1 Rechnen mit Quadratwurzeln

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Rechnen mit Quadratwurzeln
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1.1 Die Quadratwurzel
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Rechnen mit Quadratwurzeln
Wer wissen will, wie lange er beim Sprung vom 10-m-Turm eines Freibads in der
Luft ist, sollte sich in der Wurzelrechnung auskennen. Aber auch beim Anlegen
eines quadratischen Gemüsebeets spielt die Wurzelrechnung eine große Rolle.
Was es mit der Wurzelrechnung auf sich hat, zeigt das vorliegende Kapitel.
1.1
Die Quadratwurzel
Tanja steht im Freibad auf dem
10-m-Turm und überlegt, wie
lange sie wohl in der Luft ist, bis sie ins
Wasser eintaucht. Aus dem Physikunterricht____
erinnert sie sich an die Formel
t = √0,2 · h.
(h = Sprunghöhe in m, t = Flugzeit in s).
Berechne Tanjas Flugdauer für die
Sprunghöhen 10 m, 3 m, 5 m und 7 m.
Definition
Die Quadratwurzel von a ist diejenige positive Zahl, die mit sich selbst
multipliziert a ergibt (mit
a ≥ 0 und a ∈ Q).
__
__ __
Man schreibt für sie √a (sprich: Wurzel a). Es gilt also: √a · √a = a. Den Ausdruck
unter dem Wurzelzeichen (hier a) nennt man Radikand der Quadratwurzel.
Falls die Wurzel einer rationalen Zahl nicht genau berechnet werden kann, erhält
man eine irrationale Zahl. Das ist eine nicht abbrechende und nicht periodische
Dezimalzahl. Zusammen mit der Menge der rationalen Zahlen bildet die Menge der
irrationalen Zahlen die Menge R der reellen Zahlen.
__
Beispiel 1: ___
a) Es ist √25 = 5 wegen 5 · 5 = 25.
b) Es ist √1,44 = 1,2 wegen 1,2 · 1,2 = 1,44.
Beachte: Die Quadratwurzel einer negativen Zahl ist nicht definiert, da es keine reelle
Zahl gibt, die mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt.
Für die Wurzelrechnung solltest du alle ganzen Quadratzahlen bis
wenigstens 225 auswendig können.
12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, 42 = 16, 52 = 25, 62 = 36, 72 = 49, 82 = 64, 92 = 81, 102 = 100,
112 = 121, 122 = 144, 132 = 169, 142 = 196, 152 = 225, 202 = 400, 252 = 625, 302 = 900
__
e)
2
__
√_49 =
a) 96 cm2 =
5
a)
___
b) √196 =
f)
___
1
√_
64 =
Ein Gärtner möchte ein
quadratisches Gemüsebeet der Fläche 6,25 m2 anlegen. Welche Seitenlänge
muss er wählen?
___
c) √2,25 =
_____
g) √12100 =
c) 105,84 dm2 =
d) 3,375 m2 =
Vereinfache, falls möglich.
____
√0,162
=
___
d) √– 72 =
6
b) 13,5 m2 =
_____
b) √4 · (– 9) =
____
e) √25 a2 =
____
c)
√(– 5)2 =
f)
√(4 – x)2 =
_____
Gib an, ob es sich um eine rationale oder irrationale Zahl handelt.
a) √0,25 =
___
b) √810 =
c)
___
25
_
111 =
√
Tipp
Die Gleichung x2 = a (mit a > 0) hat immer zwei Lösungen:
__
__
x1 = √a und x2 = − √a. Denn wegen der Regel „Minus mal Minus = Plus“ muss man
auch die negative Lösung für x berücksichtigen.
Berechne möglichst ohne Taschenrechner.
a) √81 =
Wie lang ist die Seite eines Würfels mit der angegebenen Oberfläche?
___
Tipp
1
4
___
d) √0,49 =
h)
___
144
√_
169 =
7
Gib die Lösungen der Gleichungen an.
a) x2 = 225
36
d) x2 = _
121
Info
plus
b) x2 = 1,69
c) x2 = 8100
e) x2 + 1 = 17
f) 2 x2 – 3 = 95
__
Das heute übliche Wurzelzeichen √A wurde vom französischen Mathematiker und Philosophen René Descartes eingeführt (1637). Im Mittelalter benutzten
die Mathematiker in Anlehnung an das lateinische Wort „radix“ (= Wurzel) noch die
Schreibweise „Rx“. In der deutschen Sprache findet sich das Wort „radix“ in der Bezeichnung einer schmackhaften Wurzelfrucht wieder: das Radieschen.
