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A
Lineare Algebra I
Technische Universität Darmstadt
Fachbereich Mathematik
für M, LaG, LaB, Inf, WInf WS 2001/2002
Prof. Dr. Alexander Martin
Armin Fügenschuh
Peter Maier
11.12./12.12.2001
7. Tutorium
Kreuz- und Spatprodukt
In vielen geometrischen und physikalischen Anwendungen der Vektorrechnung im R3 begegnet man der
Aufgabe, zu zwei gegebenen räumlichen Vektoren einen dritten zu finden, der auf beiden senkrecht steht.
In diesem Tutorium wollen wir eine Vektormultiplikation studieren, mit der dieses Problem gelöst werden
kann. Grundlage ist dabei das Kapitel 2.7. des Skripts, welches nicht in der Vorlesung behandelt wurde.
T19 Lesen Sie die Definition 2.7.1. und berechnen Sie v × w für v := (1, 1, 2)T und w := (2, −1, 3)T .
Ein wichtiger Unterschied zwischen Skalar- und Kreuzprodukt besteht darin, dass die Skalarmultiplikation
eine Zahl erzeugt, während das Kreuzprodukt einen Vektor liefert. Durch die folgende Aufgabe wird die
Beziehung zwischen den beiden hergestellt und verdeutlicht, dass v × w senkrecht auf v und w steht.
T20 Für Vektoren u, v und w im R3 gilt:
a)
b)
c)
d)
hu, u × vi = 0, d.h. u × v steht senkrecht auf u;
hv, u × vi = 0, d.h. u × v steht senkrecht auf v;
||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 − hu, vi2 (Lagrange-Identität);
u × v = −v × u (Anti-Kommutativität).
Das Kreuzprodukt hat eine nützliche geometrische Bedeutung, welche wir uns nun erarbeiten wollen.
T21
a) Seien u und v Vektoren im R3 und θ der Winkel zwischen ihnen. Dann gilt: ||u × v|| =
||u||||v||sinθ.
b) Seien u und v Vektoren im R3 , so ist ||u × v|| der Flächeninhalt des von ihnen aufgespannten
Parallelogramms.
Zur Entspannung ein paar Aufgaben, die das soeben gelernte Wissen zur Anwendung bringen.
T22
a) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten P1 := (1, −1, 2)T , P2 :=
(7, 4, 3)T , P3 := (5, 2, 1)T .
b) Lässt sich t ∈ R so bestimmen, dass der Vektor (1, t, 6)T senkrecht auf den Vektoren (1, 1, −1)
und (2, −4, 3) steht?
c) Es seien A := (1, 1, 1)T und B := (0, −1, 1)T Punkte und E die Ebene, die den Ursprung sowie A
und B enthält. Man bestimme einen Punkt C auf der Geraden durch den Ursprung, die senkrecht
q
zur Ebene E verläuft so, dass das Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C den Flächeninhalt
hat.
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Mittels des Kreuzproduktes lässt sich nun das Spatprodukt definieren.
T23 Lesen Sie die Definition 2.7.6. und berechnen Sie das Spatprodukt von u := (1, 4, −4)T , v := (0, 3, 2)T ,
w := (3, −2, −5)T .
Die folgende Aufgabe macht klar, wie das Spatprodukt zu seinem Namen kam. Der Betrag des Spatprodukts ist gleich dem Volumen des von den beteiligten Vektoren aufgespannten Spats.
T24 Das Volumen des von u, v, w im R3 aufgespannten Spats ist gegeben durch |hu × v, wi|.