Die Zahl unter dem Wurzelzeichen heißt . Das Bestimmen der

QUADRATWURZELN - REELLE ZAHLEN - WURZELN (Allgemein)
Ab.3.3.
1. Einführung, Problemstellung, Wiederholungen:
a) Welche Seitenlänge hat ein quadratischer Platz mit 25 m², [144 m², 441 m²] Flächeninhalt?
Erinnere dich: Der Flächeninhalt jedes Quadrates berechnet sich nach der Formel A =
b) Bestimme im Kopf die Quadratzahlen von 1² bis 20². [also 1² = 1, 2² = 4, 3² = ___ … ] und
lerne sie auswendig.
c) Löse im Buch auf der Seite 34 die Aufgabe Nr. 1 a), b) und c) mündlich.
2. Die Quadratwurzel aus einer Zahl b:  b
Ergänze mit Hilfe des Buches auf S. 34:
Def.: Die Quadratwurzel einer positiven Zahl b ist diejenige positive Zahl a, die __________
______________________________________________: (Abkürzung:) ________ .
Wir verwenden hierfür die Schreibweise _______________ und sagen:
_______________________________________________________ .
Beispiele:
36 
, denn
; 0,64 
, denn
25

49
, denn
; 9y2 
, denn
Die Zahl unter dem Wurzelzeichen heißt ___________________ . Das Bestimmen der
Quadratwurzel heißt Wurzelziehen ( _________________ ). Für positive Zahlen ist das
Wurzelziehen die _______________________________________________________
2
und x 
und umgekehrt. Allgemein gilt: x 2 
.
Sonderfälle: 0 
, weil
, denn
4 
das Quadrat einer Zahl kann niemals ________________________________ sein.
 
(); S. 36 Nr. 12, 17, ()
Nr. 14 und Wurzeln und Variablen i teilweise für ()
ÜBUNGEN: Buch S: 34/35 Nr. 2, (mü) 3, 4, 5, 11
------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Reelle Zahlen:
Wir wissen 9 
und
36 
aber
18 
a) Lese im Buch die Seite 39 durch zum Heron-Verfahren am Beispiel von
18 .
b) Bei vielen positiven Zahlen kann man die Quadratwurzel nur ungefähr bestimmen:
6,32 < 40 < 6,33.
Selbst die genauere Lösung 6,
mit dem
Taschenrechner ist gerundet, denn die Probe ergibt
6,32455532  6,32455532  40,000.....4 also nicht genau 40.
Von Quadratwurzeln aus positiven Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, lassen sich
_______________ viele Nachkommaziffern bestimmen. Den Bereich der Eingrenzung
nennt man ________________ .
Daraus folgt: 40 ist weder ein abbrechender noch periodischer Dezimalbruch. Man
bezeichnet 40 als _______________________ Zahl. (Lese dazu auch die Seite 38 im Buch!)
Nichtabbrechende Dezimalbrüche, die nicht ______________________ sind, heißen
_____________________ Zahlen.
Die Menge der rationalen Zahlen ____ bildet zusammen mit den _________________ Zahlen
die Menge der ____________ __________ ____.
ÜBUNGEN: Buch S: 37 Nr. 1, 2, (mü)
Eine Aufgabe für Computerfreunde der Software EXCEL: Seite 39 unten ()
------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Rechnen mit Quadratwurzeln:
a) Multiplikation und Division: Berechne und vergleiche
25  36 


144

9
und

25  36 
und
144

9
Quadratwurzeln werden multipliziert bzw. dividiert, indem man ________________________
__________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
ÜBUNGEN: Buch S: 40 Nr. 1, 2, (mü) und Buch S. 41 Nr. 3, 4, 7, 8, 12, )
().
S. 41 Nr. 13, 14
------------------------------------------------------------------------------------------------------b) Addition und Subtraktion: Berechne und vergleiche
9  16 

25  16 



und
und
9  16 
25  16 
Im Gegensatz zur Multiplikation und Division erkennt man, dass ______________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Aber: Summen bzw. Differenzen, in denen Quadratwurzeln mit gleichen Radikanden
vorkommen, können durch ______________________ zusammengefasst werden.
ÜBUNGEN: Buch S: 42 Nr. 1, (mü) und Buch S. 43 Nr. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
S. 43 Nr. 10
)
().
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
5. Umformen von Wurzeltermen:
50 ...
200 ...
Quadratwurzeln haben oft keine rationale Lösung. Beispiele: 8 ...
Durch teilweises Wurzelziehen lassen sich die Werte von Quadratwurzeln auch ohne TR
leichter eingrenzen und abschätzen. Überschlägt man 2 mit 1,4, kann nach der Regel zur
Multiplikation gerechnet werden:
200  100  2  100  2  10  1,4 
Berechne ebenso:
8
50 
Beim teilweisen Wurzelziehen wird der Radikand so in ein Produkt zerlegt, dass
______________________________________________________________________
ÜBUNGEN: Buch S: 44 Nr.1, 2, und S. 45 Nr. 3 bis 9, ()
S. 44 Nr. 10, 11
().
------------------------------------------------------------------------------------------------------6
Tritt bei einem Bruch wie
eine Quadratwurzel im Nenner auf, kann eine Abschätzung des
2
6
Werts mühsam sein:
2

6

1,4
Durch geschicktes Erweitern lässt sich die Division mit einer Quadratwurzel vermeiden, der
Nenner des Bruchs wird dann rational:
6
2
20
2

6 2
2 2

6 2
 3  2  3  1,4 
2
Berechne ebenso:

Eine Quadratwurzel im Nenner eines Bruchs kann durch Erweitern beseitigt werden.
Man spricht dann vom ______________________________________________________
ÜBUNGEN: Buch S: 45 Nr. 13, 14, 15, 16, () und S. 45 Nr. 17 ().
------------------------------------------------------------------------------------------------------6. Kubikwurzeln, n-te Wurzeln:
a) Löse die Aufgabe im Buch auf S. 46 oben in Gruppenarbeit (mü).

oder a  a  a 
b) Produkte aus drei gleichen Faktoren wie z.B. 5  5  5 
können kürzer als Potenz geschrieben werden. Sie heißen ________________________.
Umkehrung: Bestimme eine Zahl die dreimal mit sich selbst multipliziert 343 ergibt.
Man sucht jetzt die 3. Wurzel oder ______________________ der Zahl 343, man schreibt
3
343 
; genauso : 3 729 
3
;
0,064 
;
3
8

27
;
3
27 x 3 
Die 4. Wurzel, 5. Wurzel u.s.w. einer Zahl kann in entsprechender Weise ermittelt werden.
Man bezeichnet diese Wurzeln allgemein als ______________________________.
Im Term
n
b
bezeichnet man b als _________________ und n als ____________________
ÜBUNGEN: Buch S: 46 Nr.1, 2, (mü) und Buch S. 47 Nr. 5, 7, 8, 10, ).
Der Zusammenhang zwischen Potenzrechnung und Wurzelrechnung
1
2
25  25  25  25  5  5  25  25  25
2
3
64  8 
3
2
Allgemein :
1
2
und
n
a a
m
m
n
1
3
2
3
64  8 
1
2
1
2
 25 