Versuch 1: Fehler und Statistik

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01-1
Meßprozeß, Meßfehler und Statistik
Vorbereitung :
Begriff der Wahrscheinlichkeit, statistische Verteilungen (Binomialverteilung,
Poissonverteilung, Gaussverteilung), Meßfehler und Fehlerfortpflanzung.
Literatur :
• Vorbereitungsmappe
• Bronstein, Semendjajew : Taschenbuch der Mathematik
• Knoll : Radiation Detection and Measurement, Kapitel 3
• W.R. Leo : Techniques for Nuclear and Particle Physics Experiments, Kapitel 4
Versuch :
Auf spielerische Art und Weise ohne apparativen Ballast (nur unter Verwendung
von Würfel und verschiedenfarbigen Kugeln) soll der Umgang mit Begriffen wie
Meßfehler, Fehlerfortpflanzung, statistischen Verteilungen und Signifikanz erlernt
werden. Diese Begriffe sind für jeden Naturwissenschaftler, der Daten und Messungen interpretieren möchte, unverzichtbar und werden auch im weiteren Verlauf des Praktikums eine entscheidende Rolle spielen.
01-2
Aufgaben :
1.
Meßprozeß, Meßfehler und statistische Verteilungen
Anhand eines einfachen Modellmeßprozesses sollen der elementare Meßvorgang
und der Begriff des Meßfehlers demonstriert werden. Ein Meßgerät zur Bestimmung des Anteils der schwarzen Kugeln in einer unbekannten Menge schwarzer
und weißer Kugeln sei folgendermaßen definiert : aus der Menge der Kugeln werden zwölf beliebige gleichzeitig entnommen. Der Anteil der schwarzen darin ist
der Meßwert für den Anteil der schwarzen Kugeln in der gesamten Menge.
• Führen Sie die Messung 20mal durch (mit Zurücklegen) !
• Bestimmen Sie den Mittelwert für den Anteil der schwarzen Kugeln sowie den
Meßfehler des Meßgeräts aus der Streuung der Meßwerte (Standardabweichung) !
• Tragen Sie die erhaltenen Einzelwerte in geeigneter Darstellung graphisch auf
!
• Zeichnen Sie in die graphische Darstellung der Meßwerte den erwarteten Verlauf, wenn Sie Ihren gemessenen Anteil an schwarzen Kugeln als tatsächlichen
Wert annehmen !
• Zeichnen Sie in die graphische Darstellung der Meßwerte zusätzlich das erwartete Ergebnis bei Verwendung einer Poissonnäherung ein ! Diskutieren Sie die
Gültigkeit der Näherung !
2.
Meßfehler und Fehlerfortpflanzung
• Bestimmen Sie (ohne zu wiegen) die Masse einer einzelnen Spielkarte des am
Versuch ausliegenden Kartenspiels nach einer Methode Ihrer Wahl ! Machen
Sie gegebenenfalls plausible Annahmen über Ihnen unbekannte Größen.
• Schätzen Sie in die Bestimmung eingehende Fehler ab und führen Sie eine
Fehlerfortpflanzungsrechnung durch !
• Vergleichen Sie mit der tatsächlichen Masse, die mit der Waage bestimmt werden kann !
3.
Statistischer Fehler, Test von Hypothesen, Signifikanz
• Untersuchen Sie den vorliegenden Würfel auf die Auftrittshäufigkeit von Einsern, indem Sie 100mal würfeln und die Anzahl der geworfenen Einser bestimmen !
• Bestimmen Sie den statistischen Fehler Ihrer Auftrittshäufigkeit exakt (Binomialverteilung) und vergleichen Sie mit dem statistischen Fehler einer Poissonnäherung !
• Ist der Würfel gezinkt, d.h. tritt die Eins signifikant häufiger oder signifikant
zu selten auf ? Geben Sie ein Maß für die Qualität (Signifikanz) Ihrer Aussage
01-3
an, indem Sie (a) die theoretische Standardabweichung und (b) die kumulative
Verteilung, die sich in der Vorbereitungsmappe befindet, verwenden !
4.
Abstand aufeinanderfolgender statistisch verteilter Ereignisse
Es soll bestimmt werden, wieviele Würfe es beim Würfeln dauert, bis Sie eine 3
oder 4 würfeln.
• Skizzieren Sie - bevor Sie das Experiment durchführen - in Ihr Praktikumsheft,
was Sie als Ergebnis erwarten !
• Bestimmen Sie nun experimentell, wieviele Würfe es dauert, bis Sie eine 3 oder 4 werfen ! Führen Sie den Versuch 100mal durch !
