4 Wurzeln, Dezimalzahlen und schon wieder eine neue Menge

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4 Wurzeln, Dezimalzahlen und
schon wieder eine neue Menge
– Die reellen Zahlen
Tom und Sara werden jeden Tag von
einem Schüler/innen-Lotsen über
einen Zebrastreifen vor der Schule geleitet. Sara hat ihn beobachtet und ihr ist aufgefallen, dass er
manchmal die Autos anhalten lässt,
indem er ihnen ein Zeichen mit seinem Schild gibt und manchmal lässt
er die Autos noch vorbeifahren und
lässt dann erst die Schüler/innen die Straße überqueren. Da Sara nicht herausfinden konnte, wann er genau welche Vorgangsweise
wählt, hat sie ihn einfach gefragt. Seine Antwort war sehr interessant:
„Ich habe als Schüler/innen-Lotse eine sehr verantwortungsvolle Aufgabe. Ich muss genau abschätzen können, wann ein Auto weit genug
entfernt ist, um noch rechtzeitig anhalten zu können und wann ein
Auto so nahe ist, dass ich nicht mehr für ein gefahrloses Überqueren
der Straße sorgen kann. Das heißt, ich muss zuerst die Geschwindigkeit und dann daraus den Bremsweg abschätzen können. Ich nehme
die Geschwindigkeit zum Quadrat und dividiere diese Zahl durch 100.
Zusätzlich muss ich noch beobachten, ob der/die Autofahrer/in mich
sieht, denn er/sie muss ja auch reagieren und auf die Bremse steigen.
Die Polizei verwendet übrigens bei Unfällen die gleiche Regel wie ich,
aber in die umgekehrte Richtung. Sie kann sich aus der Länge der
Bremsspur ausrechnen, wie groß die Geschwindigkeit des Fahrzeugs
in km/h war. Dazu zieht man einfach die Wurzel aus der Länge der
Bremsspur, also der Länge des Bremswegs und multipliziert sie mit
10.“ Sara ist beeindruckt, Schüler/innen-Lotsen müssen wirklich ganz
schön clever sein.
Der Lotse hat die Abschätzung des Anhaltewegs wahrscheinlich schon
im Gefühl, zur Übung rechnet er aber vielleicht noch manchmal nach.
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4.1 Quadratwurzeln
In diesem Kapitel lernst du,
1. dass Wurzelziehen die Umkehrung zum Potenzieren
ist,
2. wie man mit Wurzeln rechnet,
3. dass es Wurzeln mit besonderen Eigenschaften gibt,
4. was irrationale Zahlen sind und wie man sie darstellen kann
5. und welche Zahlen zur Menge der reellen Zahlen
gehören.
4.1 Quadratwurzeln
In der 3. Klasse (vgl. MatheFit3, Kapitel 8) hast du schon gelernt, dass
die Umkehroperation zum Quadrieren das Ziehen der Quadratwurzel
ist. Hier noch einmal zur Erinnerung:
Quadratwurzel
Die Umkehroperation zum Quadrieren ist
das Ziehen der Quadratwurzel.
Für die Quadratwurzel aus x schreibt man
√
x. Man sagt: (Quadrat-)Wurzel aus x. Die
Zahl x unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand und ist nur für
positive √
Zahlen, also x ≥ 0 definiert.
Es gilt: 36 = 6, da 62 = 36
Da das Produkt zweier gleicher Zahlen nicht negativ sein kann, sind
Quadratwurzeln nie negativ.
187√Berechne folgende√Quadratwurzeln √
im Kopf!
a) √121
e) 0, 09
188 Die Qua-
b) √64
f ) 0, 0049
c ) √100
g) 0, 25
√
d) √625
h) 0, 81
x
x2
x
x2
x
x2
x
x2
drate der Zah1
1
6
36
11
121
16
256
len von 1 bis
20 solltest du
2
4
7
49
12
144
17
289
auswendig kön3
9
8
64
13
169
18
324
nen, es erleichtert das Rech4
16
9
81
14
196
19
361
nen mit Wur5
25
10
100
15
225
20
400
zeln. Fülle die
Tabelle sorgfältig aus und lerne die Zahlen auswendig! Dein Banknachbar/deine Banknachbarin kann dich dann prüfen.
187 a) 11 b) 8
c) 10 d) 25 e) 0,3
f) 0,07 g) 0,5
h) 0,9
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66 4 Wurzeln, Dezimalzahlen und schon wieder eine neue Menge – Die reellen Zahlen
189 B)
190 10; 24; 85,3;
65,2; 0,058;
121,76
192 a) 5,2 cm
b) 9,7 cm
c) 12,3 cm
d) 13,5 cm
e) 14,3 cm
f) 15 cm
193 Durch
Anwenden des
Lehrsatzes von
Pythagoras
√
d = a2 + b2
erhält man d =
30 cm.
√
194 a) 169
√
b) 0, 81
√
c) √0, 0196
d) √ 289
e) √ 40 000
f) 3721
195 a) 54,77
km/h, 70,71
km/h, 100 km/h,
141,42 km/h
b) Es wird der
Bremsweg
abgeschätzt mit
v2
s = 100
. c) Ja,
aber dafür
braucht es sehr
viel Routine.
d) Geschwindigkeit,
Straßenverhältnisse, Reifenprofil,
Konzentration
des/der
Fahrers/Fahrerin,
189 Welche der unter A bis E aufgeschriebenen Zahlen vergrößert sich
beim Quadrieren um 500 %?
A) 5
B) 6
C) 8
D) 10
E) 15
190 Wurzeln kann man auch mit dem Taschenrechner berechnen. Finde
heraus, mit welcher Taste oder Tastenfolge dein Taschenrechner die
Quadratwurzel
errechnet! Bestimme anschließend die Ergebnisse für
√
√
√
√
√
√
100, 576, 7276, 09, 4251, 04, 0, 003364, 14825, 4976!
191 Überprüfe die Ergebnisse aus Aufgabe 190 durch Quadrieren mit
dem Taschenrechner!
192 Gegeben sind die Flächeninhalte verschiedener
Quadrate. Berechne daraus jeweils die Seitenlänge a!
Zeichne anschließend die Quadrate in dein Heft!
a) A = 27,04 cm2 b) A = 94,09 cm2
c ) A = 151,29 cm2 d) A = 182,25 cm2
e) A = 204,49 cm2 f ) A = 225 cm2
16 cm²
a=?
