Physik für Biologen und Zahnmediziner
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Physik für Biologen und Zahnmediziner Kapitel 6: Drehimpuls, Verformung Dr. Daniel Bick 18. November 2016 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 1 / 27 Stoß auf Luftkissenschiene Nachher: Vorher: m1 v1 p = m1 v1 Daniel Bick v2 m2 p = m2 v2 v10 m1 m2 p = m1 v10 p = m2 v20 Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 v20 2 / 27 Zentraler elastischer Stoß: v2 = 0 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 3 / 27 Zentraler elastischer Stoß: v2 = 0 1 Energieerhaltung: 12 m1 v12 = 12 m1 v102 + 12 m2 v202 ⇒ v12 = v102 + 2 Impulserhaltung: m1 v1 = m1 v10 + m2 v20 ⇒ v1 = v10 + m2 02 m1 v2 m2 0 m 1 v2 m2 2 02 v2 = m1 m2 02 m2 0 0 m2 2 02 m2 0 2 : v = v v + v2 v m1 2 m1 1 2 m1 m1 2 m2 0 1 m2 v20 = 2v10 + v2 ⇒ v10 = v20 1− m1 2 m1 1 m2 0 1 m1 + m2 0 m2 m2 0 v1 = v = v2 1− v2 + 1+ v20 = 2 m1 m1 2 2 m1 2m1 2m1 m1 − m2 v20 = v1 v10 = v1 m1 + m2 m1 + m2 v12 v102 m2 0 0 m2 02 v = v102 + 2 v v + + m1 2 m1 1 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 4 / 27 Übersicht 1 Drehungen Trägheitsmoment Rotationsbewegung mit Drehmoment Drehimpuls 2 Mechanik deformierbarer Körper Verformung Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 5 / 27 Trägheitsmoment Kinetische Energie eines rotierenden Körpers Erinnerung: Ekin = 21 mv 2 Beispiel Ring/Scheibe ~v ~v Ring: Betrag der Geschwindigkeit v ist gleich für jeden Massepunkt. Scheibe: Lediglich die Winkelgeschwindigkeit ω ist gleich: Daniel Bick Trägheitsmoment I Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 6 / 27 Beispiele für Trägheitsmomente Dünner Ring m · r2 Vollzylinder 1 2m Hohlzylinder Kugel Daniel Bick 1 2m · r2 · (r12 + r22 ) 2 5m · r2 Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 7 / 27 Trägheitsmoment und Drehmoment Das Trägheitsmoment ist ein Maß dafür, wie schwer ein Körper in Drehung zu versetzen ist. Für eine punktförmige Masse gilt I = m · r2 Zusammenhang zwischen Drehmoment und Winkelbeschleunigung Dynamisches Grundgesetz der Rotation Analogie Translation – Rotation Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 8 / 27 Rolle auf schiefer Ebene Welche Rolle ist schneller? Hohlzylinder Vollzylinder h α Daniel Bick h α Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 9 / 27 Steinerscher Satz Das Trägheitsmoment eines Körpers bei Drehung um seine Symmetrieachse unterscheidet sich von dem bei Drehung um eine andere Achse. Beispiel: Ein rollender Körper dreht sich um seinen Auflagepunkt d m Daniel Bick Das tatsächliche Trägheitsmoment kann mit dem Satz von Steiner berechnet werden: Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 10 / 27 Rollreibung Rollreibung wirkt dem Drehmoment entgegen Analog zur Gleitreibung: M = µroll · FN Normalkraft F~N F~H α α F~N F~g Graviationskraft F~g Hangabtriebskraft F~H F~N = F~g · cos(α) F~H = F~g · sin(α) Bei welchem Winkel α fängt die Rolle an sich zu drehen? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 11 / 27 Versuch: Drehstuhl Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 12 / 27 Drehimpuls Wir nehmen an, es liegt kein äußeres Drehmoment vor: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 13 / 27 Drehstuhl mit Kreisel Ein sich schnell in der Vertikalen rotierendes Objekt wird verdreht ω ~ ω ~ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 14 / 27 Drehimpuls als Vektorgröße ω ~ ist ein Axialvektor ~ = I~ ⇒ Auch L ω ist ein Axialvektor ~ ω ~ ~ =M Ausserdem: ddtL = I d~ dt = I α Es gilt für einen Massepunkt: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 15 / 27 Vergleich Translation Rotation Ort Winkel Zeit Zeit Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit Beschleunigung Winkelbeschleunigung Masse Trägheitsmoment Kraft Drehmoment Kinetische Energie Rotationsenergie Impuls Drehimpuls Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 16 / 27 Vergleich Translation Rotation Ort ~s Winkel ϕ Zeit t Zeit t Geschwindigkeit ~v = d~ s dt Winkelgeschwindigkeit ω ~ = dϕ dt Beschleunigung ~a = d~ v dt Winkelbeschleunigung α ~= d~ ω dt Masse m Trägheitsmoment I= P i Kraft Kinetische Energie Impuls Daniel Bick F~ = m · ~a Ekin = 12 mv 2 p~ = m · ~v Drehmoment Rotationsenergie Drehimpuls Physik für Biologen und Zahnmediziner mi ri2 ~ =I ·α M ~ ERot = 21 Iω 2 ~ =I ·ω L ~ 18. November 2016 16 / 27 Übersicht 1 Drehungen Trägheitsmoment Rotationsbewegung mit Drehmoment Drehimpuls 2 Mechanik deformierbarer Körper Verformung Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 17 / 27 Aggregatzustände Festkörper Bestimmte Gestalt formstabil Bestimmtes Volumen volumenstabil Bei kleinen Kräften formelastisch Flüssigkeiten Festes Volumen → volumenstabil Aber nicht formstabil Gase Nehmen zur Verfügung stehenden Raum ein Volumen leicht veränderbar Weder feste Gestalt noch festes Volumen Bildquelle http://daten.didaktikchemie.uni-bayreuth.de/umat/wasser/wasser.htm Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 18 / 27 Übergang zwischen den Aggregatzuständen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 19 / 27 Verformung eines Festkörpers Ein fester Körper ist kein starrer Körper! Abstand der Bestandteile (Moleküle) ändert sich durch Einwirkung einer Kraft Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 20 / 27 Elastizität → Verformung σ Verhältnis der ziehenden Kraft zur Querschnittsfläche: Spannung A B Relative Längenänderung: Dehnung Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner C 18. November 2016 21 / 27 Elastizitätsmodul Im linearen Bereich gilt das Hookesche Gesetz ∝ σ Die Dehnung ist proportional zur Spannung Elastizitätsmodul E E ist ein Maß für die Festigkeit verschiedener Materialien Daniel Bick Stahl 200 GN m2 Kupfer 115 GN m2 Blei 16 GN m2 Knochen 9 GN m2 Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 22 / 27 Scherung und Torsion Bei parallel zu einer Fläche ansetzenden Kräften gilt Normalform Scherung Torsion Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 L Daniel Bick 23 / 27 Druck Eine Kraft F , die senkrecht auf eine Fläche A ausgeübt wird, erzeugt einen Druck p Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 24 / 27 Einheiten des Drucks SI Einheit: [p] = [F ] N = 2 = Pa [A] m Weitere Einheiten 1 bar = 100000 Pa = 1000 hPa 1 Torr = 1 mmHg = ca. 133,3 Pa (→Blutdruck) 1 mWs (Meter Wassersäule) = 0,1 at = 9,80665 kPa 1 atm (Physik. Atmosphäre) = 760 Torr = 101325 Pa = 1013,25 hPa 1 psi=6894,757293168 Pa Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 25 / 27 Kompressibilität Wird auf ein Gas oder eine Flüssigkeit ein Druck ausgeübt, so ändert sich das Volumen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 26 / 27 Kompressibilität einiger Materialien Daniel Bick Aluminium κ = 1.34 · 10−11 m2 N−1 Wasser κ = 4.7 · 10−10 m2 N−1 Ideales Gas κ= 1 P ≈ 10−5 m2 N−1 Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. November 2016 27 / 27
