12201 - Mathe-CD

ALGEBRA
de
Quadratwurzeln
.m
at
h
Einführung
und Grundeigenschaften
ec
d.
Teil 1
ür
w
w
w
(Klasse 8 / 9)
Friedrich W. Buckel
Stand: 12. Mai 2014
D
em
o-
Te
xt
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Datei Nr. 12201
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
www.mathe-cd.de
Vorwort
Die Einführung des 12-jährigen Gymnasiums hat die Einführung der Quadratwurzeln
größtenteils schon in Klasse 8 vorverlegt. Meistens jedoch noch ohne eine gründliche
Behandlung (Wurzelgesetze, Potenzgesetze). Man benötigt sie vor allem, um den Satz des
Pythagoras dort schon behandeln zu können.
de
Aus diesem Grund habe ich die Einführung der Quadratwurzeln umgeschrieben. Wer in
Klasse 8 diesen Stoff lesen will, kann nun so weit damit arbeiten wie er es braucht.
Mehr als § 1 bis 5 wird sicher kaum benötigt werden. Der Rest gehört wohl zu Klasse 9.
ec
d.
Ich habe die Untersuchungen, dass sich 2 nicht als Bruch bzw. periodische Dezimalzahl
schreiben lässt, die Berechnung mittels Intervallschachtelungen und das Näherungsverfahren von Heron aus diesem Text herausgenommen. Man findet diese Dinge in der
Datei „13050 Reelle Zahlen“.
Friedrich Buckel
.m
at
h
Torgelow, den 21. September 2006
w
Inhalt
Quadratwurzeln
§2
Multiplizieren von Quadratwurzeln
Anwendungen: Zerlegung von Wurzeln
Teilweises (Partielles) Ziehen einer Wurzel
9
10
12
§3
Wurzeln aus Potenzen ziehen
17
§4
Dividieren von Wurzeln
Nenner (ohne Summen) rational machen
Te
xt
f
ür
w
w
§1
18
21
Addition und Subtraktion von Wurzeln
24
§6
Anwenden der binomischen Formeln auf Wurzelterme
Nenner mit Summen rational machen
27
29
§7
Wurzelterme mit Variablen
Definitionsbereich für Wurzelterme
32
32
§8
Werte aus Wurzeltermen berechnen
39
§9
Wiederholung: Methodentraining
41
§ 10
Vermischte Aufgaben
43
o-
§5
em
D
3
Lösungen der Aufgaben
46-67
12201
Quadratwurzeln
§ 1
1.1
3
Quadratwurzeln
Warum man Quadratwurzeln braucht
Jede Rechenart lässt sich umkehren:
Umkehrung = Subtraktion:
19 -3 = 16
Dies kann man graphisch so andeuten:
¾¾¾
19
16 ¬¾
¾¾
d.
+3
-3
de
16 +3 = 19
Addition:
16 ⋅ 3 = 48
ec
Multiplikation:
Umkehrung = Division:
48 : 3 = 16
Dies kann man graphisch so andeuten:
⋅3
¾¾¾
 48
16 ¬¾¾
¾
at
h
:3
.m
Quadrieren:
Umkehrung = Wurzelziehen
hoch 2
¾¾¾¾
9
3 ¬¾¾¾
¾
w
Dies kann man graphisch so andeuten:
32 = 9
9 =3
2 
4
quadr.
3 
9
quadr.
xt
f
rückgängig:
rückgängig:
Te
8 
64
quadr.
4 
2
Umkehrung:
ür
w
rückgängig:
w
Um Quadrieren rückgängig zu machen, verwendet man das Wurzelziehen.
4 2
Man schreibt:
Wurzel ziehen
9 
3
Umkehrung:
Man schreibt:
9 3
Wurzel ziehen
64 
8 Man schreibt:
Umkehrung:
64  8 .
Wurzel ziehen
ACHTUNG: Das Quadrieren von negativen Zahlen kann man umkehren:
rückgängig:
em
o-
2 
4
quadr.
4 
2
Umkehrung:
Wurzel ziehen
4 ist also nicht auch  2 !
D
Schauen wir uns dazu einige Berechnungen an:
Friedrich Buckel
25  5 ,
denn
5  25
36  6 ,
denn
6  36
49  7 ,
denn
7  49
Merke:
Eine Wurzel ist stets
eine nicht negative Zahl!
2
Siehe Seite 6!
2
2
144  12 , denn
122  144
0,36 = 0,6 , denn
0,62 = 0,6 ⋅ 0,6 = 0,36
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1.2
Quadratwurzeln
4
Die wichtigsten Quadratwurzeln sollte man lernen:
Damit man nicht ständig den Taschenrechner benützen muss, sollte man die Quadratzahlen
bis 20 auswendig lernen. Dann kennt man auch die zugehörigen Wurzeln.
LERNE DRINGEND AUSWENDIG:
also
11
2 4
also
4 2
3 9
also
9 3
4  16
also
16  4
5  25
also
25  5
6  36
also
7  49
also
8  64
2
2
2
9  81
d.
also
81  9
100  10
112  121
also
121  11
122  144
also
144  12
13  169
also
169  13
14  196
also
196  14
15  225
also
225  15
16  256
also
256  16
17  289
also
289  17
18  324
also
324  18
19  361
also
361  19
20  400
also
400  20
xt
f
Te
oem
ec
64  8
also
2
D
49  7
10  100
2
2
2
2
2
2
2
2
Friedrich Buckel
36  6
also
ür
w
2
at
h
2
.m
2
w
2
w
2
de
12  1
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Quadratwurzeln
5
Kennt man diese Quadrate bzw. Wurzeln, dann kann man auch andere schnell
ermitteln, etwa
,
2500  50 ,
denn
1,22  1,44
denn
50  2500
denn
1 1 1
 1
     ,
2 2 4
 2
denn
 14  14 14 196