• Stellen Sie das Ergebnis graphisch dar und vergleichen Sie mit Ihrer erwarteten
Skizze !
• Berechnen Sie nun exakt die erwartete Verteilung und tragen Sie sie in die
graphische Darstellung der Messung ein !
• Übertragen Sie das eben gelernte auf ein Experiment, das statistisch verteilte
Ereignisse mit einer Rate r (d.h. r Ereignisse pro Sekunde) mißt – z.B. die Zerfälle eines radioaktiven Präparates. Welche Verteilung erwarten Sie für den
Zeitabstand zweier aufeinanderfolgender Ereignisse ? Begründen Sie die Gültigkeit Ihrer gewählten Verteilung !
01-4
Vorbereitungsmappe - Meßprozeß, Meßfehler und Statistik
Themen :
Begriff der Wahrscheinlichkeit, statistische Verteilungen (Binomialverteilug, Poissonverteilung, Gaußverteilung), Meßfehler und Fehlerfortpflanzung.
Literatur :
•
Vorbereitungsmappe
•
Bronstein, Semendjajew : Taschenbuch der Mathematik
•
Knoll : Radiation Detection and Measurement, Kapitel 3
•
4
W.R. Leo : Techniques for Nuclear and Particle Physics Experiments, Kapitel
Begriff der Wahrscheinlichkeit, relative Häufigkeit :
Ein Versuch habe verschiedene mögliche Elementarausgänge. Beim Werfen einer
Münze wären dies Kopf oder Zahl, beim Würfeln die sechs verschiedenen Seiten des
Würfels. Das Eintreten eines Ereignisses A hänge nun von diesen Elementarausgängen
ab, z.B. trete A ein, wenn eine 5 oder 6 gewürfelt wird. Die Wahrscheinlichkeit für das
Eintreten von A ist dann :
P( A) =
Anzahl der für A günstigen Elementarausgänge
Anzahl aller möglichen Elementarausgänge
Ist das Eintreten von zwei Ereignissen A und B unabhängig, so erhält man die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A und B als das Produkt der einzelnen Eintrittswahrscheinlichkeiten von A und B. Hat ein Ereignis die Eintrittswahrscheinlichkeit
null, so kann es nicht eintreten, bei Eintrittswahrscheinlichkeit eins wird es immer
eintreten. Weiterhin wird jedes Ereignis, dessen Eintrittswahrscheinlichkeit von null
verschieden ist, irgendwann einmal stattfinden, wenn man nur lange genug wartet. Um
eine unbekannte Eintrittswahrscheinlichkeit (z.B. Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln, wenn der Würfel gezinkt ist) zu bestimmen, kann man N mal einen Versuch
durchführen (hier N maliges Werfen des Würfels), und die Häufigkeit des Auftretens
des zu untersuchenden Ausgangs (hier Werfen einer 6) bestimmen. Die so erhaltene
relative Häufigkeit des Eintretens des Ausgangs geht im Limes N → ∞ in die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über (zentraler Grenzwertsatz der Statistik).
01-5
Messung, Mittelwert und Streuung
Zur Bestimmung physikalischer Größen werden Messungen durchgeführt. Werden N
unabhängige Messungen einer physikalische Größe x durchgeführt, so ist der Mittelwert x dieser N Meßwerte ein Schätzwert für die zu messende Größe :
x =
1
N
N
∑x
i =1
i
Ein Maß für die Qualität der Messung ist, wie stark die N Meßwerte für die Größe x
streuen. Ein Maß für die Streuung s ist die mittlere quadratische Abweichung der N
Meßwerte vom Mittelwert :
s2 =
1
(N − 1)
N
∑
(xi - x )2
i =1
1 N
∑ xi ist, wird
N i =1
durch N-1 statt N geteilt, um den verlorenen Freiheitsgrad zu berücksichtigen. Streuungen von Meßwerten können entstehen, wenn statistische Prozesse in den Meßvorgang eingehen, wie z.B. die Zahl von Atomen, die ionisiert werden, wenn ein geladenes Teilchen durch Materie fliegt.
s² wird als Varianz, s als Standardabweichung bezeichnet. Da x =
Verteilungsfunktion: Binomialverteilung, Poissonverteilung, Gaussverteilung
Unter einer Verteilungsfunktion versteht man die Häufigkeitsverteilung, mit der bei
der Messung einer Größe x ein individueller Wert xi auftritt. Bei einem ungezinkten
Würfel ist die Verteilungsfunktion eine Konstante, da alle möglichen Werte gleich
wahrscheinlich auftreten. Von praktischer Bedeutung sind im wesentlichen drei Verteilungsfunktionen :
Binomialverteilung
Ein typisches Szenario, das auf eine Binomialverteilung führt, ist das Ziehe von N Losen aus einer Trommel mit einem bekannten Anteil an Nieten. Die Wahrscheinlichkeit, k Nieten unter N gezogenen Losen zu haben - bei einem Anteil von k Nieten in
der Trommel - ist dann gegeben durch :
P(k) =
N!
pk ( 1 - p ) N-k
k! ( N − k )!
