Mathematik für Physiker I - Uni Hannover

Vorlesungsmitschrift
bei Herrn Dr. Lars Schäfer
Mathematik für Physiker I
erstellt von:
Daniel Edler, Oleg Heinrich
II
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Maß- und Integrationstheorie
1.1 Meßräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Elementare Eigenschaften von Maßen . . . . . .
1.2.2 Fortsetzung von Maßen . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Das Lebesque Maß auf Rn . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Charaktereisierung Lebesgue-mesbarer Mengen
1.3 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Eigenschaften eines Semiraums . . . . . . . . .
1.4 Konvergenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Das Integral positiver Funktionen . . . . . . . . . . . .
1.6 Vergleich mit anderen Integralbegriffen . . . . . . . . .
1.7 Die Lp - Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Prduktmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
6
6
8
10
12
12
13
18
23
24
25
31
2 Die Transformationsformel
2.1 Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 10.2 Der Umkehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
38
41
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Dieses Dokument wurde mit LATEX am 22. Januar 2012 um 20:25 gesetzt und steht
(Zitate ausgenommen) unter der Lizenz cc-by-sa-nc (Namensnennung, Weitergabe unter gleichen
Bedingungen, Nicht kommerziell)
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
Vorwort
Themengebiete für beide Semester1
• Lebesguesche Funktionenräume und Konvergenzsätze
• Differentialformen und Integralsätze
• Fourieranalysis
• Lineare partielle Differentialgleichungen
• Elemente der Funktionentheorie
Dieses Dokument ist eine Vorlesungsmitschrift der Mathematik für Physiker I aus dem Wintersemester 2011/12 gehalten von Herrn Dr. Lars Schäfer. Es stellt eine Mitschrift im reinsten Sinne dar, da es in der Vorlesung
mitgeteXt worden ist und später nur die compiler-error behoben wurden
sind.
Dieses Dokument wird unter http://www.muk.uni-hannover.de/~edler/
uni für nicht kommerzielle Zwecke zum Download bereitgestellt.
1 Maß- und Integrationstheorie
Zur Wiederholung:
Riemann-Integral:
Man bildet Partialsummen auf f : [a, b] ⊆ R → R
Pn
k=0 f (xk )(tk − tk−1 ), a = t0 < t1 < . . . < tn = b
1.1 Meßräume
Definition 1.1
Sei X eine nichtleere Menge. Ein nichtleeres System von Teilmengen R von X heißt:
(i) Mengenring: ⇔ sind A, B ∈ R, so sind auch A ∪ B ∈ R ∧ A ∩ B ∈ R
(ii) Mengenalgebra über X: ⇔ sind A, B ∈ R so sind auch X\A ∈ R ∧
A∪B ∈R
(iii) σ-Algebra über X: ⇔
(a) Ist A ∈ R, so ist auch X\A ∈ R
(b) Sind Ai ∈ R, i ∈ N, so ist
S
i∈N
Ai ∈ R
Die Elemente einer σ-Algebra R heißen meßbare Mengen. Das Paar (X, R) heißt
Meßraum (meßbarer Raum)
1
Auszug aus dem Modulkatalog Physik SoSe 2011 der Leibniz Universität Hannover
1
2
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
Satz 1.2 (i) Für jede Mengenalgebra A gilt:
X ∈ A, ∅ ∈ A und A, B ∈ A
⇒
A ∩ B ∈ A, A ∪ B ∈ A
(ii) Jede Mengenalgebra ist ein Mengenring.
(iii) Ein Mengenring ist genau dann eine Mengenalgebra wenn X ∈ A Beweis:
(i) Sei A eine Mengenalgebra über X und A, B ∈ A
A ∩ B, A\B ∈ A
A ∩ B = X\(X\A ∪ X\B
A\B = X\(X\A ∪ B)
(ii) Folgt aus (i)
(iii) “⇒” ist (i)
“⇐” X ∈ A, A ∈ A ⇒ X\A ∈ A
A, B ∈ A
⇒A∪B ∈A
q.e.d.
Satz 1.3
Sei A eine σ-Algebra
(i) Sind A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A
(ii) Sind Ai ∈ A, i ∈ N, so folgt:
Beweis:
(i) A ∪ B = A ∪
(ii)
T
i∈N
S
i>1
T
i∈N
Ai ∈ A
B
S
S
Ai = X\( i∈N X\Ai ) ∈ A mit Ai ∈ A ∧ ( i∈N X\Ai ) ∈ A
Beispiel 1.4 (a) Das Mengensystem {∅, X} ist eine σ-Algebra über X
(b) Die Potenzmenge P(X) ist eine σ-Algebra über X
(c) Das System aller endlichen Teilmengen von X ist ein Mengenring. Dies ist eine
Mengenalgebra, falls X eine endliche Menge ist.
(d) Sei A eine σ-Algebra über X und Y ⊆ X eine Teilmenge. Dann ist
B = {B ∈ Y |B = Y ∩ A für ein A ∈ A} eine σ-Algebra. Man nennt B die Spur
von A in Y oder die induzierte σ-Algebra
(e) Sei f : X → Y eine Abbildung und A eine σ-Algebra über X
Sei f : X → Y eine Abbildung und B eine σ-Algebra über Y
Dann sind f∗ A := {B ⊆ Y |f −1 (B) ∈ A}
f ∗ B := {f −1 (B)|B ∈ B}
σ-Algebra auf X bzw. Y .
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
Satz 1.5
Sei M ein nichtleeres System von Mengenalgeba von X.
(i) Dieser Durchschnitt
T
M :=
T
A∈M
A ist Mengenalgebra
T
T
(ii) Der Durchschnitt M := A∈M A ist σ-Algebra, falls jedes A ∈ M eine σAlgebra ist
Beweis: Wird noch später ergänzt.
Definition 1.6
Sei S einTnichtleeres System von Teilmengen von X, so nennen wir
A(S) = {A ⊆ P(X)|(A istTeine Mengenalgebra und S ⊆ A)} die von S erzeugte
Mengenalgebra und Aσ (S) = {A ⊆ P(X)|(A ist eine σ-Algebra und S ⊆ A} die von
S erzeugte σ-Algebra.
3
4
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
Definition 1.7
Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Dann nennt man
B(X) = τσ = Aσ (τ
die Borelmenge in X.
Erinnerung:In der Regel ist (X, d) ein metrischer Raum und τ die von
Bällen erzeugte Topologie (Rn , d(X, Y ) = ||X − Y ||)
Definition 1.8
Seien (X, A) und (Y, B) Meßräume. Eine Abbildung heißt meßbar, wenn für alle B ∈
B f −1 (B) ∈ A gilt.
Lemma 1.9
Seien (X, A), (Y, B), (Z, C), f : X → Y und g : Y → Z meßbar, dann ist g ◦ f meßbar.
Lemma 1.10
Seien (X, A) ∧ (Y, B) Meßräume und C ⊆ P(Y ) mit B = Cσ = Aσ (C). Dann ist
f : X → Y genau dann meßbar, wenn f −1 (B) ∈ A für alle B ∈ C.
Beweis:“⇒” folgt aus der Definition
“⇐” C ⊆ f∗ A = {B ⊆ Y |f −1 (B) ∈ A} dabei ist A eine σ-Algebra.
B = Cσ ⊆ f∗ A
⇒ B ∈ Cσ ⇒ f −1 (B) ∈ A
Folgerung 1
Sei (Y, τ ) ein topologischer Raum, dann ist f : (X, A) → Y gerade dann meßbar
falls f −1 (U ) ∈ A für alle offenen Mengen U meßbar ist. Insbesondere sind stetige
Abbildungen f : (X, τX ) → (Y, τY ) meßbar.
Beweis: B = Aσ (τ )
Satz 1.11
Sei (X, A) ein Meßraum. Es gilt: R := R ∪ {−∞, ∞}
1. Eine Funktion f : X → R ist genau dann meßbar, wenn für jedes a ∈ Q die
Menge f −1 ([a,0]) := {x ∈ X|f (x) > a} meßbar ist.
2. Eine Funktion f : X → Rn ist meßbar, genau dann wenn alle Komponentenfunktionen f1 , . . . , fn : X → R meßbar sind.
3. Die Menge {f : X → Rn | (mit f messbar)} bildet ein R-Vektorraum mit punktweiser Addition und Skalarmultplikation.
4. Ist f : X → Rn meßbar, so ist auch kf k : X → R, x 7→ kf (x)k meßbar. Sind
f, g : X → R meßbar, so ist auch f ◦ g meßbar.
Satz 1.12 1. Sei (fj ) eine Folge meßbarer Funktionen fj : X → R. Dann sind
supj fj , inf j fj , lim inf j→∞ fj , lim supj→∞ fj meßbar. Konvergiert fj punktweise
gegen f, so ist f = limj→∞ fj meßbar.
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
5
2. Seien fj : X → Rn , j ∈ N, meßbar und gilt fj → f ∀x < X. Dann ist f meßbar.
Definition 1.13
Sei (X, A) ein Messraum und sei M eine Menge. Eine Abbildung heißt Stufenabbildung
oder elementar, falls eine
1. f (x) = {m2 , ..., mn },
mi ∈ M, n = 1, . . . , n
2. ∀m ∈ M : f −1 (m) messbar
Beispiel 1.14
Die Dirichletfunktion
(
0, x ∈ Q
f : [0,1] → R, f (x) =
1, x ∈
/Q
ist Stufenabbildung, wobei [0,1] mit der durch die Borelsche σ-Algebra induzierte σAlgebra versehen sein
Satz 1.15
Eine Abbildung f : X → Rm ist genau dann messbar, wenn eine Folge (fk ) elementarer
Abbildungen existiert mit ∀x ∈ X : limk→∞ fk (k) = f (x)
Beweis. “⇐” Nach Definition ist eine Stufenabbildung messbar. Konvergiert (fk ) punktweise gegen f ∀x ∈ X. So ist f als ein Grenzwert messbarer Abbildungen messbar.
“⇒” f messbar. Nach Satz 1.12 (2) dürfen wir k = 1 annehmen. Man setze Ij =
, −n + nj ], 1 ≤ j ≤ 2n2 . Für:
[−n + j−1
n


f (x) ∈ (−∞, −k)
−n,
j−1
n ≥ 1 : fn (x) = n + n , f (x) ∈ Ij


n,
f (x) ∈ (n, ∞)
Mittels Satz 1.12 ist fn elementar. Sei x ∈ X, so dass |f (x)| < n, so exisitert ein j mit
x ∈ Ij und j ≤ 2n2 . Damit folgt
|fn (x) − f (x)| <
d.h.
1
,
n
fn (x) → f (x) für n → ∞
Satz 1.16
Sei f : X → [0, ∞] eine messbare Funktion. Dann exisitert eine monoton wachsene
Folge (∀x ∈ X)
f1 ≤ f2 ≤ . . .
von Stufenfunktionen, die punktweise gegen f konvergiert und damit f = supj∈N fj .
6
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
Beweis. j ∈ N sei
(
k − 1/2j , falls k−1
≤ f (x) <
2j
fj (x) =
j,
f (x) ≥ j
k
,
2j
k < j2j
Damit ist (fj ) eine Folge von Stufenfunktionen mit fj ≤ fj+1 . Wie im Satz 1.15 gilt
fj (x) → f (x).
j→∞
Aus (fj ) monoton wachsend ⇒ limj→∞ fj = f = supj<N fj
1.2 Maße
Zum Messen messbarer Mengen benötigen wir Maße.
Definition 1.17
Sei (X, A) ein Messraum. Ein (positives) Maß auf (X, A) ist eine Abbildung µ : A →
[0, ∞] mit folgenden Eigenschaften:
1. µ(∅) = 0
2. Die Funktion µ ist σ -Additiv. Ist (An ) eine Folge paarweise disjunkter Mengen
Ak ∈ A, so ist
!
∞
X
[
µ(Ak )
µ
Ak =
k∈N
k=1
Ein Maßraum (X, A, µ) ist ein Messraum (X, A) mit einem Mass µ auf (X, A). Eine
Teilgen Y ⊆ X heißt σ-endlich, falls eine folge (Ak ) in A exisitert mit
[
Y ⊆
Ak und µ(Ak ) < ∞
k∈N
Weiter ist µ σ-endlich, falls X σ-endlich ist.