7
60
Potenzfunktionen
8
Kreuze den richtigen Grad der abgebildeten Hyperbel an und begründe deine
Entscheidung.
n =
1,
2,
3,
__
6.3 Die Wurzelfunktion f mit y = a √x
y
6
Definition
5
5.
4
3
2
Kannst du anhand des Schaubilds den Faktor a
in y = a x− n angeben?
1
x
–3 –2 –1 O
1
2
3
Den Faktor a in y =
erkennt man anhand des Schaubilds ganz leicht:
Der Wert von a ist immer die y-Koordinate des Punktes P (1 | a).
Die Schaubilder von f (x) und − f (x) verlaufen zueinander immer spiegelsymmetrisch zur x-Achse.
9
Welche Funktionsgleichungen gehören
zu den abgebildeten Schaubildern?
Begründe deine Entscheidung.
1
y=_
x;
0,5
2
(2)
(1)
3
1,41 1,73
4
2
5
6
2,24 2,45
1
O
x
1
2
3
4
5
6
_
( )
2
Das Schaubild einer Wurzelfunktion der Form y = a √x geht durch P 4*_
3 .
Berechne den Faktor a.
13
1
(1)
x
1
(2)
Die angegebenen Punkte liegen auf einer Hyperbel n-ter Ordnung.
Berechne die zugehörige Funktionsgleichung y = a x–n.
(Gehe so vor wie auf Seite 57, 58 beschrieben.)
c) R (2 | 0,5); S (0,5 | 512)
1
2
Erstelle für die Funktionen eine Wertetabelle und zeichne ihre Schaubilder in
dasselbe
Achsenkreuz. Welchen
Einfluss hat der Faktor
a?
_
_
_
_
a) y = 0,5 √x
b) y = 2 √x
c) y = − 0,5 √x
d) y = − 2 √x
12
–3
b) P (1 | 4); Q (16 | 0,25)
0
1
y= x
2
3
1
y = −2·_
x2
y=_
x2
0
y
11
4
–2
a) A (1 | − 2); B (2 | − 0,5)
_
y
y
–3 –2 –1 O
–1
10
+
+
+
x
a x− n
1
y=–_
x;
Wurzelfunktionen sind Potenzfunktionen mit rationalen Hochzahlen.
m
_
Ihre allgemeine Form ist y = a x n (mit m, n ∈ N, n ≠ 0 und a ∈ R°0).
1
_
Die einfachste Wurzelfunktion
hat die Form
y = a · x 2 (mit a, x ∈ R, x ≥ 0 und
_
_
1
1
_
_
a ° 0). Wegen x 2 = √x gilt: y =__a · x 2 = a √x .
Ihr Schaubild verläuft wegen √1 = 1 immer durch den Punkt P (1 | a).
Beachte, dass Wurzelfunktionen für negative x-Werte nicht definiert sind.
Beispiel 4: Erstelle für die Funktion f mit y = √x
eine Wertetabelle für 0 ≤ x ≤ 6 und zeichne ihr
Schaubild.
Tipp
+
+
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6.3 Die Wurzelfunktion
2
3
Für die Dauer des freien Falls gilt (ohne
Berücksichtigung
des Luftwiderstands):
_
t (x) = 0,45 √x , (t in Sekunden, x in Meter).
a) Wie lange wäre ein Fallschirmspringer im
freien Fall (also ohne Luftwiderstand) unterwegs, wenn er aus einer Höhe von 5 km
abspringt?
b) Aus welcher Höhe müsste er abspringen,
wenn er 3 min lang den freien Fall (ohne
Luftwiderstand) genießen wollte?
Info
plus
Tatsächlich bremst der Luftwiderstand den Fall eines Fallschirmspringers auch bei geschlossenem Schirm so stark ab, dass die maximale Fallgeschwindigkeit „nur“ zwischen 150 km/h und 200 km/h liegt.
Bei geöffnetem Schirm schwebt der Fallschirmspringer dann mit weniger als
20 km/h der Erde entgegen. Ohne den Luftwiderstand hätte ein Fallschirmspringer
bereits nach einer Minute eine Geschwindigkeit von rund 2100 km/h erreicht.