Dieser funktionale Zusammenhang kann leicht eingesehen werden : Die Terme p k
geben die Wahrscheinlichkeit an k Nieten und N-k Treffer zu haben,
und (1 − p )
der erste Term gibt die Anzahl der kombinatorischen Möglichkeiten an, da es nicht interessiert, welches Los eine Niete oder ein Treffer war. Als Mittelwert k und Varianz
σ² ergeben sich :
N −k
01-6
N
k=
∑ kP(k ) = pN
k =0
N
σ 2 = ∑ (k − k ) 2 P (k ) = N p (1 − p )
k =0
Beispiele von Binomialverteilungen zeigt die folgende Abbildung.
Poissonverteilung
Die Poissonverteilung ist eine Näherung aus der Binomialverteilung, die für praktische
Zwecke einfacher zu handhaben ist. Sie gilt für eine große Anzahl an Versuchen N bei
kleinen Wahrscheinlichkeiten p. Die Wahrscheinlichkeit, k Ereignisse bei einer Erwartung µ = pN zu beobachten, ist gegeben durch :
P(k ) =
µ k e−µ
k!
Als Mittelwert µ und Varianz σ² ergeben sich :
N
k =
∑ kP ( k ) = pN
k =0
N
σ 2 = ∑ ( k − k ) 2 P( k ) = pN
k =0
Beispiele von Poissonverteilungen mit verschiedenen Mittelwerten zeigt die folgende
Abbildung.
01-7
Ein typisches Beispiel, das auf eine Poissonverteilung führt, ist der radioaktive Zerfall:
Die Wahrscheinlichkeit p, daß ein einzelner Kern zerfällt, ist sehr klein, die Anzahl N
der radioaktiven Kerne im Präparat ist jedoch groß. Die Zahl k der Zerfälle, die man in
einem bestimmten Meßzeitintervall beobachtet, ist daher poissonverteilt um den Erwartungswert µ = pN. Geht es in einem Experiment darum, z.B. die Zerfallsrate oder
ähnliches aus der gemessenen Anzahl µ zu bestimmen, so ist zu beachten, daß die gemessene Anzahl µ aufgrund statistischer Schwankungen mit dem Fehler
σ = pN = µ behaftet ist. (Die Standardabweichung µ wird in der Laborsprache häufig N -Fehler genannt, wobei N dann der Mittelwert und nicht die Anzahl
der Versuche darstellt.
Gaussverteilung
Die Gaussverteilung ist eine Näherung der Poissonverteilung für große Mittelwerte
µ . Sie ist eine gute Näherung für µ 〉 20 .
1
P ( x) =
e−
σ 2π
( x − µ )2
2σ 2
Im Gegensatz zu Binomial- und Poissonverteilung, die diskrete Verteilungen sind, ist
bei der Gaussverteilung das Argument x kontinuierlich. Die Parameter µ und σ² sind
der Mittelwert und die Varianz der Verteilung. Beispiele von Gaussverteilungen mit
verschiedenen Standardabweichungen zeigt die folgende Abbildung.
Messung und Meßfehler
Jede Messung und jedes Experiment beinhalten Unsicherheiten, die als Fehler bezeichnet werden. Es wird zwischen zwei verschiedenen Arten von Fehlern unterschieden :
Systematische Fehler
Systematische Fehler kommen dadurch zustande, daß ein Meßgerät nie perfekt sein
kann und eventuell nicht exakt bekannte Parameter in den Meßvorgang eingehen. Ein
einfaches Beispiel für einen systematischen Fehler bei Spannungsmessungen ist ein
unzureichender Nullabgleich, der dazu führt, daß alle Meßwerte systematisch in eine
01-8
Richtung verschoben sind, d.h. zu groß oder zu klein angezeigt werden. Systematische
Fehler können oft nachträglich, wenn man die Ursache verstanden hat,
korrigiert werden.
Statistische Fehler
Im Gegensatz zu systematischen Fehlern, die für alle Datenpunkte in die gleiche Richtung gehen, führen statistische Fehler zu einer zufälligen Streuung der Meßpunkte.