Beispiel 1.18
1. A = {∅, X} Dann kann man µ beliebig wählen
2. A = P(X) und x ∈ X fest. Für A ⊆ X sei
(
1, x ∈ A, Dann ist δ ein Maß
δx (A) =
0, x ∈
/ A, auf P(X)
δ heißt Dirac-Maß. Dann ist Z ein Maß auf P(x) welches Zählmaß heißt
1.2.1 Elementare Eigenschaften von Maßen
Satz 1.19
Sei (X, A, µ) ein Maßraum
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
7
1. Additivität: Für alle A, B ∈ A mit A ∩ B = ∅ gilt
M (A ∪ B) = µ(A) + µ(B)
2. Monotonie: Für A, B ∈ A mit A ⊆ B, µ(A) ≤ µ(B)
3. Für jede Folge (Ak ) in A gilt:
µ
∞
[
!
Ak
≤
∞
X
µ(Ak )
n=1
k=1
4. Für jede Folge (Ak ) in A mit Ak ⊆ Ak+1 ∀k ∈ N gilt:
µ
∞
[
!
Ak
= lim µ(Ak )
k→∞
k=1
5. Für jede Folge (Ak ) mit Ak+1 ⊆ Ak , ∀k ∈ N und µ(A1 ) < ∞ gilt:
µ
∞
\
k=1
!
Ak
= lim µ(Ak )
k→∞
Ohne µ(A1 ) < ∞ ist 5) falsch. Gegenbeispiel Ak = [k, ∞),
∞ µ([a, b]) = b − a
T∞
k∈N
Ak = ∅,
µ(Ak ) =
Definition 1.20
Sei (X, A, µ) ein Maßraum. Eine Teilmenge N ⊆ X heißt Nullmenge, wenn eine A ∈ A
existiert mit N ⊆ A und µ(A) = 0
Lemma 1.21
Die (höchstens) abzählbare Vereinigung von Nullmengen ist eine Nullmenge.
Achtung: Nullmengen sind nicht notwendig messbar
Definition 1.22 • Ein Maßraum ist vollständig, falls jede Teilmenge einer Nullmenge messbar ist. Man kann die σ-Algebra A um die Nullmengen erweitern.
• Man nennt Y ⊆ X µ-messbar, falls Y = N ∪ A für A ∈ A und eine Nullmenge
N . Die Mengen aller µ messbaren Mengen blidet eine σ Algebra Ã. (Übugn)
• Man setzt µ auf à fortseten. µ̃(A ∪ N ) := µ(A) Man prüft leicht, dass µ̃ ein
Maß auf (X, Ã) ist und dass µ̃ = µ auf A. Damit erhält man einen vollständigen
Maßraum (X, Ã, µ̃), die Lebesgue-Komplementierung. Ist (Y, B) Messraum, so
nennt man f : X → Y µ messbar, falls das Urbild messbarer Mengen(in B)
µ-messbar ist.
8
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
1.2.2 Fortsetzung von Maßen
Bezeichen µ ein Prämaß auf der Mengenalgera A. Ziel: Fortsetzung von µ auf Aσ
Definition 1.23
Sei A eine Mengenalgebra über X. Eine positives Maß auf A ist eine Abb. µ : A →
[0, ∞] mit:
1. µ(∅) = 0
2. σ-Additivität:
Sei An eine
paarweise
disjunkter Mengen. WENN
S
S Folge inPA
∞
A
∈
A,
so
gilt
µ
A
=
µ(A
)
Man nennt µ Prämaß auf A
n
n∈N n
n∈N n
n=1
Satz 1.24 (Fortsetzungssatz von Hann)
Sei X eine Menge, A eine Mengenalgebra über X und µ : A → [0, ∞] ein posities Ma0
auf A. Ferner sei X die abzählbare Vereinigung von Mengen aus A. Dann existiert
eine Fortsetzung von µ auf die von A erzeugte σ Algebra Aσ . Für ein A ∈ Aσ
µ(A) = inf
∞
X
µ(An )
n=1
wobei das Infimum über alle Folgen (An ) in der Mengenalgebra A mit A ⊆
gebildet wird. Wenn µ σ-endlich ist, dann ist die Fortsetzung eindeutig
S
n∈N
An
Satz 1.25
(Satz von Hahn) Zum Beweis benötigen wir den folgenden Begriff. Ein äußeres Maß
auf einer Mengenalgebra ist eine Funktion µ : B → [0, ∞]
1. µ∗ (∅) = 0
2. sind A, B ∈ B mit A ⊆ B, µ∗ (A) ≤ µ∗ (B)
3. Für jede Folge (An ) in B gilt µ∗ (
S∞
n=1
An ) ≤
P∞
n=1
µ∗ (An )
Lemma 1.26
Seien die Vorraussetzungen des Satzes von Hahn erfüllt. Für Y ⊆ X sei
∗
µ (Y ) = inf
∞
X
µ(An )
n=1
S
∗
wobei das Infimum über alle Folgen (An ) in A mit Y ⊆ ∞
n=1 An . Dann ist µ ein
äußeres Maß auf der σ-Algebra P(X) und es gilt µ∗ (A) = µ(A) für A ∈ A
Definition 1.27
Man nennt A ⊆ X µ∗ -meßbar, falls für jede Teilmenge Z ⊆ X gilt
µ∗ (Z) = µ∗ (Z ∩ A) + µµ∗ (Z \ A)
Definition 1.28
Sei µ∗ ein äußeres Maß auf P(X) und bezeichne M das System der µ∗ -meßbaren Mengen
von X. Dann ist M eine σ-Algebra und µ∗ ein Maß auf M
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
9
Beweis. siehe zum Beispiel Bröcker Analysis II
Beweis. (von Lemma 2.8) zuerst zeigen wir: µ∗ (A) = µ(A) für alle A ∈ A. Sei A ∈ A,
dann gilt µ∗ (A) ≤ µ(A)
S wegen A = A ∪ ∅ ∪ ∅ . . . Sei nun ε > 0. Wir wählen eine Folge
(An ) in A mit A ⊆ An für n ∈ N und
∞
X
µ(An ) ≤ µ∗ (A) + ε
n=1
Folge existiert nach nach Vorraussetzung. Wegen A =
µ(A) ≤
∞
X
S∞
n=1 (A
∩ An ) folgt
µ(A ∩ An ) ≤ µ∗ (A) + ε
n=1
Es gilt ∀ε > 0 ⇒ µ(A) = µ∗ (A). Die Eigenschaften 1. und 2. prüft man direkt.
Sei ε > 0 und (Yj ) eine Folge von Teilmengen von X und (Ajn )n∈N eine Folge in A mit
1. Y⊆
2.
S
P∞
n∈N
n=1
Ajn
µ(Ajn ) ≤ µ∗ (Yj ) +
ε
2
Damit Yi = ∪j∈N Yj ⊆ ∪n,j∈N Ajn und es gilt
∗
µ (Y ) ≤
∞
X
µ(Ajn )
=
n,j=1
Dies zeigt µ∗ (Y ) ≤
P∞
j=1
∞
X
µ∗ (Yj ) + ε
j=1
µ(Yj ). Dies ist Eigenschaft 3.
Beweis. (Satz von Hahn) Zur Existenzaussage muss man Aσ ⊆ M zeigen. Sei A ∈ A
und Z ⊆ X Teilmenge. Dann folgt
µ∗ (z) ≤ µ∗ (A ∩ Z) + µ∗ (Z \ A)
äußeres Maß.
Zur Umkehrung: sei ε > 0 und (An ) Folge in A mit
Z⊆
[
An
n∈N
und
∞
X
n=1
µ(An ) ≤ µ∗ (Z) + ε
10
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
Dann ist Z ∩ A ⊆
S
n∈N (A
∗
∩ An )
∗
µ (Z ∩ A) + µ (Z \ A) ≤
=
∞
X
n=1
∞
X
µ(An ∩ A) +
∞
X
µ(A\ A)
n=1
µ(An ) ≤ µ∗ (Z + ε)
n=1
ε beliebig. Das zeigt die Existenz. (σ-Endlichkeit nicht verwendet.)
Zur Eindeutigkeit: Sei µ das gerade Konstruierte Maß und bezeichnen ν ein weiteres
Maß, welches
µ(A) = ν(A) ∀A ∈ A
erfüllt.
S
σ-Endlichkeit: ∃ Folge (An ) in A mit X = ∞
n=1 An und (An ) < ∞
Es genügt zu zeigen: ∀Y ∈ M : µ(Y ∩An ) = ν(Y ∩An ) zu zeigen ist also: hat A ∈ A ein
endliches
so folgt µ(A ∩ Y ) = ν(A ∩ Y ). Nach Definition gilt:
S µ(Y ) =
P∞ Maß und y ∈PM,
∞
µ(An ) = inf n=1 ν(An ) Infimum über alle Folgen in A mit Y ⊆ n∈N An ).
inf n=1P
ν(Y ) ≤ ∞
n=1 µ(An ) folgt aus ν(Y ) ≤ µ(Y ). Selbes gilt für ν(Y \ Y ) ≤ µ(Y \ Y ).
Aus Y ⊆ Y und Y ∈ M:
µ(A) = ν(A) = ν(A \ Y ) + ν(Y ) ≤ µ(A \ Y ) + µ(Y ) = µ(A)
Überall gilt Gleichheit, also ist µ(Y ) = ν(Y ).
1.2.3 Das Lebesque Maß auf Rn
Seien a, b ∈ Rn und es gelte ai ≤ bi , i = 1, . . . , n wir setzen Q(a, b) = [a1 , b1 [× · · · ×
[an , bn [ und Q(a, b) halboffenen Quader. ∅ = Q(a, a)
Def: Sei A das System aller Teilmengen des Rn die Vereinigung von endlich vielen,
paarweise disjunkten halboffenen Quadern.
Lemma 1.29
A ist eine Mengenalgebra
Beweis: Q
Übung. Für einen Quader Q = Q(a, b) = [a1 , b1 [× · · · × [an , bn [ setzen wir
λ(Q) = ni=1 (bi − ai )
Lemma 1.30
Sei Q ein halboffener Quader, welcher die disjunkte Vereinigung Q = Q1 t · · · t Qk von
halboffenen Quadern ist. Dann gilt:
λ(Q) =
n
X
n=1
λ(Qi )
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
11
P
Sei A ∈ A setzen wir λ(A) = ki=1 λ(Qi ), falls A : Q1 t · · · t Qk . Nach Lemma 2.10 ist
dies unabhängig von der Wahl der Zerlegung in halboffene Quader. Also erhalten wir
eine Abbildung λ : A → [0, ∞]
Satz 1.31
λ ist positives Maß auf der Mengenalgebra A. λ ist σ-endlich.
Bezeichne:
Aσ die von A erzeugte σ-Algbra. Nach dem Satz von Hahn existiert eine eindeutige
Fortsetzung von λ auf Aσ .
λ : Aσ → [0, ∞]
Satz 1.32
Jede offene Teilmenge U ⊆ Rn ist eine Vereinigung abzählbar vieler disjunkter, halboffener Quader.
Folgerung 2
Es gilt Aσ = B(Rn ), wobei B die Borelsche σ-Algebra ist.
Definition 1.33
Das Maß λn : B → [0, ∞], welches von λn : A → [0, ∞] erzeugt wird heißt LebesqueMaß.
Satz 1.34
1. a ∈ Rn A ⊆ Rn Teilmenge. Man definiert
A + a = x|x = y + a, y ∈ A
A borel-meßbar ⇔ A + a borel-meßbar.
