docx - Digitale Schule Bayern

Klasse 9d
Rechnen mit Wurzeln
Datum: ____________
1.3 Umgang mit Wurzeltermen – Rechnen mit Quadratwurzeln
Da man Wurzeln nur aus __________________________________
ziehen kann, sind Terme wie z.B. √𝑏 − 1 nur dann definiert, wenn
der Radikand ____________________________________________
d.h. hier ________________________________________________
Der Term √𝑎² ist für alle reellen Zahlen definiert, da
______________________ immer gilt.
1. Regel:
Für 𝑎 ≥ 0 gilt √𝑎² = _______ , z.B. √3² =_________________________________
Für 𝑎 < 0 gilt √𝑎² = _____ ; z.B. √(−3)² =______________________________
 Für alle 𝒂 ∈ 𝑹 𝒈𝒊𝒍𝒕 √𝒂² = ____________
2. Regel (Multiplikations- und Divisionsregel)
Für 𝑎, 𝑏 ≥ 0 gilt:
a) √𝑎 ∙ √𝑏 = ____________________________
b)
√𝑎
√𝑏
= _________________________mit 𝑏 ≠ 0
2
Beweis: (√𝑎 ∙ √𝑏) = _____________________________________________________________________ = (√𝑎 ∙ 𝑏)²
2
√𝑎
𝑎
( ) = ____________________________________________________________________________ = (√𝑏)²
√𝑏
Beispiele: a)
√8
√2
=
b) √3 ∙ √7 =
3. Regel (Additions- und Subtraktionsregel)
Für 𝑎, 𝑏 ≥ 0 gilt:
a) √𝑎 + √𝑏
√𝑎 + 𝑏
b) √𝑎 − √𝑏
√𝑎 − 𝑏
Gegenbeispiel: √9 + √16 =________________________________________________ = √9 + √16
Beispiele: a) √4 + √9 − √3 =
b) √5 + 2√5 − √10 − 5 =
Klasse 9d
Rechnen mit Wurzeln
Datum: ____________
4. Regel (Teilweise Radizieren)
Lässt sich der _________________________so faktorisieren, dass ein Faktor eine
________________________________________ ist, dann kann die Wurzel
_______________________________________ werden.
z.B. √108 =___________________________________________= 6√3
oder umgekehrt: 3 ∙ √5 =_____________________________= √45
Beispiele: a) Radiziere teilweise und fasse zusammen: √18 + 2√72 =
b) Bringe den Vorfaktor unter die Wurzel: 6√3 + 2√27 =
5. Regel (Rationalmachen des Nenners)
Quadratwurzeln im Nenner eines Bruchs können durch _______________________
____________________ beseitigt werden.
z.B.
4
√5
1
=
2+√3
=
2. Aufgabe mithilfe der Gemischten binomischen Formel
Binomische Formeln:
1. Plusformel:
(a + b)2 =
Da (𝑎 + 𝑏)2 =
Beispiel: (5𝑥 + 2)2 =
2. Minusformel:
(a − b)2 =
Da (a − b)2 =
Beispiel: (5𝑥 − 3)2 =
3. Gemischte:
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) =
Da (a + b)(a − b) =
Beispiel: (5𝑥 − √2)(5𝑥 + √2) =
Klasse 9d
Rechnen mit Wurzeln
Datum: ____________
1.3 Umgang mit Wurzeltermen – Rechnen mit Quadratwurzeln
Da man Wurzeln nur aus positiven reellen Zahlen
ziehen kann, sind Terme wie z.B. √𝑏 − 1 nur dann definiert, wenn
der Radikand größer oder gleich null ist.
d.h. hier b ≥ 1.
Der Term √𝑎² ist für alle reellen Zahlen definiert, da
a² ≥ 0 immer gilt.
1. Regel:
Für 𝑎 ≥ 0 gilt √𝑎² = 𝑎 , z.B. √3² =__________________= 3
Für 𝑎 < 0 gilt √𝑎² = −𝑎 ; z.B. √(−3)² =_____________________= 3 = −(−3)
 Für alle 𝒂 ∈ 𝑹 𝒈𝒊𝒍𝒕 √𝒂² = ____________
2. Regel (Multiplikations- und Divisionsregel)
Für 𝑎, 𝑏 ≥ 0 gilt:
c) √𝑎 ∙ √𝑏 = ____________________________
d)
√𝑎
√𝑏
= _________________________mit 𝑏 ≠ 0
2
Beweis: (√𝑎 ∙ √𝑏) = (√𝑎 ∙ √𝑏) ∙ (√𝑎 ∙ √𝑏) = ___________________________________ = 𝑎 ∙ 𝑏 = (√𝑎 ∙ 𝑏)²
2
√𝑎
√𝑎
√𝑎
√𝑏
√𝑏
𝑎
𝑎
( ) = ( ) ∙ ( ) = ____________________________________________________ = 𝑏 = (√𝑏)²
√𝑏
Beispiele: a)
√8
√2
=____________________________= 2
b) √3 ∙ √12 =______________________= 6
3. Regel (Additions- und Subtraktionsregel)
Für 𝑎, 𝑏 ≥ 0 gilt:
a) √𝑎 + √𝑏
√𝑎 + 𝑏
b) √𝑎 − √𝑏
√𝑎 − 𝑏
Gegenbeispiel: √9 + √16 = 3 + 4 =_________________________________ = √25 = √9 + √16
Beispiele: a) √4 + √9 − √3 = _________________________________ = 5 − √3
b) √5 + 2√5 − √10 − 5 = ______________________________________________________ = 2√5
Klasse 9d
Rechnen mit Wurzeln
Datum: ____________
4. Regel (Teilweise Radizieren)
Lässt sich der Radikand so faktorisieren, dass ein Faktor eine Quadratzahl ist, dann
kann die Wurzel teilweise radiziert werden.
z.B. √108 = √36 ∙ 3 = √36 ∙ √3 = 6√3
oder umgekehrt: 3 ∙ √5 = √9 ∙ √5 = √9 ∙ 5 = √45
Beispiele: a) Radiziere teilweise und fasse zusammen: √18 + 2√72 =_____________________
__________________________________________________= 3√2 + 12√2 = 15√2
b) Bringe den Vorfaktor unter die Wurzel: 6√3 + 2√27 =_______________________
_________________________________________________= 2√108 = √432
5. Regel (Rationalmachen des Nenners)
Quadratwurzeln im Nenner eines Bruchs können durch geeignetes Erweitern beseitigt
werden.
z.B.
4
√5
=
1
2+√3
4∙√5
√5∙√5
= (2+
=
4√5
5
2−√3
√3)(2−√3)
=
2−√3
4−3
=
2−√3
1
= 2 − √3
2. Aufgabe mithilfe der Gemischten binomischen Formel
Binomische Formeln:
4. Plusformel: (a + b)2 = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²
Da (𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) =
Beispiel: (5𝑥 + 2)2 = 25𝑥² + 20𝑥 + 4
5. Minusformel:
(a − b)2 = 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏²
Da (a − b)2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) =
Beispiel: (5𝑥 − 3)2 = 25𝑥² − 30𝑥 + 9
6. Gemischte: (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎² − 𝑏²
Da (a + b)(a − b) =
Beispiel: (5𝑥 − √2)(5𝑥 + √2) = 25𝑥 2 − 2
Klasse 9d
Rechnen mit Wurzeln
Datum: ____________
Klasse 9d
Rechnen mit Wurzeln
Datum: ____________