193 Ein Rechteck hat die Seitenlängen a = 24 cm
und b = 18 cm. Bestimme die Länge der Diagonalen dieses Rechtecks! Erkläre, wie du vorgegangen bist!
194 Schreibe als Wurzel!
a) 13
b) 0,9
c ) 0,14
d) 17
e) 200
f ) 61
195 Lies dir noch einmal die Eingangsgeschichte auf S. 64 durch!
a) Die Polizei bestimmt aus der Länge der Bremsspur mit der Formel
√
v = 10 ⋅ s die Geschwindigkeit in km/h. Stelle eine Tabelle auf, die für
die Bremsspurlängen s = 30 m, 50 m, 100 m, 200 m die dazugehörigen
Geschwindigkeiten v enthält! Runde die Werte für v auf zwei Dezimalstellen!
b) Überlege, wie der Satz „Ich nehme die Geschwindigkeit zum Quadrat
und dividiere diese Zahl durch 100.“ mit Hilfe eines mathematischen
Terms ausgedrückt werden kann. Welche Größe wird damit ausgerechnet?
c ) Überlege zusammen mit deinem Nachbarn/deiner Nachbarin, ob es
möglich ist Geschwindigkeiten genau abzuschätzen, so wie der Schüler/innen-Lotse es Sara erklärt hat!
d) Welche Faktoren spielen beim Anhalteweg eines Autos eine Rolle?
Diskutiert darüber in eurer Klasse!
⋆Rechenregeln für Wurzeln
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4.2
Der Anhalteweg eines Autos setzt sich prinzipiell aus dem Reaktionsweg und dem Bremsweg zusammen. Der Reaktionsweg ist jene
Strecke, die das Auto vom Zeitpunkt des Erkennens der Gefahr bis
zum Betätigen der Bremse zurücklegt, also jene Strecke, die das
Auto ungebremst durchfährt. Die Reaktionszeit beim Autofahren
sollte nicht mehr als eine Sekunde sein.
196 Evi hat ein quadratisches Grundstück, auf dem ihr Haus steht. Da
ihr das Schneeschaufeln im Winter zu anstrengend ist, der Gehsteig
aber auf zwei Seiten dieses Grundstücks gereinigt werden muss, hat sie
Tom gebeten diese Arbeit für sie zu übernehmen. Sie gibt ihm pro m
gereinigtem Gehsteig 60 Cent. Wie viel Euro kann sich Tom pro Einsatz
verdienen, wenn das Grundstück eine Fläche von 588 m2 hat? Runde
dabei geeignet!
196 29 e
197 Überlege zusammen mit deinem Nachbarn/deiner Nachbarin, warum
die Wurzel nur für Zahlen ≥ 0 definiert ist! Schreibt eure Begründungen
in Worten auf!
198 Vervollständige die Tabelle!
x
√
x
25
169
16
1,69
0,81
5
13
4
1,3
0,9
1
36
1
6
0,09
16/25
9/64
0,3
4/5
3/8
199 Bestimme die Quadratwurzeln aus folgenden Zahlen:
5184, 7744, 16 641, 640 000, 998 001!
Finde selbst noch andere Beispiele oder probiere andere Zahlen!
4.2
199 72, 88, 129,
800, 999
⋆Rechenregeln für Wurzeln
200 Vergleiche das Ergebnis der beiden Terme miteinander! Was fällt
dir auf? √
√
√
a) (1) √49 ⋅ √4
(2) √49 ⋅ 4
b) (1) √16 ⋅ √
9
(2) √16 ⋅ 9
c ) (1) √144 √
⋅ 16
(2) √144 ⋅ 16
d) (1) 25 ⋅ 4
(2) 25 ⋅ 4
201 Berechne und vergleiche die beiden Ergebnisse miteinander! Was
fällt dir auf?
√
a) (1) √36
c ) (1)
√25
√144
16
√
(2)
(2)
36
√ 25
144
16
b) (1)
d) (1)
√
√16
√9
√25
4
√
(2)
√
(2)
16
9
25
4
200 Die
Ergebnisse sind
gleich. a) 14
b) 12 c) 48 d) 10
201 Die
Ergebnisse sind
gleich. a) 1,2 b)
c) 3 d) 2,5
4
3
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68 4 Wurzeln, Dezimalzahlen und schon wieder eine neue Menge – Die reellen Zahlen
202 Die
Ergebnisse sind
7
gleich. a) 13 b) 10
1
2
c) 2 d) 12
e) 13
9
f) 17
202 (1) Ziehe aus dem Zähler und
und dividiere dann! (2) Dividiere
Vergleiche die beiden Ergebnisse!
auffällt!
√
√
√
1
49
36
b)
c
)
a)
9
100
9
aus dem Nenner getrennt die Wurzel
zuerst und ziehe dann die Wurzel!
Beschreibe in einem Satz, was dir
√
√
√
1
4
81
d) 144
e) 169
f ) 289
Rechenregeln für Wurzeln
Bei einem Produkt ist es gleich, ob man zuerst multipliziert und
dann die Wurzel zieht oder aus den Faktoren die Wurzel zieht und
dann multipliziert.
√
√
√
√
Z. B.: 25 ⋅ 4 = 100 = 10 bzw. 25 ⋅ 4 = 5 ⋅ 2 = 10
√
√ √
Allgemein: a ⋅ b = a ⋅ b (a ≥ 0; b ≥ 0)
203 a) 6 b) 24
c) 63 d) 85 e) 221
f) 33
Auch bei einem Quotienten ist es gleich, ob man zuerst dividiert
und dann die Wurzel zieht oder aus den Faktoren die Wurzel zieht
und dann
√ dividiert.
√
√
√36 = 6 = 2
Z. B.: 36
=
4
=
2
bzw.
9
3
9
√
√a
a
√
Allgemein: b =
(a ≥ 0; b ≥ 0)
b
204 a) 10 b) 64
c) 36
205 a) 5 b) 2
c) 13
206 a) 12 b) 25
c) 30 d) 18 e) 35
f) 144
203 Schreibe als Produkt von zwei Quadratwurzeln und berechne dann
das Ergebnis
(ohne Taschenrechner)!
√
√
√
a) √4 ⋅ 9 =
b) √16 ⋅ 36 =
c ) √81 ⋅ 49 =
e) 289 ⋅ 169 =
f ) 121 ⋅ 9 =
d) 25 ⋅ 289 =
204√Berechne zuerst das Produkt
und ziehe dann die
√
√ Wurzel!
a)
b)
32 ⋅ 128 =
c)
648 ⋅ 2 =
205 √Schreibe mit einer einzigen
Wurzel und berechne
das Ergebnis!