λ(A + a) = λ(A) ∀ Borelmengen A
2. Sei µ : B → [0, ∞] translationsinvariantes Maß auf B(Rn ) und es gelte µ([0,1[n ) =
u ∈ R+ . Dann gilt: µ = uλ
Lineare Abbildung T : Rn → Rn der Form Tx
Satz 1.35
T euklidische Bewegung. Dann gilt:
A Borelmenge ⇔ T (A) Borelmenge
λ(T (A)) = λ(A) ∀ A ∈ B(Rn )
Satz 1.36
T : Rn → Rn invertierbar linear
A ∈ B(Rn )
⇔
T (A) ∈ B(Rn )
Um Rekursion zu verstehen, muss man erst Rekursion verstehen
Nachtrag: in einem Quader dürfen a, b ∈ R
12
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
1.2.4 Charaktereisierung Lebesgue-mesbarer Mengen
Satz 1.37
Sei A ⊆ Rn messbar
1. Dann ist λ(A) = inf{λ(U )|A ⊆ U, U offen}
2. Dann ist λ(A) = sup{λ(K)|K ⊆ A, K kompakt}
Korollar 1.38
Eine Menge A ⊆ Rn ist genau dann Lebesgue-messbar, wenn sup{λ(K)|K ⊆ A kompakt} =
inf{λ(U )|A ⊆ U, offen}
1.3 Integration
Sei (X, A.µ) ein Maßraum, wobei A die σ-Algebra der µ-messbaren Teilgenen sei. Für
A ⊆ X sei die charakteristische Funktion:
(
1, x ∈ A
χA (x) =
0, x ∈
/A
Definition 1.39
Eine Abbildung f : X → Rm heißt Treppenabbildung, wenn es paarweise disjunkte
µ-messbare Teilmengen A1 , ..., Ak ⊆ X von endlichen Maß und V1 , ..., Vk ∈ Rm gibt:
f=
k
X
XAi Vi
i=1
In anderen Worten:
1. f nimmt nur endlich viele Werte an
2. ∀V ∈ Rm , V 6= 0 : µ(f −1 (V )) < ∞
Beispiel 1.40 1. Die bereits benutzten Treppenfunktionen f : R → R für (X, A, µ) =
(R, B(R), λ)
2. XQ ist Truppenfunktion.
Die Menge der Treppenabbildung τ (X, Rm ) bilden eine reellen Vektorraum bzgl. punktweisen Addivion und Skalarmultiplikation
Definition 1.41
P
Sei f ∈ τ (X, Rm ) und f = ki=1 Vi XAi . Dann ist das Integral von f definiert als
Z
k
X
f (x) dµ (x) :=
Vi µ(Ai )
X
i=1
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
13
Lemma 1.42
Das Integral von f ist unabhängig von der Darstellung der Abbildung f als Treppenabbildung. DE: Beweis Übung
Andere Schreibweisen:
R
X
f dµ , ∈X f falls µ fest
Lemma 1.43 (Eigenschaften des Integrals) 1. Für α, β ∈ R und f, g ∈ τ (X, Rm ):
Z
Z
Z
(αf + βg) dµ = α
f dµ + β
g dµ
X
X
X
Linearität
2. Für alle f ∈ τ (X, Rm )
Z
Z
f dµ k ≤
k
X
kf k dµ
X
3. Für alle f ∈ τ (X, Rm ) und µ-messbaren Teilmengen gilt:
Z
Z
Z
f dµ =
f dµ +
f dµ
X
A
λ\A
4. Für alle f ∈ τ (X, Rm ) und alle µ- messbaren A ⊆ X mit {x|f (x) 6= 0} ⊆ A gilt:
Z
k
f dµ k ≤ kf k∞ µ(A), kf k∞ = sup{kf (x)k |x ∈ X}
X
5. Für µ = 1 und f ≤ g (punktweise), f, g ∈ τ (X, Rm )
Z
Z
f dµ ≤ g dµ
X
x
im R-Vektorraum τ (X, Rm ) führen iwr die L1 - Seminorm ein mittels
Z
kf k1 =
kf k dµ , f ∈ τ (X, Rm )
X
1.3.1 Eigenschaften eines Semiraums
k·k:V →R
1. kf k1 ≤ 0 ∀f ∈ V = τ (X, Rm )
2. kλf k1 = |λ|kf k1
∀f ∈ V, λ ∈ R
14
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
3. ∀x, y ∈ V : kx + yk1 ≤ kxk1 + kyk1
Zur Nomr fehlt: kf k1 = 0 ⇒ f ≡ 0
Ziel: Vervollständigung von τ (X, Rm ) bzgl. k · k1
Definition 1.44
Sei L1 (X, Rm ) die Menge der Abbildungen f : X → Rm , so dass eine L1 - Cauchyfolge
in τ (X, Rm ) existiert, die punktweise fast überall gegen f konvergiert.
Bemerkung: L1 (X, Rm ) ist R Vektorraum bzgl. punktwieser Addition/ Skalarmultiplikation
Lemma 1.45
Sei (fn ) eine L1 Cauchyfolge in τ (X, Rm ). Dann exisitert eine Teilfoge (fnk ), die punktweise fast überall gegen eine Abbildung f : X → Rm konvergiert, und zwar derart, dass
zu jedem ε > 0 eine µ messbare Teilmenge A mit µ(A) < ε existiert, so dass (fnk ) auf
X\A gleichmäßig gegen f konvergiert.
Wenn (fn ) eine L1 - Chauchyfolge in τ (X, Rm ) ist
Z
Z
Z
≤
fn dµ −
kfn − fm k dµ = kfn − fm k1
f
dµ
m
X
X
X
R
R
Damit ist ( X fn dµ ) eine Cauchyfolge in Rm und es existiert limn→∞ ( X fn dµ )
Lemma 1.46
Seien (fn ) und (gn ) L1 Cauchyfolgen, die punktweise fast überall gegen dieselbe Abbildung f : X → Rm konvergieren. Dann gilt
Z
Z
lim
fn dµ = lim
gn dµ
n→∞
X
n→∞
X
und
kfn − gn k → 0
n→∞
Beweis.
hn := fn − gn , n ∈ N, (hn ) konvergiert fast überall punktweise gegen 0
Weiter:
khn − hm k = k(fn − gn ) − (fm − gm )k1 ≤ kfm − fn k1 + kgm − gn k1
Also ist (hn ) eine L1 Cauchyfolge
Z
Z
hn dµ ≤
khn k dµ
X
genügt es zu Zeigen:
X
Z
khn k dµ → 0, n → ∞
X
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
15
Sei ε > 0 gegeben. Dann gibt es eine N ∈ N, so dass khn − hm k < ε, ∀n, m ≥ N . Man
setze
Z := {x ∈ X|hN (x) = 0}
Z
khn (x) − hN (x)k dµ < ε
∈Z khn (x)k dµ =
Z
Ferner ist µ(X\Z) < ∞, da hn Treppenabbildung
Nach Lemma 3.6 existiert eine Teilfolge (hnk ) und Z u ε > 0 µ-messbare Menge A ⊆ X
mit µ(A) ≤ (khN kε∞ +1) S.d. munk → 0 gleichmäßig auf X\A. Daher ε > 0 und k ∈ N,
ε
so dass für all nk ≥ N, k ≥ K und x ∈ X\A : khnk k ≤ µ(X\Z)+1
Damit folgt:
Z
Z
Z
khn (x)k dµ ≤
khn − hnk k dµ +
khnk k dµ
X
X Z
X Z
Z
<ε+
khnk k dµ +
khnk k dµ +
khnk k dµ
X\(A∪Z)
Z
A
Z
Z
ε
≤ε+
µ(X\A ∪ Z) + ε +
khN (x)k dµ + khN − hnk k dµ
µ(X\Z) + 1
A
A
|
{z
}
khk∞ µ(A)<ε
Definition 1.47
Sei f ∈ L1 (X, Rm ) und (fn ) eine L1 Cauchyfolgen die punktweise für alle gegen f
konvergiert. Dann definieren wir das Integral von f duch
Z
Z
f dµ = lim
fn dµ
n→∞
X
Aus Lemma 3.7 folgt
ge
R
X
X
f dµ ist unabhängig von Wahl der approximierten Cauchyfol-
Siehe Definition für Folgen und Integrale
Sei f ∈ L1 (X, Rm ) und (fn ) eine Approximation der L1 Cauchyfolge in τ (X, Rm ) die
punktweise für alle gegen t konvergiert. Dann ist x 7→ kfn (x)k. Treppenabbildung,
welche punktweise für alle gegen kf k konvergiert. Weiter ist
Z
kkfn (x)k − kfm (x)kk1 =
|kfn (x)k − kfm (x)k| dµ (x)
X
Z
∆-ungleichung
≤
kfn (x) − fm (x)k dµ (x)
X
= kfn − fm k1
Also ist (kfn (x)k) eine L1 Cauchyfolge. Wir können die L1 -Seminorm erklären durch
Z
kf k1 =
kf (x)k dµ (x)
X
16
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
Sei A ⊆ X µ messbar und f ∈ L1 (X, Rm ). Wenn eine L1 Cauchyfolge (f n) in τ (X, Rm )
für überall gegen f konvergiert, so ist (fn |A) eine L1 Chauchyfolge in τ (A, Rm ). Damit
definieren wir
Z
Z
f (x) dµ (x) = lim
fn |A (x) dµ (x)
n→∞
A
A
Satz 1.48 (Eigenschaften des Integrals)
1.
R
(αf (x) + βg(x)) dµ (x) = α
X
R
f (x) dµ (x) + β
X
R
x
g(x) dµ (x)
2. für alle f ∈ L1 (X, Rm ), so ist kf k ∈ L1 (X, Rm ) und
Z
Z
f (x) dµ (x) ≤
kf k dµ (x) = kf k1
X
X
3. Für alle f ∈ L1 (X, Rm ) und Aµ messbar
Z
Z
Z
f (x) dµ (x) =
f (x) dµ (x) +
X
A
f (x) dµ (x)
X\A
4. Die L1 - Norm L1 (X, Rm ) 3 f 7→ kf k1 ∈ [0, ∞] ist eine Seminorm und das
Integral ist stetig in dieser
5. Für alle f ∈ L1 (X, Rm ) und µ-messbar und A ⊆ X mit {x ∈ X|f (x) 6=} ⊆ A gilt
Z
f (x) dµ (x)k ≤ kf k∞ µ(A),
X
wobei kf k∞ die Supremumsnorm ist
Satz 1.49
Der Raum L1 (X, Rm ) vollständig L in der L1 -Seminorm
Beweis.
1. f ∈ L1 (X, Rm ). Dann exisitert ein (gn ) eine L1 Cauchyfolge in τ (X, Rm ), die
punktweise für überall gegen f konvergeirt. Allgemein gilt:
kf − gn k = lim kfk − gn k1
K→∞
Da g(n) L1 Cauchyfolge ist, gilt
lim kf − gn k1 = 0
n→∞
2. Sei (fn )L1 Cauchyfolge in L1 (X, Rm ). Aus 1) folgt, dass zu jedem n ∈ N ein
gn ∈ τ (X, Rm ) existiert mit
kgn − fn k1 <
1
n
(1.1)
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
17
Für die Folge (gn ) gilt:
kgn − gm k1 ≤ kgn − fn k1 + kfn − fm k1 + kfm − gm k1
Also (gn ) ist L1 Cauchyfolge. Aus Lemma 3.6 (approximationslemma) folgt, dass
eine Teilfolge gnk existiert und eine Abbildung f : X → Rm mit gnk (x) → f (x)
für fast alle x ∈ X. D.h. f ∈ 1 (X, Rm ) und es ist
kfnk − f k1 ≤ kfnk − gnk k1 + kgnk − f k1
Nach 1) ist ein kgnk − f k1 = 0. Sei ε > 0 und an wähle N ∈ N in Gleichung (1.1),
so dass N1 < 2ε ud kgnk − f k1 < 2ε . Damit folgt kfnk − f k1 < ε für nk ≥ N . Da
(fn ) eine L1 Cauchyfoge ist, exisitert N1 ∈ N:
kfn − f k1 ≤ kfn + fnk k1 + kfnk − f k1 < 2ε,
n, nk > N1
Satz 1.50
Sei (fn ) eine L1 Cauchyfolge in L1 (X, Rm ) und sei f ∈ L1 (X, Rm ) und
lim kf − fn k1 = 0
n→∞
Dann existiert eine Teilfolge (fnk ), die punktweise für alle gegen f konvergiert und
derart, dass zu ε > 0 eine Menge A ⊆ X mit µ(A) < ε exisiert, sodass (fnk ) auf dem
Komplement der Menge – also X\A – gleichmäßig gegen f konvergiert
Beweis. Indem wir fn durch fn −f ersetzen können wir f = 0 annehmen (⇒ kf k1 = 0).
Nach Übergang zu einer Teilfolge gilt für alle n ∈ N:
kfn k1 ≤
1
22n
Nach Änderung auf einer Nullmenge können wir fn als messbar voraussetzen.
