Physik für Biologen und Zahnmediziner

Physik für Biologen und Zahnmediziner
Kapitel 5: Drehmoment, Gleichgewicht, Rotation
Dr. Daniel Bick
14. November 2012
Daniel Bick
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14. November 2012
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Folien zur Vorlesung
http://www.desy.de/~daniel/vorlesung
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Wiederholung Impuls
Herleitung aus dem 3. Newtonschen Axiom
F~1 = −F~2
⇒ m1~a1 = −m2~a2
d~v1
d~v2
m1
= −m2
dt
dt
d~v2
d~v1
+ m2
=0
⇔ m1
dt
dt
Integration:
Z d~v2
d~v1
m2
C=
− m1
dt
dt
= p~1 + p~2
Daniel Bick
dt = m1~v1 + m2~v2
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Impuls
Impuls
p~ = m~v
Der Gesamtimpuls bleibt in einem abgeschlossenen System
erhalten!
Wirkt auf ein System keine äußere Kraft bleibt der Gesamtimpuls
erhalten!
Weitere Formulierung des 2. Newtonschen Axioms
Daniel Bick
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Impuls
Impuls
p~ = m~v
Der Gesamtimpuls bleibt in einem abgeschlossenen System
erhalten!
Wirkt auf ein System keine äußere Kraft bleibt der Gesamtimpuls
erhalten!
Weitere Formulierung des 2. Newtonschen Axioms
d~
p
d(m~v )
d~v
dm
dm
=
= m + ~v
= m~a + ~v
dt
dt
dt
dt
dt
d~
p
= m~a = F~
dt
⇒ Die Kraft ist die zeitliche Änderung des Impulses
Bei konstanter Masse:
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Übersicht
1
Mechanik starrer, ausgedehnter Körper
Schwerpunkt
Drehmoment
Gleichgewicht
Trägheitsmoment
Rotationsbewegung mit Drehmoment
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Schwerpunkt
Massenmittelpunkt
Punkt, der sich so bewegt, als ob die gesamte Masse dort konzentriert
wäre und alle äußeren Kräfte dort ansetzen
Mit Massen gewichtetes Mittel aller Massepunkte
Für zwei Körper:
Allgemein:
Daniel Bick
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Schwerpunkt
Massenmittelpunkt
Punkt, der sich so bewegt, als ob die gesamte Masse dort konzentriert
wäre und alle äußeren Kräfte dort ansetzen
Mit Massen gewichtetes Mittel aller Massepunkte
Für zwei Körper:
r~s =
~r1 m1 + ~r2 m2
m1 + m2
Allgemein:
1
~rs =
M
Daniel Bick
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Z
~r dm
K
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Beispiel mit zwei Massen
Die Massen seien starr miteinander
verbunden.
y
Wähle Koordinatensystem so,
dass beide Massen auf der
x-Achse liegen
xs
m1
m2
x1
x
d
x2
Daniel Bick
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Beispiel mit zwei Massen
Die Massen seien starr miteinander
verbunden.
y
Wähle Koordinatensystem so,
dass beide Massen auf der
x-Achse liegen
xs =
x1 m1 + x2 m2
m1 + m2
Daniel Bick
xs
m1
m2
x1
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x
d
x2
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Spezialfall x1 = 0
Eine der Massen (m1 ) bei x = 0
y
xs
m1
m2
x
d
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Spezialfall x1 = 0
Eine der Massen (m1 ) bei x = 0
y
xs
m1 · 0 + m2 · d
xs =
m1 + m2
m2
xs =
·d
m1 + m2
m1
m2
x
d
⇒ Schwerpunkt näher an
größerer Masse
Daniel Bick
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Spezialfall gleich große Massen
Eine Masse bei x = 0
Gleich große Massen (m1 = m2 )
y
xs
m1
m2
x
d
⇒ Schwerpunkt in der Mitte
Daniel Bick
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Spezialfall gleich große Massen
Eine Masse bei x = 0
Gleich große Massen (m1 = m2 )
y
xs
m2 · d
m1 + m2
m·d
=
m+m
d
=
2
xs =
m1
m2
x
d
⇒ Schwerpunkt in der Mitte
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Beispiel Schwerpunktbewegung
Daniel Bick
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Drehbewegung
F~n
Wenn unterschiedliche Kräfte an
unterschiedlichen Punkten angreifen, kann es
eine Drehung geben.
F~g
Meistens zusätzliche Translation.