√
√
a)
207 a) falsche
Aussage
b) falsche
Aussage c) Wurzelausdrücke
dürfen nicht
einfach
zusammengefasst
und addiert oder
50 ⋅ 2 =
√50
2
=
b)
√128
32
=
c)
676
√
4
=
206 Zerlege die Zahl unter dem Wurzelzeichen in zwei Faktoren und
ziehe dann aus jedem der beiden Faktoren die Quadratwurzel!
Überprüfe dein Ergebnis, indem du gleich die Wurzel aus der Zahl unter
dem√
Wurzelzeichen ziehst! √
√
a) √144
b) √625
c ) 900
√
d) 324
e) 1225
f)
20736
⋆
207 Addieren und Subtrahieren von Wurzeln: Rechne nach und überprüfe, ob Paul und Paula
richtig gerechnet haben!
√ Kuddelmuddel
√
√
a) Paul rechnet: √25 + √9 = √25 + 9
b) Paula rechnet: 36 − 4 = 36 − 4
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4.3 Teilweises Wurzelziehen
c ) Versuche einen Merksatz für das Addieren und Subtrahieren von
Wurzeln zu formulieren!
Beim Addieren und Subtrahieren von Wurzeln darf man die Ausdrücke nicht zusammenfassen und unter eine Wurzel bringen.
Es gilt√für √
a ≠ 0 und b ≠ 0 √ √
√
√
a+ b≠ a+b
a− b≠ a−b
208 Überprüfe, indem du die linke Seite und die rechte Seite getrennt
rechnest und dann ein = oder ein ≠ Zeichen setzt!
√
√
√
√
√ √
a) 49 + 81 ≠ 49 + 81
b) 4 ⋅ 25 =
4 ⋅ 25
√
√
√
√
√
9
9
=
c) √
d) 18 − 9 ≠ 18 − 9
4
4
4.3 Teilweises Wurzelziehen
Bisher haben wir mit Wurzeln gerechnet, deren Radikand meist eine bekannte Quadratzahl war. Doch nicht immer sieht man sofort,
um welche Quadratzahl es sich handelt. Daher verwendet man (zur
besseren Übersicht) folgenden „Trick“:
Teilweises (partielles) Wurzelziehen
Manchmal können Zahlen unter einer Wurzel so in ein Produkt
zerlegt werden, dass (zumindest) ein Faktor eine Quadratzahl ist.
Dann kann mit Hilfe der Rechenregeln für Wurzeln teilweise (partiell) die
√ Wurzel
√ gezogen
√ werden.
√
√
Z. B. 98 = 49 ⋅ 2 = 49 ⋅ 2 = 7 ⋅ 2
Um die entstehende Zahl übersichtlicher darzustellen, schreibt man
den Wurzelausdruck am Schluss.
209√Ziehe teilweise die Wurzel!
√
a) √75 =
d) 363 =
b) 0, 18 =
√
e) 1, 25 =
√
c ) √392 =
f ) 128 =
Tipp 4.1
Die Primfaktorenzerlegung kann dir beim partiellen Wurzelziehen
helfen. Denn für jede natürliche Zahl gilt: Entweder ist sie eine
Primzahl oder sie lässt sich in ein Produkt aus Primzahlen zerlegen.
210√Vereinfache durch√teilweises Wurzelziehen!
√
a) √150 =
e) 0, 72 =
b) √405 =
f ) 1, 28 =
c ) √200 =
g) 2, 88 =
√
d) √216 =
h) 4, 32 =
√
209 a) 5 ⋅ 3
√
b) 3 ⋅ √0, 02
c) 14 ⋅ √2
d) 11 ⋅ √3
e) 0, 5√⋅ 5
f) 8 ⋅ 2
√
210 a)√5 ⋅ 6
b) 9 ⋅ √5
c) 10 √
⋅ 2
d) 6 ⋅ 6√
e) 0, 6 ⋅ √ 2
f) 0, 8 ⋅ √2
g) 1, 2 ⋅ √2
h) 1, 2 ⋅ 3
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70 4 Wurzeln, Dezimalzahlen und schon wieder eine neue Menge – Die reellen Zahlen
Auch bei Ausdrücken mit Variablen kann man teilweises Wurzelziehen
anwenden. Folgendes Musterbeispiel zeigt dir, wie es richtig geht.
Wurzelziehen mit
√ Variablen:
Der Ausdruck 3x2 stellt eigentlich ein Produkt dar und kann daher
nach den Rechenregeln für Wurzeln in ein Produkt aus zwei Wurzeln
zerlegt
werden.
√
√ √
3x2 = 3 ⋅ x2
Mit Variablen verfährt man dabei genauso wie beim Rechnen mit
Zahlen.
√
√
In diesem Ausdruck wird 3 nicht mehr vereinfacht und x2 ist
natürlich
Das Ergebnis
lautet also:
√
√x. √
√
2
2
3x = 3 ⋅ x = 3 ⋅ x
Erinnere dich: Zur besseren
Übersicht wird der Wurzelausdruck am
√
Schluss geschrieben: x 3
211 a) 3x b) 2y
c) 6b d) 5ab
e) 6a f) 2xy
g) 7a h) 5xy 2
√
212 a) x 2
√
√
b) xy
√ c) b ⋅ a
d) 12 b
√
213√a) 10x2
b) √ 245
c) √1183 √
d) √ 3a2 e) 9x5
f) √250y 2
g) √400x
h) 324a3
√
214 a)√6x2 2
b) 5y 2 2
211√Ziehe die Wurzel!√
a) √9x2
e) 36a2
√
c ) √36b2
g) 49a2
b) √4y 2
f ) 4x2 y 2
√
d) √25a2 b2
h) 25x2 y 4
212√Vereinfache durch√partielles Wurzelziehen!
√
a)
2 ⋅ x2
b)
x ⋅ y2
c)
√
b2 ⋅ a
d)
144 ⋅ b
Auch die Umkehrung ist einfach. Damit ein Ausdruck unter eine
Wurzel gebracht werden kann, muss man ihn quadrieren, denn die
Umkehrung vom Quadrieren ist das Wurzelziehen.
Unter die Wurzel bringen:
√
Schreibe den Ausdruck 3x2 x unter eine Wurzel!
Dazu quadriert man die Faktoren außerhalb der Wurzel und bringt
sie gleichzeitig unter die Wurzel, damit sich der Wert nicht ändert.