Sei Yn = {x ∈ X|kfn (x)k ≥ 21n }. Dann ist Yn messbar und
Z
Z
1
1
1
µ(Yn ) ≤
kfn (x)k dµ (x) ≤
kfn (x)k dµ (x) ≤ 2n ⇒ µ(Yn ) ≤ n
n
2
2
2
Yn
X
Zn = Yn ∪ Yn+1 =
[
Yl
l≥n
Dann gilt µ(Zn ) = 2−n+1 für x ∈
/ Zn gilt für alle k ≥ n:
kfn (x)k ≤
1
2k
Somit konvergiert
(fk ) auf X\Zn gleichmäßig gegen f ≡ 0.
T
Sei Z = n≥1 Zn ⇒ µ(Z) = 0 und (fn ) → f ≡ 0 auf X\Z
18
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
Korollar 1.51
Sei f (n) eine L1 Cauchyfolge in L1 (X, Rm ), die punktweise für alle gegen die Abbildung
f : X → Rm konvergiert. Dann ist f ∈ L1 (X, Rm ) und limn→∞ kfn − f k1 = 0
Beweis. L1 (X, Rm ) vollständig ⇒ ∃g ∈ L1 (X, Rm ) mit limn→∞ kg − fn k1 = 0. Nach
Satz 3.11 exisitiert eine Teilfolge (fnk ) die punktweise fast überall gegen f konvergiert.
Aus fn punktweise fast überall gegen f konvergiert, folgt f = g fast überall.
Die Menge N1 = {f ∈ L1 (X, Rm )|kf k1 = 0} ist eine Untervektorraum in L1 (X, Rm ).
Bezeichne L1 (X, Rm ) = L1 (X, Rm )|N1
EINSCHUB:Vektorräume
Definition 1.52
Seien U, V Vektorräume und U ⊆ V ein Untervektorraum. So definiert man
v1 ∼ v2 :⇔ v1 − v2 ∈ U [v]
Beispiel 1.53
λ ∈ R : λ[v] = [λ] [v] + [w] := [v + w]
k[f ]k1 := kf k1 wohldefiniert. (L1 (X, Rm ), k · k1 ) ist vollständig Normierter Raum. Man
schreibt f für [f ]
1.4 Konvergenzsätze
Das Lebesgue-Integral ist unter sehr schwachen Voraussetzung mit der Grenwertbildung vertauschbar
Satz 1.54 (Beppo-Levi, monotone Konvergenz)
Sei (fn ) eine monoton wachsende (fallende) Folge in L1 (X, R), so dass
Z
fn (x, dµ (x)
X
n∈N
eine beschränkte ist. Dann konvergiert fn punktweise für überall und in in L1 Seminorm
gegen eine integrable Funktion f : X → R. Insbesondere gilt:
Z
Z
f (x) dµ (x) = lim
fn (x) dµ (x)
X
n→∞
X
R
Beweis. Wir zeigen, dass monoton wachsenden Fall. DieRreele Folge ( X fn (x) dµ (x))
ist beschränkt
und monoton wachsend (Monotonie von X f (x) dµ (x). Damit ist die
R
Folge ( X f1 (x) dµ (x))n∈N eine konvergente Folge.
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
19
...
Aus der Monotonie folgt:
Z
kfn − fn kL1 =
(fn (x) − fn (x)) dµ < ε,
k≥n≥k
X
Also ist (fn ) eine L1 Cauchyfolge. Aus Satz 3.10 folgt ∃f ∈ L1 (X, R) mit f = L1 −
limnn→∞ fn . Aus Satz 3.11 folgt Es gibt eine Teilfolge (fnk ) die punktweise für überall
n→∞
gegen f konvergiert. Da (fn ) eine monotone Folge war, folgt fn → f
Lemma 1.55 (4.2 Lemma von Faton)
Sei fn : X → R eine Folge nicht negativer integrabler L1 (X, R) Funktionen
Z
lim inf
fn (x) dµ (x) < ∞
n→∞
X
Dann existiert
f (x) = lim inf fn (x)
n→∞
fast überall, f ist integrabel und es gilt
Z
f (x) dµ (x) ≤ lim inf (∈X fn (x) dµ (x))
n→∞
X
Beweis. Sei k ∈ N fest, so definiieren wir
gk,n = inf(fk , fk+1 , . . . , fk+n )
für n ≥ 1. Die Folge
(gk,n )n∈N ist monoton fallend und gk,n ≥ 0∀n, k ∈ N. gk,n ist integraR
bel. Daher ist X gk,n (x) dµ (x) eine beschränkte Folge (durch 0). Sei hk = inf n≥k gk,n =
limn→∞ gk,n Nach dem Satz von Bepp Levi gilt
Z
Z
hk (x) dµ (x) = lim
gk,n (x) dµ (x)
n→∞
X
X
Für n ≥ 1 gilt
gk,n fk+j , 0 ≤ j ≤ n
Daher ist:
Z
Z
Z
hk (x) dµ (x) ≤
X
fl (x) dµ (x)
l≥k
X
Ferner gilt:
inf
fl (x) dµ (x) ≤ lim inf
fn (x) dµ (x)
l≥k X
l→∞ n≥l X
Z
= lim inf
fn (x) dµ (x) < ∞
Z
n→∞
Z
(1.2)
(1.3)
X
R
Daraus folgt, dass X hk (x) dµ (x) k∈N eine monoton wachsende beschränkte Folge ist.
Nach dem Satz von Beppo Levi folgt, dass limn→∞ hk (x) = limn→∞ inf fn fast überall
exisitert und ist integrabel
Z Z
lim inf fn (x) dµ = lim
hk (x) dµ (x)
X
n→∞
k→∞
X
20
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
Zusammen mit (1.4) und (1.3) ergibt sich
Z
Z
lim inf fn (x) dµ (x) ≤ lim inf
fN (X) dµ (x) < ∞
n→∞
X
X
Dies zeigt das Lemma von Faton
Satz 1.56 (Satz von Lebesgue, dominante Konvergenz)
Sei (fn ) eine Folge in L1 (X, Rm ), die punktweise für alle gegen eine Abbildung f : X →
Rm konvergiert. Es sei g : X → R eine integrable Funktion mit
kfn (x)k ≤ g(x) für alle x ∈ X
und für alle n ∈ N. Dann ist f integrabel und f = L1 − limn→∞ fn . Insbesondere gilt:
Z
Z
f (x) dµ (x) = lim
fn (x) dµ (x)
n→∞
X
X
Beweis. Sei k ≥ 1 fest und erklären gn : X → R durch
gn (x) = sup{kfi (x) − fj (x)k|k ≤ i, j ≤ k + n}
Dann ist g integrabel und gn ist monoton wachsend. Weiter gilt:
gn (x) ≤ 2g(x)
kfi (x) − fj (x)k ≤ kfi (x)k + kfj (x)k ≤ 2g(x)
(1.4)
Nach dem Satz von Beppo Levi gibt es hk (x) = limn→∞ gn (x) fast überall und ist
integrabel. Aus der Definition von gn folgt:
X
hk (x) =
{kfi (x) − fj (x)k|i, j ≥ k}
Dann ist hk (x) ≥ 0 und die Folge hk (x) ist monoton fallend
R und konvergiert nach
Voraussetzung für alle gegen 0. Mittels Beppo Levi folgt: X hk (x) dµ (x) = 0. Für
n ≥ k gilt nach Definition von hk
Z
Z
kfn − fm k1 =
kfn (x) − fm (x)k dµ (x) ≤
hk (x) dµ (x)
X
X
Damit ist (fn ) eine L1 Cauchyfolge. Die Behauptung des Satzes folgt aus Korrolar
3.12
Korollar 1.57
Sei (fn ) eine Folge in L1 (X, Rm ), so dass
XZ
kfn (x)k dµ (x) < ∞
n≥1
Dann konvergiert die Reihe
Z
X
X
fn (x) für fast alle x ∈ X und es gilt:
!
X
X Z
fn (x) dµ (x) =
fn (x) dµ (x)
n≥1
P
n≥1
n≥1
X
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
Beweis. Für n ∈ N sei
gn (x) =
n
X
21
kfk (x)k
k=1
Dann ist
wachsende Folge in L1 (X, R). Nach Voraussetzung ist die
R gn eine monoton
Folge X gn (x)P
dµ (x) beschränkt. Aus dem Satz von Beppo Levi folgt, dass gn fast
überall
g(x) = n≥1 kfn (x)k konvergiert und dass g integrabel ist. Daraus folgt, dass
P
f
n≥1 n (x) für überall konvergiert. Nach dem Satz von Lebesgue konvergiert dann in
der L1 Seminorm. Insbesondere folgt
!
!
Z
Z
∞
n
X
X
fn (x) dµ (x) =
lim
fk (x) dµ (x)
X
n=1
X
= lim
n→∞
n→∞
k=1
∞ Z
X
k=1
fk (x) dµ (x)
X
Korollar 1.58 (4.5)
Sei f : X → Rm messbar. Dann ist f genau dann integrabel, wenn eine integrierbare
Funktion g : X → R existiert, sodass kf (x)k ≤ g(x) für fast alle x ∈ X. Insbesonder
ist f genau dann integrabel, falls kf k integrabel ist.
Beweis. “⇒” Ist f integrierbar, so ist auch kf k integrierbar (Satz 3.9) und wir wählen
g = kf k
“⇐” Sei g : X → R gegeben mit kf (x)k ≤ g(x) für fast alle x ∈ X. Da f messbar ist,
gibt es eine Folge (fn ) elementarer Abbildungen (bzgl. der µ-Messbarkeit), die
punktweise gegen f konvergiert (Satz 1.15). Wir erklären die Funktion hn : X →
Rm
(
fn (x), falls kfn (x)k ≤ 2g(x)
hn (x) :=
0,
sonst
Für jedes n ∈ N nimmt fn nur endlich viele Werte an. Somit gilt dies für hn . Also
ist hn elementar. Sei hn (x) = {C1 , . . . , CK }. Auf Ai = h−1
i (Ci ) gilt
Z
Z
kfn (x)k dµ (x) ≤ 2
g(x) dµ (x) < ∞
kCi k µ(Ai ) ≤
|{z}
X
X
6=0
Daraus folgt µ(Ai ) < ∞. Also ist hn eine Treppenabbildung und somit integrabel.
Weiter gilt: hn (x) → f (x) fast überall. Nach Definition von hn war khn (x)k ≤
2g(x). Aus dem Satz von Lebesgue folgt, dass f integrabel ist.
Korollar 1.59 (4.6)
Seien f, g : X → R µ messbare Funktionen. Dann ist f · g integrabel, falls einer der
zwei Bedingungen gilt:
22
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
• f ist integrabel und g ist beschränkt
• g ist integrabel und f ist beschränkt
Korollar 1.60
Sei f ∈ L1 (X, Rm ). Zu ε > 0 gibt es eine µ-messbare Menge A ⊆ X mit endlichen
Maß µ(A) < ∞, sodass
Z
Z
f dµ −
<ε
f
dµ
X
A
Beweis.
B = {x ∈ X|f (x) 6= 0}
Hilfssatz: Sei f ∈ L1 (X, Rm ), so ist die Menge B = {x ∈ X|f (x) 6= 0} mu-messbar
undd σ-endlich
Beweis. [Hilfssatz] Da f ∈ L1 (X, Rm ) ist, gibt es eine Folge (fnR) in τ (X, Rm ) und
eine Teilmenge N ⊆ X µ(N ) = 0 und limn→∞ fn (x) = f (x), ∀x X\N . Da fn eine
Treppenfunktion ist, ist fn µ messbar. Aus SatzS1.15 folgt,
dass f µ messbar ist. Sei
A
An = {x ∈ X|fn (x) 6= 0}, n ∈ N. Dann ist A ⊆
n≥1 n ∪ N . Die Mengen µ-messbar
mit µ(An ) < ∞
Sei
i ) < ∞, i ∈ N, B =
S B1 ⊆ B⊆ . . . eine Folge von µ-messbaren Mengen mit µ(B
2
n≥1 Bn . Dann konvergiert fn = xBn · f punktweise gegen f . Weiter gilt kxBn f k ≤
kf k|. Aus dem Satz von Lebesgue folgt
Z
Z
f (x) dµ −
X
Bn
Z
Z
n→∞
fn (x) dµ f (x) dµ − (xBn f )(x) dµ k −−−→ 0
=k
X
X
Satz 1.61 (4.8)
Sei f ∈ L1 (X, Rm ). Wir nehmen an, dass eine Konstante K ≥ 0 existiert, so dass für
all µ messbaren Teilmengen A ⊆ X mit 0 < µ(A) < ∞ gilt
Z
1
f dµ ≤K
µ(A)
A
Dann ist kf (x)k ≤ K für fast alle x ∈ X.