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Drehbewegung
F~n
Wenn unterschiedliche Kräfte an
unterschiedlichen Punkten angreifen, kann es
eine Drehung geben.
Meistens zusätzliche Translation.
Daniel Bick
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F~g
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Drehmoment
Drehung hängt ab von
Größe der Kraft → F~
Richtung der Kraft → F~tangential
Ansatzpunk der Kraft → ~r
~ ist ein Maß für die
Das Drehmoment M
Drehwirkung
~r
F~radial
~ gibt Drehsinn an
Richtung von M
Daniel Bick
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F~
F~tangential
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Drehmoment
Drehung hängt ab von
Größe der Kraft → F~
Richtung der Kraft → F~tangential
Ansatzpunk der Kraft → ~r
~ ist ein Maß für die
Das Drehmoment M
Drehwirkung
~r
F~radial
~ = ~r × F~
M
~ gibt Drehsinn an
Richtung von M
[M ] = [r] · [F ] = N m =
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F~
F~tangential
kg m2
s2
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17
Erinnerung: Kreuzprodukt
1
B
α
A
. Abb. 1.14. Rechte-Hand-Regel: Vektorprodukt A × B = C; A
(Daumen) weist nach oben, B (Zeigeﬁnger) weist nach hinten,
C (abgewinkelter Mittelﬁnger) steht senkrecht auf A und B
LM[*M\ZIOM[]U]VLQV[WNMZVI]KPLI[_I[UIV
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17
Erinnerung: Kreuzprodukt
1
~ =A
~×B
~
C
B
B · sin α
α
A
C = A · B · sin α
. Abb. 1.14. Rechte-Hand-Regel: Vektorprodukt A × B = C; A
(Daumen) weist nach oben, B (Zeigeﬁnger) weist nach hinten,
Für den Betrag des Drehmoments gilt:
C (abgewinkelter Mittelﬁnger) steht senkrecht auf A und B
M = F · r · sin α
LM[*M\ZIOM[]U]VLQV[WNMZVI]KPLI[_I[UIV
Daniel Bick
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Winkelgeschwindigkeit als Vektor
Bahngeschwindigkeit bisher: v = ω · r
Zusätzlich: Richtung der Drehachse ⇒ vektoriel
ω
~
~r
~v
Daniel Bick
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Winkelgeschwindigkeit als Vektor
Bahngeschwindigkeit bisher: v = ω · r
Zusätzlich: Richtung der Drehachse ⇒ vektoriel
ω
~
~r
~v
~v = ω
~ × ~r
~ und ω
M
~ sind Axialvektoren
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Garnrolle
•
•
P
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Garnrolle
Je nach Winkel des Fadens, an dem ich ziehe, rollt die Garnrolle sich
auf oder ab.
F~
F~
~v
•
•
P ~r
Daniel Bick
~v = 0
•
•
P
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•
~r
~v
F~
•
P
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Kräftepaar
Zwei parallele Kräfte
deren Betrag gleich ist
die entgegengesetzt wirken
deren Angriffspunkte nicht zusammenfallen
heissen Kräftepaar.
F~
F~ und −F~ verursachen eine Drehung des
Körpers um P .
P liegt auf der Verbindungslinie der beiden
Angriffspunkte.
P
~r
−F~
Es wirkt das Drehmoment
Daniel Bick
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Kräftepaar
Zwei parallele Kräfte
deren Betrag gleich ist
die entgegengesetzt wirken
deren Angriffspunkte nicht zusammenfallen
heissen Kräftepaar.
F~
F~ und −F~ verursachen eine Drehung des
Körpers um P .
P liegt auf der Verbindungslinie der beiden
Angriffspunkte.
P
~r
−F~
Es wirkt das Drehmoment
M = M1 + M2 = F r1 + (−F )(−r2 ) = F (r1 + r2 )
Daniel Bick
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Schaubenzieher
F~
F~
F~
F~
F~
F~
Ein breiterer Schaubenzieher bewirkt ein größeres Drehmoment.
⇒ Drehen (Schrauben) fällt einem leichter!
Drehachse ist vorgegeben! Am besten in der Mitte ansetzen!