Mit
√ Zahlen verfährt man dabei genauso wie mit Variablen.
9x4 ⋅ x
√
Anschließend werden gleiche Faktoren zusammengefasst: 9x5
Erinnere dich: Zahlen zuerst, Variable später.
213 Schreibe
folgende √
Ausdrücke unter eine
√
√ Wurzel!
a) x √
10
e) 3x2 x
b) 7 √5
f ) 5y 10
c ) 13√7
g) 20 x
214√Vereinfache
durch teilweises
√ Wurzelziehen!
√
a)
12x3 ⋅
6x =
b)
5y 3 ⋅
√
10y =
c)
√
d) a 3√
h) 18a a
√
√
8x9 y 5 ∶ 2x5 y =
71
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4.4 Besondere Wurzeln – Wurzeln mit unendlich vielen Kommastellen
4.4 Besondere Wurzeln – Wurzeln mit unendlich
vielen Kommastellen
215 a) Ziehe mit Hilfe des Taschenrechners die Wurzel und schreibe
das Ergebnis
genau auf!
√
√
√
√
(1) 10
(2) 8
(3) 444
(4) 32
b) Tippe nun die Ergebnisse aus 1) – 4) in den Taschenrechner ein und
quadriere! Was fällt dir auf?
Tom und Sara wundern sich über die Resultate aus Aufgabe 215. Sara
meint, dass sie sich vertippt hat, aber Tom hat eine Idee: „Wahrscheinlich rechnet der Taschenrechner intern weiter und zeigt nicht alle
Nachkommastellen an, weil das Display zu klein ist.“ Das Mathebuch
hilft ihnen – wie so oft – auch an dieser Stelle weiter:
215 a) 3,1622777
b) 2,8284271
c) 21,071308
d) 5,6568542
e) Das Ergebnis
ist nicht genau
jene Zahl aus der
vorher die Wurzel
gezogen wurde.
Irrationale Zahlen
Es gibt Dezimalzahlen, die eine unendliche, nicht periodische Anzahl
von Nachkommastellen haben, sie werden irrationale Zahlen
genannt.
√
0, 0 1 00 1000 10000 1. . . und 2 sind z. B. solche Zahlen.
® ¯ ° ±
1
2
3
4
Sie können nicht, wie endliche oder periodische Dezimalzahlen,
als Brüche dargestellt werden, man kann ihren Wert immer nur
näherungsweise angeben.
Sara und Tom wissen nun, dass
es bei manchen Zahlen gar nicht
möglich ist alle Kommastellen
anzugeben, weil es eben unendlich viele davon gibt und sie
nicht periodisch sind. Sie kennen auch noch eine weitere Zahl,
die diese Eigenschaften hat: Es
handelt sich um die geheimnisvolle Zahl π, von der sie schon so manches gehört haben. (Du wirst über π im Kapitel 11 mehr erfahren.)
216 0,1011011101111011110. . . ist eine irrationale Zahl, weil ihre Nachkommastellen nicht periodisch sind und sie unendlich fortgeführt werden
kann.
Finde zusammen mit deinem Nachbarn/deiner Nachbarin ähnliche Zahlen,
die auch irrational sind!
216 z. B.
0,20220222022220. . .
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72 4 Wurzeln, Dezimalzahlen und schon wieder eine neue Menge – Die reellen Zahlen
Irrationale Zahlen kann man aber auch noch anders finden. Es gilt
Folgendes:
Quadratwurzeln und irrationale Zahlen
Die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl n ist nur dann wieder
eine natürliche
√ Zahl, wenn n eine Quadratzahl ist.
Z. B. 9 ∈ N, 9 = 3 und 3 ist eine natürliche Zahl.
Alle anderen Quadratwurzeln aus natürlichen
Zahlen, die keine
√
Quadratzahlen sind, sind irrational, z. B. 22.
217 A, B, D und
E sind irrational
218 a) 7 ∈ Q
b) 7,071 irrational
c) 20 ∈ Q
d) 25 ∈ Q
e) 19,494
irrational f) 6,325
irrational
217 Welche der folgenden Zahlen sind irrational? Erkläre, wie du zu
deiner
√ Einschätzung
√ gekommen
√ bist! √
√
√
A) 90
B) 3
C) 169 D) 200 E) 442 F) 144
218 Berechne die Wurzel und gib an, ob es sich um eine rationale oder
eine √
irrationale Zahl
√ handelt!√
b) 50
c ) 400
a) 49
d)
√
625
e)
√
380
√
40
f)
Tipp 4.2
√
Beachte: Wenn du in den Taschenrechner z. B. 8 eintippst und
gleich wieder auf x2 drückst, wird am Display wieder die Zahl 8 angezeigt. Der Taschenrechner merkt sich das Ergebnis der Berechnung
und rundet „intern“ wieder auf 8.
219√Überprüfe obigen√Tipp anhand folgender
Zahlen:
√
a)
45
b)
19
c)
65
d)
√
363
4.5 Immer genauer, aber nicht ganz genau – Näherungswerte für irrationale Zahlen
Irrationale Zahlen können aufgrund ihrer Bauart nie ganz genau
angegeben werden. Es gibt aber die Möglichkeit mehr oder weniger
genaue Näherungswerte für irrationale Zahlen anzugeben.
Finden
√ von benachbarten 2natürlichen Zahlen: 2
13 < 180 < 14, weil 13 = 169 < 180
√ und 14 = 196 > 180. Die
benachbarten natürlichen Zahlen von 180 sind also 13 und 14.
220 a) 3;4 b) 2;3
c) 5;6 d) 19;20
220√Bestimme die√jeweils benachbarten
natürlichen
√
√ Zahlen! √
a)
10
b)
7
c)
30
d)
370
e)
500
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4.5 Immer genauer, aber nicht ganz genau – Näherungswerte für irrationale Zahlen73
Suchen von Schranken
Das abgebildete quadratische Grundstück
hat eine Fläche von 860 m2 . Auf einer Seite soll eine Wand als Blickschutz aufgestellt
werden, wie lange muss diese sein?
Die Lösung muss irgendwo zwischen den Zahlen 29 und 30 liegen, denn 292 = 841 und
302 = 900.
Um die Zahl weiter einzugrenzen, nimmt
man die erste Nachkommastelle dazu:
29,12 = 846,81
29,22 = 852,64
29,32 = 858,49
29,42 = 864,36
An diesen Ergebnissen kann man schon erkennen, dass die Zahl
zwischen 29,3 und 29,4 liegen muss, da 29, 32 < 860 < 29, 42 .