R
Insbesondere A f (x) dµ (x) = 0, für alle µ-messbaren A ⊆ X mit 0 < µ(A) < ∞ ⇔
f (x) = 0, für fast alle x ∈ X (K=0)
2
xBn ist charakteristische Funktion
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
23
1.5 Das Integral positiver Funktionen
Sei (X, A, µ) ein Maßraum und σ-endlich. und Funktionen f : X → [0, ∞] Für solche Funktionen kann man einen Integralbegriff entwickeln. Sei ϕ : X → [0, ∞] eine
Stufenabbildung und setzen
Z
X
ϕ(x) dµ =
Cµ(ϕ−1 (C)).
X
C∈R
(Σ ist endlich). Für beliebige Funktionen (µ-messbar)
Z
Z
f (x) dµ (x) = sup
ϕ(x) dµ (x)|0 ≤ ϕ ≤ f, ϕ Treppenabbildung ∈ [0, ∞]
x
X
Analoge Definition:
Z
Z
f (x) dµ (x) = sup
g(x) dµ (x)|g
X
∈ L1 (X, [0, ∞]) ∧ 0 ≤ g ≤ g
X
Man kann nun Maße mittels Integration erklären
Definition 1.62 (5.1)
Eine Menge A heißt µ-messbar, wenn die charakteristische Funktion integrabel ist und
es ist
Z
χA(x) dµ (x)
µ(A) =
X
Lemma 1.63 (5.2)
Sei f : X → [0, ∞] eine µ-messbare Funktion. Wenn
R die µ-messbare Teilmenge A =
{x ∈ X|f (x) > 0} positives Maß hat, so folgt, dass X f (x) dµ (x) > 0
Beweis. Sei µ(A) > 0 Wir wählen eine monoton wachsende Folge S
A1 ⊆ A2 ⊆ A3 ⊆ . . .
von messbaren Mengen mit µ(Ai ) < ∞ für i ∈ N und X = i≥1 Ai . Dann folgt
µ(A) = limi→∞ (µ(A ∩ Ai )). Da µ(A) > 0 gibt es eine n ∈ N mit µ(An ∩ A) > 0. Sei
g = min(f, XAn )
...
Lemma 1.64 (5.3)
R
Sei f : X → [0, ∞] eine µ messbare Funktion mit X dµ < ∞. Dann hat die Menge
P = {x ∈ X|f (x) = 0}
das Maß 0. Und nach Abänderung auf einer Nullmen ge hat f Werte in R und es ist
f ∈ L1 (X, R)
Satz 1.65 (5.4 Monotone Konvergenz)
Sei fn : X → [0, ∞], n ≥ 1 eine monotone wachsende folge µ-messbarer Funktionen.
Dann gilt:
Z
Z
lim fn (x) dµ (x) = lim
fn (x) dµ (x)
X
n→∞
X
24
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
R
Beweis. Falls (fn ) integrabel ist und ( X fn (x) dµ (x)) beschränkt ist, so folgt dies aus
dem Satz von Bepp Levi. Ansonsten sind beide Seiten gleich unendlich
Beweis. [zu Lemma 5.3] Sei (fn ) eine Folge in L1 (X, R) mit 0 ≤ fn ≤ f und
Z
Z
f (x) dµ (x) = lim
fn (x) dµ (x)
X
n→∞
X
O.b.d.A können fn als monoton wachsend annehmen. Ansonsten: hn = max{f1 , . . . , fn }
Nach Beppo Levi existiert ein g ∈ L1 (X, R), dass fn punktweise für überall und in
der L1 - Seminorm Rgegen g konvergiert. Nun ist 0leqg ≤ f ∀x ∈ X und daher ist
h = f − g ≥ 0 und X h dµ = 0. Aus dem Lemma 5.2 folgt h = 0, für fast alle x ∈ X
d.h. f (x) = g(x) für fast alle x ∈ X
1.6 Vergleich mit anderen Integralbegriffen
Sei I ⊆ R ein Intervall mit Grenzen −∞ ≤ a < b ≤ +∞.
Erinnerung Man nennt f eine Regelfunktion, falls in jedem Punkt x ∈ (a, b) ⊆ I = [a, b]
der links- und rechtsseitige Grenzwert existiert und in a der rechtsseitige und in b der
linksseitige Grenzwert exisitert. Sei I = [a, b] ⊆ R kompakt und sei Z die Menge der
Zerlegungen von [a, b], d.h. a ≤ x0 < x1 < . . . < xm = b. Man nennt f : I → R
Treppenfunktion falls eine Zerlegung von [a, b] existiert mit f |(xi−1 ,xi ) für i = 1, . . . , n
konstant ist.
Treppenfunktionen sind Regelfunktionen und diese sind auch Treppenfunktionen im
Sinne des Lebesgue-Maßes
Satz 1.66 (Approximationssatz)
f : [a, b] → R ist eine Regelfunktion genau dann, wenn eine Folge von Z Treppenfunktionen existiert mit kfn − f k∞ → 0, n → ∞.
Satz 1.67
Sei f : [a, b] → R eine Regelfunktion und fn : [a, b] → R eine Folge von Z Treppenfunktionen mit kfn − f k∞ → 0 für n → ∞. Dann ist f ∈ 1 ([a, b], R), (fn ) ist eine L1
n→∞
Cauchyfolge und kfn − f kL1 −−−→ 0
Insbesondere ist:
Z
Z
f (x) dλ (x) =
[a,b]
{z
}
|
Lebesgue-Integral
a
|
b
f (x) dx
{z
}
Integral von Regelfunktionen
Beweis. Es ist kfn − fm k∞ ≤ kf − fn k∞R+ kf − fm k∞ und damit ist (fn ) eine Cauchyfolge in k·k∞ . Ferner gilt kfn − fm k1 = I |fn (x) − fm (x)| dλ (x) ≤ (b − a) kfn − fm k∞
Daher ist (fn ) eine L1 Cauchyfolge. Nach Voraussetzung konvergiert fn punktwiese
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
25
R
gegen f . Aus Korollar 3.12 folgt, dass f L1 (X, Rm ) und dass f = L1 − lim(fn ). Daher
folgt:
Z b
Z
Z
Z b
f (x) dx
fn (x) dx =
f (x) dλ (x) = lim
fn dλ (x) = lim
n→∞
[a,b]
n→∞
[a,b]
a
a
Bemerkung: Ebenso kann man zeigen, dass Riemann-integrable Funktionen auf [a, b]
Lebesgue-integrabel sind und dass die Integrale übereinstimmen
Satz 1.68
Sei I ⊆ R ein Intervall Rund f : I → R eine Regelfunktion mit f ≥ 0. Weenn
b
das uneigentliche Integral a f (x) dx existiert, dann ist f ∈ L1 ([a, b], R) und es gilt
R
Rb
f (x) dλ (x) = a f (x) dx
I
Beweis. Wir zeigen den Fall I = [a, b]. Dazu wähle eine monoton wachsende Folge (bn )
n→∞
in R mit a < bn → b. Nach Definition des uneigentlichen Integrals
Z bn
Z b
f (x) dx
f (x) dx = lim
n→∞
a
a
Sei χn = χ[a,bn ) und fn = f · χn . Dann ist (fn ) eine monoton wachsende Folge und es
n→∞
gilt fn (x) −−−→ f (x) für alle x ∈ I. Damit erhalten wir:
Z
Z
bn
Z
fn (x) dλ (x) =
f (x) dx ≤
f (x) dλ (x) =
I
[a,bn )
Z
a
b
f (x) dx < ∞
a
Aus dem Satz von Beppo-Levi folgt, dass f integrierbar und
Z b
Z
Z bn
Z
fn (x) dλ (x) = lim
f (x) dx =
f (x) dx
f (x) dλ (x) = lim
[a,b]
n→∞
n→∞
[a,b]
a
a
Bemerkung: f ≥ 0 ist nötig
1.7 Die Lp - Räume
Definition 1.69 (7.1)
Für 1 ≤ p ≤ ∞ sei Lp (X, Rm ) die Menge aller µ- messbaren Abbildungen f : X → Rm ,
sodass
kf kp ∈ L1 (X, Rm )
Zu f ∈ Lp (X, Rm ) sei
Z
kf kp :=
X
1/p
kf (x)k dµ (x)
p
26
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
Satz 1.70
Für alle p mit 1 ≤ p < ∞ ist Lp (X, Rm ) ein Vektorraum über R und k · kp ist eine
Seminorm in Lp (X, Rm ). Seien p, q > 1 mit p1 + 1q = 1 und f ∈ Lp (X, Rm ) und
q ∈ Lq (X, Rm ), so gilt die Höldersche Ungleichung
Z
kf k kgk dµ ≤ kf kp kgkq
X
Beweis. Für a, b ≥ 0 gilt die Ungleichung
(a + b)p ≤ 2p (q p bp )
sind f, g ∈ Lp (X, Rm ), so folgt daraus
kf (x) + g(x)kp ≤ 2p kf (x)kp + 2p kg(x)kp , ∀x ∈ X
Daraus folgt nach Integration f + g ∈ Lp (X, Rm ). Für λ ∈ R und f ∈ Lp (X, Rm ) ist
λf ∈ Lp (X, Rm ). Somit ist Lp (X, Rm ) ein reeler Vektorraum.
Beweis. Nun zeigen wir die Höldersche Ungleichung. Seien p, q > 1 mit p1 + 1q = 1 Sei
f ∈ Lp (X, Rm ) und g ∈ Lq (X, Rm ). Ist kf kp = 0 oder kgkq = 0, so ist f (x) = 0 für
fast alle x ∈ XR oder g(x) = 0 für fast alle x ∈ X (kf (x)kp = 0 für fast alle x ∈ X).
Daher ist kf (x)k kg(x)k = 0 für fast alle x ∈ X und die Höldersche Ungleichung ist
erfüllt Ab nun ist kf kp 6= 0 und kgkq 6= 0
Lemma 1.71 (Youngsche Ungleichung)
Seien a, b ≥ 0, p1 + 1q = 1, p, q > 1. Dann gilt: a1/p b1/q ≤
Zu x ∈ X setzen wir a =
kf (x)kp
,b
kf kpp
=
kg(x)kq
.
kgkqq
a
p
+
b
q
Dauraus folgt mittels Young
kf (x)k kg(x)k
1 kf (x)kp 1 kg(x)kq
≤
+
kf kp kgkq
p kf kpp
q kgkqg
Nach dem Korollar 4.5 ist kf (x)k kg(x)k integrabel und es gilt


Z

 1 Z kf (x)kp
1
kg(x)q k


kf (x)k kg(x)k dµ (x) ≤ kf kp kgkq 
p dµ (x) +
q dµ 
q X kgkq

 p X kf kp
X
|
{z
}
|
{z
}
1
1
1 1
= kf kp kgkq
+
= kf kp kgkq
p q
Z
Zu zeigen Dreiecksungleichung Minkowski-Ungleichung
kf (x) + g(x)kp ≤ kf (x)k kf (x) + g(x)kp−1 kg(x)k kf (x) + g(x)kp−1
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
27
p
Sei p1 + 1q = 1 . Dann ist q = p−1
und es flgt kf (x) + g(x)kp−1 ∈ Lq (X, Rm ) Man darf
die Höldersche Ungleichung auf kf k , kgk ∈ Lp (X, Rm ) und kf + gkp−1 ∈ Lq (X, Rm )
anwenden. Es folgt:
Z
Z
Z
kf (x) + g(x)k dµ (x) ≤
kf (x)k kf (x)+????k +
kg(x)k kf (x) + g(x)kp−1 dµ (x)
X
X
X
Z
p−1
p
≤ (kf kp + kgkp )
kf (x) + g(x)k dµ ) p
X
Das zeigt kf + gkp =
1/p
p
kf
(x)
+
g(x)k
dµ
(x)
≤ kf kp + kgp
X
R
Wir setzen für L1 (X, Rm ):
N p = {f ∈ Lp (X, Rm ) | kf kp = 0}
N p ist ein Untervektorraum in Lp (X, Rm ). Man definiert Lp (X, Rm ) = Lp (X, Rm )/N p .