Daniel Bick
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Bestimmung des Schwerpunktes
Häufig eindeutig durch Symmetrie
Ansonsten: Nehme Gewichtskraft zur Hilfe
Lagere Gegenstand auf einer freien Drehachse
→ Drehung durch Schwerkraft
→Schwerpunkt auf der Vertikalen unterhalb der Drehachse
Wiederholung für mehrere Drehachsen
Schnittpunkt aller Vertikalen ergibt Schwerpunkt
Daniel Bick
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Beispiel: Schwerpunkt eines Dreiecks
C
A
Daniel Bick
B
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Beispiel: Schwerpunkt eines Dreiecks
C
A
C
B
B
A
A
C
B
Daniel Bick
B
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C
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A
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Beispiel: Schwerpunkt eines Dreiecks
C
A
B
C
B
A
A
C
B
B
C
A
C
A
Daniel Bick
B
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Hebel
Gleichgewicht von Drehmomenten
F~1
~r2
~r1
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F~2
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Hebel
Gleichgewicht von Drehmomenten
F~1
Hebelgesetz
~r2
~r1
M1 = M2
r1 · F1 = r2 · F2
F~2
⇒ F1 =
r2
r1 F2
Kraft · Kraftarm = Last · Lastarm
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Einarmiger Hebel
Kapitel 2 · Mechanik starrer Körper
F~1
VM\Q[KPM -VMZOQM _IVLMT\ [QKP NZMQ_QTTQO QV
M]UQUUMZ]VL]V^MZUMQLTQKP">WTTSWU
~r1
[[\[QKP:MQJ]VOVQKP\I][[KPIT\MVB]_MQ
F~2
L[QM[WOIZLZQVOMVLOMJZI]KP\b*LIVV
MQV [KPVMTTM[ )]\W XTÕ\bTQKP IJOMJZMU[\
F~g
~r2
V U][[ ]U MQVM 3IZIUJWTIOM
b] ^MZUMQ
IVV[WTT[QKP^QMTSQVM\Q[KPM-VMZOQMZI[KP
Die Kraft muss in die gleiche
UM]U_IVLMTV",QM*ZMU[MV_MZLMVPMQ¾
Richtung aufgebracht werden
\ LQM[ VQKP\ [KPVMTT OMV]O [W MV\[\MP\ LQM
Alternativ: Umlenkrolle
PM?ÃZUMJMQXTI[\Q[KPMZ>MZNWZU]VO^WV
Beispiel: Unterarm
. Abb. 2.29. Arm und Bizeps. Als einarmiger Hebel: Kraft und
Kurze Arme helfen beim ArmdrückenLast
greifen, auf die Drehachse (Ellbogengelenk) bezogen, au
Hebel und Drehmoment
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!
der gleichen Seite an; der Hebelarm des Muskels (T ~ 30 mm
ist wesentlich kleiner als der Hebelarm (T ~ 30 cm) der Hantel
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Anwendungsbeispiele
Schere
Zimmermannshammer
Flaschenöffner
Schraubenschlüssel
Nussknacker
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Gleichgewicht
Ein starrer Körper befindet sich im statischen Gleichgewicht, wenn:
Die Summe aller äußeren Kräfte null ist
Das resultierende äußere Drehmoment null ist
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Gleichgewicht
Ein starrer Körper befindet sich im statischen Gleichgewicht, wenn:
Die
P ~Summe aller äußeren Kräfte null ist
Fi = 0
Das
P ~resultierende äußere Drehmoment null ist
Mi = 0
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Arten von Gleichgewichten
stabil
indifferent
labil
Stabiles Gleichgewicht
Zustand kehrt nach Störung dorthin zurück
Verrücken erfordert Energie
Indifferentes Gleichgewicht
Kleine Störung verschiebt den Gleichgewichtszustand nur leicht
Energie bleibt unverändert
Instabiles (labiles) Gleichgewicht
Zustand verlässt das Gleichgewicht völlig bei kleiner Störung
Verrücken setzt Energie frei
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Drehmomentwandler
Funktionsprinzip eines Getriebes
Prinzip ähnlich dem Hebel
~r1
statt Hebelarm Zahnräder
unterschiedlicher Größe
~r2
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Drehmomentwandler
Funktionsprinzip eines Getriebes
Prinzip ähnlich dem Hebel
~r1
statt Hebelarm Zahnräder
unterschiedlicher Größe
F1 = F2 = F
M1 = r1 · F1
1
⇒F = M
r1
M2 = r2 · F
M2 = rr21 M1
~r2
Übersetzung
r2
r1
Kraftübertrag von Bauteilen, die
mit unterschiedlicher
Geschwindigkeit rotieren
Anwendung: z.B. Fahrrad
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Trägheitsmoment
Kinetische Energie eines rotierenden Körpers
Erinnerung: Wkin = 21 mv 2
Beispiel Ring/Scheibe
~v
~v
Ring: Betrag der Geschwindigkeit v
ist gleich für jeden Massepunkt.