Dasselbe Verfahren wird nun mit zwei Nachkommastellen angewendet:
29,312 = 859,0761
29,322 = 859,6624
29,332 = 860,2489
Die gesuchte Zahl muss also zwischen 29,32 und 29,33 liegen, denn
29,322 < 860 < 29,332 . Dieses Verfahren kann nun beliebig lange fortgeführt werden. In diesem Fall reichen aber zwei Nachkommastellen.
Kannst du erklären warum?
221 Suche für die folgenden Zahlen Schranken auf zwei Nachkommas-
tellen√genau!
a) 10
b)
√
24
c)
√
360
d)
√
660
222 Gib für die angegebene Wurzel die beiden benachbarten natürlichen
Zahlen
√ an!
√
a) 13
b) 40
c)
√
66
d)
√
99
e)
√
170
f)
√
480
223 Du siehst vier Quadrate mit
unterschiedlichen Flächeninhalten.
a) Gib die Seitenlängen aller vier
Quadrate auf zwei Nachkommastellen genau an!
b) Ordne die Seitenlängen der Größe nach mit einer Ungleichungskette!
Was fällt dir auf?
221 a) 3,16;3,17
b) 4,89;4,9
c) 18,97; 18,98
d) 25,69; 25,7
222 a) 3<3,61<4
b) 6<6,32<7
c) 8<8,12<9
d) 9<9,95<10
e) 13<13,04<14
f) 21<21,91<22
223 a) 6,32; 7,07;
7,75; 8,37
b) 6,32<7,07<
7,75<8,37; je
größer der
Flächeninhalt
desto größer die
Seitenlänge
Ma
th
eF
it
74 4 Wurzeln, Dezimalzahlen und schon wieder eine neue Menge – Die reellen Zahlen
4.6 Die Menge der reellen Zahlen
Tom meint, dass sie im Mathematikunterricht seit der ersten Klasse
immer wieder neue Zahlenmengen kennengelernt haben. Er überlegt:
„Zuerst haben wir die natürlichen Zahlen behandelt und als wir
nicht mehr weiterrechnen konnten die ganzen Zahlen. Außerdem
gibt es dann noch die Dezimalzahlen und die Bruchzahlen.“ „Aber
das ist doch das Gleiche“, meint Sara, „Dezimalzahlen kann man
als Brüche darstellen und umgekehrt!“ „Stimmt nicht“, entgegnet
Tom, „irrationale Zahlen sind auch Dezimalzahlen und können nicht
als Bruch dargestellt werden, weil ihre Nachkommastellen unendlich
und nicht periodisch sind.“
Wer hat Recht? Und zu welcher Zahlenmenge gehören dann die
irrationalen Zahlen?
224 a) Wiederholt in Gruppen zu drei bis vier Personen die Zahlenmengen, über die ihr bis jetzt schon etwas gelernt habt (N, Z, Q)!
b) Überlegt euch, welche Eigenschaften die Zahlen jeder dieser Zahlenmengen haben müssen, damit sie zur Menge gehören.
c ) Welche Rechenoperationen lassen sich in den verschiedenen Zahlenmengen ausführen, welche nicht?
e) Gestaltet ein Plakat, auf dem ihr übersichtlich die verschiedenen
Zahlenmengen und ihre Eigenschaften darstellt!
⋆
Die Menge der reellen Zahlen
Rationale und irrationale Zahlen zusammen ergeben eine neue Zahlenmenge, die reellen Zahlen R. Dazu gehören alle Dezimalzahlen,
die sich als Bruch darstellen lassen (rationale Zahlen) und jene,
die sich nicht als Bruch darstellen lassen (irrationale Zahlen). Das
heißt: Alle Dezimalzahlen gehören zu den reellen Zahlen, egal ob die
Nachkommastellen endlich oder periodisch oder unendlich, nichtperiodisch sind. Für die reellen Zahlen gelten die gleichen Rechenregeln
wie für die rationalen Zahlen.
Grafische Darstellung
der Zahlenmengen:
Nebenstehende Darstellung veranschaulicht, wie die Zahlenmengen miteinander
zusammenhängen: N ist eine Teilmenge
von Z, diese wieder eine Teilmenge von
Q und diese eine Teilmenge von R. Du
kannst dir das wie eine russische Puppe (siehe S. 64) vorstellen.
N Z Q R
75
Ma
th
eF
it
4.6 Die Menge der reellen Zahlen
225 Zum Aufwärmen 1: Stelle folgende Brüche als Dezimalzahlen dar!
a)
4
100
b)
1
33
c)
3
5
d)
9
4
e)
3
16
f)
17
25
Nun überlegen Tom und Sara weiter: „Das heißt bei rationalen und
irrationalen Zahlen geht es letztendlich darum, ob ich eine Zahl als
Bruch darstellen kann oder nicht“, meint Tom. Sara meint dazu:
„Ich kann mich noch erinnern, dass jede rationale Zahl, also jede
Bruchzahl, entweder eine endliche Dezimalzahl wie z. B. 0,34, eine
rein periodische Dezimalzahl wie z. B. 0,131313. . . oder eine gemischt
periodische Dezimalzahl wie z. B. 0,89767676. . . liefert.“
225 a) 0,04
b) 0,030303 c) 0,6
d) 2,25 e) 0,1875
f) 0,68
Zwar hilft Tom und Sara diese Überlegung schon ein bisschen weiter,
aber ganz zufrieden sind sie noch nicht. Kannst du ihnen helfen?
226 a) Stelle Sara und Toms Überlegungen aus der obigen Geschichte
übersichtlich dar! Überlege dabei, was eigentlich bei der Division von
zwei Zahlen ab passieren kann!
b) Suche für jeden der Fälle ein Zahlenbeispiel!
„Ha, und jetzt weiß ich auch, dass ich zuerst Recht hatte“, meint
Tom. „Irrationale Zahlen sind auch Dezimalzahlen, nur eben welche
mit unendlich vielen, nicht periodischen Nachkommastellen und sie
können nicht als Bruch dargestellt werden. Also können nicht alle
Dezimalzahlen als Bruch dargestellt werden und ich hatte Recht und
du nicht, denn ich bin der Beste!“ „Jaja“, meint Sara, „ist ok, diesmal
hattest du Recht, aber überlegt haben wir schon gemeinsam!“
227 Zum Aufwärmen 2:
Stelle folgende Dezimalzahlen als Brüche dar! Kürze so weit wie möglich!
a) 0,2
b) 2,5
c ) -1,4
d) 0,88888888. . .
e) 0,25
f ) -0,85
g) 0,15
h) 0,35
228 Welche der folgenden Zahlen sind rational, welche irrational? Begründe
√ deine Antwort!
a) 25
d) 3,202002000. . .
