe 1.1 Sortieren Sie die folgenden Vektoren nach ihrer Grösse
 
2
1
22
~


a) ~a = 2
b) b =
c) ~c =
−π
−13
0
 


 
−3.4
√7
0
 9
 0.25 


e) ~e = 
f) f~ = 
d) d~ =  13 
 0 
cos(0)
2.5
12
14
Aufgabe 1.2 Gegeben seien ~a =
a)
h~a, ~ai
b)
h~a, ~bi
3
2
und ~b =
c) h~a, ~a + ~bi
1
−1
4
. Berechnen Sie:
Aufgabe
und durch eine Zeichnung klar, dass der
1.3Machen Sie durch eine
Rechnung
−y
x
Vektor
immer senkrecht auf
steht.
x
y
Aufgabe 1.4 Bestimmen Sie den Winkel α zwischen:
   
2
1
1
−3




2 , 1
a)
b)
,
−π
4
0 0 22
1
4
3
c)
,
d)
,
−13
1
−3
4
Aufgabe 1.5 Bestimmen Sie die Komponente a2 so, dass die Vektoren




2
−3
~a =  a2  und ~b =  3 
1
−3
senkrecht aufeinander stehen. Wie groß ist der Abstand ||~b − ~a|| zwischen ihnen?



2
−1
Aufgabe 1.6 Berechnen Sie das Kreuzprodukt von ~a =  2  und ~b =  1 . Testen
−2
−3
Sie, ob ~a × ~b wirklich senkrecht auf ~a und auf ~b steht indem sie h(~a × ~b), ~ai und h(~a × ~b), ~bi
berechnen.

Aufgabe 1.7 Berechnen Sie das Kreuzprodukt ~a × ~b für
 
 
 
 
0
2
2
4
a) ~a = −3 , ~b = −1
b) ~a = −1 , ~b = −1
5
1
2
2
2
c)
 
 
−2
−3
~a =  2 , ~b =  1
−4
2
2
Lösungen
Lösungen für Aufgabe 2.1
√
(a) k ~a k= 8
√
√
(b) k ~b k= 1 + π 2 ≈ 10
√
(c) k ~c k= 653
q
(d) k d~ k= 229
36
(e) k ~e k=
√
254
q
(f) k f~ k= 11.56 +
1
16
+ 145 ≈
√
157
~
Somit gilt die Reihenfolge: ~c, ~e, f~, ~b, ~a, d.
Lösungen
2.2
für
Aufgabe
3
3
a) h
,
i = 13
b)
2
2
3
−1
h
,
i=5
2
4
c)
3
2
h
,
i = 18
2
6
Lösungen für Aufgabe 2.3
Zwei Vektoren~v , w
~
∈ R2 sind
dann
zu einander, wenn gilt: h~v , wi
~ = 0. Für
genau
senkrecht
−y
x
−y
x
die Vektoren
und
gilt: h
,
i = −y · x + x · y = 0. Also sind diese
x
y
x
y
zwei Vektoren stets senkrecht zu einander.
Lösungen für Aufgabe 2.7
(a) α = arccos √24√8 = 0
(b) α = arccos
−(3+4π)
√
5 1+π 2
≈ 0.9π
(c) α = arccos () √2√9 653 ≈ 0.4π
(d) α = arccos (0) = π.
Lösungen für Aufgabe 2.5 Es gilt:
* −3   2 +
 a2  ,  3  = −9 + 3 · a2
−3
1
Damit die beiden Vektoren senkrecht sind muss also gelten: −9+3a2 = 0, dies gilt für a2 = 3.
Für den Abstand folgt:

 
 

2
−3 5 √
p
~
 3  −  3  =  0  = 52 + 42 = 41
b − ~a = −3
1 −4 3
Lösungen für Aufgabe 2.6
Berechnung des Kreuzproduktes:

 
 
 

−1
2
2 · (−2) − (−3) · 1
−1
~a × ~b =  2  ×  1  =  (−3) · 2 − (−1) · (−2)  =  −8 
−3
−2
(−1) · 1 −
2·2
−5
Um zu prüfen ob ~a × ~b senkrecht auf ~a steht, prüfen wir, ob h~a × ~b, ~ai = 0 gilt:
* −1   −1 +
 −8  ,  2  = (−1) · (−1) + (−8) · 2 + (−5) · (−3) = 1 − 16 + 15 = 0
−5
−3
Die Vektoren ~a × ~b und ~a sind also senkrecht zu einander.
Das selbe für h~a × ~b und ~b ergibt:
* −1   2 +
 −8  ,  1  = (−1) · (2) + (−8) · 1 + (−5) · (−2) = 2 − 8 + 10 = 0
−5
−2
Die Vektoren ~a × ~b und ~b sind also senkrecht zu einander.
Lösungen für Aufgabe 2.7
 
2
(a) ~a × ~b = 10
6
 
0
(b) ~a × ~b = 4
2
 
8
(c) ~a × ~b = −8.
4
4