Für [f ] ∈ Lp (X, Rm ) definiert man k[f ]kp := kf kp . Diese Definition ist unabhängig von
Repräsentanten
Damit ist (Lp (X, Rm ), k · kp ) ein normierter Raum
Satz 1.72 (7.3)
Für p ∈ [1, ∞] ist (Lp (X, Rm ), k · kp ) ist ein vollständig normierter Raum, d.h. ein
Banachraum
Im Fall von C=R
˜ 2 schreiben wir Lp (X, C). Für p = 2 und K = R, C. Sei f ∈ Lp (X, C),
so ist f¯ ∈ Lp (X, C). (wegen kf (x)kp = kf¯(x)kp ). Mittels Satz 7.2 (Chauchyungleichung)
kf ḡkL1 5 kf kL2 kkḡkL2 = kf kL2 kgkL2
Daher ist f, ḡ integrabel und man definiert:
Z
¯ dµ (x)
f (x)g(x)
hf, gi :=
X
Satz 1.73 (7.4)
h·, ·i definiert ein Skalarprodukt auf L2 (X, K) und (L2 (X, K), h·, ·i) ist L ein Hilbertraum
Beweis. Skalarprodukt (Übung) kf k22 = hf, f i. Vollständigkeit ist Satz 7.3
Exkurs:
Definition 1.74 (7.5)
Man nennt einen K Vektorraum V mit Skalarprodukt h·, ·i einen Prä-Hilbertraum. Ein
vollständiger Prä-Hilbertraum heißt Hilbertraum.
28
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
Satz 1.75 (7.6)
Ein Prä-Hilbertraum (V, h·, ·i) wird mit der Norm
p
kvk := hv, vi
zu einem normierten Raum. Insbesondere ist ein Hilbertraum ein Banachraum.
Bemerkung: Eine Norm muss nicht von einem Skalarprodukt induziert sein. (Parallelogramm)
kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 )
P
Definition 1.76 1. Eine Reihe ∞
k=1 Vk in (V, k · k) heißt konvergent :⇔ Die Reihe
der Partialsummen konvergert, d.h. ein v ∈ V existiert mit
N
X
lim v −
vk = 0
N →∞ k=1
2.
P∞
k=1
absolut konvergent in (V, k · k) :⇔
P
kvk k konvergent ist.
Satz 1.77 (7.8)
absolute Konvergenz ⇒Konvergenz
Definition 1.78 (7.9) 1. Ein Orthonormalsystem (ONS) in H (Hilbertraum) ist eine Folge (en )n∈N von Vektoren. en ∈ H mit hen , em i = δn,k , ∀n, k ∈ N
2. Sei (en )n∈N ein ONS in H und v ∈ H so nennt man die Zahlen hv, en i, n ∈ N,
Fourierkoeffizienten von v bzgl. (en )n∈N .
Die Reihe
f (t) =
P
P∞
k=1 hv, ek ivk
ak sin(kt) +
P
heißt Fourierreihe von V bzgl. (lk )k∈N
bk cos(kt)f 2π???
Satz 1.79 (7.10)
Sei (ek )k∈N ein ONS in H. Dann gilt für alle v ∈ H.
1. Die Reihe
P∞
k=1
|hv, ek i|2 ist konvergent und es gilt
∞
X
|hv, ek i|2 ≤ kvk2
k=1
2. Die Fourier-Reihe
P∞
ist konvergent und es ist
∞
2
∞
X
X
|hv, ek i|2
hv, ek iek =
k=1 hv, ek iek
k=1
3. Es ist genau dann
Pi
k=1
nf tyk=1 hv, ek iek = v, wenn
2
∞
X
2
hv,
e
ie
k k = kvk
k=1
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
Beweis. Man berechne kv −
ist Cauchs-Folge
Lemma 1.80 (7.11)
P∞
1. Sei
k=1 hv, ek iek k
P∞
k=1
2
≥0
29
⇒
P
(i) und (iii), (i) ⇒ hv, ek iek
vk eine Konvergente Reihe in H. Dann ist:
∞
∞
X
X
h , wi =
hvk , wi, ∀w ∈ H
k=1
k=1
2. Ist (ek )k∈N ONS in H, so folgt
∞
X
h hv, ek iek , el i = hv, el i∀l ∈ N, v ∈ H
k=1
Definition 1.81
Ein ONS ist vollständig :⇔ ∀v ∈ H
∞
X
hv, ek iek = v
k=1
Satz 1.82 (7.13)
Sei (ek )k∈N ein ONS. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:
1. (ek )k∈N ist vollständig,
2. ∀v ∈ gilt
P∞
k=1
|hv, ek i|2 = kvk2
3. Ist v ∈ H derat, dass hv, ek i = 0, ∀k ∈ N folgt v = 0
Beweis. [Satz 7.3] Sei (fn ) eine Lp -Cauchyfolge. Damit gibt es für alle ε > 0 ein N ∈ N,
so dass
kfi − fj kp < ε, ∀i, j ≥ N
Man findet also zu jedem K ∈ N ein nk mit:
(1.5)
kfk − fnk kp < 2−2k
∀k ≥ nk , welche O.B.d.A nk+1 > nk erfüllen.
−k
Wir setzen
S∞ Ak = {x ∈ X; |fnk+1 (x) − fnk (x)| > 2 } und Bk =
B = k=1 Bk . Wir werden zeigen µ(X \ B) = 0. Aus (1.5) folgt:
Z
−kp
2 µ(Ak ) ≤
|fnk+1 (x) − fnk (x)|p dµ
Ak
Z
≤
kfnk+1 (x) − fnk (x)|p dµ = 2−2kp
X
und folglich µ(Ak ) ≤ 2−kp .
T∞
l=k (X
\ Al ) und
(1.6)
(1.7)
30
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
Es ist
µ(X \ Bk ) = µ
∞
[
!
≤
Al
l=k
∞
X
−kp
−lp
=2
∞
X
µ(Al ) <
l=k
∞
X
2−lp
l=k
2
l=0
−kp
=
2p
2
=
1 − 2−p
2kp (2p − 1)
Weiter ist
X \B =X \
∞
[
Bk =
k=1
∞
\
(X \ Bk )
k=1
und X \ B1 ⊇ X \ B2 ...
2p
µ(X \ B) = lim µ(X \ Bk ) = lim kp p
=0
k∞
k→∞ 2 (2 − 1)
Nun zeigen iwr, dass (fnk (x)) konvergiert für x ∈ B. Ist x ∈ B, so existiert ein k mit
x ∈ Bk und x ∈
/ Al , ∀l ≥ k, d.h.
|fnl+1 (x) − fnl (x)| < 2−l , ∀l ≥ k
P∞
P
Damit konvergiert
die
Reihe
f
(x)
−
f
(x)
.
Majorante
ist
|fnl+1 (x) −
n
n
l+1
l
l=1
P −l
fnl (x)| ≤ 2 Aus
fnk (x) = fn1 (x) +
k−1
X
(fnl+1 (x) − fnl (x))
l=1
folgt, dass fnk (x) konvergent ist. Wir erklären f : X → Rm als
(
limn→∞ fnk (x), x ∈ B, d.h.f = limk→∞ (xB fnk )
f (x) =
0, sonst
Wir zeigen: f ∈ Lp (X, Rm ) und limk→∞ kf − fk kp = 0 Als Grenzwert messbarer Funktionen ist f messbar. Sei k ∈ N fest und gl (x) = |fnl (x) − fnk (x)|p , l ∈ N
Z
gl (x) dµ (x) ≤ 2−kp , ∀l ≥ k
X
Lemma von Faton ergibt g(x) = lim inf l→∞ gl (x), g : X → R̄ ist integrierbar
Z
Z
g(x) dµ (x) ≤ lim inf
gl (x) dµ (x) ≤ 2−kp
l→∞
X
X
Aufgrund von g(x) = liml→∞ |fnl (x) − fnk (x)| = |f (x) − fnk (x)|p und µ(X \ B) = 0
folgt g(x) = |f (x) − fnk (x)|p fast überall . Daher ist |f − fnk |p integrierbar und somit
f − fnk ∈ Lp (X, Rm )
R
weiter kf − fnk kp ≤ ( X g dµ )1/p ≤ 2−2k . Daher ist f = (f − fnk ) + fnk ∈ Lp (X, Rm )
| {z } |{z}
Lp
Lp
k→∞
kf − fn kp ≤ kf − fnk kp + kfk − fnk kp ≤ 2−2k + 2−2k = 2−2k+1 −−−→ 0
k→∞
und schließlich kf − fk kp −−−→ 0
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
31
1.8 Prduktmaße
Seien (X, A, µ) und (Y, B, r) zwei σ-endliche Maßräume.
Ein Rechteck (bzgl. A und B) ist eine Teilmenge von X × Y der Form A × B für ein
A ∈ A und B ∈ B. Mit A × B sei die Menge aller Teilmengen von X × Y welche eine
endliche Vereinigung von Rechtecken ist.
Lemma 1.83 (81)
A × B ist eine Mengenalgebra. Von jetzt an nehmen wir an, dass es Folgen (An ) in A
und (Bn ) in B gibt mit
[
[
X=
An ∧ Y =
Bn
n≥1
n=1
Lemma 1.84 (82)
Es gilt (A × B)σ = (Aσ × Bσ )σ)
Beweis. Es ist A × B ⊆ Aσ × Bσ ⊆ (Aσ × Bσ )σ . Da (A × B)σ de kleinste (im sinne der
inklusion) σ-Algebra, welche A×B enthält A×B enthält, ist, folgt (A×B) ⊆ (Aσ ×Bσ )σ.
Zu zeigen verbleibt die nadere Inklusiion. Für festes B ∈ B betrachten wir die σ-Algebra
Aσ × {B} in X × B. Diese wird von A × {B} {A × B, A ∈ A}.
Für jedes B ∈ B ist Aσ × {B} in (A × B)σ . Daraus folgt Aσ × Bσ ⊆ (A × B)σ
Definition 1.85 (83)
Es sei A ⊗ B := (A × B)σ
Lemma 1.86 (84)
Für Q ∈ A ⊗ B ∧
x∈X
x ∈ X sei Qx = {y ∈ Y |(x, y) ∈ Q}. Dann ist Qx ∈ Bσ für alle
Beweis. Sei S die Menge aller Q in A⊗B, sodass Qx ∈ Bσ für alle x ∈ X. Dann enthält
S alle Rechtecke der Form A × B mit A ∈ AA und B ∈ BB. Also gilt A × B ⊆ S.
Ferner vertauscht die Abbildung Q 7→ Qx mit den Operationen der Mengenlehre
(Q1 ∪ Q2 )X = (Q1 )x ∪ (Q2 )x
Sei Q ∈ S dann ist X
T × Y \ Q ∈ S, wenn (X × Y \ Q)x = Y \ Qx ∈ B. Für P, Q ∈ S
ist (P ∩ Q)x = P × Qx sei (Qn ) eine Folge von Mengen in S, so gilt
!
[
[
Qn
=
(Qn )x ∈ Bσ
n≥1
Also
S
n≥1
x
n≥1
Qn ∈ S. Daher ist S eine σ Algebra ⇒(A ⊗ B) ⊆ S.
Lemma 1.87 (85)
Sei p Messraum und f : X × Y → P die Abbildung, welche definiert ist durch fx (y) =
f (x, y). Dann ist fx messbar für alle x ∈ X
32
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
Beweis. Für Q ⊆ P ∧ x ∈ X ist
fx−1 (Q) = {y ∈ Y |f (x, y) ∈ Q} = f −1 (Q) X
f −1 (Q) ∈ A ⊗ B
Lemma84
⇒
(f −1 (Q))x
Seien im folgenden µ ein σ endliches Maß auf X und v σ endlichs Maß auf Y mit
µ(A) < ∞, ∀A ∈ A, r(B) < ∞, ∀B ∈ B. Erklären (µ × r)(A × B) = µ(A)v(B) und
setzen µ × r : A × B → [0, ∞] . . .