√
b) 2
e) 3,2̇
c ) 3,2
√
f) 3
229 Nur eine der beiden Aussagen ist richtig:
(1) Jede Bruchzahl kann als Dezimalzahl dargestellt werden.
(2) Jede Dezimalzahl kann als Bruchzahl dargestellt werden.
Begründe deine Antwort!
226 a) ab ergibt
entweder eine
ganze Zahl, eine
endliche
Dezimalzahl, eine
rein periodische
(unendliche) oder
eine gemischt
periodische
(unendliche)
Dezimalzahl. b) –
227 a) 15 b) 25
c) - 75 d) 89 e) 14
3
f) - 17
20 g) 20 h)
35
99
228 a), c), e)
rational, b), d) f)
irrational
229 (1) ist richtig,
(2) nicht, da
irrationale Zahlen
nicht als Bruch
dargestellt
werden können.
Ma
th
eF
it
76 4 Wurzeln, Dezimalzahlen und schon wieder eine neue Menge – Die reellen Zahlen
230 Paul und Paula Kuddelmuddel haben sich wieder einmal über Mathe-
230 (1), (3), (6),
(7) richtig
matik unterhalten, diesmal über die reellen Zahlen. Markiere, ob richtig
oder falsch und stelle falsche Aussagen richtig!
(1) Jede natürliche Zahl ist eine reelle Zahl.
(2) Jede reelle Zahl kann als Bruch dargestellt werden.
(3) Die Menge der reellen Zahlen besteht aus den rationalen und aus
den irrationalen Zahlen.
(4) Jede reelle Zahl ist eine negative ganze Zahl.
(5) Es gibt eine größte reelle Zahl.
(6) Es gibt keine kleinste reelle Zahl.
(7) Jede nicht periodische Dezimalzahl ist eine reelle Zahl.
231 Nur D ist
richtig
231 Irrationale Zahlen: Britta erzählt ihrer Freundin: „ 2 ist keine ra-
A
B
C
D
232 d = √
√
12 + 12 = 2
ergibt sich aus
dem Satz von
Pythagoras
√
tionale, √
sondern eine irrationale Zahl.“ Ihre Freundin möchte nun wissen,
warum 2 keine rationale Zahl ist. Welche der folgenden Argumente
Brittas sind zutreffend, welche nicht?
√
trifft zu
2 ist keine rationale Zahl, weil die Wurzel
einer Zahl nie rational ist.
√
2 ist keine rationale Zahl, weil man 2 nicht als
Bruch zweier natürlicher Zahlen darstellen kann.
√
2 ist keine rationale Zahl, weil man 2 nicht
am Zahlenstrahl darstellen kann.
√
√
2 ist keine rationale Zahl, weil 2 in Dezimalschreibweise unendlich, aber nicht periodisch ist.
trifft nicht zu
×
×
×
×
232 Überlege: Wie lange ist die Diagonale eines Quadrates mit der
Kantenlänge von 1 cm? Erkläre, wie du zu deinem Ergebnis gekommen
bist!
Erinnere dich an die 3. Klasse: Jede rationale Zahl entspricht einem
Punkt auf der Zahlengeraden. Dasselbe gilt auch für irrationale (also unendliche nicht periodische) Zahlen, auch sie können auf einer
Zahlengeraden dargestellt werden.
Darstellen von irrationalen Zahlen auf der Zahlengeraden
Irrationale Zahlen können auf der Zahlengeraden
√
√ folgendermaßen dargestellt werden: z. B. d = 12 + 12 = 2
Die Länge der Diagonale ergibt sich aus dem Satz von Pythagoras. Sie wird auf die Zahlengerade abgeschlagen.
77
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4.6 Die Menge der reellen Zahlen
233 Stelle die angegebenen Wurzeln als Punkte auf einer Zahlengeraden
dar! Überlege dazu zuerst, wie lange die Seiten des Quadrates sein
müssen, zeichne dann das Quadrat auf eine Zahlengerade und schlage
die Diagonale
ab!
√
√
√
b) 18
c ) 32
a) 8
Im obigen Beispiel hast du irrationale Zahlen dargestellt, deren Wert
der Länge der Diagonale
√ eines Quadrates entspricht. Andere irrationale Zahlen wie z. B. 10 lassen sich auch mit Hilfe des Satzes von
Pythagoras darstellen. Dabei muss man ein Rechteck finden, dessen
Diagonale die Summe zweier Quadratzahlen ist.
10 ist die Summe zweier√Quadratzahlen, nämlich 1 + 9. 10 ergibt
sich dann unter Anwendung des Sat2
1
3 10 4 zes von√Pythagoras
0
√ und kann
√ so auf
2
2
der Zahlengeraden dargestellt werden. 1 + 9 = 1 + 3 = 10
d
√
13 und 5 indem du jeweils ein Rechteck findest, in
dem die Summe der Quadratzahlen von Länge und Breite 13 bzw. 5
ergibt.
234 Konstruiere
√
235 Stelle folgende Zahlen auf einer Zahlengeraden durch Konstruktion
dar. Miss anschließend die Abstände vom Nullpunkt und überprüfe mit
dem√
Taschenrechner, ob du richtig
konstruiert hast. √
√
a) √
32
b) − √
8
c ) 50√
d) − 37
e) 2 ⋅ 18
f ) −3 ⋅ 10
Tipp 4.3
Beachte: Negative Zahlen liegen links vom Nullpunkt, du musst also
bei der Konstruktion von negativen irrationalen Zahlen das Rechteck
nach links zeichnen!
236 Finde mindestens drei weitere Beispiele wie in Aufgabe 235 und
stelle sie auf einer Zahlengeraden dar!
Mit den oben beschriebenen Methoden können jedoch nicht alle irrationalen Zahlen dargestellt werden. Kann man die Zahl in eine
Differenz von Quadratzahlen zerlegen, so kannst du den Thaleskreis
(siehe MatheFit2, S. 149) zu Hilfe nehmen:
234 Rechteck 1:
a=3, b=2,
Rechteck 2: a=1,
b=2
235 Angaben auf
2 Dezimalstellen
gerundet: a) 5,66
b) –2,83 c) 7,07
d) 6,08 e) 8,49
f) –9,49
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eF
it
78 4 Wurzeln, Dezimalzahlen und schon wieder eine neue Menge – Die reellen Zahlen
Tipp 4.4
√
12 kann als Differenz zweier Quadratzahlen
angeschrieben werden:
√
√
√
16 − 4 = 42 − 22 = 12
Mit Hilfe des Thaleskreises kann das Dreieck konstruiert werden.