  
 15  15 15 225
2
de
2
1 1
 ,
4 2
d.
1,44  1,2
2
ec
196 14

,
225 15
at
h
Wir werden auf den nächsten Seiten einige Regeln kennen lernen, die es uns noch
leichter machen, aus Dezimalzahlen oder Brüchen die Wurzeln zu ziehen.
Die folgenden Übungen dienen jetzt einfach der Besinnung. Verwende die
Wurzeln der Tabelle und versuche damit die Ergebnisse zu finden:
.m
Aufgabe 1
(a)
3,24
(b)
0,49
(d)
0,0144
(e)
(g)
900
(j)
16
81
w
Berechne ohne Taschenrechner: (Ausführliche Lösung Seite 16 auf der Mathematik-CD)
0,81
1,69
(f)
0,0169
(h)
10000
(i)
28900
(k)
64
9
(l)
400
361
Te
xt
f
ür
w
w
(c)
o-
Wir merken uns noch einen wichtigen Begriff:
D
em
Die Zahl, aus der man die Wurzel ziehen soll, die also unter der Wurzel steht,
heißt Radikand.
Dieses Wort kennt jeder: Wenn er Radieschen isst, verspeist er eine
Wurzel. Wurzel ziehen heißt auch Radizieren.
Ganz wichtig:
Das Ergebnis eines Quadrats ist stets eine nicht negative Zahl.
Daher kann man aus negativen Zahlen auch nie eine Wurzel ziehen:
-2 existiert für uns nicht, weil kein Quadrat das Ergebnis - 2 hat.
Friedrich Buckel
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1.3
Quadratwurzeln
6
Wer das nicht weiß, erleidet Schiffbruch:
Wissen:
Quadriert man eine negative Zahl wird sie positiv.
Es ist also 22 = 4
2
und ebenso (-2) = 4
de
Also gibt es zwei Zahlen mit dem Quadratergebnis 4:
2
4
d.
Quadrieren :
ec
-2
Soll
at
h
In 1.1 hatten wir festgelegt: Das Wurzelziehen ist die Umkehrung des
Quadrierens. Wer sich streng daran hält, hat also nun Auswahl:
4 = 2 sein, denn es gilt ja 22 =4
?
2
4 = -2 sein, denn es gilt auch (-2) = 4
w
.m
Oder soll
w
In der Mathematik gilt der Grundsatz:
ür
w
Rechenergebnisse müssen eindeutig sein.
Man darf also nicht die Auswahl zwischen zwei verschiedenen
Ergebnissen haben. Daher darf man nicht sagen: 4 = 2 oder – 2.
xt
f
Man hat daher festgelegt:
Te
Das Ergebnis einer Quadratwurzel muss stets
eine nicht negative Zahl sein: a ³ 0
4 =2
und nicht
4 = -2
D
em
o-
Also ist klar:
Friedrich Buckel
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