Lemma 1.88 (86)
Sei A × B
paarweise disjukter Mengen mit
S ein Rechteck und (An × Bn ) eine folge P
A × B = n≥1 An × Bn . Dann ist (µ × r)(A × B) = n≥1 (µ × v)(An × Bn )
Beweis. Sei x ∈ A so ist B die disjunkte Vereinigu ng der An mit x ∈ An . Daraus folgt
X
r(Bn )χAn (x) = r(B)χA (x)
n≥1
Mittels Beppo-Levi folgt:
N
X
k=1
µ(Ak r(Bk ) =
Z X
N
Z
r(Bk )χAk (x) dµ →
r(B)xA (x) dµ = r(B)µ(A)
X
X k=1
Aus dem Lemma folgt, dass µ × r ein Maß auf der Mengenalgebra
ist. Außerdem
ist
S
S
dieses Maß σ-endlich. Denn nach Voraussetzung ist X = Sn≥1 An und Y = n≥1 Bn
mit f mu(Ai ), r(Ai ) < ∞ für i ∈ N. Folgich gilt X × Y = m,n≥1 An × Bm mit (µ ×
r9(Ai × Bi ) = µ(Ai )r(Bi )9 < ∞ dass man µ × r eindeutig zu einem Maß auf A ⊗ B
fortsetzen kann, welche mit µ ⊗ r bezeichnet wird.
Definition 1.89 (87)
Das Maß µ ⊗ r heißt Produtmaß
Satz 1.90 (88)
Seien k, m, n ∈ N mit n = k + m und λk , λn und λn die Lebesguenschen Maße auf
Rm , Rk und Rn . Dann gilt bzgl. Rn = Rm × Rk : λRn = λRm ⊗ λRk
Lemma 1.91
Sei Z ⊆ X × Y eine µ ⊗ r Nullmenge. Für fast alle x ∈ X ist Zx ein r Nullraum.
Satz 1.92
Sei Q ⊆ X ∈ Y eien µ⊗r messbare Menge. Dann ist für fast alle x ∈ X Qx r-messbar,
die (nur fast überall definierte) Funktion x 7→ r(Qx ) ist µ- messbar und es gilt
Z
µ ⊗ r)(Q) =
r(Qx ) dµ (x)
X
recall C war
R das Systm von Mengen Q ⊆ X × Y mit x 7→ r(Qx ) µ messbar und
µ ⊗ (Q) = X r(Qx ) dµ (x)
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
33
Ziel: C ist σ-Algebra.
Schon bewiesen, falls µ(x) < ∞, r(y) < ∞
Im allgemeinen Fall betrachten wir Folgen A1 ⊆ A2 ⊆ . . . ⊆ X und B1 ⊆ B2 ⊆ . . . ⊆ Y
mit µ(Ai ) < ∞, r(Bi ) < ∞ für i ∈ N. Für eine messbare Menge Q ⊆ X × y ist dann
r(Qx ) = lim (r(Qx ∩ Bn )χAn (x))
n→∞
Da χAn (x) ist messbar ist, ist x 7→ r(Qx ) messbar. Aus dem Satz von Bepp-Levi folgt
(µ ⊗ Q) lim (µ ⊗ r)(Q ∩ (An × Bn ))
n→∞
Wie oben gezeigtt gilt der Satz,
R falls X durch An und Y durch Bn ersetzen kann. Daher
ist (µ ⊗ r)(Q ∩ An × Bn ) = X r(Qx ∩ Bn )χAn (x) dµ (x) Daraus folgt
(µ ⊗ r)(Q) = lim (µ ⊗ r)(Q ∩ An × Bn )
n→∞
Z
r(Qx ∩ BN )χAn (x) dµ (x) =
r(Qx ) dµ (x)
Z
= lim
n→∞
X
X
Korollar 1.93 (Prinzip von Cavallieri)
Seien P, Q ⊆ X × Y (µ ⊗ v)-messbare Teilmengen und r(Qx ) = r(Px ) für fast alle
x ∈ X. Dann ist µ ⊗ r(P ) = µ ⊗ r(Q)
Satz 1.94 (Approximationssatz)
Für jede messbare Funktion f : X → [0, ∞] existiert eine monoton wachsende Folge
fn : X → [0, ∞] von Treppenfunktionen mit limn→∞ fn (x) = f (x) für alle x ∈ X
Beweis. Sei ε > 0 gegeben. Wir konstruieren eine Zerlegung
{Bx |k ∈ N} ∪ U
wie folgt:
U = {x ∈ X|f (x) = ∞}und
Bk = {x ∈ X|εk ≤ f (x) < ε(k + 1)}
(1.8)
(1.9)
P
Hierzu erklären wir eine elementare Funktion ϕε : X → [0, ∞], ϕε =
mk χBn + ∞xk
mit mk = inf Bk f (x). Diese Funktion erfüllt 0 ≤ ϕε ≤ f ≤ ϕε + ε Selbe Konstruktion
mit 2ε ergibt eine Partition
ε
ε
Ck = {x ∈ X| k ≤ f (x) < (k + 1) }
2
2
Aufgrund von Bk = c2k ∪ c2k+1 folgt ϕε ≤ ϕε/2 . Bezeichne gp = ϕ2 − p. Dann ist gp
eine elementarer Funktionen mit gp ≤ gp+1 , p ∈ N und es gilt f (x) = limp→∞ gpS(x). Sei
A1 ⊆ A2 ⊆ . . . ⊆ X eine Folge von Mengen mit µ(Ai ) < ∞, i ∈ N und X = i∈N Ai .
Sei:
(
min(n, gn (x)) für x ∈ An
fn (x) =
0
x ∈ X \ An
Damit ist fn (x) eine Folge von Treppenfunktionen fn : X → [0, ∞] welche monoton
wachsend ist und punktweise gegen f konvergiert
34
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
Satz 1.95 (Satz von Tonelli)
Sei f : X × Y → [0, ∞] eine (µ ⊗ r)-messbare Funktion. Dann gilt:
1. fx : Y → [0, ∞] ist r-messbar für fast alle x ∈ X
2. Die Funktion x 7→
3. Es gilt:
R
X×Y
R
Y
f (x, y) dr (y) ist µ-messbare
f (x, y) d( µ ⊗ r) =
R R
X
Y
f (x, y) dr (y) dµ (x)
Beweis. Sei Q ⊆ X × Y (µ ⊗ r)-messbar mit (µ ⊗ r)(Q) < ∞, so folgt aus Satz 8.16
Z
Z Z
Z
χQ (x, y) d( µ ⊗ r) = µ ⊗ r(Q) =
r(Qx ) dµ (x) =
χQ (x, y) dr (y) dµ (x)
X×Y
X
X
Y
Damit folgt der Satz für Treppenfunktionen. Nach Satz 8.12 existiert eine Folge von
Treppenfunktionen fn : X × Y → [0, ∞] die punktwiese und monoton gegen f konvergiert. Aus dem Satz über monotone Konvergenzt folgt
Z
Z
f (x, y) d( µ ⊗ r) = lim
fn (x, y) d( µ ⊗ r)
n→∞
X×Y
X×Y
Da Q ⊆ X × Y (µ ⊗ r) messbar mit (µ ⊗ r)(Q) < ∞ ist, folgt dass eine Nullmenge
Z ⊆ X, so dass für alle x ∈ X \ z Qx µ messbar ist. Weiter war die Funktion
X \ Z 3 x 7→ r(Qx )
µ-messbar und X\Z r(Qx ) dµ (x) = (µ ⊗ r)(Q) <, ∞. Aus Lemma 8.4 folgt, dass eine
Nullmenge Z 0 ⊇ Z, sodass r(Qx ) < ∞∀x ∈ X \ Z 0 . Insbesondere folgt die existenz
einer Nullmenge Zn ⊆ X für jeden n ∈ N, so dass fn (x, ·) für alle x ∈ X \ Zn eine
Treppenfunktion ist.
R
S
Es sei Z = n∈N Zn , so ist fn (x, ·), ∀x ∈ X \ Z eine Treppenfunktion. Da f (x, ·) für
alle x ∈ X \ z punktweise gegen f (x, ·) konvergiert, ist f (x, ·) µ-messbar. Da (fn (x, ·))
eine monoton wachsende Folge ist, folgt aus dem Satz über mootone Konvergenz, dass
Z
Z
fn (x, y) dr (u)
f (x, y) dr (y) = lim
Y
n→∞
Y
R
gilt auf X \Z. Sei g(x) = Y f (x, y) dr (u) und gn (x) = Y fn (x, y) dr (?). Nach Satz 8.10
folgt, dass (gn ), n ∈ N, µ-messbar sind. Ferner ist gn (x) ≥ 0 und monoton wachsend.
Da für alle x ∈ X \Z gn (x) punktweise gegen g konvergiert, ist g µ-messbar und mittels
des Satzes über monotone Konvergenz:
Z
Z
g(x) dµ (x) = lim = lim
gn (x) dµ
n→∞
n→∞ X
X
Z Z
= lim
fn (x, y) dr (y) dµ
n→∞ X Y
Z
= lim
fn (x, y) d( µ ⊗ r)
n→∞ X×Y
Z
=
f (x, y) d( µ ⊗ r)
R
X×U
1 MAß- UND INTEGRATIONSTHEORIE
35
Satz 1.96 (8.14 Satz von Fubini)
Sei f : X × Y → Rm integrabel bezüglich µ ⊗ r. Dann gilt:
• f (x, ·) : y → Rm integrabel bezüglich r für fast alle x ∈ X
• x ∈ X 7→
• Es ist
f (x, y) dr (y) ist integrabel
R
Y
R
X×Y
f (x, y) d( µ ⊗ r) =
R R
X
Y
f (x, y) dr (y) dµ (y)
Beweis. Wie im Satz 8.13 folgt die Behauptung für Treppenabbildungen. Sei fn : X ×
Y → Rm eine L1 -Cauchyfolge von Treppenfunktionen die punktweise fast überall gegen
f konvergiert. Indem wir fn evt. durch die Treppenabbildung gn mit
(
fn (x, y), kfn (x, y)k ≤ 2kf (x, y)k
gn (x, y) =
0, sonst
können wir kfn (x, y)k ≤ 2kf (x, y)k annehmen (für alle (x, y) ∈ X × Y ). Aus Lemma
8.9 folgt, dass kfn (x, ·)k außerhalb einer Nullmenge Zx ⊆ Y punktweise gegen kf (x, ·)k
konvergiert. Dann folgt, dass kf (x, ·)k für fast alle x ∈ X als Grenzwert messbarer
Funktionen messbar ist. Nach dem Satz von Tonelli folgt
Z
kf (x, y)k dr (y)
x 7→
Y
ist µ-messbar und
R R
X
Y
kf (x, y)k dr (y) dµ (x) =
R
X×Y
kf (x, y)k d( µ ⊗ r) < ∞
Mittels Lemma 5.3 folgt, dass
Z
f (x, y) dr (y) < ∞
Y
für fast alle x ∈ X. Insbesondere ist f (x, ·) für fast alle x ∈ X integrabel. Weiter
kfn (x, ·)k ≤ 2kf (x, ·)k. Aus dem Satz von Lebesgue folgt, dass (fn (x, ·)) eine L1 Cauchyfolge ist. Dann ist:
Z
Z
f (x, y) dr (y) = lim
fn (x, y) dr (u)
n→∞
Y
Y
R
für fast alle x ∈ X. Sei hn (x) = Y fn (x, y) dr (x) und h(x) = Y f (x, y) dr (y). Dann
folgt, dass (hn )n∈N eine Folge integrabler Abbildungen ist, die punktweise fast überall
gegen h konvergiert. Weiter ist
Z
khn − hm k1 =
khm (x) − hm (x)k dµ (x)
X
Z Z
(fn (x, y) − fm (x, y)) dr (?) dµ (x)
=
ZX Z y
≤
kfn (x, y) − fm (x, y)k dr (y) dµ (x)
X
Y
Z
=
kfn (x, y) − fm (x, y)k d( µ ⊗ r)
R
X×Y
= kfn − fm k1
36
2 DIE TRANSFORMATIONSFORMEL
Damit ist (hn ) eine L1 -Cauchyfolge.