237 a) 7 = 16 − 9
b) 21 = 25 − 4
c) 35 = 36 − 1
d) 40 = 36 + 4
237√Stelle folgende Zahlen
mit Hilfe eines
Dreiecks dar!
√
√ rechtwinkligen √
a)
7
b)
21
c)
35
d)
40
238 Finde mindestens drei weitere Beispiele für irrationale Zahlen und
stelle sie mit Hilfe des Thaleskreises auf einer Zahlengeraden dar!
Zwei weitere Möglichkeiten zur Konstruktion von irrationalen Zahlen
findest du in Kap. 5.3.1 auf S. 104.
4.7 Kubikwurzeln
Tom überlegt: „Wenn ich weiß, dass dieser
Würfel ein Volumen von 8 cm3 hat. Wie weiß
ich dann, wie lange eine Seite ist?“ Sara hat
schnell eine Antwort parat: „Du misst einfach die Seitenlängen ab und schon weißt du
es.“ Das erscheint Tom leicht, aber wie soll
er vorgehen, wenn er einen Würfel basteln
a
müsste, der ein bestimmtes Volumen haben
muss? Wie kann er dann die Seitenlänge bestimmen?
a
a
Tom muss eine Zahl finden, deren dritte Potenz das verlangte Volumen
hat, also x3 = 8. Dazu kann man sich Folgendes überlegen:
Kubikwurzeln
Die dritte Wurzel einer Zahl x ist jene Zahl, deren dritte Potenz
wieder
die Zahl x ergibt: Sie wird Kubikwurzel genannt.
√
3
z. B. 27 = 3, denn 33 = 27
Das Ziehen der dritten Wurzel ist die Umkehrung des Potenzierens
mit 3.
√
3
Allgemein: x3 = x
79
Ma
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4.8 Rückblick, Ausblick und Exercises
239 a) Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Ziehen der Wurzel und dem Potenzieren?
b) Wiederhole die Rechenregeln für Potenzen aus der dritten Klasse
(MatheFit3 kann dir dabei helfen)! Gib jeweils ein „Musterbeispiel“ dafür
an!
239
a) Potenzieren
und Wurzelziehen
sind Umkehroperationen
b) –
√
3
Berechne √
64 im Kopf!
3
Überlege: 64 = 4, denn 43 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64
240√Berechne im Kopf!
3
a) √
8=
3
d) 1000 =
b)
e)
√
3
125
=
√
3
8 000 =
⋆
c)
f)
√
3
216
=
√
3
729 =
⋆
241 Finde heraus, mit welcher Tastenfolge dein Taschenrechner die
Kubikwurzel berechnet und ermittle dann die Werte!
√
√
√
a) 3 0, 001 =
b) 3 0, 008 =
c ) 3 0, 216 =
√
√
√
e) 3 0, 001728 =
f ) 3 0, 000008 =
d) 3 0, 001331 =
242√Zwischen welchen ganzen
√ Zahlen liegt die Kubikwurzel?
√
3
a) √
21
d) 3 400
3
b) √
50
e) 3 10 000
3
c) √
75
f ) 3 20 000
243 Welche Zahl x steht unter der Kubikwurzel?
√
a) 3 x = 6
√
d) 3 x = 0, 24
√
b) 3 x = 14
√
e) 3 x = 0, 01
244 Löse folgende Gleichungen!
√
a)
√
x=8
b)
8=x
c)
√
c ) 3 x = 19
√
f ) 3 x = 0, 16
√
3
x=8
d)
√
3
8=x
245 Ermittle die Kantenlängen der Würfel mit dem jeweils angegebenen
Volumen!
a) V = 250,047 cm3 b) V = 157,464 cm3 c ) V = 753,571 cm3
246 Das Volumen ist gegeben, wie lange ist jeweils die Kantenlänge des
Würfels?
a) 177 504,33 cm3
c ) 704,969 cm3
b) 2 571,353 cm3
d) 4 173,281 cm3
247 Berechne mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis auf zwei
Dezimalstellen!
√
3
a) √
545 =
3
c ) 17 000 =
√
3
b) √
1 500 =
3
d) 400 000 =
240 a) 2 b) 5 c) 6
d) 10 e) 20 f) 9
241 a) 0,1 b) 0,2
c) 0,6 d) 0,11
e) 0,12 f) 0,02
242 a) 2 und 3
b) 3 und 4 c) 4
und 5 d) 7 und 8
e) 21 und 22
f) 27 und 28
243 a) 216
b) 2744 c) 6859
d) 0,013824
e) 0,000001
f) 0,004096
244 a)√64
b) 2 ⋅ 2 c) 512
d) 2
245 6,3 cm;
5,4 cm; 9,1 cm
246 a) 56,2 cm
b) 13,7 cm
c) 8,9 cm
d) 16,1 cm
247 a) 8,17
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80 4 Wurzeln, Dezimalzahlen und schon wieder eine neue Menge – Die reellen Zahlen
4.8 Rückblick, Ausblick und Exercises
4.8.1 Rückblick
Aus diesem Kapitel sollst du dir merken:
248 b), f), g) und
h) sind irrational.
1. dass das Wurzelziehen die Umkehrung zum Potenzieren ist,
2. aus welchen Zahlen die Menge der reellen Zahlen besteht,
3. wie man irrationale Zahlen definiert und wodurch sie sich von
rationalen unterscheiden,
4. wie man irrationale Zahlen auf einer Zahlengeraden darstellen
kann,
5. wie man mit Quadrat- und Kubikwurzeln rechnet.
249 a) Eine Zahl, Anhand der folgenden Beispiele kannst du dein Wissen überprüfen.
die nicht als
Bruchzahl
248 Gib an, ob es sich um eine rationale oder irrationale Zahl handelt!
darstellbar ist.
Begründe
jeweils deine Antwort!
b) z. B.
√
√
3
4
d) 41
c ) 3,62̇
125
b) 2 ⋅ 5
0,2302330233302333. . a)
.
e) 0,0238238238. . .
f ) 6,5151151115. . .
g) 8,3232232223. . .
c) nein d) die
h) Die Summe der Zahlen in e) und f)
reellen Zahlen
i ) Die Summe der Zahlen 0,8181181118. . . und 4,1818818881. . .