Scheibe: Lediglich die
Winkelgeschwindigkeit ω ist gleich:
v(m) = r(m) · ω
Daniel Bick
Trägheitsmoment I
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Trägheitsmoment
Kinetische Energie eines rotierenden Körpers
Erinnerung: Wkin = 21 mv 2
Z
1
Beispiel Ring/Scheibe
Wkin =
v 2 (m) dm
2
Z
1 2
~v
= ω
r2 (m) dm
~v
2
{z
}
|
I
1
Wkin = Iω 2 = Wrot
2
Ring: Betrag der Geschwindigkeit v
ist gleich für jeden Massepunkt.
Scheibe: Lediglich die
Winkelgeschwindigkeit ω ist gleich:
v(m) = r(m) · ω
Daniel Bick
Trägheitsmoment I
Z
I=
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r2 (m) dm
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Beispiele für Trägheitsmomente
Dünner Ring
m · r2
Vollzylinder
1
2m
Hohlzylinder
Kugel
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1
2m
· r2
· (r12 + r22 )
2
5m
· r2
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Trägheitsmoment und Drehmoment
Das Trägheitsmoment ist ein Maß dafür, wie schwer ein Körper in
Drehung zu versetzen ist.
Für eine punktförmige Masse gilt I = m · r2
Zusammenhang zwischen Drehmoment und Winkelbeschleunigung
Dynamisches Grundgesetz der Rotation
Analogie Translation – Rotation
Translation: Kraft F~ verursacht Beschleunigung ~a.
~ verursacht Beschleunigung α
Rotation: Drehmoment M
~.
Daniel Bick
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Trägheitsmoment und Drehmoment
Das Trägheitsmoment ist ein Maß dafür, wie schwer ein Körper in
Drehung zu versetzen ist.
Für eine punktförmige Masse gilt I = m · r2
Zusammenhang zwischen Drehmoment und Winkelbeschleunigung
Dynamisches Grundgesetz der Rotation
ω
~ = I d~
M
= Iα
~
dt
Analogie Translation – Rotation
Translation: Kraft F~ verursacht Beschleunigung ~a.
~ verursacht Beschleunigung α
Rotation: Drehmoment M
~.
Daniel Bick
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Rolle auf schiefer Ebene
Welche Rolle ist schneller?
Hohlzylinder
Vollzylinder
h
α
Daniel Bick
h
α
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Rolle auf schiefer Ebene
Welche Rolle ist schneller?
Energieerhaltung: E = m · g · h = Wrot + Wtrans = 12 Iω 2 + 21 mv 2
Hohlzylinder
Vollzylinder
h
α
h
α
1
Wrot = Iω 2
2
1 1
= · mr2 ω 2
2 2
1 2 2
= mr ω
4
1
Wrot = Iω 2
2
1
= mr2 ω 2
2
Vereinfacht: Der Hohlzylinder muss mehr Rotationsenergie aufbringen, er
ist daher langsamer!
Daniel Bick
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Steinerscher Satz
Das Trägheitsmoment eines Körpers bei Drehung
um seine Symmetrieachse unterscheidet sich von
dem bei Drehung um eine andere Achse.
Beispiel: Ein rollender Körper dreht sich um
seinen Auflagepunkt
d
m
Daniel Bick
Das tatsächliche Trägheitsmoment kann mit dem
Satz von Steiner berechnet werden:
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Steinerscher Satz
Das Trägheitsmoment eines Körpers bei Drehung
um seine Symmetrieachse unterscheidet sich von
dem bei Drehung um eine andere Achse.
Beispiel: Ein rollender Körper dreht sich um
seinen Auflagepunkt
d
m
Das tatsächliche Trägheitsmoment kann mit dem
Satz von Steiner berechnet werden:
IGesamt = ISchwerpunkt + m · d2
Muss eigentlich auch bei den Rollen auf der schiefen Ebene beachtet
werden, da diese um den Auflagepunkt rotieren ⇒ I = IS + mr2
Daniel Bick
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Rollreibung
Rollreibung wirkt dem Drehmoment entgegen
Analog zur Gleitreibung: M = µroll · FN
Normalkraft F~N
F~H
α
α
F~N
F~g
Graviationskraft F~g
Hangabtriebskraft F~H
F~N = F~g · cos(α)
F~H = F~g · sin(α)
Bei welchem Winkel α fängt die Rolle an sich zu drehen?