Z
Z Z
f (x, y) dr (y) dµ (y) =
h(x) dµ (x)
X Y
X Z
= lim
hn (x) dµ (x)
n→∞ X
Z
fn (x, n) d( µ ⊗ r)00
= lim
n→∞ X×Y
Z
=
f (x, y) d( µ ⊗ r)
X×Y
Dies beendet den Beweis von Fubini
2 Die Transformationsformel
Wichtiges Hilfsmittel zur Berechnung 1-dim Integrale. Substitution sei ϕ : [a, b] →
[ϕ(a), ϕ(b)] eine stetig diffbare Parametertransformation für eine stetig diffbare Funktion f : [ϕ(a), ϕ(b)] → R
Z
ϕ(b)
Z
f (y) dy =
ϕ(a)
b
f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt
a
Satz 2.1 (9.1)
Seien U, V ⊆ Rn offene Teilmengen und ϕ : U → V sei C 1 -Diffeomorphismus. Ist
A ⊆ U Lebesgue-messbar, so ist ϕ(A) Lebesgue-messbar und es gilt:
Z
λ(ϕ(A)) =
| det ϕ0 (x)| dλ (x),
>
wobei ϕ0 = dϕ das Differential von ϕ ist
Beweis später
Bemerkung: A ⊆ Rn Lebesgue-messbar und f integrabel
Z
Z
f (x) dλ (x) =
f (x) dx
A
A
Korollar 2.2
Seien U, V ⊆ Rn offen und ϕ : U → V C 1 Diffeomorphismus. Sei f : V → [0, ∞]
Lebesgue-messbar. Dann ist auch f ◦ f : u → [0, ∞] Lebesgue-messbar und es gilt
Z
Z
f (y) dy =
f (ϕ(x))kdetϕ0 (x)| dx
V
U
2 DIE TRANSFORMATIONSFORMEL
37
Satz 2.3 (9.3)
Seien U, V offen und ϕ : u → V ein C 1 -Diffeomorphismus. Wenn f : V → Rm
integrabel ist, so ist auch f ◦ ϕ|detϕ0 (x)| : u → Rm integrabel und es gilt
Z
Z
f (y) dy = (f ◦ ϕ)(x)| det ϕ0 (x)| dx
V
U
Pk
m
Beweis. Zunächst sei f =
i=1 Vi χAi eine Treppenfunktion mit V1 , . . . , Vk ∈ R
−1
und A1 , . . . , Ak Lebesgue-messbar mit λ(Ai ) < ∞. Nach Satz 9.1 ist Bi = ϕ (Ai )
Lebesgue-messbar und es gilt
Z
Z
0
χBi (x)| det ϕ (x)| dx =
| det ϕ0 (x)| dx = λ(Ai )
U
Bi
Insbesondere ist χBi (x)| det ϕ0 (x)| integrabel und daher auch
aus folgt
Z
k
X
f (ϕ) dy =
Vi λ(Ai )
V
P
Vi (χBi ◦ϕ)| det ϕ0 | Dar-
(2.1)
i=1
=
k
X
Zi=1
=
Z
(χBi ◦ ϕ)| det ϕ](x)| dx
Vi
f (ϕ(x))| det ϕ0 (x)| dx
(2.2)
(2.3)
U
Dies ist die Behauptung für Treppenfunktionen
Beweis. Sei nun f ∈ 1 (V, Rm ) und fn eine Folge in τ (V, Rm ), die punktweise fast überall
gegen f konvergiert. Dann (fn ◦ϕ)| det ϕ0 (x)| ist eine Folge, welche gegen (f ◦)| det ϕ0 (x)|
punktweise fast überall konvergiert. Korollar 9.2
k(fn ◦)| det ϕ0 | − (fm ◦ ϕ)| det ϕ0 |k1
= kfn − fm k1
(2.4)
(2.5)
Somit ist (fn ◦ ϕ)| det ϕ0 (x)| eine L1 Cauchyfolge und daher ist (f ◦ ϕ)| det ϕ0 (x)| integrabel mit:
Z
Z
f (y) dy =
f (ϕ(x))| det ϕ0 (x)| dx
V
U
Korollar 2.4 (9.4)
Sei U ⊆ Rn offen und sei ϕ : U → Rn eine C 1 Abbildung. Sei A ⊆ U eine messbare
Menge, so dass der Rand von A eine Nullmenge sei und s.d. ϕ C 1 invertierbar im
inneren von A sei. Es sei f ∈ L1 (ϕ(A)). Dann ist (f ◦ ϕ)| det ϕ0 (x)| ∈ L1 (A) und es
gilt
Z
Z
f (y) dy = (f ◦ ϕ)| det ϕ0 (x)| dx
ϕ(A)
A
38
2 DIE TRANSFORMATIONSFORMEL
Beweis. Bezeichne U0 das Innere von A. Da ϕ eine C 1 -Abbildung ist und ∂A eine
Nullmenge ist ϕ(∂A) eine Nullmenge und es gilt
ϕ(A) = ϕ(U0 ) ∪ ϕ(∂A)
Beweis. Weiter unterscheiden seien A und U0 , bzw. ϕ(A)undϕ(U0 ) nu durch Nullmengen. ϕ|U0 ist ein C 1 Diffeomorphismus und somit folgt
Z
Z
Z
f (y) dy =
f (y) dy =
(f ◦ ϕ)(x)| det ϕ0 (x)| dx
(2.6)
ϕ(A)
ϕ(U0
U0
Z
= (f ◦ ϕ)(x) = | det ϕ0 (x)| dx
(2.7)
A
Beweis. [Satz 9.1] Auf Rn verwenden wir die Norm
kxk = max{|xi |, i ∈ {1, . . . , n}}
Für eine lineare Abbildung ist die Operatornomr
kLk = max kL(x)k
kxk=1
Sei Q ⊆ Rn beschränkter Quader mit Q̄ ⊆ U Sei ε > 0 gegeben und man unterteile Q
ist halboffene gleichgroße Würfel Qj , j ∈ I, so dass
(2.8)
(2.9)
kϕ0 (x) − ϕ0 (y)k < ε ∀x, y ∈ Qj
kdet ϕ0 (x) − det ϕ0 (y)k < ε
Das Zentrum von Qj sei dj . Nach Wahl der Norm existiert r > 0 mit Qj = Br (ej ) :=
{x ∈ Rn | kx − xj k < r},∀j ∈ I. Sj := ϕ0 (xj )−1 ◦ ϕ. Dann gilt
Sj0 = ϕ0 (xj )−1 ◦ ϕ0 (xj ) =
0−1
0
−1
0
0
0
0
Id und Sj (x) − Sj (xj ) = kϕ (xm ) (ϕ (x) − ϕ (xj )k ≤ ϕj (xj ) ε ∀x ∈ Qj Sei
K = maxy∈Q kϕ0 (y)−1 k. Dann folgt für x ∈ Qj
0 Sj (x) ≤ 1 + εkϕ0 (xj )−1 k ≤ 1 + kε
und mittels Schrankensatz: kSj (x) − Sj (xj )k ≤ (1 + kε)r
∀x ∈ Qj
2.1 Fouriertransformation
√ √
In diesem Abschnitt bezeichnen wir mit λ das Lebesguemaß, dass mit ( 2 π)n reskaliert wird auf Rn
1
λ= √
dn λ
n
( 2π)
2 DIE TRANSFORMATIONSFORMEL
39
Weiter erklären wir
p1
|f (x)| dλ (x)
Z
p
kf kp =
Rn
und (x ∈ Rn , h·, ·iRn euklidisches Skalarprodukt)
fˆ(x) =
Z
f (y)e−ihx,yi
Rn
Für x ∈ Rn und f ∈ L1 ist dieses Integralerklärt
Definition 2.5 (10.1)
Die Abbildung f → fˆ heißt Fouriertransformation
Erinnerung: Faltung
Z
f (x − y)g(y) dλ (y) = (f ∗ g)(x)
Rn
Satz 2.6 (10.2)
Sei f ∈ L1 (Rn ) und λ ∈ R, α ∈ Rn
• Für g(x) = f (x)eihα,xi ist ĝ(y) = fˆ(x − α)
• Für g(x) = f (x − 2) ist ĝ(y) = ˆ(y)e−ihα,yi
• Für g ∈ L1 ist f ∗ g ∈ L1 ist f[
∗ g HELP Folglich überführt die Fouriertransformation Faltungen in Multiplikationen (und um HELP
¯ folgt ˆ(y) = ˆ ¯(y)
f
• Für g(x) = f (−x)
• Für g(x) = HELP folgt ĝ(y) = λn fˆ(λy)
• Ist g(x) = −ixα f (x), x = (x1 , . . . , xm )R ∈ Rm . Ist g ∈ C 1 (R), dann ist ˆ(y) nach
y n partiell differentierbar und fˆ(x) = Rn f (y)e−ihx,yi dλ (y), x ∈ Rn
Für x ∈ Rn und f ∈ L1 ist dieses Integral erklärt
Definition 2.7
Die Abbildung f 7→ fˆ heißt Fouriertransformation
::Hier könnte ihre Werbung stehen::
40
2 DIE TRANSFORMATIONSFORMEL
Man berechnet für y ∈ Rn und l > 0 und ln k-te Einheitsvektor die R:::::::::
Z
1 ˆ
ˆ
(f (y + tln ) − f (y)) =
f (x)e−ihy,xi ϕ(y, t) dλ (x)
t
n
R
1 −itxk
−1
ϕ(y, t) =
e
t
e−ixk t − 1
=
t−0
Es gilt |ϕ(y, t)| ≤ 1, limt→0 ϕ(y, t) = −ixk . Damit darf man monotone Konvergenz verR
∂ fˆ
k
−ihx,yi
uf
wenden auf den Diff quotient anwenden ∂y
dλ (x) = −ixd
k (y) = −i Rk x f (x)e
Bemerkung: Monotone Konvergenz haben wir nur für abzählbare Familien von Funktionen/Funktionenfolgen gezeigt. Zur Berechnung t → 0 wähle man eine beliebige Folge
Z
1 ˆ
monotone Konvergenz
(tl )t∈N , tl ∈ R lim
f (y + tl ek ) − fˆ(y) =
=
−i xk f (x)e−ihx,yi dλ (x)
k→∞ tl
R
Die Folge war eine beliebige Nullfolge. ⇒Behauptung. Sei f kompakt und glattem Träger
Z
(∂k f (x))e−ihx,yi dλ (y)
(2.10)
n
R
Z
partielle Integration
f (x)∂k (e−ihx,yi ) dλ (y)
(2.11)
=
−
n
R
Z
k ˆ
i
f (x)xk e−ihx,yi dλ (k), ∂\
(2.12)
k f (y) = iy f (y)
Rn
Für beliebiges f ∈ L1 approximiert mna durch glatte Funkton auf kompakten Träger
(f ∗ ϕε )(x) =
R
R
f (y)ϕε (x − y) dλ (y)
Beispiel 2.8
Man betrachte die partielle DGL ψ : R>0 × Rn → C
i
~ = Pn
und ∇
i=1
∂2
∂xi2
∂
~
x)
ψ(t, x) = −∇ψ(t,
∂t
Fouriertransformation bzgl. x ∈ Rn
n
X
∂
∂ \
∂
\
~
i ψ̂(t, x) = −∇ψ(x, t) = −
ψ(x, t)
∂t
∂xi ∂xi
i=1
=−
n
X
(2.13)
∂\
ψ(t, x)
∂xi
(2.14)
(ixi )2 ψ̂(t, x)
(2.15)
= +kxk2 ψ̂(x, t)
(2.16)
ixi
i=1
n
X
=−
i=1
2 DIE TRANSFORMATIONSFORMEL
41
Zu lösen:
∂
c0
ψ̂(t, x) = −ikxk2 ψ̂(t, x), ψ̂(0, x) = ψ
∂t
ψ̂(t, x) = e−ikxk2 tψ̂0 (x)
W
V
Wäre das Inverse zu , dann wäre
(2.17)
(2.18)
ψ(t, y) = (e−ikxk2 tψ̂0 (x))(y)
Ziel: Man finde V
2.2 10.2 Der Umkehrsatz
Analogie zu Fourierreihen f : [−π, π] → C ist
Z
1
Cn =
f (x)e−inx dx
2π [−π,π]
und es folgt
f (x) =
∞
X
Cn einx
n→∞
Wie übersetzt man dies (aus dem Fourierraum heraus)?
Z
f () =
fˆ(y)eihx,yi dλ (y)
Rn
Für fˆ ∈ L1 (Rn ) ist dieses Integral erklärt.
R
Ziel: f = Rn f (y)eihx,yi dλ (y) fast überall. Zeigen dies zuerst für n = 1 Fk Fouriertransformation bzgl der kten Variable. Dann folgt
fˆ(x1 , . . . , xn ) = Fn ◦ Fn−1 − F2 (F1 f )
R
Nebenbem f (x0 , . . . , xn )eix1 y1 eix2 y2 . . . eixn yn dλ
Z
Z
Z
=
dλ (xn ) dλ(xn−1 ) −
dλ (x1 )f (x1 , . . . , λn )eix1 y1 . . . eixn yn Fk = Fn ◦ . . . ◦ F1 ,