√
250
a)
400,
√
√
3
249 Beantworte folgende Fragen!
8
000
b)
√
√ 25,
3
a) Was ist eine irrationale Zahl?
125 c) 49,
√
√
3
b) Nenne Beispiele für diesen Zahlentyp!
343 d) 0, 04,
√
3
c ) Kann man diesen Zahlentyp auf einem Taschenrechner darstellen?
0, 008
√
d) Welche Zahlenmenge erhält man, wenn man rationale und irrationale
e) 0, 09,
√
3
Zahlen zusammenfasst?
0, 027
√
f) 0, 000144,
√
250 Schreibe als (1) Quadratwurzel (2) Kubikwurzel!
3
0, 000001728
a) 20
b) 5
c) 7
251 a) 9,8 cm
d) 0,2
e) 0,3
f ) 0,012
b) 7,6 cm
251 Berechne die Seitenlängen der folgenden Quadrate!
c) 13,2 cm
a) A = 96,04 cm2
b) A = 57,76 cm2
d) 15,7 cm
2
c ) A = 174,24 cm
d) A = 246,49 cm2
252 a) 13 b) 29
c) 0,19 d) 0,11
252√Berechne die Wurzel!
√
a)
3
2197
b)
841
c)
√
0, 0361
d)
253
√ Trage folgende
√
√ Werte auf einer Zahlengeraden ein:
3; 5,4; −3 2; − 6
√
3
0, 001331
81
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th
eF
it
4.8 Rückblick, Ausblick und Exercises
254 Es sind die Seitenlängen verschiedener Rechtecke gegeben. Bestimme
jeweils die Diagonale und erkläre, wie du zu deinem Ergebnis gekommen
bist!
a) a = 6, b = 8
b) a = 15, b = 8
c ) l = 7, b = 5
√
√
255 Welche Wurzel ist größer: 40 oder 50?
Begründe folgende Aussagen:
√
a) Wenn a größer wird, dann wird a auch größer.
√
Wenn a kleiner wird, dann wird auch a kleiner.
√
b) Wenn a größer wird, dann wird auch a größer.
√
Wenn a kleiner wird, dann wird auch a kleiner.
256 Paul Kuddelmuddel hat überlegt:
a) Positive Zahlen kann man quadrieren.
b) Negative Zahlen kann man quadrieren.
c ) 02 ergibt 1
d) Aus positiven Zahlen kann man die Wurzel ziehen.
e) Aus negativen Zahlen kann man die Wurzel ziehen.
Stelle fest, ob es sich um richtige oder falsche Aussagen handelt!
257 Aus der Länge des Bremsweges schließt die Polizei auf die Höhe der
Geschwindigkeit in km/h. Kannst du die Formel dafür angeben? (Tipp:
Wenn du nicht mehr sicher bist, dann schau noch einmal ganz am Anfang
des Kapitels nach!)
Berechne die entsprechenden Geschwindigkeiten für folgende Bremswege
s=5 m, 30 m, 60 m und 100 m
258 Bremsweg berechnen: Berechne die Länge des Bremsweges, wenn
die Geschwindigkeit folgende Werte hat!
a) 40 km/h
b) 60 km/h
c ) 90 km/h
d) 130 km/h
4.8.2 Ausblick
In diesem Kapitel hast du wieder neue – mehr oder weniger geheimnisvolle – Zahlenmengen kennengelernt. Zahlen, die eine unendliche
Anzahl von Kommastellen haben und die zusammen mit den rationalen Zahlen eine neue Zahlenmenge bilden. Die Zahl π gehört auch
zu dieser Zahlenmenge, in Kapitel 11 wirst du noch mehr über sie
erfahren.
Außerdem gibt es – das hast du dir wahrscheinlich schon gedacht –
noch weitere Zahlenmengen. So z. B. jene der komplexen Zahlen, das
Symbol für diese Zahlenmenge ist ein C . Dabei wird eine neue Zahl
254 a) 10 b) 17
c) 8,6
255 Erklärung
z. B. über die
Flächeninhalte
eines Quadrates
256 a) ja b) ja
c) nein 0 d) ja
e) nein
257 v = 10
22,4 km/h,
54,8 km/h,
77,5 km/h,
100 km/h
√
s
258 a) 16 m
b) 36 m c) 81 m
d) 169 m
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82 4 Wurzeln, Dezimalzahlen und schon wieder eine neue Menge – Die reellen Zahlen
eingeführt, die imaginäre Zahl i. Sie ist dadurch bestimmt, dass i2 = −1
ergibt. Die Einführung dieser neuen Zahl i trat zum ersten Mal im
16. Jh. im Zusammenhang mit dem Lösen von Gleichungen wie z. B.
x2 + 1 = 0 auf. Dabei lieferten die Lösungsformeln einerseits reelle
Ergebnisse und andererseits Lösungen, die keine Bedeutung hatten, so
z. B. Wurzeln aus negativen Zahlen. Diese Ergebnisse wurden imaginär
genannt. Lässt man auch solche Zahlen zu, dann ist die Antwort bei
Aufg. 256 f) richtig. Komplexe Zahlen stellen heute in Physik und
Technik eine wichtige Rechenhilfe dar. Sie finden unter anderem
Anwendung in der digitalen Signalverarbeitung, also im Bereich der
Nachrichtentechnik.
Mathematik hat also immer etwas Neues auf Lager und hört irgendwie
nie auf. Das ist doch spannend, oder?
4.8.3 Exercises
vocabulary
arrange
ordnen
perimeter
Durchmesser
equilateral triangle gleichseitiges Dreieck
259 0,25; 0,7; 0,8;
0,9
260
√
24
261
6
11 ,
262
√
5
5,
259 Arrange √
the numbers in size from smallest to largest!
√
0,9;
0,52 ;
16
25 ;
0, 49
260 The area of a square is 12 square centimeters. Find its perimeter!
√
4 15
7, 2
√ √
2, 3, 2,
√
263 12 3
264 Choose
negative values
for a and b.
261 Simplify each expression
√
36
121 ,
√
50
2 ,
√
16
49 ,
225
4
262 Find x, y, z, u in the illustration standing beside
it!
263 Find the√area of an equilateral triangle in which
each side is
1
1
x
48!
264 Give a counterexample to show that
√ √
a ⋅ b is not always true!
1
y
z
√
a⋅b ≠
1
u
1