Daniel Bick
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Rollreibung
Rollreibung wirkt dem Drehmoment entgegen
Analog zur Gleitreibung: M = µroll · FN
Normalkraft F~N
F~H
α
α
F~N
F~g
Graviationskraft F~g
Hangabtriebskraft F~H
F~N = F~g · cos(α)
F~H = F~g · sin(α)
Bei welchem Winkel α fängt die Rolle an sich zu drehen?
M = r · FH = µroll · FN
FH
→ µroll = r ·
FN
µroll = r · tan α
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32 / 38
Drehstuhl
Beobachtung:
Es wird kein zusätzliches Drehmoment ausgeübt
Anziehen der Arme erhöht Winkelgeschwindigkeit ω
Ursache:
Das Trägheitsmoment wird durch die geänderte Massenverteilung
kleiner.
Daniel Bick
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33 / 38
Drehstuhl
Beobachtung:
Es wird kein zusätzliches Drehmoment ausgeübt
Anziehen der Arme erhöht Winkelgeschwindigkeit ω
Ursache:
Das Trägheitsmoment wird durch die geänderte Massenverteilung
kleiner.
Daniel Bick
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Drehimpuls
Wir nehmen an, es liegt kein äußeres Drehmoment vor:
~ =0
M
Es gilt:
~ = Iα
M
~
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Drehimpuls
Wir nehmen an, es liegt kein äußeres Drehmoment vor:
~ =0
M
Es gilt:
~ = Iα
M
~
Z
~ dt = I α
⇔ M
~ dt
Z
Z
d~
ω
dt
⇒ 0 dt = I
dt
⇒ konst. = I|{z}
·ω
~
Z
~
L
~ =I ·ω
~ ist parallel zur
Der Drehimpuls L
~ ist eine Erhaltungsgröße. L
Drehachse.
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Drehstuhl mit Kreisel
Ein sich schnell in der Vertikalen rotierendes Objekt wird verdreht
Der Stuhl dreht sich
ω
~
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35 / 38
Drehstuhl mit Kreisel
Ein sich schnell in der Vertikalen rotierendes Objekt wird verdreht
Der Stuhl dreht sich
ω
~
ω
~
ω
~
Daniel Bick
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35 / 38
Drehstuhl mit Kreisel
Ein sich schnell in der Vertikalen rotierendes Objekt wird verdreht
Der Stuhl dreht sich
~
L
ω
~
~
L
ω
~
ω
~
Drehimpulserhaltung gilt vektoriell!
Daniel Bick
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35 / 38
Drehimpuls als Vektorgröße
ω
~ ist ein Axialvektor
~ = I~
⇒ Auch L
ω ist ein Axialvektor
~
ω
~
~ =M
Ausserdem: ddtL = I d~
dt = I α
Es gilt für einen Massepunkt:
Daniel Bick
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Drehimpuls als Vektorgröße
ω
~ ist ein Axialvektor
~ = I~
⇒ Auch L
ω ist ein Axialvektor
~
ω
~
~ =M
Ausserdem: ddtL = I d~
dt = I α
Es gilt für einen Massepunkt:
~
~ = ~r × F~ = dL
M
dt
~
d~
p
dL
~r ×
=
dt
dt
Z Z ~
d~
p
dL
~r ×
dt =
dt
dt
dt
Z
d~
p
~
~r ×
dt = L
dt
~
~r × p~ =L
Daniel Bick
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Vergleich Translation Rotation
Ort
~s
Winkel
ϕ
Zeit
t
Zeit
t
Geschwindigkeit
~v =
d~
s
dt
Winkelgeschwindigkeit
ω
~ =
dϕ
dt
Beschleunigung
~a =
d~
v
dt
Winkelbeschleunigung
α
~=
d~
ω
dt
Masse
m
Trägheitsmoment
I=
P
i
F~ = m · ~a
Kraft
Kinetische Energie
Impuls
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Wkin = 12 mv 2
p~ = m · ~v
Drehmoment
Rotationsenergie
Drehimpuls
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mi ri2
~ =I ·α
M
~
WRot = 12 Iω 2
~ =I ·ω
L
~
14. November 2012
37 / 38
Formelsammlung
Schwerpunkt
Drehmoment
Hebelgesetz
Trägheitsmoment
Satz von Steiner
Dynamisches Grundgesetz der Rotation
Rotationsenergie
Rollreibung
Drehimpuls
Daniel Bick
Physik für Biologen und Zahnmediziner
14. November 2012
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