Statistische Fehler kommen dadurch zustande, daß entweder die zu messende Größe
statistischen Fluktuationen unterliegt (z.B. radioaktiver Zerfall), oder im Meßprozeß
zufällige Schwankungen auftreten können.
Quantitative Größe von Fehlern
Soll in einem Experiment eine Größe x gemessen werden, so ist es aufgrund von Meßfehlern (statistische und systematische) unwahrscheinlich, genau den tatsächlichen
Wert in der Messung zu erhalten. Um dennoch eine Aussage machen zu können, wird
daher ein Intervall um den Meßwert herum (Fehlerbereich) angegeben, in dem der tatsächliche Wert unter Berücksichtigung der Meßfehler mit einer bestimmten Sicherheit
liegt. In der Regel wird dabei als Sicherheit 68 % gewählt: Bei Zugrundelegen einer
Gaussverteilung für die Meßwerte (was in der Regel gerechtfertigt ist) entspricht dies
genau einem Intervall von ± σ (eine Standardabweichung) um den gemessenen Wert
(vgl. Abbildung). Der so definierte Fehler wird als 1σ Fehler bezeichnet und enthält
den tatsächlichen Wert per Konstruktion in nur 68 % aller Fälle, d.h. bei etwa einem
Drittel aller Meßpunkte sollte die erwartete Theoriekurve außerhalb des Fehlerbereichs um den Meßwert liegen. Bei Zählratenexperimenten, bei denen N Ereignisse
gemessen wurden, ergibt sich das 1σ Intervall zu N ± N (für N > 5). Gibt man als
Fehlerbereich ± 2σ an so liegt der tatsächliche Wert mit etwa 95 prozentiger Sicherheit darin, bei 3σ sind dies sogar 99.7 %.
Fortpflanzung von Fehlern
In einem typischen Experiment (Messung) hängt die zu bestimmenden Größe nur selten von nur einer Meßgröße ab. Gehen mehrere Meßgrößen mit verschiedenem funktionalen Zusammenhang in das Endergebnis ein, so muß der Meßfehler der Einzelgrößen korrekt auf das Endergebnis 'mitgezogen' werden. Diese Prozedur wird als Fehlerfortpflanzung bezeichnet. In einem Experiment soll eine Größe u bestimmt werden,
indem die (nichtkorrelierten) Größen x, y und z mit den Fehlern ∆x, ∆y und ∆z gemessen werden, und sich u dann daraus ergibt u = u(x,y,z). Der resultierende Fehler von u
ergibt sich dann zu :
01-9
∆u = (
∂u
∂u
∂u
∆x ) 2 + ( ∆y ) 2 + ( ∆z ) 2
∂x
∂y
∂z
Die partiellen Ableitungen berücksichtigen dabei den funktionalen Zusammenhang,
mit dem die einzelnen Meßgrößen in das Endergebnis eingehen. Eine Herleitung dieser Formel befindet sich in W.R. Leo : Techniques for Nuclear and Particle Physics
Experiments, Kapitel 4.
Beispiel:
In einem Fallversuch soll die Erdbeschleunigung g aus der Zeit t bestimmt werden, die
zum Durchfallen der Höhe h nötig ist. Die Fehler der Zeit- und Längenmessung seien
∆t und ∆h. Dann gilt :
2h
g= 2
t
und
2
− 4h
∆g = ( 2 ∆h ) 2 + ( 3 ∆t ) 2
t
t
Anhang : kumulative Binomialverteilung
100
∑
k= N
100!
⎛1⎞
⎜ ⎟
k ! (100 − k ) ! ⎝ 6 ⎠
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
k
⎛5⎞
⎜ ⎟
⎝6⎠
100 − k
N
1.000000
1.000000
1.000000
0.9999909
0.9999151
0.9996243
0.9987031
0.9962290
0.9904769
0.9787169
0.9573135
0.9222903
0.8703381
0.8000029
0.7125871
0.6123492
0.5058483
0.4005981
0.3035336
0.2197517
0.1518885
0.1001839
6.3051395E-02
3.7864942E-02
2.1703802E-02
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
1.1877781E-02
6.2088622E-03
3.1014658E-03
1.4811853E-03
6.7661377E-04
2.9578962E-04
1.2380608E-04
4.9638114E-05
1.9072168E-05
7.0252522E-06
2.4819078E-06
8.4125941E-07
2.7367028E-07
8.5474326E-08
2.5636480E-08
7.3861623E-09
2.0446314E-09
5.4390559E-10
1.3905974E-10
3.4167450E-11
8.0613372E-12
1.8185454E-12
3.8402709E-13
6.7237597E-14
0.0000000E+00
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